椭圆曲线的Weierstrass模型之间的同构

作者：

• Robert Bradshaw（2007）：初始版本

• 约翰·克雷莫纳（2008年1月）：同构、自同构和扭曲在所有特征中

• Lorenz Panny（2021）：椭圆曲线Hom接口

班 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_morphism。魏尔斯特拉斯同构(E类=无,爆发=无,F类=无)

基础：椭圆曲线Hom,基本WI

表示两条椭圆曲线之间的Weierstrass同构的类。

输入：

• E类–一个椭圆曲线，或无（见下文）。

• 爆发–4元组\（（u，r，s，t）\），一个基本WI对象，或无（见下文）。

• F类–一个椭圆曲线，或无（见下文）。

给定两条椭圆曲线E类和F类（代表：Weierstrass模型）和转换爆发从E类到F类,从中构造同构E类到F类.如果出现以下情况，则会引发异常突发事件（E） != F类。最多一个E类,F类,爆发可以是无。在这种情况下，缺少的输入是由其他人以这样的方式构建突发事件（E） == F类持有，如果这不可能（通常是因为E类和F类不是同构的）。

用户通常不需要直接使用此类，而是使用方法，如同构_to（）或同构（）.

显然，同构由\（（u，r，s，t）\）映射点\（（x，y）\）切中要害

\[（（x-r）/u^2，\；（y-s（x-r

如果域\（E）具有Weierstrass系数\（[a1，a2，a3，a4，a6]\）,密码子\（F\）由提供

\[\开始｛拆分｝a_1'&=（a_1+2s）/u\\a_2'&=（a_2-a_1s+3r-s^2）/u^2\\a3'&=（a3+a1r+2t）/u^3\\a4'&=（a4+2a2r-a1（rs+t）-a3s+3r^2-2st）/u^4\\a6'&=（a6-a1rt+a2r^2-a3t+a4r+r^3-t^2）/u^6。\结束{拆分}\]

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 *
圣人：魏尔斯特拉斯同构(椭圆曲线([0,1,2,三,4]), (-1,2,三,4))
椭圆曲线态射：
自：有理域上由y^2+2*y=x^3+x^2+3*x+4定义的椭圆曲线
收件人：有理域上由y^2-6*x*y-10*y=x^3-2*x^2-11*x-2定义的椭圆曲线
通过：（u，r，s，t）=（-1，2，3，4）
圣人：E类 = 椭圆曲线([0,1,2,三,4])
圣人：F类 = 椭圆曲线(E类.克雷莫纳标签())
圣人：魏尔斯特拉斯同构(E类, 无, F类)
椭圆曲线形态：
自：有理域上由y^2+2*y=x^3+x^2+3*x+4定义的椭圆曲线
收件人：有理域上由y^2=x^3+x^2+3*x+5定义的椭圆曲线
通过：（u，r，s，t）=（1，0，0，-1）
圣人：周 = 魏尔斯特拉斯同构(无, (1,0,0,-1), F类)
圣人：周._领域 == E类
真的

二重的()

返回此同构的对偶同构。

对于同构，对偶就是逆的。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 魏尔斯特拉斯同构
圣人：E类 = 椭圆曲线(象限域(-三), [0,1])                          #需要sage.rings.number_field
圣人：周 = 魏尔斯特拉斯同构(E类, (圆域（CyclotomicField）(三).消息(),0,0,0))       #需要sage.rings.number_field
圣人：(周.二重的() * 周).理性地图()                                        #需要sage.rings.number_field
（x，y）

圣人：E1级 = 椭圆曲线([11,22,33,44,55])
圣人：E2级 = E1级.short_weierstrass_模型()
圣人：国际标准化组织 = E1级.同构to(E2级)
圣人：国际标准化组织.二重的() == ~国际标准化组织
真的

不可分割_度()

返回此Weierstrass同构的不可分割程度。

对于同构，此方法始终返回一个。

身份（_I）()

检查Weierstrass同构是否为同一性。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 魏尔斯特拉斯同构
圣人：第页 = 97
圣人：Fp公司 = GF公司(第页)
圣人：E类 = 椭圆曲线(Fp公司, [1, 28])
圣人：ws公司 = 魏尔斯特拉斯同构(E类, 无, E类)
圣人：ws公司.is_标识()
False（错误）

圣人：从 sage.schemes.椭圆曲线.wierstras_同构 进口 魏尔斯特拉斯同构
圣人：第页 = 97
圣人：Fp公司 = GF公司(第页)
圣人：E类 = 椭圆曲线(Fp公司, [1, 28])
圣人：ws公司 = 魏尔斯特拉斯同构(E类, (1, 0, 0, 0), 无)
圣人：ws公司.身份（_I）()
真的

核多项式()

返回此同构的核多项式。

根据定义，同构具有平凡的内核，因此方法始终返回\（1）.

