2009年7月20日,晚上09:03
我一直认为著名的方程式
102+ 112+ 122= 132+ 142
是一种奇迹,一种偶然的侥幸。我喜欢这个可爱的方程式,但从未认真考虑过。最近,当我儿子谢尔盖从拖把,他告诉我这个等式不是侥幸;我开始思考。
假设我们想找到五个连续的整数,使得前三个的平方和等于后两个的平方之和。让我们用以下公式表示中间的数字n个,它给出了等式:
(n–2)2+(n–1)2+n个2=(n+1)2+(n+2)2.
简化后,我们得到一个二次方程:n个2-12n=0,它有两个根,0和12。堵塞n=0到上面的等式中可以得到(–2)2+ (–1)2+ 02= 12+ 22,这看起来一点也不像奇迹,而是一个微不足道的身份。如果我们更换n个用12,我们得到了原始的奇迹方程式。
如果您查看简化是如何完成的,您可能会意识到这不仅适用于五个整数,而且适用于任何奇数个连续整数。假设我们想找到2公里+1连续整数,例如第一个整数的平方和k+1(千分之一)等于最后一个的平方和k个。让我们用表示中间数n个找到这些整数就相当于求解方程:n个2=2k(k+1)n这为我们提供了两个解决方案:平凡解0和非平凡解n=2k(k+1).
所以我们的奇迹方程式成为这个系列的一部分。前面的方程是著名的勾股三元组:三2+ 42= 52下一个方程式是212+ 222+ 232+242= 252+ 262+ 272。序列中的中间数是三角形数乘以四。
实际上,你知道吗102+ 112+ 122= 132+ 142= 365,一年中的天数?也许有奇迹或偶然的侥幸。
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