椭圆曲线的周期格及其相关函数 #
圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” )
圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) #需要sage.rings.number_field
圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) #需要sage.rings.number_field
圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ] #需要sage.rings.number_field
圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ); L(左) #需要sage.rings.number_field
与y^2=x^3+x^2+a*x+a定义的椭圆曲线相关的周期格
定义多项式x^3-2的中的数字字段
关于嵌入环态射:
从:定义多项式x^3-2的中的数字字段
收件人:代数实域
定义:a |-->1.259921049894873?
圣人: L(左) . 基础 () #需要sage.rings.number_field
(3.81452977217855、1.90726488608927+1.34047785962440*I)
圣人: L(左) . 实际(_R) () #需要sage.rings.number_field
真的
圣人: L(左) . 标准化基础 () #需要sage.rings.number_field
(1.90726488608927-1.34047785962440*I,-1.9072648608927-1.3407785962440*I)
圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( ComplexField(复杂字段) ())[ 0 ] #需要sage.rings.number_field
圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ); L(左) #需要sage.rings.number_field
与y^2=x^3+x^2+a*x+a定义的椭圆曲线相关的周期格
定义多项式x^3-2的中的数字字段
关于嵌入环态射:
从:定义多项式x^3-2的中的数字字段
收件人:代数字段
定义:a |-->-0.6299605249474365?- 1.091123635971722?* 我
圣人: #需要sage.rings.number_field
圣人: 第1周 , 第2周 = L(左) . 基础 (); 第1周 , 第2周
(-1.37588604166076-2.58560946624343*I,-2.10339907847356+0.428378776460622*I)
圣人: L(左) . 实际(_R) ()
False(错误)
圣人: 陶 = 第1周 / 第2周 ; 陶
0.387694505032876+1.30821088214407*我
圣人: L(左) . 标准化基础 ()
(-1.37588604166076-2.58560946624343*I,-2.10339907847356+0.428378776460622*I)
圣人: #需要sage.rings.number_field
圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” )
圣人: K .< 一 > = 象限域 ( - 7 )
圣人: EK公司 = E类 . 更改(_R) ( K )
圣人: EK公司 . 周期_姿态 ( K . 复合嵌入(_E) ()[ 0 ])
与y^2+y=x^3+(-1)*x定义的椭圆曲线相关的周期格
定义多项式x^2+7的中的数字字段
a=2.645751311064591* 我
关于嵌入环态射:
从:定义多项式x^2+7的中的数字字段
a=2.6457751311064591* 我
收件人:代数字段
定义:a |-->-2.645751311064591* 我
?: 初始版本。 约翰·克雷莫纳: 适应于处理数字字段的实际嵌入,2008年9月。 添加了basis_matrix函数,2008年11月 2009年5月,增加了对复杂嵌入的支持。 添加了复杂椭圆日志,2010年3月; 增强版,2010年10月。
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班 sage.schemes.elliptic_curves.period_lattice。 周期格 ( 底座(_R) , 等级 , 度 , 稀疏的 = False(错误) , 坐标环(_R) = 无 , 类别 = 无 ) # 基础: 自由模块_通用_ ID 代数簇的周期格的类。
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班 sage.schemes.elliptic_curves.period_lattice。 周期Lattice_ell ( E类 , 嵌入 = 无 ) # 基础: 周期格 椭圆曲线周期格的类。 目前支持的椭圆曲线定义在 \(\QQ\) 、和 实数域或复数域上定义的椭圆曲线 嵌入,其中构建的晶格依赖于此 嵌入。 -
基础 ( 前c = 无 , 算法 = “圣人” ) # 以2元组的形式返回此周期格的基。 输入: 前c (默认值: 无 )–以位为单位的精度(默认值 精度,如果 无 ). 算法 (字符串,默认为“sage”)–选择 在“sage”之间实现(仅用于实际嵌入) (本地Sage实现)或“pari”(使用pari 库:仅适用于实际嵌入)。
输出: (复数元组) \((\ω_1,\ω_2)\) 格子在哪里 \(\ZZ\omega_1+\ZZ\ omega_2\) .如果格子是真实的,那么 \(\omega_1\) 是真实和积极的, \(\Im(\omega_2)>0) 和 \(\Re(\omega_1/\omega_2)\) 是其中之一 \(0\) (用于矩形 格子)或 \(\压裂{1}{2}\) (对于非矩形晶格)。 否则, \(\omega_1/\omega_2\) 处于基本区域 上半平面。 如果需要后者归一化 对于真实晶格,使用函数 标准化_基础() 而不是。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 基础 () (2.99345864623196、2.45138938198679*I) 这表明在上报告的问题 github问题#3954 已修复: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: b1号机组 = E类 . 周期_晶格 () . 基础 ( 前c = 30 ) 圣人: b2型 = E类 . 周期_晶格 () . 基础 ( 预充电 = 30 ) 圣人: b1号机组 == b2型 真的 这表明在上报告的问题 github问题#4064 已修复: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 基础 ( 前c = 30 )[ 0 ] . 父母 () 精度为30位的实字段 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 基础 ( 预充电 = 100 )[ 0 ] . 父母 () 100位精度的实数字段 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 多边形 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ] 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: L(左) . 基础 ( 64 ) (3.81452977217854509,1.90726488608927255+1.34047785962440202*I) 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( ComplexField(复杂字段) ())[ 0 ] 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: 第1周 , 第2周 = L(左) . 基础 (); 第1周 , 第2周 (-1.37588604166076-2.58560946624343*I,-2.10339907847356+0.428378776460622*I) 圣人: L(左) . 实际(_R) () False(错误) 圣人: 陶 = 第1周 / w2型 ; 陶 0.387694505032876+1.30821088214407*我
