椭圆曲线的复数乘法

此模块实现功能

• 希尔伯特类多项式

• 是_HCP

• cm_j_变量

• 命令（_O）

• discriminants_with_bounded_class_number

• cm_j变量和订单

• 带有类别编号的最大基本光盘

• is_cm_j_变量

作者：

• 罗伯特·布拉德肖

• 约翰·克雷莫纳

• 威廉·斯坦

sage.schemes.elliptic_curves.cm。订单类别编号(D0（数字0）,小时0,（f）)

返回类编号h（f**2*D0），给定h（D0）=h0。

输入：

• D0（数字0）（integer）–负基本判别式

• 小时0（integer）–（最大）虚二阶鉴别器的类数D0（数字0）

• （f）（integer）–正整数

输出：

（integer）虚二阶鉴别器的类数D0*f**2号

算法：

我们使用该公式计算订单的类号\（\mathcal{O}（O）_{D} \）根据

最大阶\（\mathcal｛O｝_{D_0}\）; 看见[考克斯1989年]定理7.24：

\[h（D）=\压裂{h（D_0）f}{[\mathcal{O}（O）_{D_0}^\次数：\mathcal{O}（O）_{D} ^\时间]}\prod_{p\，|\，f}\左（1-\左（\frac{D_0}{p}\右）\frac}{1}{p{right）\]

示例：

圣人：#需要sage.libs.pari
圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.cm软件 进口 订单类别编号
圣人：D0（数字0） = -4
圣人：小时 = D0（数字0）.类_编号()
圣人：[订单类别编号(D0（数字0）,小时,（f）) 对于 （f） 在里面 srange（范围）(1,20)]
[1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 4, 6, 8, 6, 8, 8, 8, 8, 12, 10]
圣人：全部的([订单类别编号(D0,小时,（f）) == (D0（数字0）*（f）**2).类_编号() 对于 （f） 在里面 srange（范围）(1,20)])
真的

sage.schemes.elliptic_curves.cm。cm_j_变量(证明=无)

返回所有CM的列表\（j）-字段中的不变量\（K\）.

输入：

• K–数字字段

• 证明–（默认值：proof.number_field（））

输出：

（列表）–CM列表\（j）-字段中的不变量\（K\）.

示例：

圣人：cm_j_变量(QQ（QQ）)
[-262537412640768000, -147197952000, -884736000, -12288000, -884736,
-32768, -3375, 0, 1728, 8000, 54000, 287496, 16581375]

在虚二次域上，没有超过\（QQ\）:

圣人：cm_j_变量(象限域(-1, “我”))                                  #需要sage.rings.number_field
[-262537412640768000, -147197952000, -884736000, -12288000, -884736,
-32768, -3375, 0, 1728, 8000, 54000, 287496, 16581375]

在实际的二次型字段上，可能会有更多，例如：

圣人：伦恩(cm_j_变量(象限域(5, “a”)))                              #需要sage.rings.number_field
31

在许多更高阶的数字字段K上，这也适用：

圣人：#需要sage.rings.number_field
圣人：x个 = 一夫多妻制(ZZ公司, “x”)
圣人：K.<一> = 数字字段(x个^三 - 2)
圣人：cm_j_变量(K)
[-262537412640768000, -147197952000, -884736000, -884736, -32768,
8000, -3375, 16581375, 1728, 287496, 0, 54000, -12288000,
31710790944000*a^2+39953093016000*a+50337742902000]
圣人：K.<一> = 数字字段(x个^4 - 2)
圣人：伦恩(cm_j_变量(K))
23

sage.schemes.elliptic_curves.cm。cm_j变量和订单(证明=无)

返回所有CM的列表\（j）-字段中的不变量\（K\）以及相关订单。

输入：

• K–数字字段

• 证明–（默认值：proof.number_field（））

输出：

（list）三元组列表\（（D，f，j）\）哪里\（j）是CM\（j）-中的不变量\（K\）用二次基本判别式\（D\）和导体\（f）.

