\（p\）-阿迪奇\（L）-椭圆曲线的函数

到椭圆曲线\（E）有理数与素数\（p\），一个可以关联\（p\）-adic L函数；至少如果\（E）不含添加剂减少值为\（p\）。此函数由以下L值的插值定义\（E）在曲折中。通过岩泽理论的主要推测，它也应该是等于某个Selmer群的特征级数。

如果\（E）是普通的，那么它是岩川代数的一个元素\（\Lambda（\ZZ_p^\次）=\ZZ_p[\Delta][\！[T]\！]\），其中\（\增量\）是团体吗属于\（第1页）-统一的根源\（\ZZ_p^\次\）、和\（T=[\gamma]-1\）哪里\（伽马=1+p\）是的生成器\（1+p\ZZ_p\）.（有一点不同的描述\（p=2\）.)

可以将此代数分解为子代数的直积对应于的字符\（\增量\），这只是权力\（\套^\套\）(\（0\leta\le p-2）)泰克米勒性格\（τ：δ\至\ZZ_p^\次\）将L函数投影到这些组件中可以得到\（第1页）幂级数输入\（T\），每个系数为\（\ZZ_p\）.

如果\（E）是超奇异的，级数的系数为二次型扩展\（\QQ_p\），系数将是无界的。在这种情况下，我们仅为实现了系列\（eta=0）。我们还实施了\（p\）-Perrin-Riou制定的adic L系列【BP1993】，其系数为Dieudonné模块\（D_pE=H^1_{dR}（E/\QQ_p）\）属于\（E）。有一个不同的Pollack描述【Pol2003】这里没有。

根据\（p\）-Birch和Swinnerton-Dyer猜想的adic版本【MTT1986】，消失的顺序\（L）-平凡特性的函数（即\（eta=0）在\（T=0）)只是排名\（E（\QQ）\），或如果减少为\（p\）是分裂乘法的。

请参见【SW2013】了解更多详细信息。

作者：

• 威廉·斯坦因（2007-01-01）：第一版

• Chris Wuthrich（2007年5月22日）：改变了小问题，增加了超奇异的东西

• Chris Wuthrich（2008年11月）：添加了方形扭曲

• David Loefler（2011年1月）：添加了重要的Teichmueller组件

班 sage.schemes.elliptic_curves.padic系列。pAdicL系列(E类,第页,实施=“eclib”,使正常化=“L_比率”)

基础：Sage对象

这个\（p）-椭圆曲线的adic L级数。

示例：

一个普通的例子：

圣人：e（电子） = 椭圆曲线('389a')
圣人：L（左） = e（电子）.padic_系列(5)
圣人：L（左）.系列(0)
追踪（最近一次通话）：
...
ValueError:n（=0）必须是正整数
圣人：L（左）.系列(1)
O（T ^1）
鼠尾草：L（左）.系列(2)
O（5^4）+O（5）*T+（4+O（5
圣人：L（左）.系列(三, 前c=10)
O（5^5）+O
圣人：L（左）.系列(2,方形扭曲=-三)
2+4*5+4*5^2+O（5^4）+O（5）*T+

使E[p]可约的素数p：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(5)
圣人：L（左）.系列(1)
5+O（5^2）+O（T）
圣人：L（左）.系列(2)
5+4*5^2+O（5^3）+O
圣人：L（左）.系列(三)
5+4*5^2+4*5^3+O（5^4）+O（5）*T+O（5

显示非平凡Teichmueller扭曲计算的示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(7)
圣人：低压.系列(4,埃塔=1)
3+7^3+6*7^4+3*7^5+O（7^6）+（2*7+7^2+O（7 ^3））*T+
圣人：低压.系列(4,埃塔=2)
5+6*7+4*7^2+2*7^3+3*7^4+2*7*5+O（7^6）+（6+4*7+7^2+O（7 ^3））*T+（3+2*7^2+O（7-^3
圣人：低压.系列(4,埃塔=三)
（7^6）+（5+4*7+2*7^2+O（7^3）

（请注意，最后一个序列在\（T=0），这与

圣人：E类.方形扭曲(-7).等级()
1

这证明了\（E）排名超过1\（\QQ（\zeta_7）\）.)