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基本矩阵 ( 前c = 无 , 归一化的 = False(错误) ) # 返回此周期格的基矩阵。 输入: 前c (int或 无``(默认)) -- 真实的 精度 在里面 位 (默认 真实的 精度 如果 ``无 ). 归一化的 (bool,默认为False)–如果为True,则 嵌入是真实的,使用归一化基础(参见 标准化_基础() )而不是默认值。
输出: 一个2x2实矩阵,其行是格基向量, 识别后 \(\抄送\) 具有 \(\RR^2) . 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 基本矩阵 () [ 2.99345864623196 0.000000000000000] [0.000000000000000 2.45138938198679] 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ] 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: L(左) . 基本矩阵 ( 64 ) [3.81452977217854509 0.000000000000000000000] [ 1.90726488608927255 1.34047785962440202] 请参见 github问题#4388 : 圣人: L(左) = 椭圆曲线 ( “11a1” ) . 周期_晶格 () 圣人: L(左) . 基本矩阵 () [ 1.26920930427955 0.000000000000000] [0.634604652139777 1.45881661693850] 圣人: L(左) . 基本矩阵 ( 归一化的 = 真的 ) [0.634604652139777 -1.45881661693850] [-1.26920930427955 0.000000000000000] 圣人: L(左) = 椭圆曲线 ( '389a1' ) . 周期_晶格 () 圣人: L(左) . 基本矩阵 () [ 2.49021256085505 0.000000000000000] [0.000000000000000 1.97173770155165] 圣人: L(左) . 基本矩阵 ( 归一化的 = 真的 ) [ 2.49021256085505 0.000000000000000] [0.000000000000000 -1.97173770155165]
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复合_区域 ( 前c = 无 ) # 返回周期格的基本域的面积 椭圆曲线。 输入: 前c (int或 无``(默认)) -- 真实的 精度 在里面 位 (默认 真实的 精度 如果 ``无 ).
示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 复合_区域 () 7.33813274078958 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: embs公司 = K . 嵌入 ( ComplexField(复杂字段) ()) 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: [ E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) . 实际(_R) () 对于 刺绣 在里面 K . 嵌入件 ( 立方厘米 )] [假,假,真] 圣人: [ E类 . 周期_姿态 ( 刺绣 ) . 复合_区域 () 对于 电子束 在里面 embs公司 ] [6.02796894766694, 6.02796894766694, 5.11329270448345]
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协调 ( z(z) , 四舍五入 = 无 ) # 返回复数w.r.t.格基的坐标 输入: z(z) (复数)–复数。 四舍五入 (默认 无 )–是否和如何舍入 输出(见下文)。
输出: 什么时候? 四舍五入 是 无 (默认值),返回元组 雷亚尔 \(x \) , \(年\) 这样的话 \(z=xw_1+yw_2) 哪里 \(w_1\) , \(w_2) 是晶格的基础(在复杂情况下归一化 嵌入件)。 什么时候? 四舍五入 是 “圆形” ,返回整数元组 \(n_1) , \(氮气) 其中是最接近的整数 \(x \) , \(年\) 定义 以上。 如果 \(z) 在格子中,这些是 \(z) 关于点阵基。 什么时候? 四舍五入 是 “地板” ,返回整数元组 \(n_1) , \(氮气) 其中是整数部分 \(x \) , \(年\) 上述定义。 这些用于 减少() 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( '389a' ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_姿态 () 圣人: 第1周 , 第2周 = L(左) . 基础 ( 前c = 100 ) 圣人: P(P) = E类 ([ - 1 , 1 ]) 圣人: 兹普 = P(P) . 椭圆_对数 ( 精度 = 100 ); 兹普 0.47934825019021931612953301006+0.98586885077582410221120384908*我 圣人: L(左) . 协调 ( 兹普 ) (0.19249290511394227352563996419, 0.50000000000000000000000000000) 圣人: 总和 ([ x个 * 周 对于 x个 , 周 在里面 拉链 ( L(左) . 协调 ( 兹普 ), L(左) . 基础 ( 前c = 100 ))]) 0.47934825019021931612953301006+0.98586885077582410221120384908*我 圣人: L(左) . 协调 ( 12 * 第1周 + 23 * 第2周 ) (12.000000000000000000000000000, 23.000000000000000000000000000) 圣人: L(左) . 协调 ( 12 * 第1周 + 23 * 第2周 , 四舍五入 = “地板” ) (11, 22) 圣人: L(左) . 协调 ( 12 * 第1周 + 23 * 第2周 , 四舍五入 = “圆形” ) (12, 23)
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曲线 ( ) # 返回与此周期晶格关联的椭圆曲线。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_姿态 () 圣人: L(左) . 曲线 () 是 E类 真的 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( K . 嵌入 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ]) 圣人: L(左) . 曲线 () 是 E类 真的 圣人: L(左) = E类 . 周期_姿态 ( K . 嵌入件 ( ComplexField(复杂字段) ())[ 0 ]) #需要sage.rings.number_field 圣人: L(左) . 曲线 () 是 E类 #需要sage.rings.number_field 真的
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_日志_RC ( xP(xP) , 年 , 前c = 无 , 减少 = 真的 ) # 返回实数点或复数点的椭圆对数。 xP、, 年 (实数或复数)–上某个点的坐标 与这个周期相关的嵌入椭圆曲线 格子。 前c (默认值: 无 )–以位为单位的实际精度 (如果无,则默认为实际精度)。 减少 (默认值: 真的 )–如果 真的 ,结果 相对于周期格基进行缩减。
