一般环上的超椭圆曲线

示例：

圣人：对.<x个> = GF公司(5)[]
圣人：（f） = x个^5 - 三*x个^4 - 2*x个^三 + 6*x个^2 + 三*x个 - 1
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）); C类
大小为5的有限域上的超椭圆曲线
由y^2=x^5+2*x^4+3*x^3+x^2+3*x+4定义

圣人：对.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：（f） = 4*x个^5 - 30*x个^三 + 45*x个 - 22
圣人：C类 = 超椭圆曲线(（f）); C类
有理域上y^2=4*x^5-30*x^3+45*x-22定义的超椭圆曲线
圣人：C类.属()
2

圣人：D类 = C类.仿射补丁(0)
圣人：D类.定义多项式（）[0].父母()
有理域上x1，x2中的多元多项式环

班 sage.schemes.超椭圆曲线.超椭圆通用。超椭圆曲线_generic(聚丙烯,（f）,小时=无,姓名=无,属=无)

基础：投影平面曲线

基本扩展（_E）(R（右）)

在新基环上返回此超椭圆曲线R（右）.

示例：

圣人：#需要sage.rings.padics
圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 - 10*x个 + 9)
圣人：K（K） = Qp（质量计划）(三, 5)
圣人：L（左）.<一> = K（K）.延伸(x个^30 - 三)
圣人：香港 = H（H）.更改（_R）(K（K）)
圣人：HL公司 = 香港.更改（_R）(L（左）); HL公司
超椭圆曲线
由x^30-3定义的a中的3-adic Eisenstein扩张域
定义为（1+O（a^150））*y^2=（1+0（a^15））*x^5
+（2+2*a^30+a^60+2*a^90+2*a ^120+O（a^150））*x+a^60+O（a ^210）

圣人：R（右）.<x个> = FiniteField公司(7)[]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^8 + x个 + 5)
圣人：H（H）.基本扩展（_E）(FiniteField公司(7^2, “a”))                                  #需要sage.rings.finite_ring
大小为7^2的有限域上的超椭圆曲线
由y^2=x^8+x+5定义

更改（_R）(R（右）)

在新基环上返回此超椭圆曲线R（右）.

示例：

圣人：#需要sage.rings.padics
圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 - 10*x个 + 9)
圣人：K（K） = Qp（质量计划）(三, 5)
圣人：L（左）.<一> = K（K）.延伸(x个^30 - 三)
圣人：香港 = H（H）.更改（_R）(K（K）)
圣人：HL公司 = 香港.更改（_R）(L（左）); HL公司
超椭圆曲线
由x^30-3定义的a中的3-adic Eisenstein扩张域
定义为（1+O（a^150））*y^2=（1+0（a^15））*x^5
+（2+2*a^30+a^60+2*a^90+2*a ^120+O（a^150））*x+a^60+O（a ^210）

圣人：R（右）.<x个> = FiniteField公司(7)[]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^8 + x个 + 5)
圣人：H（H）.基本扩展（_E）(FiniteField公司(7^2, “a”))                                  #需要sage.rings.finite_ring
大小为7^2的有限域上的超椭圆曲线
定义为y^2=x^8+x+5

属()

has_add_degree_模型()

如果定义域上存在奇数度的自我模型，则返回True；否则为False。

使用奇数_格列_模型计算奇数度模型。

示例：

圣人：x个 = QQ（QQ）[“x”].0
圣人：超椭圆曲线(x个^5 + x个).has_odd_degree_mode（具有地址协议模式）()
真的
圣人：超椭圆曲线(x个^6 + x个).has_add_degree_模型()
真的
圣人：超椭圆曲线(x个^6 + x个 + 1).has_add_degree_模型()
False（错误）

超椭圆多项式(K（K）=无,无功功率，无功功率=“x”)

示例：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]; C类 = 超椭圆曲线(x个^三 + x个 - 1, x个^三/5); C类
有理域上y^2+1/5*x^3*y=x^3+x-1定义的超椭圆曲线
圣人：C类.超椭圆多项式()
（x^3+x-1，1/5*x^3）