阿尔法(前c=20)

返回a\（p\）-根\（\字母\）多项式的\（x^2-a_p x+第页）具有\（ord_p（\alpha）<1）在通常情况下，这是只有单位根。

输入：

• 前c–正整数\（p\）-根的adic精度。

示例：

考虑椭圆曲线37a：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“37a”)

一个普通素数：

圣人：L（左） = E类.padic_系列(5)
圣人：阿尔法 = L（左）.阿尔法(10); 阿尔法
3+2*5+4*5^2+2*5^3+5^4+4*5^5+2*5^7+5^8+5^9+O（5^10）
圣人：阿尔法^2 - E类.应用程序(5)*阿尔法 + 5
O（5^10）

超奇异素数：

圣人：L（左） = E类.padic_系列(三)
鼠尾草：阿尔法 = L（左）.阿尔法(10); 阿尔法
α+O（α^21）
圣人：阿尔法^2 - E类.应用程序(三)*阿尔法 + 三
O（α^22）

一个可约素数：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(5)
圣人：L（左）.阿尔法(5)
1+4*5+3*5^2+2*5^3+4*5^4+O（5^5）

椭圆曲线()

返回此\（p\）-关联了adic L系列。

示例：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(5)
圣人：L（左）.椭圆曲线()
有理域上由y^2+y=x^3-x^2-10*x-20定义的椭圆曲线

测量(一,n个,前c,方形扭曲=1,签名=1)

返回度量值\（\ZZ_p^{\次}\）由定义

\（\mu_{E，\alpha}^+（a+p^n\ZZ_p）=\压裂{1}{\alpha^n}\left[\frac{a}{p^n}\ right]^{+}-\压裂{1}{\alpha^{n+1}}\左[\frac{a}{p^{n-1}}\右]^{+}\）

哪里\（[\cdot]^{+}\）是模块化符号。这用于定义这\（p）-adic L函数（至少在还原良好时）。

可选参数签名允许使用减号\（[\cdot]^{-}\）到替换为加号。

可选参数方形扭曲替换\（E）通过向内扭转上述公式，但扭曲的模块符号是使用模符号的和\（E）而不是找到模块化符号扭转。只有在符号为\(+1\).

请注意，归一化在这里是不正确的阶段：使用_的商（_O） 时期和_的商（_O） 扭转周期以更正。

另请注意，此函数不检查条件上quadratic_twist=D感到满意。所以结果只会如果每个素数都是正确的\（\ ell\）划分\（D\），我们有\（ord_{ell}（N）<=ord_{cell}（D）\），其中\（否）是曲线的导体。

输入：

• 一–一个整数

• n个–非负整数

• 前c–一个整数

• 象限扭转（默认值=1）–二次字段的基本判别式，应与导体互质\（E）

• 签名（默认值=1）–整数，应为\（下午1点）.

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“37a”)
圣人：L（左） = E类.padic_系列(5)
圣人：L（左）.测量(1,2, 前c=9)
2+3*5+4*5^3+2*5^4+3*5^5+3*5^6+4*5^7+4*5^8+O（5^9）
圣人：L（左）.测量(1,2, 方形扭曲=8,前c=15)
O（5^15）
圣人：L（左）.测量(1,2, 方形扭曲=-4,前c=15)
4+4*5+4*5^2+3*5^3+2*5^4+5^5+3*5|5^6+5^8+2*5|9+3*5*12+2*5*13+4*5|14+O（5^15）

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：一 = E类.方形扭曲(-三).padic_系列(5).测量(1,2,前c=15)
圣人：b条 = E类.padic_系列(5).测量(1,2, 方形扭曲=-三,前c=15)
圣人：一 == b条 * E类.padic_系列(5)._周期到扭转的商(-三)
真的

模块_符号(第页,签名=1,方形扭曲=1)

返回在处计算的模块符号\（r）.

