数域上椭圆曲线的Galois表示 #
圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” )
圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 ()
圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ])
圣人： ρ = E类 . galois_演示 ()
圣人： ρ . 是悲观的（_S） ( 29 ) #分圆特征不夸张。
False（错误）
圣人： ρ . 是悲观的（_S） ( 31 ) #参见[1972]第5.10节。
真的
圣人： ρ . 非悲观（_S） () #长时间（sage.math上的4s，2014）
[3, 5, 29]
圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( 1728 ) . 更改（_R） ( K（K） ) #构型管理
圣人： E类 . galois_演示 () . 非悲观（_S） () #长期（sage.math2，2014）
[0]
Eric Larson（2012-05-28）：初始版本。 Eric Larson（2014-08-13）：添加isogeny_bound函数。 约翰·克雷莫纳（2016年、2017年）：对_可排放_可减少_犯罪的各种效率改进 John Cremona（2017）：Billery算法的实现，以找到所有可约素数
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 比勒雷_B_bound ( E类 , 最大_ = 200 , 数字（_l） = 8 , small_prime_bound（小_聚合物绑定） = 0 , 调试 = False（错误） ) # 计算Billerey的边界 \（B\） . 我们计算 \（B_l\） 对于 \（l） 高达 最大_ （最多）到 数字（_l） 找到非零值（最多）。 返回素数列表 划分所有 \（B_l\） 计算，不包括除6或 分支化的、还原不良的或小于small_prime_bound的。 如果 未找到非零值，返回[0]。 输入： E类 –数域上的椭圆曲线 \（K\） ，由 全局积分模型。 最大_ （int，默认值200）–要检查的素数l的最大大小。 数字（_l） （int，默认值8）–要检查的最大素数l。 small_prime_bound（小_聚合物绑定） （int，默认为0）–删除素数较少 而不是输出的结果。 调试 （布尔，默认 False（错误） )–如果 真的 打印详细信息。
注意 small_prime_bound的目的是更快地 使用本地测试处理这些问题； 忽略他们， 当没有 大的可约素数，在实践中总是如此。 示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： 从 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number字段 进口 比勒雷_B_bound 圣人： 比勒雷_B_bound ( E类 ) [5] 如果我们没有使用足够的素数 \（l） ，多余的素数将 包括不可约素数： 圣人： 比勒雷_B_bound ( E类 , 数字（_l） = 6 ) [5, 7] 类似地，如果我们没有使用足够大的素数 \（l） : 圣人： 比勒雷_B_bound ( E类 , 最大_ = 50 , 数字（_l） = 8 ) [5, 7] 圣人： 比勒雷_B_bound ( E类 , 最大_ = 100 , 数字（_l） = 8 ) [5] 这条曲线有一个合理的5等基因： 圣人： 伦恩 ( E类 . 等基因_质数_度 ( 5 )) 1
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 比勒雷-B_l ( E类 , 我 , B类 = 0 ) # 返回Billerey的 \（B_l\） ，改编自 【2011年上半年】 ，在（9）之后。 输入： E类 –数域上的椭圆曲线 \（K\） ，由 全局积分模型。 我 （int）–有理素数 B类 （int）–0或之前的LCM \（B_l\） ：这一部分的底漆到B \（B_l\） 被忽略。
示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： 从 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number字段 进口 比勒雷-B_l 圣人： [ 比勒雷-B_l ( E类 , 我 ) 对于 我 在里面 素数 ( 15 )] [1123077552537600, 227279663773903886745600, 0, 0, 269247154818492941287713746693964214802283882086400, 0]
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 Billerey_P_l公司 ( E类 , 我 ) # 返回Billerey的 \（P_l ^*\） 定义见 【2011年上半年】 ，方程式（9）。 输入： E类 –数域上的椭圆曲线 \（K\） ，由 全局积分模型。 我 –有理素数
