泰特参数化\（p\）-乘性归约的adic曲线

让\（E）是定义在\（p\）-adic数\（\QQ_p\）.假设\（E）具有乘法约简，即\（j）-不变量属于\（E）比如说，估值为负\（n\）。则存在一个参数\（q\）在里面\（\ZZ_p\）估价的\（n\）这样\（E）定义超过代数闭包\（\bar{\QQ}_p\）与……对峙\（\bar{\QQ}_p^{\times}\，/\，q^{\ZZ}\）。更确切地说，存在系列\（s_4（q）\）和\（s_6（q）\）使得\（y^2+x y=x^3+s_4（q）x+s_6（q）\）曲线同构于\（E）结束\（\bar{\QQ}_p\）（或以上\（\QQ_p\）如果减少分裂乘法）。有一个\（p\）-adic分析图\（\bar{\QQ}^{\times}_p\）带内核的曲线\（q^{\ZZ}\）.良好的减少点对应于估价点\(0\)在里面\（\bar{\QQ}^{\times}_p\）.

见第五章【Sil1994】了解更多详细信息。

作者：

• Chris Wuthrich（2007年5月23日）：第一版

• 威廉·斯坦因（2007-05-29）：添加了一些示例；编辑。

• Chris Wuthrich（04/09）：重新格式化的文档字符串。

班 sage.schemes.elliptic_curves.ell_tate_curve。TateCurve（泰特曲线）(E类,对)

基础：Sage对象

泰特美术馆\（p\）-椭圆曲线的adic均匀化乘法约简。

注释

此Tate曲线的某些方法仅在缩减被拆分为乘法\（\QQ_p\）.

示例：

圣人：e（电子） = 椭圆曲线('130a1')
圣人：等式 = e（电子）.状态曲线(5); 等式
与椭圆曲线相关的五元Tate曲线
由有理字段上的y^2+x*y+y=x^3-33*x+68定义
圣人：等式 == 荷载(转储(等式))
真的

参考文献：【Sil1994】

E2级(前c=20)

返回\（p\）-权2的adic Eisenstein级数具有分裂乘法的椭圆曲线的求值减少。

输入：

• 前c–\（p\）-adic精度，默认值为20。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.E2级(前c=10)
4+2*5^2+2*5^3+5^4+2*5 ^5+5^7+5^8+2*5 ^9+O（5^10）

圣人：T型 = 椭圆曲线('14').状态曲线(7)
圣人：T型.E2级(30)
2+4*7+7^2+3*7^3+6*7^4+5*7^5+2*7^6+7^7+5*7^8+6*7*9^9+5*7*10+2*7 ^11+6*7 ^12+4*7^13+3*7 ^15+5*7 ^16+4*7 ^17+4*7+O（7^30）

L_不变(前c=20)

返回神秘的 \（\mathcal{L}\）-不变量关联具有分裂乘法约化的椭圆曲线。

此常量出现的一个实例是案例\（p\）-adic Birch和Swinnerton-Dyer猜想制定于【MTT1986】。请参阅[第2004列]以进行详细讨论。

输入：

• 前c–\（p\）-adic精度，默认值为20。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.L_不变(前c=10)
5^3+4*5^4+2*5^5+2*5 ^6+2*5 ^7+3*5 ^8+5 ^9+O（5^10）

曲线(前c=20)

返回\（p\）-形式的adic椭圆曲线\（y^2+x y=x^3+s_4 x+s_6）.

这个具有分裂乘法约简的曲线是同构的代数闭包上的给定曲线\（\QQ_p\）.

输入：

• 前c–\（p\）-adic精度，默认值为20。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.曲线(前c=5)
由y^2+（1+O（5^5））*x*y定义的椭圆曲线=
x^3+（2*5^4+5^5+2*5^6+5^7+3*5^8+O（5^9））*x+（2*5 ^3+5^4+2*5 ^5+5^7+O（5 ^8））
具有上限相对精度5的5-adic字段

is拆分（_S）()

返回真的如果给定的椭圆曲线具有分裂乘法约简。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.拆分（_S）()
真的

圣人：等式 = 椭圆曲线(“37a1”).状态曲线(37)
圣人：等式.拆分（_S）()
False（错误）

举起(P（P）,前c=20)

给一分\（P\）椭圆曲线的形式群\（E）使用分裂乘法约简，这将生成一个元素\（u\）在里面\（\QQ_p^{\次}\）映射到点\（P\）泰特参数化。算法返回中唯一的此类元素\（1+p\ZZ_p\）.

输入：

• P（P）–椭圆曲线上的一个点。

• 前c–\（p\）-adic精度，默认值为20。

示例：

圣人：e（电子） = 椭圆曲线('130a1')
圣人：等式 = e（电子）.状态曲线(5)
圣人：P（P） = e（电子）([-6,10])
圣人：我 = 等式.举起(12*P（P）, 前c=10); 我
1+4*5+5^3+5^4+5*5^5+5^6+5^7+4*5^8+5^9+O（5^10）

现在，我们绘制电梯l的背面图，并检查其是否确实正确

圣人：等式.参数化到原始曲线(我)
（4*5^-2+2*5^-1+4*5+3*5^3+5^4+2*5*5^5+4*5^6+O（5^7）
：2*5^-3+5^-1+4+4*5+5^2+3*5^3+4*5^4+O（5^6）：1+O（5 ^10））
圣人：e5（电子5） = e（电子）.更改（_R）(Qp（质量计划）(5,9))
圣人：e5（电子5）(12*P（P）)
（4*5^-2+2*5^-1+4*5+3*5^3+5^4+2*5*5^5+4*5^6+O（5^7）
：2*5^-3+5^-1+4+4*5+5^2+3*5^3+4*5^4+O（5^6）：1+O（5 ^9））

原始曲线()

返回构建Tate曲线的椭圆曲线。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.原始曲线()
由y^2+x*y+y=x^3-33*x+68定义的椭圆曲线
在有理字段上

padic_高度(前c=20)

返回规范\（p\）-原始曲线上的adic高度函数。

输入：

• 前c–\（p\）-adic精度，默认值为20。

输出：

• 可以在有理点上求值的函数\（E）.