这用于计算\（p\）-adic L系列。

请注意，规范化在这一点上是不正确的阶段：使用_的商（_O） 扭转周期以更正。

另请注意，此函数不检查条件则满足quadratic_ twist=D。所以结果只会如果每个素数都是正确的\（\ ell\）划分\（D\），我们有\（ord_{ell}（N）<=ord_{cell}（D）\），其中\（N \）是曲线的导体。

输入：

• 第页–给定为有理数或oo的尖点

• 签名–+1（默认）或-1（仅在不扭曲的情况下实现）

• 方形扭曲–二次字段的基本判别式或+1（默认）

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(5)
圣人：[低压.模块_符号(第页) 对于 第页 在里面 [0,1/5,面向对象,1/11]]
[1/5, 6/5, 0, 0]
圣人：[低压.模块_符号(第页,签名=-1) 对于 第页 在里面 [0,1/三,面向对象,1/7]]
[0, 1/2, 0, -1/2]
圣人：[低压.模块_符号(第页,方形扭曲=-20) 对于 第页 在里面 [0,1/5,面向对象,1/11]]
[1, 1, 0, 1/2]

圣人：E类 = 椭圆曲线('20a1')
圣人：等 = E类.方形扭曲(-4)
圣人：液化石油气 = 等.padic_系列(5)
鼠尾草：埃塔 = 液化石油气._周期到扭转的商(-4)
圣人：液化石油气.模块_符号(0) == 低压.模符号(0,方形扭曲=-4) / 埃塔
真的

消失的顺序()

返回此的消失顺序\（p\）-adic L系列。

由于加藤定理【2004年卡】.

注意

目前\（p\）必须是良好的普通约简的素数。

参考文献：

• 【MTT1986】

• 【2004年卡】

示例：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(三)
圣人：L（左）.消失的顺序()
0
圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(5)
鼠尾草：L（左）.消失的顺序()
0
圣人：L（左） = 椭圆曲线(“37a”).padic_系列(5)
鼠尾草：L（左）.消失的顺序()
1
圣人：L（左） = 椭圆曲线(“43a”).padic_系列(三)
圣人：L（左）.消失顺序()
1
圣人：L（左） = 椭圆曲线(“37b”).padic_系列(三)
圣人：L（左）.消失的顺序()
0
圣人：L（左） = 椭圆曲线(“389a”).padic_系列(三)
圣人：L（左）.消失的顺序()
2
圣人：L（左） = 椭圆曲线(“389a”).padic_系列(5)
圣人：L（左）.消失的顺序()
2
圣人：L（左） = 椭圆曲线(“5077a”).padic_系列(5, 实施 = “eclib”)
圣人：L（左）.消失顺序()
三

首要的()

返回素数\（p\）如“p-adic L函数”。

示例：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(5)
圣人：L（左）.首要的()
5

泰克穆勒(前c)

将泰克穆勒升降机返回到给定精度。

输入：

• 前c–一个正整数。

输出：

• 列表\（p\）-adic数字，缓存的Teichmuller提升

示例：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(7)
圣人：L（左）.泰克穆勒(1)
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
圣人：L（左）.泰克穆勒(2)
[0, 1, 30, 31, 18, 19, 48]

班 sage.schemes.elliptic_curves.padic系列。pAdicL系列普通(E类,第页,实施=“eclib”,使正常化=“L_比率”)

基础：pAdicL系列

普通（_O）()

返回真的如果附加了这个L函数的椭圆曲线到是普通的。

示例：

鼠尾草：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(5)
圣人：L（左）.普通（_O）()
真的

is_超级单数()

返回真的如果附加了这个L函数的椭圆曲线to是超奇异的。

示例：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(5)
圣人：L（左）.is_超奇异()
False（错误）

电源系列(n个=2,方形扭曲=1,前c=5,埃塔=0)

返回\（n \）-th近似值\（p\）-adic L系列，在组件对应\（\t）-泰克米勒的次幂字符，作为中的幂级数\（T\）（对应于\（\gamma-1）具有\（伽马=1+p\）作为发电机\（1+p\ZZ_p\）). 每个系数都是\（p\）-精度可证明正确的adic数。

这里是\（p\）-选择adic L系列这样的话\（L_p（E，1）=（1-1/\alpha）^2 L（E，一）/\Omega_E）哪里\（\字母\）是特征的单位根Frobenius多项式\（T_pE\）和\（\Omega_E\）是Néron周期\（E）.