不变微分()

退换商品\（dx/2y\）作为Monsky-Washnitzer上同调的一个元素自我的

示例：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[“x”]
圣人：C类 = 超椭圆曲线(x个^5 - 4*x个 + 4)
圣人：C类.不变微分()
1 dx/2年

是奇异的（_S）()

返回False，因为超椭圆曲线是平滑投影的曲线，如施工检查。

示例：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 + 1)
圣人：H（H）.是奇异的（_S）()
False（错误）

亏格至少为2的超椭圆曲线在无穷大，当被视为飞机投影曲线。这可以在中看到以下示例：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 + 2)
圣人：从 sage.misc.verbose软件 进口 设置详细信息
圣人：设置（_V）(-1)
圣人：H（H）.是奇异的（_S）()
False（错误）
圣人：从 sage.方案.曲线.项目_曲线 进口 投影平面曲线
圣人：投影平面曲线.是奇异的（_S）(H（H）)
真的

是平滑的（_S）()

返回True，因为超椭圆曲线是平滑投影的曲线，如在施工时检查的。

示例：

圣人：R（右）.<x个> = GF公司(13)[]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^8 + 1)
圣人：H（H）.是平滑的（_S）()
真的

亏格至少为2的超椭圆曲线在无穷大，当被视为飞机投影曲线。这可以在中看到以下示例：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：R（右）.<x个> = GF公司(27, “a”)[]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^10 + 2)
圣人：从 sage.misc.verbose软件 进口 设置详细信息
圣人：设置详细信息(-1)
圣人：H（H）.是平滑的（_S）()
真的
圣人：从 sage.方案.曲线.项目_曲线 进口 投影平面曲线
圣人：投影平面曲线.是平滑的（_S）(H（H）)
False（错误）

is_x_字(x个)

如果返回Truex个是\（x \）-曲线上一点的坐标。

另请参见

另请参见lift_x（）用给定的\（x \）-坐标。在以下情况下，此功能可能很有用测试基场元素是否为正方形比求平方根还要快。

输入：

• x个–曲线底环的一个元素

输出：

说明是否\（x \）是曲线上某点的x坐标

示例：

何时\（x \）是\（x \）-上有理点的坐标曲线，我们可以要求：

圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(QQ（QQ）)
圣人：（f） = x个^5 + x个^三 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：H（H）.is_x_字(0)
真的

没有理性的观点\（x \）-坐标3：

圣人：H（H）.is_x_字(三)
False（错误）

该函数还处理以下情况\（h（x）\）不为零：

圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(QQ（QQ）)
圣人：（f） = x个^5 + x个^三 + 1
圣人：小时 = x个 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）, 小时)
圣人：H（H）.is_x_字(1)
真的

我们也可以在有限域上执行这些操作：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(GF公司(163))
圣人：（f） = x个^7 + x个 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：H（H）.is_x_字(13)
真的

包括特征二的情况：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：F类.<z4（零4）> = GF公司(2^4)
圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(F类)
圣人：（f） = x个^7 + x个^三 + 1
圣人：小时 = x个 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）, 小时)
圣人：H（H）.is_x_字(z4（零4）^三 + z4（零4）^2 + z4（零4）)
真的

作者：

• 贾科莫·波普（2024）：改编自lift_x（）

雅可比人()

提升_x(x个,全部的=False（错误）)

返回给定的一个或所有点\（x \）-坐标。

此方法是确定性的：它每次返回相同的数据再次调用相同的时间\（x \）.