输出: (复数)点的椭圆对数 \((xP,yP)\) 关于这个周期格。 如果 \(E) 是椭圆 曲线和 \(西格玛:K\至\CC\) 嵌入,返回 价值 \(z) 是这样的 \(z\pmod{L}\) 映射到 \((xP,yP)=σ(P)) 根据标准Weierstrass同构 \(\CC/L\) 到 \(\西格玛(E)\) .如果 减少 是 真的 ,输出降低 所以它在基本周期平行四边形中 相对于归一化的晶格基。 算法: 使用复杂的AGM。 请参见 【CT2013】 了解详细信息。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( '389a' ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: P(P) = E类 ([ - 1 , 1 ]) 圣人: xP(xP) , 年 = [ 相对应力 ( c(c) ) 对于 c(c) 在里面 P(P) . xy公司 ()] 实际坐标的椭圆对数: 圣人: L(左) . _日志_RC ( xP(xP) , 年 ) 0.479348250190219+0.985868850775824*I 代数点的相同椭圆对数: 圣人: L(左) ( P(P) ) 0.479348250190219+0.985868850775824*I 数字字段示例: 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 0 , 0 , 0 , 一 ]) 圣人: v(v) = K . 真实位置(_P) ()[ 0 ] 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( v(v) ) 圣人: P(P) = E类 . 提升_x ( 1 / 三 * 一 ^ 2 + 一 + 5 / 三 ) 圣人: L(左) ( P(P) ) 3.51086196882538 圣人: xP(xP) , yP公司 = [ v(v) ( c(c) ) 对于 c(c) 在里面 P(P) . xy公司 ()] 圣人: L(左) . _日志_RC ( xP(xP) , 年 ) 3.51086196882538 非代数实数点的椭圆对数 分数: 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: 急诊室 = 椭圆曲线 ([ v(v) ( 人工智能 ) 对于 人工智能 在里面 E类 . a_变体 ()]) 圣人: P(P) = 急诊室 . 提升_x ( 12.34 ) 圣人: xP公司 , 年 = P(P) . xy公司 () 圣人: xP(xP) , 年 (12.3400000000000, -43.3628968710567) 圣人: L(左) . _日志_RC ( xP(xP) , 年 ) 0.284656841192041 圣人: xP(xP) , 年 = 急诊室 . 提升_x ( 0 ) . xy公司 () 圣人: L(左) . _日志_RC ( xP(xP) , 年 ) 1.34921304541057 复杂点的椭圆日志: 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: v(v) = K . 复合嵌入(_E) ()[ 0 ] 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( v(v) ) 圣人: P(P) = E类 . 提升_x ( 1 / 三 * 一 ^ 2 + 一 + 5 / 三 ) 圣人: L(左) ( P(P) ) 1.68207104397706-1.87873661686704*我 圣人: xP(xP) , 年 = [ v(v) ( c(c) ) 对于 c(c) 在里面 P(P) . xy公司 ()] 圣人: L(左) . _日志_RC ( xP公司 , 年 ) 1.68207104397706-1.87873661686704*我 圣人: 欧盟委员会 = 椭圆曲线 ([ v(v) ( 人工智能 ) 对于 人工智能 在里面 E类 . a_变体 ()]) 圣人: xP(xP) , 年 = 欧盟委员会 . 提升_x ( 0 ) . xy公司 () 圣人: L(左) . _日志_RC ( xP公司 , 年 ) 2.06711431204080-1.73451485683471*我
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电子工程师 ( ) # 返回关联椭圆曲线的二维点的x坐标 用这个周期格作为元素 QQbar(QQbar) . 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: L(左) . 电子工程师 () [-1.107159871688768?, 0.2695944364054446?, 0.8375654352833230?] 在下面的例子中,我们应该有一个纯实数的2分点坐标, 和两个共轭的纯虚坐标。 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( K . 嵌入件 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ]) 圣人: x1个 , 2个 , x3个 = L(左) . 电子工程师 () 圣人: 防抱死制动系统 ( x1个 . 真实的 ()) + 防抱死制动系统 ( 2个 . 真实的 ()) < 1e-14 真的 圣人: x1个 . 图像 (), 2个 . 图像 (), x3个 (-1.122462048309373?, 1.122462048309373?, -1.000000000000000?) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( K . 嵌入件 ( ComplexField(复杂字段) ())[ 0 ]) #需要sage.rings.number_field 圣人: L(左) . 电子工程师 () #需要sage.rings.number_field [1000000000000000?+0.?e-1…*I, -0.9720806486198328? - 0.561231024154687?* 我, 0.9720806486198328? + 0.561231024154687?* 我]
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椭圆_指数 ( z(z) , 到曲线(_C) = 真的 ) # 返回复数的椭圆指数。 输入: z(z) (复数)–复数(以该周期格为模进行查看)。 到曲线(_C) (bool,默认为True):请参见下文。
输出: 如果 到曲线(_C) 为False,实数或复数的2元组 代表点的数字 \((x,y)=(\wp(z),\wp'(z)) 哪里 \(\wp\) 表示Weierstrass \(\wp\) -具有的函数 尊重这个格子。 如果 到曲线(_C) 是真的,关键是 \((X,Y)= (x-b_2/12,y-(a_1(x-b.2/12)-a_3)/2) 作为一个点 \(E(\RR)\) 或 \(E(\CC)\) ,使用 \((x,y)=(\wp(z),\wp'(z)) 同上,其中 \(E) 椭圆曲线在上面吗 \(\RR\) 或 \(\抄送\) 其期限 这是格子。 如果晶格是真实的并且 \(z) 也是真实的,然后输出 是一对实数,如果 到曲线(_C) 为True,或 切入点 \(E(\RR)\) 如果 到曲线(_C) 为False。