输入：

• n个–（默认值：2）正整数

• 方形扭曲–（默认值：+1）基本判别式二次场，与曲线导体互素

• 前c–（默认值：5）序列的最大项数计算；要计算尽可能多，只需给出一个非常大的的编号前c; 结果仍然是正确的。

• 埃塔（默认值：0）整数（指定关于统一根群的Teichmueller特征\（\ZZ_p^\次\）)

电源系列（）与相同系列.

示例：

我们计算了一些\（p\）-与椭圆相关的adic L函数曲线11a：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a”)
圣人：第页 = 三
圣人：E类.普通（_O）(第页)
真的
圣人：L（左） = E类.padic_系列(第页)
圣人：L（左）.系列(三)
2+3+3^2+2*3^3+O（3^5）+（1+3+O（3+2））*T+（1+2*3+O（3|2））*T^2+O（3）*T^3+O（3

另一个例子是在降质差的时候\（p）-adic L函数有一个额外的0（与非\（p\）-基本L函数）：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a”)
圣人：第页 = 11
圣人：E类.普通（_O）(第页)
真的
圣人：L（左） = E类.padic_系列(第页)
圣人：L（左）.系列(2)
O（11^4）+（10+O（11））*T+（6+O（11））*T^2+（2+O（11））*T^3+（5+O（11））*T^4+O（T^5）

我们计算a\（p\）-消失到2阶的adic L函数：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“389a”)
圣人：第页 = 三
圣人：E类.普通（_O）(第页)
真的
圣人：L（左） = E类.padic_系列(第页)
圣人：L（左）.系列(1)
O（T ^1）
圣人：L（左）.系列(2)
O（3^4）+O（3）*T+（2+O（三））*T^2+（T^3）
圣人：L（左）.系列(三)
O（3+5）+O（3^2）*T+（2+2*3+O（3+2））*T^2+（2+O（3））*T ^3+（1+O（2））*T^4+O（T^5）

检查精度是否可以更改(github问题#5846):

圣人：L（左）.系列(三,前c=4)
O（3+5）+O（3^2）*T+（2+2*3+O（3+2））*T^2+（2+O（3））*T ^3+O（T^4）
圣人：L（左）.系列(三,前c=6)
O（3+5）+O（3^2）*T+（2+2*3+O（3+2））*T^2+（2+O（3）

而不是计算\（p\）-曲线“15523a1”的adic L函数，可以将其计算为二次扭曲：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“43a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(三)
圣人：低压.系列(2,方形扭曲=-19)
2+2*3+2*3^2+O（3^4）+（1+O（3））*T+（1+0（3）
圣人：E类.方形扭曲(-19).标签()    #可选--database_cremona_ellcurve
'15523a1'

这证明了“15523a1”的秩为零，即使mwrank公司无法确定这一点。

我们计算\（L）-非平凡的Teichmueller分量系列：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“110a1”).padic_系列(5, 实施=“圣人”)
圣人：对于 j个 在里面 [0..3]: 打印(L（左）.系列(4, 埃塔=j个))
（5^6）+（2+2*5+2*5^2+O（5^3）
4+3*5+2*5^2+3*5^3+5^4+O（5^6）+
2+氧（5^6）+（1+5+O（5^3））*T+（2+4*5+3*5^2+O（5 ^3）
3+5+2*5^2+5^3+3*5^4+4*5^5+O（5^6）+

现在它也应该与\（p=2\）(github问题#20798):