示例：

圣人：cm_j变量和订单(QQ（QQ）)
[(-3, 3, -12288000), (-3, 2, 54000), (-3, 1, 0), (-4, 2, 287496), (-4, 1, 1728),
(-7, 2, 16581375), (-7, 1, -3375), (-8, 1, 8000), (-11, 1, -32768),
(-19, 1, -884736), (-43, 1, -884736000), (-67, 1, -147197952000),
(-163, 1, -262537412640768000)]

在一个假想的二次场上没有超过\（QQ\）:

圣人：cm_j变量和订单(象限域(-1, “我”))                       #需要sage.rings.number_field
[(-163, 1, -262537412640768000), (-67, 1, -147197952000),
(-43, 1, -884736000), (-19, 1, -884736), (-11, 1, -32768),
(-8, 1, 8000), (-7, 1, -3375), (-7, 2, 16581375), (-4, 1, 1728),
（-4,2287496），（-3,1,0），（-3,254000），（-3,3-1228800）]

在实际的二次域上，可能会有更多：

圣人：v（v） = cm_j变量和订单(象限域(5,“a”)); 伦恩(v（v）)             #需要sage.rings.number_field
31
圣人：[(D类, （f）) 对于 D类, （f）, j个 在里面 v（v） 如果 j个 不 在里面 QQ（QQ）]                                  #需要sage.rings.number_field
[(-235, 1), (-235, 1), (-115, 1), (-115, 1), (-40, 1), (-40, 1),
(-35, 1), (-35, 1), (-20, 1), (-20, 1), (-15, 1), (-15, 1), (-15, 2),
(-15, 2), (-4, 5), (-4, 5), (-3, 5), (-3, 5)]

在许多更高阶的数字字段K上，这也适用：

圣人：x个 = 一夫多妻制(ZZ公司, “x”)
圣人：K.<一> = 数字字段(x个^三 - 2)                                              #需要sage.rings.number_field
圣人：cm_j变量和订单(K)                                             #需要sage.rings.number_field
[(-163, 1, -262537412640768000), (-67, 1, -147197952000),
(-43, 1, -884736000), (-19, 1, -884736), (-11, 1, -32768),
(-8, 1, 8000), (-7, 1, -3375), (-7, 2, 16581375), (-4, 1, 1728),
(-4, 2, 287496), (-3, 1, 0), (-3, 2, 54000), (-3, 3, -12288000),
（-3,63170790944000*a^2+39953093016000*a+50337742902000）]

sage.schemes.elliptic_curves.cm。命令（_O）(证明=无)

返回所有对的列表\（（D，f）\）其中有CM订单鉴别的\（D f ^2）等级号为h\（D\）基础区别。

输入：

• \（小时）–正整数

• 证明–（默认值：proof.number_field（））

输出：

• 2元组列表\（（D，f）\）按字典顺序排序\（（|D|，f）\）

示例：

圣人：命令（_O）(0)
[]
圣人：v（v） = 命令（_O）(1); v（v）
[(-3, 1), (-3, 2), (-3, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-7, 1), (-7, 2), (-8, 1),
(-11, 1), (-19, 1), (-43, 1), (-67, 1), (-163, 1)]
圣人：类型(v（v）[0][0]), 类型(v（v）[0][1])
（<…'sage.rings.integrate.integer“>，<…'shage.rings.integer.integer”>）
圣人：#需要sage.libs.pari
圣人：v（v） = 命令（_O）(2); v（v）
[(-3, 4), (-3, 5), (-3, 7), (-4, 3), (-4, 4), (-4, 5), (-7, 4), (-8, 2),
（-8，3）、（-11，3）、（-15，1）、（-15，2）、（-20，1）、（-24，1）、（-35，1），
(-40, 1), (-51, 1), (-52, 1), (-88, 1), (-91, 1), (-115, 1), (-123, 1),
(-148, 1), (-187, 1), (-232, 1), (-235, 1), (-267, 1), (-403, 1), (-427, 1)]
圣人：伦恩(v（v）)
29
圣人：设置([希尔伯特类多项式(D类*（f）^2).度() 对于 D类,（f） 在里面 v（v）])
{2}