注意 精度取自输入的精度 z(z) . 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 1 , 1 , - 8 , 6 ]) 圣人: P(P) = E类 ( 1 , - 2 ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: z(z) = L(左) ( P(P) ); z(z) 1.17044757240090 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( z(z) ) (0.999999999999999:-2.00000000000000:100000000000000) 圣人: _ . 曲线 () y^2+1.0000000000*x*y+1.00000000000000*y定义的椭圆曲线 =x^3+1.0000000000000*x^2-8.0000000000000*x+60000000000000 53位精度的实域 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( z(z) , 到曲线(_C) = False(错误) ) (1.41666666666667, -2.00000000000000) 圣人: z(z) = L(左) ( P(P) , 前c = 201 ); z(z) 1.17044757240089592298992188482371493504472561677451007994189 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( z(z) ) (1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 : -2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 : 1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000) 数字字段示例: 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( QQ(QQ) ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: embs公司 = K . 嵌入件 ( 立方厘米 ) 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: EK公司 = E类 . 更改(_R) ( K ) 圣人: 锂 = [ EK公司 . 周期_晶格 ( e(电子) ) 对于 e(电子) 在里面 embs公司 ] 圣人: P(P) = EK公司 ( - 1 , - 1 ) 圣人: 问 = EK公司 ( 一 - 1 , 1 - 一 ^ 2 ) 圣人: zi(字) = [ L(左) . 椭圆_对数 ( P(P) ) 对于 L(左) 在里面 锂 ] 圣人: [ c(c) . 真实的 () 对于 c(c) 在里面 锂 [ 0 ] . 椭圆_指数 ( 齐 [ 0 ])] [-1.00000000000000, -1.00000000000000, 1.00000000000000] 圣人: [ c(c) . 真实的 () 对于 c(c) 在里面 锂 [ 0 ] . 椭圆_指数 ( zi(字) [ 1 ])] [-1.00000000000000, -1.00000000000000, 1.00000000000000] 圣人: [ c(c) . 真实的 () 对于 c(c) 在里面 锂 [ 0 ] . 椭圆_指数 ( 齐 [ 2 ])] [-1.00000000000000, -1.00000000000000, 1.00000000000000] 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: zi(字) = [ L(左) . 椭圆_对数 ( 问 ) 对于 L(左) 在里面 锂 ] 圣人: 锂 [ 0 ] . 椭圆_指数 ( zi(字) [ 0 ]) (-1.62996052494744-1.09112363597172*I) :1.79370052598410-1.37472963699860*I : 1.00000000000000) 圣人: [ embs公司 [ 0 ]( c(c) ) 对于 c(c) 在里面 问 ] [1.62996052494744-1.09112363597172*I, 1.79370052598410-1.37472963699860*本人, 1.00000000000000] 圣人: 锂 [ 1 ] . 椭圆_指数 ( zi(字) [ 1 ]) (-1.62996052494744+1.09112363597172*I) :1.79370052598410+1.37472963699860*I : 1.00000000000000) 圣人: [ embs公司 [ 1 ]( c(c) ) 对于 c(c) 在里面 问 ] [1.62996052494744+1.09112363597172*I, 1.79370052598410+1.37472963699860*本人, 1.00000000000000] 圣人: [ c(c) . 真实的 () 对于 c(c) 在里面 锂 [ 2 ] . 椭圆_指数 ( zi(字) [ 2 ])] [0.259921049894873, -0.587401051968199, 1.00000000000000] 圣人: [ embs公司 [ 2 ]( c(c) ) 对于 c(c) 在里面 问 ] [0.259921049894873, -0.587401051968200, 1.00000000000000] 测试表明 github问题#8820 已修复: 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: K .< 一 > = 象限域 ( - 5 ) 圣人: L(左) = E类 . 更改(_R) ( K ) . 周期_晶格 ( K . 地方 ()[ 0 ]) 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( CDF公司 ( .1 , .1 )) (0.0000142854026029…-49.99960001066650*I :249.520141250950+250.019855549131*I:10000000000000) 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( CDF公司 ( .1 , .1 ), 到曲线(_C) = False(错误) ) (0.0000142854026029447-49.9960001066650*I, 500.040282501900+500.039711098263*I) \(z=0) 被视为特殊情况: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 1 , 1 , - 8 , 6 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( 0 ) (0.000000000000000 : 1.00000000000000 : 0.000000000000000) 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( 0 , 到曲线(_C) = False(错误) ) (+无穷大,+无穷大) 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: K .< 一 > = 象限域 ( - 5 ) 圣人: L(左) = E类 . 更改(_R) ( K ) . 周期_晶格 ( K . 地方 ()[ 0 ]) 圣人: P(P) = L(左) . 椭圆_指数 ( 0 ); P(P) (0.000000000000000 : 1.00000000000000 : 0.000000000000000) 圣人: P(P) . 父母 () 椭圆曲线上的阿贝尔点群定义为 y^2+1.00000000000*y=x^3+(-1.00000000000)*x 在复杂字段上具有53位精度 非常小 \(z) 正确处理(参见 github第8820期 ): 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: K .< 一 > = 象限域 ( - 1 ) 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 0 , 0 , 一 , 0 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( K . 复合嵌入(_E) ()[ 0 ]) 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( 1个-100 ) (0.000000000000000 : 1.00000000000000 : 0.000000000000000) 椭圆指数 \(z) 返回为(0:1:0),如果 z相对于周期晶格的坐标为 近似积分: 圣人: ( 100 / 日志 ( 2 , 10 )) / 0.8 415.241011860920 圣人: L(左) . 椭圆_指数 (( RealField(实际字段) ( 415 )( 1e-100 ))) . 为零 () #需要sage.rings.number_field 真的 圣人: L(左) . 椭圆_指数 (( RealField(实际字段) ( 420 )( 1e-100 ))) . 为零 () #需要sage.rings.number_field False(错误)