圣人：E类 = 椭圆曲线(“53a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(2)
鼠尾草：低压.系列(7)
（2^8）+（1+2^2+2^3+O（2^5））*T+（1=2^3+O

圣人：E类 = 椭圆曲线(“109a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(2)
圣人：低压.系列(6)
2^2+2^6+O（2^7）+

检查奇数Teichmuller角色的扭曲是否正常(github问题#32258):

圣人：E类 = 椭圆曲线(“443c1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(17, 实施=“num”（数字）)
圣人：l8级 = 低压.系列(2,埃塔=8,前c=三)
圣人：l8级.列表()[0] - 1/低压.阿尔法()
O（17^4）
圣人：低压 = E类.padic_系列(2, 实施=“num”（数字）)
圣人：l1级 = 低压.系列(8,埃塔=1,前c=三)
圣人：l1级.列表()[0] - 4/低压.阿尔法()^2
O（2^9）

系列(n个=2,方形扭曲=1,前c=5,埃塔=0)

返回\（n \）-th近似值\（p\）-adic L系列，在组件对应\（\eta\）-泰克米勒的次幂字符，作为中的幂级数\（T\）（对应于\（\gamma-1）具有\（伽马=1+p\）作为\（1+p\ZZ_p\）). 每个系数都是\（p\）-精度可证明正确的adic数。

这里是\（p\）-选择adic L系列这样的话\（L_p（E，1）=（1-1/\alpha）^2 L（E，一）/\Omega_E）哪里\（\字母\）是特征的单位根Frobenius多项式\（T_pE\）和\（\Omega_E\）是Néron周期\（E）.

输入：

• n个–（默认值：2）正整数

• 方形扭曲–（默认值：+1）基本判别式二次场，与曲线导体互素

• 前c–（默认值：5）序列的最大项数计算；要计算尽可能多的值，只需给出一个非常大的的编号前c; 结果仍然是正确的。

• 埃塔（默认值：0）整数（指定关于统一根群的Teichmueller特征\（\ZZ_p^\次\）)

电源系列（）与相同系列.

示例：

我们计算了一些\（p\）-与椭圆相关的adic L函数曲线11a：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a”)
圣人：第页 = 三
圣人：E类.普通（_O）(第页)
真的
圣人：L（左） = E类.padic_系列(第页)
圣人：L（左）.系列(三)
2+3+3^2+2*3^3+O（3^5）+（1+3+O（3^2））*T+（1+2*3+O（3^2））*T^2+O（3）*T^3+O（3）*T^4+O（3）*T^4+O（T^5）

另一个例子是在降质差的时候\（p\）-adic L函数有一个额外的0（与非\（p\）-基本L函数）：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a”)
圣人：第页 = 11
圣人：E类.普通（_O）(第页)
真的
圣人：L（左） = E类.padic_系列(第页)
圣人：L（左）.系列(2)
O（11^4）+（10+O（11））*T+（6+O

我们计算a\（p\）-消失到2阶的adic L函数：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“389a”)
圣人：第页 = 三
圣人：E类.普通（_O）(第页)
真的
圣人：L（左） = E类.padic_系列(第页)
圣人：L（左）.系列(1)
O（T ^1）
圣人：L（左）.系列(2)
O（3^4）+O（3）*T+（2+O（三））*T^2+（T^3）
圣人：L（左）.系列(三)
O（3^5）+O（3^2）*T+（2+2*3+O（3^2））*T^2+（2+O（3））*T^3+（1+O（3））*T^4+O（T^5）

检查精度是否可以更改(github问题#5846):

圣人：L（左）.系列(三,前c=4)
O（3+5）+O（3^2）*T+（2+2*3+O（3+2））*T^2+（2+O（3））*T ^3+O（T^4）
圣人：L（左）.系列(三,前c=6)
O（3+5）+O（3^2）*T+（2+2*3+O（3+2））*T^2+（2+O（3）

