附在椭圆曲线上的模块符号\（\QQ\）

到椭圆曲线\（E）关于有导体的有理数\（N \）,人们可以联想到一个由水平的模块符号组成的空间\（N \），因为\（E）已知为模块化。该空间是二维的，包含复共轭作为乘法的子空间\(+1\)以及它采取行动的依据\(-1\).

模块化符号有三种实现方式，其中两种在圣人还有一个在克雷莫纳羽化物库。你可以在这里选择使用哪一个。

关联到\（E）在每个空间中都有一个正则生成器。它们是地图\([.]^+\)和\([.]^{-}\)，两者都是\（\QQ\到\QQ_）.它们经过标准化处理

\[[r]^{+}\Omega（z）dz\]

哪里\（f）是与同系类相关联的新形式\（E）和\（\欧米茄^{+}\）是Néron微分的最小正周期属于\（E）和\（\欧米茄^{-}\）是最小的纯假想正值期间。请注意，这取决于\（E）而不是它的同系类。

发件人羽化物版本v20161230，加号和减号都是可用且已正确规范化。在圣人实现时，空间的计算提供初始值不一定正确规范化的发电机；在这里，我们实现两种尝试找到正确比例因子的方法。

模块化符号用于计算\（p\）-阿迪奇\（L）-功能。

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“19a1”)
圣人：米 = E类.模块_符号()
圣人：米(0)
1/3
圣人：米(1/17)
-2/3
圣人：平方米 = E类.模块_符号(-1, 实施=“圣人”)
圣人：平方米(0)
0
圣人：平方米(1/5)
1/2

圣人：V（V） = E类.模符号空间()
圣人：V（V）
维数2的模符号空间的维数1的模符号子空间
对于有理字段上带符号1的权重为2的Gamma_0（19）
圣人：V（V）.q_原始信息(30)
q-2*q^3-2*q ^4+3*q ^5-q ^7+q ^9+3*q^11+4*q ^12-4*q ^13-6*q ^15+4*q^16
-3*q^17+q^19-6*q^20+2*q^21+4*q^25+4*q ^27+2*q ^28+6*q ^29+O（q^30）

有关模块化符号的更多详细信息，请参阅以下内容

参考文献：

• 【1986年8月1日】

• 【Cre1997】

• 【SW2013】

作者：

• 威廉·斯坦因（2007）：第一版

• Chris Wuthrich（2008）：增加eclib的缩放和参考

• John Cremona（2016）：重新设计的eclib接口

班 sage.schemes.elliptic_curves.ell模块符号。模块符号

基础：Sage对象

附在椭圆曲线上的模块符号，即地图\（\QQ\到\QQ_）通过发送获得\（r）到标准化对称（或反对称）积分\（\infty\）到\（r）.

其定义见【MTT1986】，但归一化为取决于曲线不仅是它的同系类【SW2013】.

请参阅文档E.模块_符号（）在椭圆曲线中通过合理的数字寻求帮助。

底座（_R）()

返回此模块化符号的底座环。

示例：

圣人：米 = 椭圆曲线(“11a1”).模块_符号()
圣人：米.底座（_R）()
有理字段

椭圆曲线()

返回此模符号的椭圆曲线。

示例：

圣人：米 = 椭圆曲线(“11a1”).模块_符号()
圣人：米.椭圆曲线()
有理域上由y^2+y=x^3-x^2-10*x-20定义的椭圆曲线

签名()

返回此椭圆曲线模符号的符号。

示例：

圣人：米 = 椭圆曲线(“11a1”).模符号()
圣人：米.签名()
1
圣人：米 = 椭圆曲线(“11a1”).模块_符号(签名=-1, 实施=“圣人”)
圣人：米.签名()
-1

班 sage.schemes.elliptic_curves.ell模块符号。模块符号ECLIB(E类,签名,打盹=1000)

基础：模块符号

附加到的模块化符号\（E）使用羽化物.

请注意羽化物与在椭圆的情况下，这里用因子2选择归一化自按照惯例，将上述积分写成\（[r]^{+}x+[r]^{-}易\)，其中晶格是\（\左<2x，x+yi\右>\）,以便\（\欧米茄^{+}=2x\）和\（欧米茄^｛-｝=2yi\）.我们考虑到以下情况。

输入：

• E类–椭圆曲线

• 签名–整数，-1或1

• 打盹–（int，默认值1000）：要使用的E的ap数在确定模块化符号的归一化时。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.ell模块符号 进口 模块符号ECLIB
圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：M（M） = 模块符号ECLIB(E类,+1)
圣人：M（M）
Rational Field上方带有符号1的模块化符号连接到
有理域上由y^2+y=x^3-x^2-10*x-20定义的椭圆曲线
圣人：M（M）(0)
1/5
圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a2”)
圣人：M（M） = 模块符号ECLIB(E类,+1)
圣人：M（M）(0)
1

这是一个1级病例，正扭转消失：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“121b1”)
圣人：M（M） = 模块符号ECLIB(E类,+1)
圣人：M（M）(0)
0
圣人：M（M）(1/7)
1/2

圣人：M（M） = 椭圆曲线(“121d1”).模块_符号(实施=“羽化物”)
圣人：M（M）(0)
2

圣人：E类 = 椭圆曲线(“15a1”)
圣人：[C类.模块_符号(实施=“羽化物”)(0) 对于 C类 在里面 E类.等基因类()]
[1/4, 1/8, 1/4, 1/2, 1/8, 1/16, 1/2, 1]