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椭圆_对数 ( P(P) , 前c = 无 , 减少 = 真的 ) # 返回点的椭圆对数。 输入: P(P) (point)–相关椭圆曲线上的点 用这个周期格。 前c (默认值: 无 )–以位为单位的实际精度 (如果无,则默认为实际精度)。 减少 (默认值: 真的 )–如果 真的 ,结果 相对于周期格基进行缩减。
输出: (复数)点的椭圆对数 \(P\) 具有 关于这个周期格。 如果 \(E) 是椭圆曲线 和 \(西格玛:K\至\CC\) 嵌入,返回值 \(z) 是这样的 \(z \pmod{L}\) 映射到 \(σ(P)) 在 标准Weierstrass同构 \(CC/L) 到 \(西格玛(E)) . 如果 减少 是 真的 ,输出减少,因此 在基本周期平行四边形中 归一化晶格基。 算法: 使用复杂的AGM。 请参见 【CT2013】 了解详细信息。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( '389a' ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: E类 . 鉴别的 () > 0 真的 圣人: L(左) . 实际标记(_F) 1 圣人: P(P) = E类 ([ - 1 , 1 ]) 圣人: P(P) . 是_标识_组件 () False(错误) 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( P(P) , 前c = 96 ) 0.4793482501902193161295330101+0.9858688507758241022112038491*我 圣人: 问 = E类 ([ 三 , 5 ]) 圣人: 问 . 是_标识_组件 () 真的 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( 问 , 前c = 96 ) 1.931128271542559442488585220 请注意,这实际上是Weierstrass同构的反转: 圣人: L(左) . 椭圆_指数 ( _ ) #abs托尔1e-26 (3.000000000000000000000000000 : 5.000000000000000000000000000 : 1.000000000000000000000000000) 带有负判别式和扭转点的示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “11a1” ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: E类 . 鉴别的 () < 0 真的 圣人: L(左) . 实际标记(_F) -1 圣人: P(P) = E类 ([ 16 , - 61 ]) 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( P(P) ) 0.253841860855911 圣人: L(左) . 实际周期(_P) () / L(左) . 椭圆_对数 ( P(P) ) 5 精度有问题的示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , 1 , - 85357462 , 303528987048 ]) #18074克1 圣人: P(P) = E类 ([ 4458713781401 / 835903744 , - 64466909836503771 / 24167649046528 , 1 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: L(左) . 电子工程师 () [5334.003952567705?-1.964393150436?e-6*I, 5334.003952567705? + 1.964393150436? e-6*I, -10668.25790513541?] 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( P(P) , 前c = 100 ) 0.27656204014107061464076203097 一些复杂的例子摘自克雷莫纳(Cremona)和通军图格(Thongjunthug)的论文: 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: K .< 我 > = 象限域 ( - 1 ) 圣人: a4 = 9 * 我 - 10 圣人: a6类 = 21 - 我 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 0 , 0 , a4 , a6类 ]) 圣人: 第1页 = 三 - 2 * 我 ; 第2页 = 1 + 我 ; e3(电子3) = - 4 + 我 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( 立方厘米 )[ 1 ] 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: P(P) = E类 ( 2 - 我 , 4 + 2 * 我 ) 默认情况下,输出相对于 归一化格基,使其坐标相对于 该基础位于区间[0,1): 圣人: z(z) = L(左) . 椭圆_对数 ( P(P) , 前c = 100 ); z(z) #需要sage.rings.number_field 0.7044837553778220846049649302-0.79246725643650979858266018068*我 圣人: L(左) . 协调 ( z(z) ) #需要sage.rings.number_field (0.46247636364807931766105406092, 0.79497588726808704200760395829) 使用 reduce=错误 这个步骤可以省略。 在这种情况下 坐标通常在区间[0.5,0.5),但 这并不保证。 此选项主要用于测试 目的: 圣人: z(z) = L(左) . 椭圆_对数 ( P(P) , 前c = 100 , 减少 = False(错误) ); z(z) #需要sage.rings.number_field 0.57002153834710752778063503023+0.46476340520469798857457031393*我 圣人: L(左) . 协调 ( z(z) ) #需要sage.rings.number_field (0.46247636364807931766105406092,0.20502411273191295799239604171) 2个扭转点的椭圆对数为半周期: 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( 第1页 , 0 ), 前c = 100 ) #需要sage.rings.number_field 0.64607575874356525952487867052+0.22379609053909448304176885364*我 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( 第2页 , 0 ), 前c = 100 ) #需要sage.rings.number_field 0.71330686725892253793705940192-0.40481924028150941053684639367*我 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( e3(电子3) , 0 ), 前c = 100 ) #需要sage.rings.number_field 0.067231108515357278412180731396-0.6286153082060389357861524731*我 我们通过加倍检查结果 坐标是整数: 圣人: L(左) . 