示例：

圣人：e（电子） = 椭圆曲线('130a1')
圣人：等式 = e（电子）.状态曲线(5)
圣人：小时 = 等式.padic_高度(前c=10)
圣人：P（P） = e（电子）.氏族（）[0]
圣人：小时(P（P）)
2*5^-1+1+2*5+2*5^2+3*5^3+3*5^6+5^7+O（5^9）

检查其是否为二次函数：

圣人：小时(三*P（P）)-三^2*小时(P（P）)
O（5^9）

padic_调节器(前c=20)

计算规范\（p\）-扩展的adic调节器Mordell-Weil组，如中所示【MTT1986】（经修正[1998年]并签署约定【SW2013】.)

这个\（p\）-adic Birch和Swinnerton-Dyer猜想预测该值出现在这个\（p\）-adic L函数。

输入：

• 前c–\（p\）-adic精度，默认值为20。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.padic_调节器()
2*5^-1+1+2*5+2*5^2+3*5^3+3*5 ^6+5^7+3*5%^9+3*5A^10+3*5^12+4*5^13+3*6^15+2*5*5^16+3*8^18+4*5^19+4*5 ^20+3*5m^21+4*5%^22+O（5^23）

参数(前c=20)

返回Tate参数\（q\）曲线是同构的关于的代数闭包\（\QQ_p\）到曲线\（\QQ_p^{\次}/q^{\ZZ}\）.

输入：

• 前c–\（p\）-adic精度，默认值为20。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.参数(前c=5)
3*5^3+3*5^4+2*5^5+2*5|6+3*5|7+O（5^8）

参数化到原始曲线(u个,前c=无)

给定一个元素\（u\）在里面\（\QQ_p^{\次}\），这将在原始曲线上计算其图像在\（p\）-adic均匀化\（E）.

输入：

• u个–非零\（p\）-adic数。

• 前c–\（p\）-adic精度，默认为的相对精度u个否则为20。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.参数化到原始曲线(1+5+5^2+O（运行）(5^10))
（4*5^-2+4*5^-1+4+2*5^3+3*5^4+2*5*6+O（5^7）：
3*5^-3+5^-2+4*5^-1+1+4*5+5^2+3*5^5+O（5^6）：
1+O（5^10））
圣人：等式.参数化到原始曲线(1+5+5^2+O（运行）(5^10), 前c=20)
回溯（最近一次调用）：
。。。
ValueError:请求的精度高于u的精度

以下是如何获得4个扭点\（E）结束\（\QQ_5\）:

圣人：R（右） = Qp（质量计划）(5,30)
圣人：我 = R（右）(-1).平方英尺()
圣人：T型 = 等式.参数化到原始曲线(我, 前c=30); T型
（2+3*5+4*5^2+2*5^3+5^4+4*5*5^5+5*5^7+5^8+5^9+5^12+3*5^13+3*5|14+5^15+4*5*17+5^18+3*5*19+2*5|20+4*5|21+5^22+3*5*23+3*5$24+4*5$25+3*5~26+3*5#25+3*5 ^27+3*5,28+3*5@O（5^30）：3*5+5^2+5^4+3*5^5+3*5^7+2*5^8+4*5^9+5^10+2*5^11+4*5^13+2*5^14+4*5^15+4*5^16+3*5^17+2*5^18+4*5^20+2*5^21+2*5^22+4*5^23+4*5^24+4*5^25+5^26+3*5^27+2*5^28+O（5^30）：1+O（5^30）））
圣人：4*T型
（0:1+O（5^30）：0）

参数化到日期曲线(u个,前c=无)

给定一个元素\（u\）在里面\（\QQ_p^{\次}\），这将计算泰特曲线上的图像在\（p\）-adic均匀化\（E）.

输入：

• u个–非零\（p\）-adic数。

• 前c–\（p\）-adic精度，默认为的相对精度u个否则为20。

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.参数化到日期曲线(1+5+5^2+O（运行）(5^10), 前c=10)
（5^-2+4*5^-1+1+2*5+3*5^2+2*5^5+3*5 ^6+O（5^7）
：4*5^-3+2*5^-1+4+2*5+3*5^4+2*5*5^5+O（5^6）：1+O（5 ^10））
圣人：等式.参数化到日期曲线(1+5+5^2+O（运行）(5^10))
（5^-2+4*5^-1+1+2*5+3*5^2+2*5^5+3*5 ^6+O（5^7）
：4*5^-3+2*5^-1+4+2*5+3*5^4+2*5*5^5+O（5^6）：1+O（5 ^10））
圣人：等式.参数化到日期曲线(1+5+5^2+O（运行）(5^10), 前c=20)
回溯（最近一次调用）：
。。。
ValueError:请求的精度高于u的精度

首要的()

返回剩余特征\（p\）.

示例：

圣人：等式 = 椭圆曲线('130a1').状态曲线(5)
圣人：等式.原始曲线()
由y^2+x*y+y=x^3-33*x+68定义的椭圆曲线
在有理字段上
圣人：等式.首要的()
5