输入：

• x个–曲线基环的元素

• 全部的（布尔，默认False（错误）)–如果真的，返回一个所有点的列表（可能为空）；如果False（错误），返回只要一分，或提出一个值错误如果没有。

输出：

此曲线上最多包含两个点的点或列表。

另请参见

is_x_coord（）

作者：

• 贾科莫·波普（2024）：允许出现特征二的情况

示例：

何时\（x \）是\（x \）-有理点的坐标曲线，我们可以要求：

圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(QQ（QQ）)
圣人：（f） = x个^5 + x个^三 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：H（H）.提升_x(0)
(0 : -1 : 1)
圣人：H（H）.提升_x(4, 全部的=真的)
[(4 : -33 : 1), (4 : 33 : 1)]

没有理性的观点\（x \）-坐标3：

圣人：H（H）.提升_x(三)
回溯（最近一次调用）：
...
ValueError:有理域上的超椭圆曲线上没有x坐标为3的点，由y^2=x^5+x^3+1定义

当没有点并且all=真:

圣人：H（H）.提升_x(三, 全部的=真的)
[]

该函数还处理以下情况\（h（x）\）不为零：

圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(QQ（QQ）)
圣人：（f） = x个^5 + x个^三 + 1
圣人：小时 = x个 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）, 小时)
圣人：H（H）.提升_x(1)
(1 : -3 : 1)

我们也可以在有限域上执行这些操作：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(GF公司(163))
圣人：（f） = x个^7 + x个 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）)
圣人：H（H）.提升_x(13)
(13 : 41 : 1)

包括特征二的情况：

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：F类.<z4（零4）> = GF公司(2^4)
圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(F类)
圣人：（f） = x个^7 + x个^三 + 1
圣人：小时 = x个 + 1
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(（f）, 小时)
圣人：H（H）.提升_x(z4型^三 + z4（零4）^2 + z4（零4）, 全部的=真的)
[（z4^3+z4^2+z4:z4^2+z4+1:1），（z4*3+z4*2+z4：z4^3:1）]

本地字(对,前c=20,名称=“t”)

调用适当的local_coordes函数

输入：

• 对–自我评价

• 前c–所需的局部坐标精度

• 名称–电源串联环的发电机（默认值：t吨)

输出：

\（（x（t），y（t））\）这样的话\（y（t）^2=f（x（t））\），其中\（t\）是位于的局部参数\（P\）

示例：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[“x”]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 - 23*x个^三 + 18*x个^2 + 40*x个)
圣人：H（H）.本地字(H（H）(1 ,6), 前c=5)
（1+t+O（t^5），6+t-7/2*t^2-1/2*t^3-25/48*t^4+O（t ^5））
圣人：H（H）.本地字(H（H）(4, 0), 前c=7)
（4+1/360*t^2-191/23328000*t^4+7579/188956800000*t^6+O（t^7），t+O（t ^7））
圣人：H（H）.本地字(H（H）(0, 1, 0), 前c=5)
（t^-2+23*t^2-18*t^4-569*t^6+O（t^7），
t^-5+46*t^-1-36*t-609*t^3+1656*t*t^5+O（t^6））

作者：

• Jennifer Balakrishnan（2007-12）

本地坐标at_infinity(前c=20,名称=“t”)

对于这个属\（克\）超椭圆曲线\（y^2=f（x）\），返回\（（x（t），y（t））\）这样的话\（y（t））^2=f（x（t），其中\（t=x^g/y）是无穷远处的局部参数

输入：

• 前c–局部坐标的所需精度

• 名称–功率串联环的发电机（默认值：t吨)

输出：

\（（x（t），y（t））\）这样的话\（y（t）^2=f（x（t））\）和\（t=x^g/y）是无穷远处的局部参数

示例：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[“x”]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 - 5*x个^2 + 1)
圣人：x个, 年 = H（H）.本地坐标at_infinity(10)
圣人：x个
t^-2+5*t^4-t^8-50*t^10+O（t^12）
圣人：年
t^-5+10*t-2*t^5-75*t^7+50*t^11+O（t^12）

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[“x”]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^三 - x个 + 1)
圣人：x个, 年 = H（H）.本地坐标at_infinity(10)
圣人：x个
t^-2+t^2-t^4-t^6+3*t^8+O（t^12）
圣人：年
t^-3+t-t^3-t^5+3*t^7-10*t^11+O（t^12）

作者：

• Jennifer Balakrishnan（2007-12）

本地坐标at_nonweierstrass(对,前c=20,名称=“t”)