示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： 从 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number字段 进口 Billerey_P_l公司 圣人： [ Billerey_P_l公司 ( E类 , 我 ) 对于 我 在里面 素数 ( 10 )] [x^2+8143*x+16777216， x^2+451358*x+282429536481， x ^4-664299076*x ^3+205155493652343750*x ^2-39595310449600219726562500*x+3552713678800500929355621337890625， x^4-207302404*x^3-377423798538689366394*x^2-397152498264716565869875200004*x+367033668217294125441230211032033660188801]
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 Billery_R_绑定 ( E类 , 最大_ = 200 , 数字（_l） = 8 , small_prime_bound（小_聚合物绑定） = 无 , 调试 = False（错误） ) # 计算Billerey的边界 \（R） . 我们计算 \（R_q\） 对于 \（q \） 除法素数 \（\ ell\） 高达 最大_ （最多）到 数字（_l） 找到非零值（最多）。 返回素数除以所有的列表 请求（_q） 计算的，不包括 除以6或分支或减少不良或小于 small_prime_bound。 如果未找到非零值，则返回[0]。 输入： E类 –数域上的椭圆曲线 \（K\） ，由 全局积分模型。 最大_ （int，默认值200）–有理素数的最大大小 检查l上面的质数q的l。 数字（_l） （int，默认值8）–有理素数的最大数目 检查l上面的质数q的l。 small_prime_bound（小_聚合物绑定） （int，默认为0）–删除素数较少 而不是输出的结果。 调试 （布尔，默认 False（错误） )–如果 真的 打印详细信息。
注意 small_prime_bound的目的是更快地 使用本地测试处理这些问题； 忽略他们， 当没有 大的可约素数，在实践中总是如此。 示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： 从 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number字段 进口 Billery_R_绑定 圣人： Billery_R_绑定 ( E类 ) [5] 如果我们没有使用足够的素数，我们可能根本没有边界： 圣人： Billery_R_绑定 ( E类 , 最大_ = 2 , 调试 = False（错误） ) [0] 或者，如果我们没有使用足够的素数，我们可能会得到一个界，但不是一个好的界： 圣人： Billery_R_绑定 ( E类 , 数字（_l） = 1 , 调试 = False（错误） ) [5, 17, 67, 157] 在这种情况下，两个素数就足以限制可能的 可约素数到just \(\{5\}\) 。该曲线具有合理的5等基因： 圣人： Billery_R_绑定 ( E类 , 数字（_l） = 2 , 调试 = False（错误） ) [5] 圣人： 伦恩 ( E类 . 等基因_质数_度 ( 5 )) 1
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 计费R_q ( E类 , q个 , B类 = 0 ) # 返回Billerey的 \（R_q\） ，改编自 【2011年上半年】 ，定理2.8。 输入： E类 –数域上的椭圆曲线 \（K\） ，由 全局积分模型。 q个 –最佳理想 \（K\） B类 （int）–0或之前的LCM \（R_q\） ：这一部分的底漆到B \（R_q\） 被忽略。
示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： 从 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number字段 进口 计费R_q 圣人： [ 计费R_q ( E类 , K（K） . 上面的prime_ave ( 我 )) 对于 我 在里面 素数 ( 10 )] [1123077552537600, 227279663773903886745600, 51956919562116960000000000000000, 252485933820556361829926400000000]
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 Frobenius_过滤器 ( E类 , L（左） , 耐心 = 100 ) # 确定L中的哪些素数可能包含图像 Borel亚组，通过检查Frobenius的痕迹。 注意 此函数有时会返回图像所对应的素数 不包含在Borel子组中。 这个问题不可能总是 通过增加耐心来解决问题，因为这可能是 同源基因的局部-全局原则的失败。 输入： E类 –数字字段上的椭圆曲线。 L（左） –质数列表。 耐心 （int），默认值100–正整数边界 在试图证明时要使用的Frobenius痕迹数 不可还原性。
输出： list–所有素数的列表 \（\ ell\） 以L表示，其中mod \（\ ell\） 图像可能包含在 \（GL_2（\mathbf {F}（F）_ {\ell}）\） .
