椭圆曲线的标量乘态射

此类提供了椭圆曲线Hom实例化乘法-\（米\）椭圆曲线上的映射。

示例：

我们可以构造和计算标量乘法：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.hom_scalar软件 进口 椭圆曲线Hom_scalar
圣人：E类 = 椭圆曲线(“77a1”)
圣人：φ = E类.scalar_复制(5); φ
有理域上y^2+y=x^3+2*x定义的椭圆曲线的标量乘自同态[5]
圣人：对 = E类(2,三)
圣人：φ(对)
(30 : 164 : 1)

像往常一样椭圆曲线Hom支持方法：

圣人：φ.度()
25
圣人：φ.核多项式()
x^12+124/5*x^10+19*x^9-84*x^8+24*x^7-483*x^6-696/5*x^5-448*x^4-37*x^3-332*x^2-84*x+47/5
圣人：φ.理性地图()
（（x^25-200*x^23-520*x^22+9000*x^21+…+1377010*x^3+20360*x^2-39480*x+2209），
（10*x^36*y-620*x^36+3240*x^34*y-44880*x^34+…+424927560*x*y+226380480*x+42986410*y+20974090）/（1250*x^365+93000*x^ 34+71250*x^33+1991400*x^32+…+121296450*x^3+138715800*x^2-27833400*x+1038230）
圣人：φ.二重的()
有理域上y^2+y=x^3+2*x定义的椭圆曲线的标量乘自同态[5]
圣人：φ.二重的() 是 φ
真的
圣人：φ.正式的()
5*t-310*t^4-2496*t^5+10540*t^7+…-38140146674516*t^20-46800256902400*t^21+522178541079910*t^22+O（t^23）
圣人：φ.规范化（_N）()
False（错误）
圣人：φ.可分离（_S）()
真的
圣人：φ.是客观的（_I）()
False（错误）
圣人：φ.是悲观的（_S）()
真的

与构造椭圆曲线均匀性从除法多项式，椭圆曲线Hom_scalar可以快速处理大量标量：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(2^127-1), [1,2,三,4,5])
圣人：φ = E类.scalar_复制(9^99); φ
尺寸170141183460469231731687330371584105727的有限域上y^2+x*y+3*y=x^3+2*x^2+4*x+5定义的椭圆曲线的标量乘自同态[29512665430652752148753480226197736314359272517043288638463763343347802033270941104887
圣人：φ(E类(1,2))
(82124533143060719620799539030695848450 : 17016022038624814655722682134021402379 : 1)

标量乘法的合成会产生另一个标量乘法：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(19), [4,4])
圣人：φ = E类.scalar_复制(-三); φ
19号有限域上y^2=x^3+4*x+4定义的椭圆曲线的标量乘自同态[-3]
圣人：磅/平方英寸 = E类.scalar_复制(7); 磅/平方英寸
大小为19的有限域上由y^2=x^3+4*x+4定义的椭圆曲线的标量乘法自同态[7]
圣人：φ * 磅/平方英寸
19号有限域上y^2=x^3+4*x+4定义的椭圆曲线的标量乘自同态[-21]
圣人：磅/平方英寸 * φ
19号有限域上y^2=x^3+4*x+4定义的椭圆曲线的标量乘自同态[-21]
圣人：φ * 磅/平方英寸 == 磅/平方英寸 * φ
真的
圣人：-φ == E类.scalar_复制(-1) * φ
真的

零自同态\([0]\)支持：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(71), [1,1])
圣人：零 = E类.scalar_复制(0); 零
71大小有限域上y^2=x^3+x+1定义的椭圆曲线的标量乘自同态[0]
圣人：零.为零()
真的
圣人：零.是客观的（_I）()
False（错误）
圣人：零.是悲观的（_S）()
False（错误）
圣人：零(E类.随机点())
(0 : 1 : 0)

检索乘法-\（米\）映射时间\（米\）可被特性也起作用（因为github发行号37096):

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(7), [1,0])
圣人：φ = E类.scalar_复制(7); φ
由y^2=x^3+x定义的椭圆曲线在大小为7的有限域上的标量乘法自同态[7]
圣人：φ.理性地图()
（x^49，-y^49）
圣人：φ.x国家地图()
x ^ 49
圣人：磅/平方英寸 = E类.scalar_复制(-2); 磅/平方英寸
大小为7的有限域上y^2=x^3+x定义的椭圆曲线的标量乘自同态[-2]
圣人：气 = E类.scalar_复制(-14); 气
大小为7的有限域上y^2=x^3+x定义的椭圆曲线的标量乘自同态[-14]
圣人：气 == 磅/平方英寸 * φ
真的
圣人：气.理性地图()
（（x ^196-2*x ^98+1）/（-3*x ^147-3*x ^49），
（-x^294*y^49+2*x^196*y^49-2*x^98*y^48+y^49）/（-x~294-2*x^96-x^98）
圣人：气.x国家地图()
（2*x^196+3*x^98+2）/（x^147+x^49）
圣人：气.理性地图() == 元组(（f）(*φ.理性地图()) 对于 （f） 在里面 磅/平方英寸.理性地图())
真的
圣人：气.x国家地图() == 磅/平方英寸.x国家地图()(φ.x国家地图())
真的