可实现最高100度的任何程度，但速度可能较慢：

圣人：#需要sage.libs.pari
圣人：命令（_O）(三)
[(-3, 6), (-3, 9), (-11, 2), (-19, 2), (-23, 1), (-23, 2), (-31, 1), (-31, 2),
(-43, 2), (-59, 1), (-67, 2), (-83, 1), (-107, 1), (-139, 1), (-163, 2),
(-211, 1), (-283, 1), (-307, 1), (-331, 1), (-379, 1), (-499, 1), (-547, 1),
(-643, 1), (-883, 1), (-907, 1)]
圣人：伦恩(命令（_O）(4))
84

sage.schemes.elliptic_curves.cm。discriminants_with_bounded_class_number(hmax公司,B类=无,证明=无)

返回带有关键字类号的字典\（h\le hmax\）并重视所有配对的列表\（（D_0，f）\），使用\（D_0<0）一个基本的判别词那个\（D=D_0f^2\）具有类编号\（小时）.如果可选绑定\（B\）给出了，只返回那些带有\（|D|\le B\）.

输入：

• hmax公司–整数

• \（B\）–integer或None；如果无，则返回所有对

• 证明–此代码调用PARI函数pari:qfb类号，所以它可能会给出错误的答案证明``==``假（尽管仅适用于判别式大于\（2\cdot10^{10}\）). 默认值为的当前值证明编号字段（）.

输出：

• 词典

注意

万一\（B\）没有给出，那么hmax公司必须不超过100；我们使用中的表格[沃特金斯2004年]和【Klaise 2012】计算一\（B\）它囊括了所有\（小时）高达\（hmax\）.

示例：

圣人：#需要sage.libs.pari
圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.cm公司 进口 带边界类编号的判别符
圣人：v（v） = discriminants_with_bounded_class_number(三)
圣人：已排序(v（v）)
[1, 2, 3]
圣人：v（v）[1]
[(-3, 1), (-3, 2), (-3, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-7, 1), (-7, 2), (-8, 1),
(-11, 1), (-19, 1), (-43, 1), (-67, 1), (-163, 1)]
圣人：v（v）[2]
[(-3, 4), (-3, 5), (-3, 7), (-4, 3), (-4, 4), (-4, 5), (-7, 4), (-8, 2),
(-8, 3), (-11, 3), (-15, 1), (-15, 2), (-20, 1), (-24, 1), (-35, 1), (-40, 1),
(-51, 1), (-52, 1), (-88, 1), (-91, 1), (-115, 1), (-123, 1), (-148, 1),
(-187, 1), (-232, 1), (-235, 1), (-267, 1), (-403, 1), (-427, 1)]
圣人：v（v）[三]
[(-3, 6), (-3, 9), (-11, 2), (-19, 2), (-23, 1), (-23, 2), (-31, 1), (-31, 2),
(-43, 2), (-59, 1), (-67, 2), (-83, 1), (-107, 1), (-139, 1), (-163, 2),
(-211, 1), (-283, 1), (-307, 1), (-331, 1), (-379, 1), (-499, 1), (-547, 1),
(-643, 1), (-883, 1), (-907, 1)]
圣人：v（v） = discriminants_with_bounded_class_number(8, 证明=False（错误）)
圣人：已排序(伦恩(v（v）[小时]) 对于 小时 在里面 v（v）)
[13, 25, 29, 29, 38, 84, 101, 208]

查找最多50个判别式的所有类号：

圣人：圣人.计划.椭圆曲线.厘米.discriminants_with_bounded_class_number(hmax公司=5, B类=50)
{1: [(-3, 1), (-3, 2), (-3, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-7, 1), (-7, 2), (-8, 1), (-11, 1), (-19, 1), (-43, 1)], 2: [(-3, 4), (-4, 3), (-8, 2), (-15, 1), (-20, 1), (-24, 1), (-35, 1), (-40, 1)], 3: [(-11, 2), (-23, 1), (-31, 1)], 4: [(-39, 1)], 5: [(-47, 1)]}

sage.schemes.elliptic_curves.cm。希尔伯特类多项式(算法=无)

返回判别式的Hilbert类多项式\（D\）.

输入：

• D类（int）–模4为0或1的负整数。

• 算法（字符串，默认为“无”）。

输出：

（整数多项式）的Hilbert类多项式鉴别的\（D\）.