协调 ( 2 * L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( 第1页 , 0 ), 前c = 100 )) #需要sage.rings.number_field (1.0000000000000000000000000000, 0.00000000000000000000000000000) 圣人: L(左) . 协调 ( 2 * L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( 第2页 , 0 ), 前c = 100 )) #需要sage.rings.number_field (1.0000000000000000000000000000, 1.0000000000000000000000000000) 圣人: L(左) . 协调 ( 2 * L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( e3(电子3) , 0 ), 前c = 100 )) #需要sage.rings.number_field (0.00000000000000000000000000000,1.00000000000000000000000000000000000000) 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: a4 = - 78 * 我 + 104 圣人: a6类 = - 216 * 我 - 312 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 0 , 0 , a4 , a6类 ]) 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( 立方厘米 )[ 1 ] 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: P(P) = E类 ( 三 + 2 * 我 , 14 - 7 * 我 ) 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( P(P) ) 0.297147783912228-0.546125549639461*I 圣人: L(左) . 协调 ( L(左) . 椭圆率算法 ( P(P) )) (0.628653378040238, 0.371417754610223) 圣人: 第1页 = 1 + 三 * 我 ; 第2页 = - 4 - 12 * 我 ; e3(电子3) = - 第1页 - 第2页 圣人: L(左) . 协调 ( L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( 第1页 , 0 ))) (0.500000000000000, 0.500000000000000) 圣人: L(左) . 协调 ( L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( 第2页 , 0 ))) (1.00000000000000, 0.500000000000000) 圣人: L(左) . 协调 ( L(左) . 椭圆_对数 ( E类 ( e3(电子3) , 0 ))) (0.500000000000000, 0.000000000000000)
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氏族 ( 前c = 无 , 算法 = “圣人” ) # 以2元组的形式返回此周期格的基。 这是的别名 basis() . 有关更深入的解释和更多信息,请参阅此处的docstring 示例。 输入: 前c (默认值: 无 )–以位为单位的精度(默认值 精度,如果 无 ). 算法 (字符串,默认为“sage”)–选择 在“sage”之间实现(仅用于实际嵌入) (本地Sage实现)或“pari”(使用pari 库:仅适用于真正的嵌入)。
输出: (复数元组) \((\ω_1,\ω_2)\) 格子在哪里 \(\ZZ\omega_1+\ZZ\omega_2\) .如果格子是真实的,那么 \(\omega_1\) 是真实和积极的, \(\Im(\omega_2)>0) 和 \(\Re(\omega_1/\omega_2)\) 是其中之一 \(0\) (用于矩形 格子)或 \(\frac{1}{2}\) (对于非矩形晶格)。 否则, \(\omega_1/\omega_2\) 位于的基本区域 上半平面。 如果需要后者归一化 对于真实晶格,使用函数 标准化_基础() 而不是。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 氏族 () (2.99345864623196、2.45138938198679*I) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 氏族 ( 前c = 100 ) (2.99345864623195962983200099794,2.45138938198679006085428319*I)
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实际(_R) ( ) # 如果此周期晶格为实数,则返回True。 示例: 圣人: (f) = 椭圆曲线 ( “11a” ) 圣人: (f) . 周期_晶格 () . 实际(_R) () 真的 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: K .< 我 > = 象限域 ( - 1 ) 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( K , [ 0 , 0 , 0 , 我 , 2 * 我 ]) 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( ComplexField(复杂字段) ())[ 0 ] 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: L(左) . 实际(_R) () False(错误) 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) #需要sage.rings.number_field 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) #需要sage.rings.number_field 圣人: [ E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) . 实际(_R) () 对于 电子束 在里面 K . 嵌入件 ( 立方厘米 )] #需要sage.rings.number_field [假,假,真] 算法: 如果晶格与真实嵌入相关联,则该晶格是真实的; 这种晶格在共轭下是稳定的。
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是矩形的 ( ) # 返回 真的 如果这个周期格子是矩形的。 注意 仅为实格定义; 一 访问违例 针对非实格提出。 示例: 圣人: (f) = 椭圆曲线 ( “11a” ) 圣人: (f) . 周期_晶格 () . 基础 () (1.26920930427955,0.634604652139777+1.45881661693850*I) 圣人: (f) . 周期_晶格 () . 是矩形的 () False(错误) 圣人: (f) = 椭圆曲线 ( “37b” ) 圣人: (f) . 周期_晶格 () . 基础 () (1.08852159290423、1.76761067023379*I) 圣人: (f) . 周期_晶格 () . 是矩形的 () 真的 算法: 如果 Weierstrass方程的判别式为正,或 如果实分量的数量为2,则等效。
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标准化基础 ( 前c = 无 , 算法 = “圣人” ) # 以2元组的形式返回此周期格的归一化基。 输入: 前c (默认值: 无 )–以位为单位的精度(默认值 精度,如果 无 ). 算法 (字符串,默认“sage”)–选择 在“sage”之间实现(仅用于实际嵌入) (本地Sage实现)或“pari”(使用pari 库:仅适用于真正的嵌入)。