自github问题#10256，eclib中的负模符号接口可用：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：Mplus公司 = E类.模块_符号(+1); Mplus公司
Rational Field上方带有符号1的模块化符号连接到
有理域上由y^2+y=x^3-x^2-10*x-20定义的椭圆曲线
圣人：[Mplus公司(1/我) 对于 我 在里面 [1..11]]
[1/5, -4/5, -3/10, 7/10, 6/5, 6/5, 7/10, -3/10, -4/5, 1/5, 0]
圣人：Mminus公司 = E类.模符号(-1); Mminus公司
带符号-1的模块化符号位于连接到的Rational Field上
有理域上由y^2+y=x^3-x^2-10*x-20定义的椭圆曲线
圣人：[Mminus公司(1/我) 对于 我 在里面 [1..11]]
[0，0，1/2，1/2，0，0，-1/2，-1/2，0，0]

对于负判别曲线，相对于eclib归一化的比例因子为1/2：

圣人：[E类.鉴别的() 对于 E类 在里面 克雷莫纳曲线([14])]
[-21952, 941192, -1835008, -28, 25088, 98]
圣人：[E类.模块_符号()._缩放 对于 E类 在里面 克雷莫纳曲线([14])]
[1/2, 1, 1/2, 1/2, 1, 1]

测试（针对github问题#10236):

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：米 = E类.模块_符号(实施=“羽化物”)
圣人：米(1/7)
7/10
圣人：米(0)
1/5

如果打盹太小，eclib中的归一化通常是不正确（请参阅github问题#31317)，但自羽化物版本v20210310的值打盹自动增加羽化物:

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.ell模块符号 进口 模块符号ECLIB
圣人：E类 = 椭圆曲线(“1590g1”)
圣人：米 = 模块符号ECLIB(E类, 签名=+1, 打盹=300)
圣人：[米(一/5) 对于 一 在里面 [1..4]]
[13/2、-13/2、-13/2、13/2]

这些值是正确的，并且正在增加打盹没有效果。正确的值可以通过数字进行验证实施：

圣人：米 = 模块符号ECLIB(E类, 签名=+1, 打盹=400)
圣人：[米(一/5) 对于 一 在里面 [1.4]]
[13/2, -13/2, -13/2, 13/2]
圣人：米 = E类.模块_符号(实施=“num”)
圣人：[米(一/5) 对于 一 在里面 [1..4]]
[13/2, -13/2, -13/2, 13/2]

班 sage.schemes.elliptic_curves.ell_modular_symbols。模块符号Sage(E类,签名,使正常化=“L_比率”)

基础：模块符号

附加到的模块化符号\（E）使用圣人.

输入：

• E类–椭圆曲线

• 签名–整数，-1或1

• 使正常化–“L_ratio”（默认）、“period”或“无”；对于“L_比率”，模块符号正确通过将其与\（L（E，1）\）通过曲线的最小正周期和一些较小的扭曲。规范化“期间”使用模符号的积分周期映射，已知为等于上述标准化，直至符号和a2的可能幂。对于“无”，模块符号为几乎肯定没有正确规范化，即所有值将是它们应该是什么的固定标量倍数。但是模块符号的初始计算量很大速度更快，虽然计算后评估它不会更快。

示例：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.ell模块符号 进口 模块符号Sage
圣人：M（M） = 模块符号Sage(E类, +1)
圣人：M（M）
Rational Field上方带有符号1的模块化符号连接到
有理域上由y^2+y=x^3-x^2-10*x-20定义的椭圆曲线
圣人：M（M）(0)
1/5
圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a2”)
圣人：M（M） = 模块符号Sage(E类, +1)
圣人：M（M）(0)
1
圣人：M（M） = 模块符号Sage(E类, -1)
圣人：M（M）(1/三)
1/2

这是一个1级病例，正扭转消失。模块符号调整为-2：

圣人：E类 = 椭圆曲线(“121b1”)
圣人：M（M） = 模块符号Sage(E类, -1, 使正常化=“L_比率”)
圣人：M（M）(1/三)
1
圣人：M（M）._缩放
1

圣人：M（M） = 椭圆曲线(“121d1”).模块_符号(实施=“圣人”)
圣人：M（M）(0)
2
圣人：M（M） = 椭圆曲线(“121d1”).模块_符号(实施=“圣人”,
....:                                          使正常化=“无”)
圣人：M（M）(0)
1

圣人：E类 = 椭圆曲线(“15a1”)
圣人：[C类.模块_符号(实施=“圣人”, 使正常化=“L_比率”)(0)
....: 对于 C类 在里面 E类.等基因类()]
[1/4, 1/8, 1/4, 1/2, 1/8, 1/16, 1/2, 1]
圣人：[C类.模块_符号(实施=“圣人”, 使正常化='期间')(0)
....: 对于 C类 在里面 E类.同类()]
[1/8, 1/16, 1/8, 1/4, 1/16, 1/32, 1/4, 1/2]
圣人：[C类.模块_符号(实施=“圣人”, 使正常化=“无”)(0)
……： 对于 C类 在里面 E类.等基因类()]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

sage.schemes.elliptic_curves.ell模块符号。模块符号空间(E类,签名,底座（_R）,跳跃=无)

在给定的base_ ring上创建给定符号的模符号的空间，附属于椭圆曲线的等生成类E类.

输入：

• E类–上方的椭圆曲线\（\QQ\）

• 签名–整数、-1、0或1

• 底座（_R）–环

• 跳跃–（默认值：无）Hecke运算符的最大数目用于剪切模块化符号因子。如果无，请使用足以证明得到正确答案。

OUTPUT：模块化符号的空间

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.ell模块符号 进口 模块符号空间
圣人：E类 = 椭圆曲线(“11a1”)
圣人：M（M） = 模块符号空间(E类, -1, GF公司(37))
圣人：M（M）
重量为2的Gamma_0（11）的尺寸为1的模块化符号空间，带符号-1
大小为37的有限域上