对于非Weierstrass点\（P=（a，b）\）关于超椭圆曲线\（y^2=f（x）\），返回\（（x（t），y（t））\）这样的话\（y（t））^2=f（x（t）,哪里\（t=x-a\）是局部参数。

输入：

• 对 = （a）， b）–非Weierstrass点

• 前c–所需的局部坐标精度

• 名称–电源串联环的发电机（默认值：t吨)

输出：

\（（x（t），y（t））\）这样的话\（y（t）^2=f（x（t））\）和\（t=x-a\）是位于的局部参数\（P\）

示例：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[“x”]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 - 23*x个^三 + 18*x个^2 + 40*x个)
圣人：对 = H（H）(1, 6)
圣人：x个, 年 = H（H）.本地坐标_at_nonweierstrass(对, 前c=5)
圣人：x个
1+t+O（t^5）
圣人：年
6+t-7/2*t^2-1/2*t^3-25/48*t^4+O（t^5）
圣人：问 = H（H）(-2, 12)
圣人：x个, 年 = H（H）.本地坐标_at_nonweierstrass(问, 前c=5)
圣人：x个
-2+t+O（t^5）
圣人：年
12-19/2*t-19/32*t^2+61/256*t^3-5965/24576*t^4+O（t^5）

作者：

• Jennifer Balakrishnan（2007-12）

本地坐标at_weierstrass(对,前c=20,名称=“t”)

超椭圆上有限Weierstrass点曲线\（y^2=f（x）\），返回\（（x（t），y（t））\）这样的话\（y（t））^2=f（x（t），其中\（t=y）是局部参数。

输入：

• 对–自我上的有限Weierstrass点

• 前c–所需的局部坐标精度

• 名称–电源串联环的发电机（默认值：\（t\）)

输出：

\（（x（t），y（t））\）这样的话\（y（t）^2=f（x（t））\）和\（t=y）是位于的局部参数\（P\）

示例：

圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[“x”]
圣人：H（H） = 超椭圆曲线(x个^5 - 23*x个^三 + 18*x个^2 + 40*x个)
圣人：A类 = H（H）(4, 0)
圣人：x个, 年 = H（H）.本地坐标at_weierstrass(A类, 前c=7)
圣人：x个
4+1/360*t^2-191/23328000*t^4+7579/188956800000*t^6+O（t^7）
圣人：年
t+O（t^7）
圣人：B类 = H（H）(-5, 0)
圣人：x个, 年 = H（H）.本地坐标at_weierstrass(B类, 前c=5)
圣人：x个
-5+1/1260*t^2+887/2000376000*t^4+O（t^5）
圣人：年
t+O（t^5）

作者：

• Jennifer Balakrishnan（2007-12）

  • 弗朗西斯·克拉克（2012-08-26）

怪物洗衣机()

奇数_格列_模型()

返回self的奇数阶模型，如果定义字段上不存在ValueError，则引发ValueError。

示例：

圣人：x个 = QQ（QQ）[“x”].消息()
圣人：H（H） = 超椭圆曲线((x个^2 + 2)*(x个^2 + 三)*(x个^2 + 5)); H（H）
有理域上y^2=x^6+10*x^4+31*x^2+30定义的超椭圆曲线
圣人：H（H）.奇数模式()
回溯（最近一次调用）：
...
ValueError:定义字段上不存在奇数度模型

圣人：K2（K2） = 象限域(-2, “a”)                                          #需要sage.rings.number_field
圣人：血红蛋白2 = H（H）.更改（_R）(K2（K2）).奇数_格列_模型(); 血红蛋白2                       #需要sage.rings.number_field
数域上的超椭圆曲线
定义多项式x^2+2，a=1.414213562373095*我
定义为y^2=6*a*x^5-29*x^4-20*x^2+6*a*x+1

圣人：K3公司 = 象限域(-三, “b”)                                          #需要sage.rings.number_field
圣人：血红蛋白3 = H（H）.更改（_R）(象限域(-三, “b”)).奇数_格列_模型(); 血红蛋白3  #需要sage.rings.number_field
b中数域上的超椭圆曲线
定义多项式x^2+3，b=1.732050807568878*我
由y^2=-4*b*x^5-14*x^4-20*b*x ^3-35*x^2+6*b*x1定义