而不是计算\（p\）-曲线“15523a1”的adic L函数，可以将其计算为二次扭曲：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“43a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(三)
圣人：低压.系列(2,方形扭曲=-19)
2+2*3+2*3^2+O（3^4）+（1+O（3））*T+（1+0（3）
圣人：E类.方形扭曲(-19).标签()    #可选--database_cremona_ellcurve
“15523a1”

这证明了“15523a1”的秩为零，即使mwrank公司无法确定这一点。

我们计算\（L）-非平凡的Teichmueller分量系列：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“110a1”).padic_系列(5, 实施=“圣人”)
鼠尾草：对于 j个 在里面 [0..3]: 打印(L（左）.系列(4, 埃塔=j个))
（5^6）+（2+2*5+2*5^2+O（5^3）
4+3*5+2*5^2+3*5^3+5^4+O（5^6）+
2+氧（5^6）+（1+5+O（5^3））*T+（2+4*5+3*5^2+O（5 ^3）
3+5+2*5^2+5^3+3*5^4+4*5^5+O（5^6）+（1+2*5+4*5^2+O（5^3））*T+（1+4*5+O（5^3））*T^2+（3+2*5+2*5^2+O（5^3））*T^3+（5+5^2+O（5^3））*T^4+O（T^5）

现在它也应该与\（p=2\）(github问题#20798):

圣人：E类 = 椭圆曲线(“53a1”)
鼠尾草：低压 = E类.padic_系列(2)
圣人：低压.系列(7)
（2^8）+（1+2^2+2^3+O（2^5））*T+（1=2^3+O

圣人：E类 = 椭圆曲线(“109a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(2)
圣人：低压.系列(6)
2^2+2^6+O（2^7）+

检查奇数Teichmuller角色的扭曲是否正常(github问题#32258):

圣人：E类 = 椭圆曲线(“443c1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(17, 实施=“num”（数字）)
圣人：l8级 = 低压.系列(2,埃塔=8,前c=三)
圣人：l8级.列表()[0] - 1/低压.阿尔法()
O（17^4）
鼠尾草：低压 = E类.padic_系列(2, 实施=“num”（数字）)
圣人：l1级 = 低压.系列(8,埃塔=1,前c=三)
鼠尾草：l1级.列表()[0] - 4/低压.阿尔法()^2
O（2^9）

班 sage.schemes.elliptic_curves.padic系列。pAdicL系列超奇异(E类,第页,实施=“eclib”,使正常化=“L_比率”)

基础：pAdicL系列

Dp_值_高度(前c=20)

返回规范\（p\）-dieudonne模块中带值的adic高度\（D_p（E）\）.

定义为

\（h{\eta}\cdot\omega-h{\omega}\cdoteta\）

哪里\（h{\eta}\）由Bernardi的sigma函数和\（h{\omega}\）是\（日志_E^2\）.

答案v（v）表示为v[1]ω + v[2]*eta.的坐标v（v）依赖于Weierstrass方程。

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“53a”)
鼠尾草：L（左） = E类.padic_系列(5)
圣人：小时 = L（左）.Dp_值_高度(7)
圣人：小时(E类.氏族()[0])
（3*5+5^2+2*5^3+3*5^4+4*5^5+5^6+5^7+O（5^8），5^2+4*5^4+2*5^7+3*5^8+O（5^9））

Dp值_调节器(前c=20,第1版=0,第2版=0)

返回规范\（p\）-Dieudonné模块中带值的adic调节器\（D_p（E）\）如Perrin-Riou使用\（p）-adic高度，值为\（D_p（E）\）.

结果写在基础上\（\欧米茄\）,\（\varphi（\omega）\），因此结果的坐标和所选的Weierstrass方程无关。

注意

此处的定义针对以下方面进行了更正佩里·里奥的文章[PR2003年]。请参阅【SW2013】.