输出: (复数元组) \((\ω_1,\ω_2)\) 其中格子有 表格 \(\ZZ\omega_1+\ZZ\ omega_2\) .基础正常化 以便 \(\omega_1/\omega_2\) 处于基本区域 上半平面。 对于替代标准化 实数格(第一个周期为实数),使用函数 改为basis()。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 标准化基础 () (2.99345864623196,-2.45138938198679*I) 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ] 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: L(左) . 标准化基础 ( 64 ) (1.90726488608927255-1.340477859624402*I, -1.90726488608927255-1.34047785962440202*I) 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( 复杂字段 ())[ 0 ] 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: 第1周 , 第2周 = L(左) . 标准化基础 (); 第1周 , w2型 (-1.37588604166076-2.5856094662443*I, -2.10339907847356+0.428378776460622*I) 圣人: L(左) . is_real公司 () False(错误) 圣人: 陶 = 第1周 / 第2周 ; 陶 0.387694505032876+1.30821088214407*我
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欧米茄 ( 前c = 无 , bsd归一化 = False(错误) ) # 返回此周期晶格的实体积或复体积。 输入: 前c (int或 无``(默认)) -- 真实的 精度 在里面 位 (默认 真实的 精度 如果 ``无 ) bsd归一化 (布尔,默认 False(错误) )–要使用的标志 复杂情况下的BSD归一化。
输出: (real)对于实数格,这是实数周期乘以 连接组件的数量。 对于非实格子,它是 复杂面积,或者如果是,面积加倍 bsd归一化 是 真的 . 注意 如果曲线由 全局最小值 魏尔斯特拉斯 方程式,然后使用 bsd归一化 = 真的 ,这个 给出了BSD猜想中的正确周期:乘积 BSD中显示了所有嵌入件的该数量 公式。 通常需要一个修正系数 模型的容差。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 欧米茄 () 5.98691729246392 这不是一个最小的模型: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , - 432 * 6 ^ 2 ]) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 欧米茄 () 0.486109385710056 如果你将上述ω代入BSD猜想, 你会得到一个不正确的值,乘以2。 这个 但仍有以下工作: 圣人: 如果 = E类 . 最小模型 () 圣人: 如果 . 周期_晶格 () . 欧米茄 () 0.972218771420113 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ] 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: L(左) . 欧米茄 ( 64 ) 3.81452977217854509 一个复杂的例子(摘自J.E.Cremona和E.Whitley, 虚函数上尖点形式的周期和椭圆曲线 二次域 ,计算数学62 No.205 (1994), 407-429). 请参见 github问题#29645 和 github问题#29782 : 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: K .< 我 > = 象限域 ( - 1 ) 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 - 我 , 我 , - 我 , 0 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( K . 嵌入件 ( 立方厘米 )[ 0 ]) 圣人: L(左) . 欧米茄 () 8.80694160502647 圣人: L(左) . 欧米茄 ( 前c = 200 ) 8.8069416050264741493250743632295462227858630765392114070032 圣人: L(左) . 欧米茄 ( 标准化 = 真的 ) 17.6138832100529
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实际周期(_P) ( 预充电 = 无 , 算法 = “圣人” ) # 返回此周期晶格的实际周期。 输入: 前c (int或 无 (默认))–实际精度 位(默认实数精度,如果 无 ) 算法 (字符串,默认为“sage”)–选择 在“sage”之间实现(仅用于实际嵌入) (本地Sage实现)或“pari”(使用pari 库:仅适用于真正的嵌入)。
注意 仅为实格定义; 一 访问违例 针对非实格提出。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: E类 . 周期_晶格 () . 实际周期(_P) () 2.99345864623196 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ] 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: L(左) . 实际周期(_P) ( 64 ) 3.81452977217854509
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减少 ( z(z) ) # 减少晶格模的复数 输入: z(z) (复数)–复数。
输出: (复杂的)减少 \(z) 晶格模,位于 基本周期平行四边形相对于 晶格基础。 对于在实数上定义的曲线(即实数 嵌入)输出将尽可能真实。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( '389a' ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: 第1周 , 第2周 = L(左) . 基础 ( 前c = 100 ) 圣人: P(P) = E类 ([ - 1 , 1 ]) 圣人: 兹普 = P(P) . 椭圆_对数 ( 精度 = 100 ); 兹普 0.47934825019021931612953301006+0.98586885077582410221120384908*我 圣人: z(z) = 兹普 + 10 * 第1周 - 20 * 第2周 ; z(z) 25.381473858740770069393110929-38.448885180257139986236950114*我 圣人: L(左) . 减少 ( z(z) ) 0.47934825019021931612953301006+0.98586885077582410221120384908*我 圣人: L(左) . 椭圆_对数 ( 2 * P(P) ) 0.958696500380439 圣人: L(左) . 减少 ( L(左) . 椭圆_对数 ( 2 * P(P) )) 0.958696500380439 圣人: L(左) . 减少 ( L(左) . 椭圆_对数 ( 2 * P(P) ) + 10 * 第1周 - 20 * 第2周 ) 0.958696500380444
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西格玛 ( z(z) , 前c = 无 , 旗帜 = 0 ) # 返回此椭圆曲线周期格的Weierstrass-sigma函数的值。 输入: z(z) –复数 前c (默认值: 无 )–以位为单位的实际精度 (如果无,则默认为实际精度)。
旗帜 – 0:(默认)???; 1:计算对数的任意确定(sigma(z)) 2,3:同样使用产品扩展而不是θ系列???