示例： 圣人： E类 = 椭圆曲线 ( “11a1” ) #具有5个同源基因 圣人： 圣人 . 计划 . 椭圆曲线 . 加仑数字段 . Frobenius_过滤器 ( E类 , 素数 ( 40 )) #长时间 [5] 示例显示输出可能包含素数，其中 表示实际上是可约的。 结束 \（\QQ\） 以下是 本质上是唯一的这样的例子 【2012年上半年】 : 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( 2268945 / 128 ) 圣人： 圣人 . 计划 . 椭圆曲线 . 加仑数字段 . Frobenius_过滤器 ( E类 , [ 7 , 11 ]) #长时间 [7] 这条曲线的每一个好素数都有一个7等基因模 减少，但没有合理的7等基因： 圣人： E类 . 等基因_质数_度 ( 7 ) [] 数字字段示例： 圣人： K（K） .< 我 > = 象限域 ( - 1 ) 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 + 我 , - 我 , 我 , - 399 - 240 * 我 , 2627 + 2869 * 我 ]) 圣人： 圣人 . 计划 . 椭圆曲线 . 加仑数字段 . Frobenius_过滤器 ( E类 , 素数 ( 20 )) #长时间 [2, 3] 这里的曲线确实具有2度和3度的等值线： 圣人： [ 伦恩 ( E类 . 等基因_质数_度 ( 我 )) 对于 我 在里面 [ 2 , 三 ]] [1, 1]
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班 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 Galois表示 ( E类 ) # 基础： Sage对象 伽罗瓦表示的相容族 附在数域上的椭圆曲线上。 给定一条椭圆曲线 \（E） 在数字字段上 \（K\） 和一个有理素数 \（p\） ，的 \（p^n\） -扭转 \（E[p^n]\） 的点 \（E） 是的表示 绝对伽罗瓦群 \（G_K\） 属于 \（K\） .作为 \（n\） 变化 我们得到了泰特模组 \（T_p E） 哪个是 的表示 \（G_K\） 在免费的 \（\ZZ_p\） -模块 级别的 \(2\) .作为 \（p\） 改变表达方式 兼容。 示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 + 1 , “a” ) 圣人： E类 = 椭圆曲线 ( “11a1” ) . 更改（_R） ( K（K） ) 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ 与定义多项式x^2+1中数字域上y^2+y=x^3+（-1）*x^2+（-10）*x+（-20）定义的椭圆曲线相关的Galois表示的兼容族 -
椭圆曲线 ( ) # 返回与此表示关联的椭圆曲线。 示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 + 1 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( 一 ) 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 椭圆曲线 () == E类 真的
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是悲观的（_S） ( 第页 , A类 = 100 ) # 返回 真的 如果mod-p表示是（可证明的） 俯冲到 \（Aut（E[p]）=GL_2（\GF{p}）\） .退货 False（错误） 如果不是的话。 输入： 第页 -int-一个素数。 A类 -int—要使用的Frobenius记录道数的界限 试图证明猜测。
示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 是悲观的（_S） ( 29 ) #分圆特征不夸张。 False（错误） 圣人： ρ . 是悲观的（_S） ( 7 ) #参见[1972]第5.10节。 真的 如果 \（E） 定义于 \（\QQ\） ，然后为 \（E_{/K}\） 与特殊素数相同 \（E） ，除了那些素数 分支在 \（K/\QQ\） 或小于 \（[K:\QQ]\） : 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 + 11 , “a” ) 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 2 , 14 ]) 圣人： rhoQQ公司 = E类 . galois_演示 () 圣人： 菱形 = E类 . 更改（_R） ( K（K） ) . galois_演示 () 圣人： rhoQQ公司 . 是悲观的（_S） ( 2 ) == 菱形 . 是悲观的（_S） ( 2 ) False（错误） 圣人： rhoQQ公司 . 是悲观的（_S） ( 三 ) == 菱形 . 是悲观的（_S） ( 三 ) 真的 圣人： rhoQQ公司 . 是悲观的（_S） ( 5 ) == 菱形 . 是悲观的（_S） ( 5 ) 真的 对于CM曲线，mod-p表示决不是推测的： 圣人： K（K） .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 2 - x个 + 1 ) 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 0 , 0 , 0 , 一 ]) 圣人： E类 . has_cm（毫米） () 真的 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： 任何 ( ρ . 是悲观的（_S） ( 第页 ) 对于 第页 在里面 [ 2 , 三 , 5 , 7 ]) False（错误）
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等基因结合 ( A类 = 100 ) # 返回素数列表 \（p\） 包括所有素数，其中 mod的图像- \（p\） 表示包含在 博雷尔。 注意 对于素数的实际列表 \（p\） 其中 表示是可约的 可约素数（） . 输入： A类 –int（Frobenius到 在尝试证明mod时使用- \（p\） 表示不包含在Borel中）。
输出： 列表 –包含（但可能不是） 等于）全部 \（p\） 其中mod的图像- \（p\） 表示包含在Borel子组中。 在任何时候 素数不在这个列表中，图像绝对不在 包含在Borel中。 如果E有 \（CM\） 定义超过 \（K\） ，列表 返回[0]。
