魏尔斯特拉斯\（\wp\）-椭圆曲线函数#

魏尔斯特拉斯\（\wp\）与a上椭圆曲线相关的函数领域\（k\）是一个Laurent系列的形式

\[\wp（z）=\frac{1}{z^2}+c2\cdot z^2+c4\cdot z*4+\cdots.\]

如果字段包含在\（\mathbb{C}\），那么这就是系列地图的展开\（\mathbb{C}\）到\（E（\mathbb{C}）\）其内核是的周期格\（E）.

在其他字段（如有限字段）上，作为系数为的形式幂级数\（k\）-至少是第一次\（第2页）系数，其中\（p\）是的特征\（k\）.可以定义通过正式团队\（x+c \）在变量中\（z=\log_E（t）\）对于常数\（c）这样常数项\（c_0\）在里面\（\wp（z）\）为零。

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线([0,1])
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p()
z^-2-1/7*z^4+1/637*z^10-1/84721*z^16+O（z^20）

参考文献：

【BMSS2006】

作者：

Dan Shumov 04/09：最初实施
Chris Wuthrich 11/09：重大重组
Jeroen Demeyer（2014-03-06）：代码清理，修复特征绑定对于二次算法（参见github发行号15855)

sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp。计算_wp_fast(k个,A类,B类,米)#

计算由短Weierstrass模型定义的椭圆曲线的Weiersstrass函数：\（y^2=x^3+Ax+B\）。它的速度与次数多项式一样快\（米\）可以倍增在基环中，即。\（O（M（n））\）用符号表示【BMSS2006】.

让\（p\）是潜在领域的特征：那么我们必须有\（p=0），或\（p>m+3\）.

输入：

k个–曲线的基础场
A类–和
B类–作为短Weierstrass模型的系数\（y^2=x^3+Ax+B\）、和
米–函数计算到的精度。

输出：

魏尔斯特拉斯\（\wp\）作为一个精确的罗朗级数\（米\）.

算法：

此函数使用第3.3节中描述的算法【BMSS2006】.

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp 进口 计算_wp_fast
圣人：计算_wp_fast(QQ（QQ）, 1, 8, 7)
z^-2-1/5*z^2-8/7*z^4+1/75*z^6+O（z^7）

圣人：k个 = GF公司(37)
圣人：计算_wp_fast(k个, k个(1), k个(8), 5)
z^-2+22*z^2+20*z^4+O（z^5）

sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp。计算机_wp_pari(E类,前c)#

计算Weierstrass\（\wp\）-函数ellwp公司功能来自PARI。

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线([0,1])
圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp 进口 计算机_wp_pari
圣人：计算机程序(E类, 前c=20)
z^-2-1/7*z^4+1/637*z^10-1/84721*z^16+O（z^20）
圣人：计算机_wp_pari(E类, 前c=30)
z^-2-1/7*z^4+1/637*z^10-1/84721*z^16
+3/38548055*z^22-4/8364927935*z^28+O（z^30）

sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp。计算_wp_quadratic(k个,A类,B类,前c)#

计算椭圆曲线的截断Weierstrass函数由短Weierstrass模型定义：\（y^2=x^3+Ax+B\）。使用复杂的算法\（O（前^2）\）.

设p是基础字段的特征。那我们必须p=0或p>prec+2。

输入：

k个–曲线定义字段
A类–和
B类–椭圆曲线的系数
前c–我们计算级数的精度。

输出：

近似Weierstrass的Laurent级数\（\wp\）-函数到精度前c.

算法：

此函数使用的是【BMSS2006】.