当然，``Hp2``和``Hp3``在复合上是同构的
扩展。其结果之一是奇数度模型
“不同”字段上的缩减应具有相同数量的
对他们的削减进行评分。43和67在
因此，当我们减少时，我们会发现：

圣人：#需要sage.rings.number_field
圣人：第2页 = K2（K2）.因素(43)[0][0]
圣人：第3页 = K3公司.因素(43)[0][0]
圣人：血红蛋白2.更改（_R）(K2（K2）.剩余字段(第2页)).frobenius多项式()
x^4-16*x^3+134*x^2-688*x+1849
圣人：血红蛋白3.更改（_R）(K3公司.剩余字段(第3页)).弗罗贝尼乌斯多项式()
x^4-16*x^3+134*x^2-688*x+1849

圣人：H（H）.更改（_R）(GF公司(43)).奇数_格列_模型().弗罗贝尼乌斯多项式()       #需要sage.rings.finite_ring
x^4-16*x^3+134*x^2-688*x+1849

圣人：#需要sage.rings.number_field
圣人：第2页 = K2（K2）.因素(67)[0][0]
圣人：第3页 = K3公司.因素(67)[0][0]
圣人：血红蛋白2.更改（_R）(K2（K2）.剩余字段(第2页)).frobenius多项式()
x^4-8*x^3+150*x^2-536*x+4489
圣人：血红蛋白3.更改（_R）(K3公司.剩余字段(第3页)).frobenius多项式()
x^4-8*x^3+150*x^2-536*x+4489

圣人：H（H）.更改（_R）(GF公司(67)).奇数_格列_模型().frobenius多项式()       #需要sage.rings.finite_ring
x^4-8*x^3+150*x^2-536*x+4489

理性点(**千瓦时)

找到超椭圆曲线上的有理点，所有参数都被传递上的到sage.schemes.generic.algebraic_scheme.rational_points（）.

示例：

对于LMFDB亏格2曲线公元932年3728.1:

圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(QQ（QQ）)
圣人：C类 = 超椭圆曲线(R（右）([0, -1, 1, 0, 1, -2, 1]), R（右）([1]))
圣人：C类.理性点(跳跃=8)
[(-1 : -3 : 1),
(-1 : 2 : 1),
(0 : -1 : 1),
(0 : 0 : 1),
(0 : 1 : 0),
(1/2 : -5/8 : 1),
(1/2 : -3/8 : 1),
(1 : -1 : 1),
（1:0:1）]

检查一下github问题#29509对于LMFDB亏格2曲线是固定的公元169年169.1年:

圣人：C类 = 超椭圆曲线(R（右）([0, 0, 0, 0, 1, 1]), R（右）([1, 1, 0, 1]))
圣人：C类.理性点(跳跃=10)
[(-1 : 0 : 1),
(-1 : 1 : 1),
(0 : -1 : 1),
(0 : 0 : 1),
(0 : 1 : 0)]

数字字段的示例：

圣人：R（右）.<x个> = 多项式环(象限域(2))                             #需要sage.rings.number_field
圣人：C类 = 超椭圆曲线(R（右）([1, 0, 0, 0, 0, 1]))                         #需要sage.rings.number_field
圣人：C类.理性点(跳跃=2)                                            #需要sage.rings.number_field
[(-1 : 0 : 1),
(0 : -1 : 1),
(0 : 1 : 0),
(0 : 1 : 1),
（1:-a:1），
（1:a:1）]

sage.schemes.超椭圆曲线.超椭圆通用。是_超链接曲线(C类)

示例：

圣人：从 sage.schemes.超椭圆曲线.超椭圆通用 进口 是_超链接曲线
圣人：R（右）.<x个> = QQ（QQ）[]; C类 = 超椭圆曲线(x个^三 + x个 - 1); C类
有理域上y^2=x^3+x-1定义的超椭圆曲线
圣人：是_超链接曲线(C类)
真的