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“43a”)
圣人：L（左） = E类.padic_系列(7)
圣人：L（左）.Dp值_调节器(7)
（5*7+6*7^2+4*7^3+4*7^4+7^5+4*7~7^7+O（7^8），4*7~2+2*7^3+3*7^4+7^5+6*7~6+4*7*7^7+O（7~8））

Dp值_系列(n个=三,方形扭曲=1,前c=5)

返回两个分量的向量，这两个分量是p-adic幂级数。

答案v是这样的

\（（1-\varphi）^{-2}\cdot L_p（E，T）=\） v[1] \（\cdot\omega+\） v[2] \（\cdot\varphi（\omega）\）

作为Dieudonne模块的一个元素\（D_p（E）=H^1_{dR}（E/\QQ_p）\）哪里\（\欧米茄\）是不变的微分和\（\varphi\）Frobenius在吗\（D_p（E）\）.

根据\（p\）-adic Birch和Swinnerton-Dyer猜想【BP1993】这个函数的阶数为零的等级\（E（\QQ）\）它的前导词包含以下顺序Tate-Shafarevich集团，Tamagawa数字扭转子群和\（p\）-有价值的\（p\）-adic调节器。

输入：

• n个–（默认值：3）正整数

• 前c–（默认值：5）正整数

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“14a”)
圣人：L（左） = E类.padic_系列(5)
圣人：L（左）.Dp值_系列(4)  #长时间（sage.math上的9s，2011）
（1+4*5+O（5^2）+））

bernardi_sigma函数(前c=20)

返回\（p\）-Bernardi的adic-sigma函数\（z=对数（t）\）.

这与padic_西格玛具有E2级 = 0.

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线('14a')
圣人：L（左） = E类.padic_系列(5)
圣人：L（左）.bernardi_sigma函数(前c=5) #托多：某种一致性检查！？
z+1/24*z^3+29/384*z^5-8399/322560*z^7-291743/92897280*z^9+O（z^10）

弗罗贝尼乌斯(前c=20,算法=“mw”)

返回几何Frobenius\（\varphi\）关于Dieudonné模块\（D_p（E）\）关于基础\（\欧米茄\）、不变微分，以及\（eta=x\omega\）.

它满足了\（\varphi^2-a_p/p\，\varphi+1/p=0\）.

输入：

• 前c–（默认值：20）正整数

• 算法–Monsky-Washnitzer的“mw”（默认值）或Bernardi和Perrin-Riou描述的算法的“近似值”（速度慢得多，尚未完全测试）

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“14a”)
圣人：L（左） = E类.padic_系列(5)
圣人：φ = L（左）.弗罗贝尼乌斯(5)
圣人：φ
[2+5^2+5^4+O（5^5）3*5^-1+3+5+4*5^2+5 ^3+O（5 ^4）]
[3+3*5^2+4*5^3+3*5 ^4+O（5 ^5）3+4*5+3*5 ^2+4*5 ^3+3*5 ^4+O（5^5）]
圣人：-φ^2
[5^-1+O（5^4）O（5*4）]
[O（5^5）5^-1+O（5^4）]

普通（_O）()

返回真的如果附加了这个L函数的椭圆曲线到是普通的。

示例：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(19)
圣人：L（左）.普通（_O）()
False（错误）

is_超奇异()

返回真的如果附加了这个L函数的椭圆曲线to是超奇异的。

示例：

圣人：L（左） = 椭圆曲线(“11a”).padic_系列(19)
圣人：L（左）.is_超奇异()
真的

电源系列(n个=三,方形扭曲=1,前c=5,埃塔=0)

返回\（n \）-th近似值\（p\）-adic L系列作为幂级数输入\（T\）（对应于\（\gamma-1）具有\（伽马=1+p\）作为发电机\（1+p\ZZ_p\）). 每个系数是\（p\）-阿迪奇精度可以证明是正确的数字。

这里是\（p\）-选择adic L系列这样的话\（L_p（E，1）=（1-1/\alpha）^2 L（E，一）/\Omega_E）哪里\（\字母\）是特征的根源Frobenius多项式\（T_pE\）和\（\Omega_E\）是Néron周期\（E）.