算法：

• 如果算法=“arb”（默认）：使用arb的实现，它使用复杂的区间算术。

• 如果算法=“sage”：对根使用复杂近似。

• 如果算法=“magma”：调用适当的magma函数（如果可用）。

作者：

• Sage最初由Eduardo Ocampo Alvarez和安德烈·蒂莫菲耶夫

• John Cremona修正的Sage实现（使用Andreas Enge修正的精度界限）

• David Kohel实施岩浆

示例：

圣人：#需要sage.libs.flint
圣人：希尔伯特类多项式(-4)
x-1728年
圣人：希尔伯特类多项式(-7)
电话+3375
圣人：希尔伯特类多项式(-23)
x^3+3491750*x^2-5151296875*x+12771880859375
圣人：希尔伯特类多项式(-37*4)
x ^2-39660183801072000*x-7898242515936467904000000
圣人：希尔伯特类多项式(-37*4, 算法=“岩浆”) #可选-岩浆
x ^2-39660183801072000*x-7898242515936467904000000
圣人：希尔伯特类多项式(-163)
传真：+262537412640768000
圣人：希尔伯特类多项式(-163, 算法=“圣人”)
传真：+262537412640768000
圣人：希尔伯特类多项式(-163, 算法=“岩浆”) #可选-岩浆
传真：+262537412640768000

sage.schemes.elliptic_curves.cm。是_HCP(（f）,可简化的支票=真的)

确定多项式是否为希尔伯特类多项式。

输入：

• （f）–中的多项式\（\ZZ[X]\）.

• 可简化的支票（布尔值，默认值真的)–如果真的，检查一下（f）是一个monic的不可约整数多项式的。

输出：

（整数）–两者之一\（D\）如果（f）是希尔伯特多项式\（H_D\）用于判别\（D\），或\(0\)如果不是HCP。

算法：

克雷莫纳和萨瑟兰：算法2【CreSuth2023】.

示例：

即使在很大程度上，这也很快。我们测试了最大的类别编号100的判别式，HCP具有其系数具有数千位数字：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.cm软件 进口 是_HCP
圣人：D类 = -1856563
圣人：D类.类_编号()                                                          #需要sage.libs.pari
100

圣人：#需要sage.libs.flint
圣人：H（H） = 希尔伯特类多项式(D类)
圣人：H（H）.度()
100
圣人：最大值(H（H）).非吉特()
2774
圣人：是_HCP(H（H）)
-1856563

测试非HCP的多项式速度更快：

圣人：是_HCP(H（H）+1)                                                               #需要sage.libs.flint
0

sage.schemes.elliptic_curves.cm。is_cm_j_变量(算法=“克雷莫纳·萨瑟兰”,方法=无)

返回是否为CM\（j）-不变量和CM鉴别符（如果是）。

输入：

• j个–数字字段的元素\（K\）

• 算法（字符串，默认为“CremonaSutherland”）–算法使用了“CremonaSutherland”（默认，速度快得多除非常小的程度外，所有）、“详尽”或“减少”

• 方法（字符串）–已弃用的名称算法

输出：

一对（bool，（d，f）），如果\（j）不是CM j变量或（真，（d，f）），如果\（j）是\（j）-的不变量判别式的虚二次阶\（D=df^2）哪里\（d\）是相关的基本判别式和\（f）索引。

算法：

使用的默认算法是测试最小值多项式j个是Hilbert CLass Polynomail，使用is_HCP（）实现的算法2【CreSuth2023】通过克雷莫纳和萨瑟兰。

有两种较旧的算法可用，这两种算法都要慢得多除了非常小的度数。

“穷尽”方法利用了类数最多为100的所有订单，因此将引发错误，如果\（j）是大于次的代数整数这个。

方法“reduction”在数字上构造一条椭圆曲线领域\（\QQ（j）\）并在几个一阶素数。

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.cm软件 进口 is_cm_j_变量
圣人：is_cm_j_变量(0)
（正确，（-3，1））
圣人：is_cm_j_变量(8000)
（正确，（-8，1））