示例：

圣人：E1级 = 椭圆曲线([11,22,33,44,55])
圣人：E2级 = 椭圆曲线_from_j(E1级.j_变量())
圣人：国际标准化组织 = E1级.同构to(E2级)
圣人：国际标准化组织.核多项式()
1
圣人：磅/平方英寸 = E1级.同生(国际标准化组织.核多项式(), 密码子=E2级); 磅/平方英寸
1级同构
根据y^2+11*x*y+33*y=x^3+22*x^2+44*x+55定义的椭圆曲线
在有理字段上
到由y^2+x*y=x^3+x^2-684*x+6681定义的椭圆曲线
在有理字段上
圣人：磅/平方英寸 在里面 {国际标准化组织, -国际标准化组织}
真的

秩序()

如果这个Weierstrass同构是自同构，那么计算它的阶。

A类值错误如果域不等于余域，则引发。

A类未实现错误如果自同构的阶不是1、2、3、4或6，则引发。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 *
圣人：第页 = 97
圣人：Fp公司 = GF公司(第页)
圣人：E类 = 椭圆曲线(Fp公司, [1, 28])
圣人：ws公司 = 魏尔斯特拉斯同构(E类, 无, E类)
圣人：ws公司.秩序()
2

理性地图()

返回定义此同构的一对有理映射。

示例：

圣人：E1级 = 椭圆曲线([11,22,33,44,55])
圣人：E2级 = 椭圆曲线_from_j(E1级.j_变量())
圣人：国际标准化组织 = E1级.同构to(E2级); 国际标准化组织
椭圆曲线形态：
自：由y^2+11*x*y+33*y=x^3+22*x^2+44*x+55定义的椭圆曲线
在有理字段上
收件人：由y^2+x*y=x^3+x^2-684*x+6681定义的椭圆曲线
在有理字段上
通过：（u，r，s，t）=（1，-17，-5，77）
圣人：国际标准化组织.理性地图()
（x+17，5*x+y+8）
圣人：（f） = E2级.定义_多项式()(*国际标准化组织.理性地图(), 1)
圣人：我 = E1级.定义_理想()
圣人：x个,年,z（z） = 我.戒指().氏族()
圣人：（f） 在里面 我 + 理想(z（z）-1)
真的

圣人：#需要sage.rings.finite_ring
圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(65537), [1,1,1,1,1])
圣人：周 = E类.同构(E类.short_weierstrass_模型())
圣人：（f）,克 = 周.理性地图()
圣人：对 = E类.随机点()
圣人：周(对).xy公司() == (（f）(对.xy公司（））， 克(对.xy公司()))
真的

缩放因子()

返回与此关联的Weierstrass比例因子魏尔斯特拉斯同构。

比例因子为常数\（u\）（在基本场中）这样的话\（\varphi^*\omega_2=u\omega_1\），其中\（\varphi:E_1\到E_2\）这是同构吗\（\欧米茄_i \）是标准Weierstrass差速器\（E_i\）由定义\（\mathrm dx/（2y+a_1x+a_3）\）.

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(QQbar（QQbar）, [0,1])                                       #需要sage.rings.number_field
圣人：全部的(（f）.缩放因子() == （f）.正式的（）[1] 对于 （f） 在里面 E类.自同构())   #需要sage.rings.number_field
真的

算法：比例因子等于\（u\）的组件元组\（（u，r，s，t）\）定义同构。

x国家地图()

返回\（x \）-这个同构的坐标有理映射。

示例：

圣人：E1级 = 椭圆曲线([11,22,33,44,55])
圣人：E2级 = 椭圆曲线_from_j(E1级.j_变量())
圣人：国际标准化组织 = E1级.同构to(E2级); 国际标准化组织
椭圆曲线形态：
自：由y^2+11*x*y+33*y=x^3+22*x^2+44*x+55定义的椭圆曲线
在有理字段上
收件人：由y^2+x*y=x^3+x^2-684*x+6681定义的椭圆曲线
在有理字段上
通过：（u，r，s，t）=（1，-17，-5，77）
圣人：国际标准化组织.x国家地图()
x+17
圣人：国际标准化组织.x国家地图() == 国际标准化组织.理性地图（）[0]
真的

班 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_morphism。基本WI(u个=1,对=0,秒=0,t吨=0)

基础：对象

这个类实现了之间的同构的基本算法椭圆曲线的Weierstrass模型。

这些由表单列表指定\（[u，r，s，t]\）（带有\（用户0）)指定转换\（（x，y）\映射到（x'，y'）\）哪里

\（（x，y）=（u^2x'+r，u^3y'+su^2x'+t）

输入：

• u、 r、s、t（默认值\((1,0,0,0)\))–标准参数Weierstrass模型之间的同构。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 *
圣人：基本WI()
(1, 0, 0, 0)
圣人：基本WI(2,三,4,5)
(2, 3, 4, 5)
圣人：R（右）.<u个,对,秒,t吨> = QQ（QQ）[]
圣人：基本WI(u个,对,秒,t吨)
（u，r，s，t）

身份（_I）()

返回真的如果这是身份同构。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 *
圣人：周 = 基本WI(); 周.身份（_I）()
真的
圣人：周 = 基本WI(2,三,4,5); 周.is_标识()
False（错误）

元组()

返回参数\（u，r，s，t\）作为元组。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 *
圣人：周 = 基本WI(2,三,4,5)
圣人：周.元组()
(2, 3, 4, 5)

sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_morphism。恒等同态(E类)

给定一条椭圆曲线\（E），返回标识形态在\（E）作为一个魏尔斯特拉斯同构.

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 恒等同态
圣人：E类 = 椭圆曲线([5,6,7,8,9])
圣人：标识_ = 恒等同态(E类)
圣人：标识_.理性地图()
（x，y）

sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_morphism。否定形态(E类)

给定一条椭圆曲线\（E），返回否定自同态\([-1]\)属于\（E）作为一个魏尔斯特拉斯同构.

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.weierstrass_形态 进口 否定形态
圣人：E类 = 椭圆曲线([5,6,7,8,9])
圣人：否定 = 否定形态(E类)
圣人：否定.理性地图()
（x，-5*x-y-7）