输入：

• n个–（默认值：2）正整数

• 方形扭曲–（默认值：+1）基本判别式二次场，与曲线导体互素

• 前c–（默认值：5）序列的最大项数计算；要计算尽可能多的值，只需给出一个非常大的的编号前c; 结果仍然是正确的。

• 埃塔（默认值：0）整数（指定关于统一根群的Teichmueller特征\（\ZZ_p^\次\）)

输出：

二次分枝扩张中带系数的幂级数这个\（p\）-根生成的adic数\（字母\）特性的Frobenius多项式\（T_pE\）.

ALIAS:power_series与series相同。

示例：

一个超奇异的例子，我们必须计算到更高的精度才能看到任何东西：

鼠尾草：e（电子） = 椭圆曲线(“37a”)
圣人：L（左） = e（电子）.padic_系列(三); L（左）
有理域上y^2+y=x^3-x定义的椭圆曲线的3-adic L级数
鼠尾草：L（左）.系列(2)
O（T ^3）
圣人：L（左）.系列(4)         #需要很长时间（几秒钟）
O（α）+（α^-2+O（α^0））*T+
圣人：L（左）.阿尔法(2).起源()
由x^2+3*x+3定义的alpha中的3-adic Eisenstein扩张域

一个我们只计算前导项的例子(github问题#15737):

圣人：E类 = 椭圆曲线(“17a1”)
圣人：L（左） = E类.padic_系列(三)
圣人：L（左）.系列(4,前c=1)
α^-2+α^-1+2+2*α+…+O（α^38）+O（T）

它也适用于\（p=2\）:

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(2)
圣人：低压.系列(10)
O（α^-3）+（α^-4+O（α*-3））*T+（α*-4+O

系列(n个=三,方形扭曲=1,前c=5,埃塔=0)

返回\（n \）-th近似值\（p\）-adic L系列作为幂级数输入\（T\）（对应于\（\gamma-1）具有\（伽马=1+p\）作为发电机\（1+p\ZZ_p\）). 每个系数是\（p）-阿迪奇精度可以证明是正确的数字。

这里是\（p\）-选择adic L系列这样的话\（L_p（E，1）=（1-1/\alpha）^2 L（E，一）/\Omega_E）哪里\（\字母\）是特征的根源关于Frobenius的多项式\（T_pE\）和\（\Omega_E\）是Néron周期\（E）.

输入：

• n个–（默认值：2）正整数

• 方形扭曲–（默认值：+1）基本判别式二次场，与曲线导体互素

• 前c–（默认值：5）序列的最大项数计算；要计算尽可能多的值，只需给出一个非常大的的编号前c; 结果仍然是正确的。

• 埃塔（默认值：0）整数（指定关于统一根群的Teichmueller特征\（\ZZ_p^\次\）)

输出：

二次分枝扩张中带系数的幂级数这个\（p\）-根生成的adic数\（字母\）特性的Frobenius多项式\（T_pE\）.

ALIAS:power_series与series相同。

示例：

一个超奇异的例子，我们必须计算到更高的精度才能看到任何东西：

圣人：e（电子） = 椭圆曲线(37年)
圣人：L（左） = e（电子）.padic_系列(三); L（左）
有理域上y^2+y=x^3-x定义的椭圆曲线的3-adic L级数
圣人：L（左）.系列(2)
O（T ^3）
圣人：L（左）.系列(4)         #需要很长时间（几秒钟）
O（α）+（α^-2+O（α^0））*T+
圣人：L（左）.阿尔法(2).起源()
由x^2+3*x+3定义的alpha中的3-adic Eisenstein扩张域

我们只计算前导项的示例(github问题#15737):

圣人：E类 = 椭圆曲线(“17a1”)
圣人：L（左） = E类.padic_系列(三)
圣人：L（左）.系列(4,前c=1)
α^-2+α^-1+2+2*α+…+O（α^38）+O（T）

它也适用于\（p=2\）:

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：低压 = E类.padic_系列(2)
圣人：低压.系列(10)
O（α^-3）+（α^-4+O（α*-3））*T+（α*-4+O