示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 等基因结合 () #参见[Ser1972]第5.10节。# 长时间 [3, 5] 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 + 1 , “a” ) 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 1728 )) #CM高于K 圣人： E类 . galois_演示 () . 等基因结合 () [0] 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 0 )) #CM不超过K 圣人： E类 . galois_演示 () . 等基因结合 () #长时间 [2, 3] 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 2268945 / 128 )) #c.f.【2012年上半年】 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 等基因结合 () #没有7-同源性，但…# 长时间 [7] 对于具有有理CM的曲线，有无穷多个素数 \（p\） 其中mod- \（p\） 表示是可约的，[0] 返回： 圣人： K（K） .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 2 - x个 + 1 ) 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 0 , 0 , 0 , 一 ]) 圣人： E类 . has_rational厘米 () 真的 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 等基因结合 () [0] 示例（具有处处良好约简的椭圆曲线 在一个很大的虚二次场上 discriminant），在修复为之前失败 github发行号21776 : 圣人： K（K） .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 2 - x个 + 112941801 ) 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 一 + 1 , 一 - 1 , 一 , - 23163076 * 一 + 266044005933275 , 57560769602038 * 一 - 836483958630700313803 ]) 圣人： E类 . 导体 () . 规范 () 1 圣人： 希腊 = E类 . galois_演示 () 圣人： 希腊 . 等基因结合 () []
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非悲观（_S） ( A类 = 100 ) # 返回素数列表 \（p\） 包括mod的所有素数- \（p\） 代表性可能并不悲观。 输入： A类 –int（要使用的Frobenius记录道数的界限 试图证明推测性）。
输出： 列表 –一个素数列表，其中mod- \（p\） 表示是 很可能不是满不在乎。 在不在此列表中的任何素数处， 这种表述肯定是主观臆断的。 如果 \（E） 有CM， 返回列表[0]。
示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 非悲观（_S） () #参见[Ser1972]第5.10节。# 长时间 [3, 5, 29] 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 + 三 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , - 1 , 1 , - 10 , - 20 ]) . 更改（_R） ( K（K） ) #X_0（11） 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 非悲观（_S） () #长时间（sage.math上的4s，2014） [3, 5] 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 + 1 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( 1728 ) . 更改（_R） ( K（K） ) #构型管理 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 非悲观（_S） () [0] 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 5 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( 146329141248 * 一 - 327201914880 ) #构型管理 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 非悲观（_S） () #长时间（sage.math 3s，2014） [0]
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可约素数 ( ) # 返回素数列表 \（p\） 其中mod- \（p\） 表示是可约的，或者对于CM曲线是[0]。 输出： 列表 –这些素数的列表 \（p\） 其中mod- \（p\） 表示包含在Borel子组中，即 可简化。 如果E有CM 在K上定义 ，列表[0]是 返回（在这种情况下，表示可为 无限多素数）。
示例： 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 可约素数 () #参见[Ser1972]第5.10节。# 长时间 [3, 5] 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 + 1 , “a” ) 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 1728 )) #CM高于K 圣人： E类 . galois_演示 () . 可约素数 () [0] 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 0 )) #CM但不超过K 圣人： E类 . galois_演示 () . 可约素数 () #长时间 [2, 3] 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 2268945 / 128 )) #c.f.【2012年上半年】 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 等基因结合 () #没有7-同源性，但…# 长时间 [7] 圣人： ρ . 可约素数 () #长时间 [] 对于具有有理CM的曲线，有无穷多个素数 \（p\） 其中mod- \（p\） 表示是可约的，[0] 返回： 圣人： K（K） .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 2 - x个 + 1 ) 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 0 , 0 , 0 , 0 , 一 ]) 圣人： E类 . has_rational厘米 () 真的 圣人： ρ = E类 . galois_演示 () 圣人： ρ . 可约素数 () [0]