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(7), [0,1])
圣人：φ = E类.scalar_复制(7); φ
大小为7的有限域上y^2=x^3+1定义的椭圆曲线的标量乘自同态[7]
圣人：φ.理性地图()   #已知错误--#6413
（（-3*x^49-x^28-x^7）/（x^42-x^21+2），
（-x^72*y-3*x^69*y-3*x^66*y-x^63*y+3*x^51*y+2*x^48*y+2*x^45*y+3*x^42*y-x^9*y-3**x^6*y-3**x^3*y）/（x^63+2*x*^42-x^21-1）
圣人：φ.x国家地图()
（4*x^49+6*x^28+6*x^7）/（x^42+6*x ^21+2）

作者：

• Lorenz Panny（2021）：实施椭圆曲线Hom_scalar

班 sage.schemes.elliptic_curves.hom_scalar。椭圆曲线Hom_scalar(E类,米)

基础：椭圆曲线Hom

在椭圆曲线上构造一个标量乘法映射。

度()

返回此scalar-multiplication态射的度数。

地图\（[m]\）有学位\（平方米）.

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(23), [0,1])
圣人：φ = E类.scalar_复制(1111111)
圣人：φ.度()
1234567654321

二重的()

返回此标度乘法图的双重同系。

此方法只返回自己因为标量是自对偶的。

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线([5,5])
圣人：φ = E类.scalar_复制(5)
圣人：φ.二重的() 是 φ
真的

不可分割_度()

返回此标量乘法映射的不可分割程度。

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(7), [0,1])
圣人：E类.is_超奇异()
False（错误）
圣人：E类.scalar_复制(4).不可分割_度()
1
圣人：E类.scalar_复制(-7).不可分割_度()
7

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(7), [1,0])
圣人：E类.is_超奇异()
真的
圣人：E类.scalar_复制(4).不可分割_度()
1
圣人：E类.scalar_复制(-7).不可分割_度()
49

核多项式()

返回这个标量乘法映射的核多项式。（何时\（m=0），返回\(0\).)

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(997), [7,7,7,7,7])
圣人：φ = E类.scalar_复制(5)
圣人：φ.核多项式()
x^12+77*x^11+380*x^10+198*x^9+840*x^8+376*x^7+946*x^6+848*x^5+246*x^4+778*x^3+77*x^2+518*x+28

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(997), [5,6,7,8,9])
圣人：φ = E类.scalar_复制(11)
圣人：φ.核多项式()
x^60+245*x^59+353*x^58+693*x^57+499*x^56+462*x^55+820*x^54+962*x^53+…+736*x^7+939*x^6+429*x^5+267*x^4+116*x^3+770*x^2+491*x+519

理性地图()

返回定义此标量的一对显式有理映射乘法。

算法：椭圆曲线_generic.multiplication_by_m（）

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“77a1”)
圣人：φ = E类.scalar_复制(5)
圣人：φ.理性地图()
（（x^25-200*x^23-520*x^22+…+368660*x^2+163195*x+16456）/（25*x^24+1240*x^22+950*x^21+…+20360*x^2-39480*x+2209），
（10*x^36*y-620*x^36+3240*x^34*y-…+226380480*x+42986410*y+20974090）/（1250*x*36+93000*x^34+71250*x^33+…+138715800*x^2-27833400*x+1038230）
圣人：对 = (2,三)
圣人：问 = 元组(第页(对) 对于 第页 在里面 φ.理性地图()); 问
(30, 164)
圣人：E类(问) == 5*E类(对)
真的

缩放因子()

返回与此关联的Weierstrass比例因子标量乘法。

比例因子为常数\（u\）（在基本场中）这样的话\（\varphi^*\omega_2=u\omega_1\），其中\（\varphi:E_1\到E_2\）这是同态吗\（\欧米茄_i \）是标准Weierstrass差速器\（E_i\）由定义\（\mathrm dx/（2y+a_1x+a_3）\）.

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：φ = E类.scalar_复制(5)
圣人：u个 = φ.缩放因子()
圣人：u个 == φ.正式的（）[1]
真的
圣人：u个 == E类.乘法by_m等代(5).缩放因子()
doctest:警告。。。折旧警告：。。。
真的

比例因子存在于基环中：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(101^2), [5,5])
圣人：φ = E类.scalar_复制(123)
圣人：φ.缩放因子()
22
圣人：φ.缩放因子().父母()
z2中大小为101^2的有限域

算法：比例因子等于乘以。

x国家地图()

返回\（x \）-这个标量的坐标有理映射乘法。

算法：椭圆曲线_generic.multiplication_by_m（）

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(65537), [1,2,三,4,5])
圣人：φ = E类.scalar_复制(7)
圣人：φ.x国家地图() == φ.理性地图（）[0]
真的