圣人：#需要sage.rings.number_field
圣人：K.<一> = 象限域(5)
圣人：is_cm_j_变量(282880*一 + 632000)
（正确，（-20，1））
圣人：x个 = 一夫多妻制(ZZ公司, “x”)
圣人：K.<一> = 数字字段(x个^三 - 2)
圣人：is_cm_j_变量(31710790944000*一^2 + 39953093016000*一 + 50337742902000)
（正确，（-3，6））

一个很大程度上的例子。这只能使用默认算法：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.cm软件 进口 is_cm_j_变量
圣人：D类 = -1856563
圣人：H（H） = 希尔伯特类多项式(D类)                                           #需要sage.libs.flint
圣人：H（H）.度（）                                                                #需要sage.libs.flint
100
圣人：K.<j个> = 数字字段(H（H）)                                                    #需要sage.libs.flint sage.rings.number_field
圣人：is_cm_j_变量(j个)                                                      #需要sage.libs.flint sage.rings.number_field
（正确，（-1856563，1））

sage.schemes.elliptic_curves.cm。带有类编号的最大光盘(小时)

使用返回任何负判别式的最大绝对值类别编号\（小时），和基本负数使用该类编号进行判别。这是众所周知的（无条件）\（小时）Mark Watkins的工作[沃特金斯2004年]对于基本判别法，扩展到所有类数判别式\（小时100）作者：Klaise【Klaise 2012】.

注意

负判别式的类数\（D\）是与唯一虚二阶的类数相同判别式的\（D\），因此此函数给出此类每个类别编号的顺序\（h\le100\）.易于扩展这是以GRH为条件的较大类数，但很多很难拒绝无条件的结果。

输入：

• \（小时）–整数

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.cm软件 进口 带有类编号的最大光盘
圣人：带有类编号的最大光盘(0)
(0, 0)
圣人：带有类编号的最大光盘(1)
(163, 13)
圣人：带有类编号的最大光盘(2)
（427，29）
圣人：最大_类别_数量(10)
(13843, 123)
圣人：带有类编号的最大光盘(100)
(1856563, 2311)
圣人：带有类编号的最大光盘(101)
追踪（最近一次通话）：
...
NotImplementedError:类号101的最大鉴别符不可用

对于大多数人\（h\le100\），最大的基本判别式类别编号\（小时）也是最大的判别词，但这不是一些人的情况\（小时）:

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.cm软件 进口 带有类编号的最大光盘, 带有类别编号的最大基本光盘
圣人：[小时 对于 小时 在里面 范围(1,101) 如果 带有类编号的最大光盘(小时)[0] != 带有类别编号的最大基本光盘(小时)[0]]
[6, 8, 12, 16, 20, 30, 40, 42, 52, 70]
圣人：带有类别编号的最大基本光盘(6)
(3763, 51)
圣人：带有类编号的最大光盘(6)
(4075, 101)

sage.schemes.elliptic_curves.cm。带有类别编号的最大基本光盘(小时)

返回任何基本负判别式的最大绝对值类别编号\（小时），和基本否定判别数那个班级号码。这是已知的（无条件的）\（小时）高达100，马克·沃特金斯的作品([沃特金斯2004年]).

注意

基本否定判别式的类数\（D\）是与虚二次域的类数相同\（\QQ（\sqrt{D}）\），因此此函数给出此类每个类编号的字段\（小时100）.易于扩展这是以GRH为条件的较大类数，但很多很难获得无条件的结果。

输入：

• \（小时）–整数

示例：

圣人：从 sage.schemes.elliptic_curves.cm软件 进口 带有类别编号的最大基本光盘
圣人：带有类别编号的最大基本光盘(0)
(0, 0)
圣人：带有类别编号的最大基本光盘(1)
(163, 9)
圣人：带有类别编号的最大基本光盘(2)
(427, 18)
圣人：带有类别编号的最大基本光盘(10)
(13843, 87)
圣人：带有类别编号的最大基本光盘(100)
(1856563, 1736)
圣人：最大_基础_disc_with_class_number(101)
追踪（最近一次通话）：
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NotImplementedError：类号101的最大基本鉴别符不可用