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 deg_one_primes_iter ( K（K） , 仅原则 = False（错误） ) # 在的1次素数上返回迭代器 K（K） . 输入： K（K） –数字字段 仅原则 –bool； 如果 真的 ，只产生主素数
输出： 1阶素数上的迭代器 \（K\） 达到给定标准， 可以选择只产生主素数。 示例： 圣人： K（K） .< 一 > = 象限域 ( - 5 ) 圣人： 从 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number字段 进口 deg_one_primes_iter 圣人： 它 = deg_one_primes_iter ( K（K） ) 圣人： [ 下一个 ( 它 ) 对于 _ 在里面 范围 ( 6 )] [分数理想（2，a+1）， 分数理想（3，a+1）， 分数理想（3，a+2）， 分数理想（a）， 分数理想（7，a+3）， 分数理想（7，a+4）] 圣人： 它 = deg_one_primes_iter ( K（K） , 真的 ) 圣人： [ 下一个 ( 它 ) 对于 _ 在里面 范围 ( 6 )] [分数理想（a）， 分数理想（-2*a+3）， 分数理想（2*a+3）， 分数理想（a+6）， 分数理想（a-6）， 分数理想（-3*a+4）]
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 可约素数_比勒雷 ( E类 , 数字（_l） = 无 , 最大_ = 无 , 冗长的 = False（错误） ) # 返回一组有限素数 \（\ ell\） 包含所有这些 \（E） 有一个 \（K\） -理性ell-isogeny，其中 \（K\） 是的基本字段 \（E） ：即mod- \（\ ell\） 表示对所有人来说都是不可约的 \（\ ell\） 在返回的集合之外。 输入： E类 –在数字字段上定义的椭圆曲线 \（K\） . 最大_ （int或 无 （默认））–最大素数 \（\ ell\） 用于B-bound和R-bound。 如果 无 ，一个 将使用默认值。 数字（_l） （int或 无 （默认）–素数 \（\ ell\） 用于B-bound和R-bound。 如果 无 ，一个 将使用默认值。
注意 如果 E类 具有CM，则返回[0]。 在这种情况下，请使用 功能 sage.schemes.elliptic_curves.isogeny_class.possible_isogeny_degrees椭圆曲线 我们首先计算Billeray的B_bound，最多使用 数字（_l） 素数 大小不超过 最大_ 如果失败，我们计算Billeray的 最多使用绑定（_B） 数字（_q） 大小不超过 最大q . 假设这些方法之一成功地生成有限 我们使用局部条件检查素数列表，最后 测试返回的素数实际上是可约的。 否则 我们返回[0]。 示例： 圣人： 从 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number字段 进口 可约素数_比勒雷 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 - 29 , “a” ); 一 = K（K） . 消息 () 圣人： E类 = 椭圆曲线 ([ 1 , 0 , (( 5 + 一 ) / 2 ) ** 2 , 0 , 0 ]) 圣人： 可约素数_比勒雷 ( E类 ) #长时间 [3, 5] 圣人： K（K） = 数字字段 ( x个 ** 2 + 1 , “a” ) 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 1728 )) #CM高于K 圣人： 可约素数_比勒雷 ( E类 ) #长时间 [0] 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 0 )) #CM但不超过K 圣人： 可约素数_比勒雷 ( E类 ) #长时间 [2, 3] 一个素数不可约但通过测试的例子： 圣人： E类 = 椭圆曲线_从_j ( K（K） ( 2268945 / 128 )) . 全局最小模型 () #c.f.【2012年上半年】 圣人： 可约素数_比勒雷 ( E类 ) #长时间 [7]
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sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number_field。 可约素数 ( E类 , 最大_ = 无 , 数量_P = 无 , 冗长的 = False（错误） ) # 返回局部可约素数 \（\ ell\） 高达 最大_ . 素数列表 \（\ ell\） 返回的包括所有 最大_ 这样的话 \（E） 国防部 \（P\） 有一个 \（\ ell\） -同源性，其中 \（K\） 是的基本字段 \（E） ，用于 数量_P 素数 \（P\） 属于 \（K\） .英寸 大多数情况下 \（E） 然后有一个 \（K\） -理性的 \（\ ell\） -同源，但有 是罕见的例外。 输入： E类 –在数字字段上定义的椭圆曲线 \（K\） 最大_ （int或 无 （默认））–最大素数 \（\ ell\） 进行测试。 数量_P （int或 无 （默认）–素数 \（P\） 属于 \（K\） 用于测试每个 \（\ ell\） .
示例： 圣人： 从 sage.schemes.elliptic_curves.gal_reps_number字段 进口 可约素数 圣人： x个 = 一夫多妻制 ( ZZ公司 , “x” ) 圣人： K（K） .< 一 > = 数字字段 ( x个 ^ 4 - 5 * x个 ^ 2 + 三 ) 圣人： E类 = 椭圆曲线 ( K（K） , [ 一 ^ 2 - 2 , - 一 ^ 2 + 三 , 一 ^ 2 - 2 , - 50 * 一 ^ 2 + 35 , 95 * 一 ^ 2 - 67 ]) 圣人： 可约素数 ( E类 , 数量_P = 10 ) [2, 5, 53, 173, 197, 241, 293, 317, 409, 557, 601, 653, 677, 769, 773, 797] 圣人： 可约素数 ( E类 , 数量_P = 15 ) [2, 5, 197, 557, 653, 769] 圣人： 可约素数 ( E类 , 数量_P = 20 ) [2, 5] 圣人： 可约素数 ( E类 ) #长时间 [2, 5] 圣人： [ φ . 度 () 对于 φ 在里面 E类 . 等基因_质数_度 ()] #长时间 [2, 2, 2, 5]