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线([7,0])
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=10, 算法=“二次”)
z^-2-7/5*z^2+49/75*z^6+O（z^10）

圣人：E类 = 椭圆曲线(GF公司(103), [1,2])
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(算法=“二次型”)
z^-2+41*z^2+88*z^4+11*z^6+57*z^8+55*z^10+73*z^12
+11*z^14+17*z^16+50*z^18+O（z^20）

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp 进口 计算_wp_quadratic
圣人：计算_wp_quadratic(E类.底座（_R）(), E类.a4(), E类.a6类(), 前c=10)
z^-2+41*z^2+88*z^4+11*z^6+57*z^8+O（z^10）

sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp。求解线性微分系统(一,b条,c（c）,阿尔法)#

求解线性微分方程组：\（af'+bf=c\）和\（f’（0）=α哪里\（a）,\（b）、和\（c）是一个变量中的幂级数\（\字母\）是系数环中的常数。

算法：

因为Brent和Kung’78。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp 进口 求解线性微分系统
圣人：k个 = GF公司(17)
圣人：R（右）.<x个> = PowerSeriesRing系列(k个)
圣人：一 = 1 + x个 + O（运行）(x个^7); b条 = x个 + O（运行）(x个^7); c（c） = 1 + x个^三 + O（运行）(x个^7); 阿尔法 = k个(三)
圣人：（f） = 求解线性微分系统(一, b条, c（c）, 阿尔法)
圣人：（f）
3+x+15*x^2+x^3+10*x^5+3*x^6+13*x^7+O（x^8）
圣人：一*（f）.导数() + b条*（f） - c（c）
O（x ^7）
圣人：（f）(0) == 阿尔法
真的

sage.schemes.elliptic_curves.ell_wp。韦尔斯特拉斯p(E类,前c=20,算法=无)#

计算Weierstrass\（\wp\）-椭圆曲线上的函数。

输入：

E类–椭圆曲线
前c–精度
算法–字符串或无（默认值：无):算法的选择“同等”,“快速”,“二次”;或无让此函数确定要使用的最佳算法。

输出：

一个变量中的Laurent级数\（z）底部有系数领域\（k\）属于\（E）.

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=10)
z^-2+31/15*z^2+2501/756*z^4+961/675*z^6+77531/41580*z^8+O（z^10）
圣人：E类.魏尔斯特拉斯(前c=8)
z^-2+31/15*z^2+2501/756*z^4+961/675*z*6+O（z^8）
圣人：埃什 = E类.short_weierstrass_模型()
圣人：埃什.韦尔斯特拉斯p(前c=8)
z^-2+13392/5*z^2+1080432/7*z^4+59781888/25*z^6+O（z^8）

圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=8, 算法=“同等”)
z^-2+31/15*z^2+2501/756*z^4+961/675*z^6+O（z^8）
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=8, 算法=“二次”)
z^-2+31/15*z^2+2501/756*z^4+961/675*z*6+O（z^8）

圣人：k个 = GF公司(11)
圣人：E类 = 椭圆曲线(k个, [1,1])
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=6, 算法=“快速”)
z^-2+2*z^2+3*z^4+O（z^6）
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=7, 算法=“快速”)
追踪（最近一次通话）：
...
ValueError：对于通过快速算法计算Weierstrass p函数，
基础字段的特征（11）必须大于prec+4=11
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=8)
z^-2+2*z^2+3*z^4+5*z^6+O（z^8）
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=8, 算法=“二次”)
z^-2+2*z^2+3*z^4+5*z^6+O（z^8）
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=8, 算法=“同等”)
z^-2+2*z^2+3*z^4+5*z^6+O（z^8）
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=9)
追踪（最近一次通话）：
...
NotImplementedError:目前没有计算Weierstrass的算法
实现了该特征/精度对的p函数。
将精度降低到char（k）-2以下
圣人：E类.韦尔斯特拉斯p(前c=9, 算法=“二次”)
追踪（最近一次通话）：
...
ValueError：用于通过二次方计算Weierstrass p函数
算法，基础字段的特征（11）必须更大
比prec+2=11
圣人：E类.魏尔斯特拉斯(前c=9, 算法=“平价”)
追踪（最近一次通话）：
...
ValueError：对于通过pari计算Weierstrass p函数
基础字段的特征（11）必须大于prec+2=11