注意 为什么???” 如上所述,PARI ellsigma的文档非常模糊。 这也是 仅适用于在 \(\QQ\) . 托多 此函数不使用任何PeriodLattice函数 因此应该移动到ellrational字段。 示例: 圣人: 椭圆曲线 ( “389a1” ) . 周期_晶格 () . 西格玛 ( 立方厘米 ( 2 , 1 )) 2.60912163570108-0.200865080824587*我
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陶 ( 前c = 无 , 算法 = “圣人” ) # 返回基本区域中的上半平面参数。 输入: 前c (默认值: 无 )–以位为单位的精度(默认值 精度,如果 无 ). 算法 (字符串,默认为“sage”)–选择 在“sage”之间实现(仅用于实际嵌入) (本地Sage实现)或“pari”(使用pari 库:仅适用于真正的嵌入)。
输出: (复杂) \(τ=\omega_1/\omega_2\) 其中晶格具有 形式 \(\ZZ\omega_1+\ZZ\ omega_2\) ,正常化以便 \(\套= \ω_1/ω_2) 位于鞋面的基本区域 半平面。 示例: 圣人: E类 = 椭圆曲线 ( “37a” ) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 () 圣人: L(左) . 陶 () 1.22112736076463*I 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人: K .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 三 - 2 ) 圣人: 电子束 = K . 嵌入件 ( RealField(实际字段) ())[ 0 ] 圣人: E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 1 , 0 , 一 , 一 ]) 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: 陶 = L(左) . 陶 (); 陶 -0.338718341018919+0.940887817679340*我 圣人: 陶 . 防抱死制动系统 () 1 圣人: - 0.5 <= 陶 . 真实的 () <= 0.5 真的 圣人: #需要sage.rings.number_field 圣人: 刺绣 = K . 嵌入件 ( ComplexField(复杂字段) ())[ 0 ] 圣人: L(左) = E类 . 周期_晶格 ( 刺绣 ) 圣人: 陶 = L(左) . 陶 (); 陶 0.387694505032876+1.30821088214407*我 圣人: 陶 . 防抱死制动系统 () 1.36444961115933 圣人: - 0.5 <= 陶 . 真实的 () <= 0.5 真的
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sage.schemes.elliptic_curves.period_lattice。 扩展agm迭代 ( 一 , b条 , c(c) ) # 椭圆对数计算中使用的扩展AGM的内部函数。 输入: 一 , b条 , c(c) (实数或复数)–三个实数或复合数。
输出: (三元组) \((a0,b0,c0)\) ,迭代的极限 \(((a,b,c)\mapsto((a+b)/2,\sqrt{ab},(c+\sqrt(c^2+b^2-a^2))/2)\) . 示例: 圣人: #需要sage.rings.real_mpfr 圣人: 从 sage.schemes.elliptic_curves.period晶格 进口 扩展agm迭代 圣人: 扩展agm迭代 ( 相对应力 ( 1 ), 相对应力 ( 2 ), 相对应力 ( 三 )) (1.45679103104691, 1.45679103104691, 3.21245294970054) 圣人: 扩展agm迭代 ( 立方厘米 ( 1 , 2 ), 立方厘米 ( 2 , 三 ), 立方厘米 ( 三 , 4 )) (1.46242448156430+2.47791311676267*I, 1.46242448156430+2.47791311676267*本人, 3.22202144343535+4.28383734262540*I)
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sage.schemes.elliptic_curves.period_lattice。 规范_周期 ( 第1周 , 第2周 ) # 规范期间基准 \((w_1,w_2)\) 以便 \(w_1/w_2) 位于基本区域。 输入: w1、w2 (复数)–两个具有非实数比率的复数
输出: (元组) \(((ω_1',ω_2'),[a,b,c,d]) 哪里 \(a、b、c、d) 是 整数,这样 \(ad-bc=\pm1) ; \((\omega_1',\omega_2')=(a\omega_1+b\omega_2,c\omega_1+d\omega_2)\) ; \(τ=\omega_1'/\omega_2'\) 位于上半平面; \(|\tau|\ge1\) 和 \(|\Re(\tau)|\le\frac{1}{2}\) .
示例: 圣人: #需要sage.rings.real_mpfr sage.symbolic 圣人: 从 sage.schemes.elliptic_curves.period晶格 进口 reduce_tau(还原τ) , 规范化周期 圣人: 第1周 = 立方厘米 ( 1.234 , 3.456 ) 圣人: 第2周 = 立方厘米 ( 1.234 , 3.456000001 ) 圣人: 第1周 / 第2周 #在下半平面中! 0.999999999743367-9.16334785827644e-11*I 圣人: 1周2周 , 美国广播公司 = 规范_周期 ( 第1周 , 第2周 ) 圣人: 一 , b条 , c(c) , d日 = 美国广播公司 圣人: 1周2周 == ( 一 * 第1周 + b条 * 第2周 , c(c) * 第1周 + d日 * 第2周 ) 真的 圣人: 1周2周 [ 0 ] / 1周2周 [ 1 ] 1.23400010389203e9*I 圣人: 一 * d日 - b条 * c(c) #注意方向的改变 -1
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sage.schemes.elliptic_curves.period_lattice。 reduce_tau(还原τ) ( 陶 ) # 将上半平面中的点变换为基本区域。 输入: 套 (复数)–具有正虚部的复数
输出: (元组) \((τ’,[a,b,c,d]) 哪里 \(a、b、c、d) 是整数,因此 \(ad-bc=1) ; \(τ’=(aτ+b)/(cτ+d) ; \(|\tau'|\ge1\) ; \(|\Re(\tau')|\le\frac{1}{2}\) .
示例: 圣人: #需要sage.rings.real_mpfr sage.symbolic 圣人: 从 sage.schemes椭圆曲线周期格 进口 reduce_tau(还原τ) 圣人: reduce_tau(还原τ) ( 立方厘米 ( 1.23 , 3.45 )) (0.23000000000000+3.45000000000000*I,[1,-1,0,1]) 圣人: reduce_tau(还原τ) ( 立方厘米 ( 1.23 , 0.0345 )) (-0.463960069171512+1.35591888067914*I,[-5,6,4,-5]) 圣人: reduce_tau(还原τ) ( 立方厘米 ( 1.23 , 0.0000345 )) (0.130000001761+2.89855072463768*I,[13,-16,100,-123])