奇迹方程式

我一直认为著名的方程式

102+ 112+ 122= 132+ 142

是一种奇迹,一种偶然的侥幸。我喜欢这个可爱的方程式,但从未认真考虑过。最近,当我儿子谢尔盖从拖把,他告诉我这个等式不是侥幸;我开始思考。

假设我们想找到五个连续的整数,使得前三个的平方和等于后两个的平方之和。让我们用以下公式表示中间的数字n个,它给出了等式:

(n–2)2+(n–1)2+n个2=(n+1)2+(n+2)2.

简化后,我们得到一个二次方程:n个2-12n=0,它有两个根,0和12。堵塞n=0到上面的等式中可以得到(–2)2+ (–1)2+ 02= 12+ 22,这看起来一点也不像奇迹,而是一个微不足道的身份。如果我们更换n个用12,我们得到了原始的奇迹方程式。

如果您查看简化是如何完成的,您可能会意识到这不仅适用于五个整数,而且适用于任何奇数个连续整数。假设我们想找到2公里+1连续整数,例如第一个整数的平方和k+1(千分之一)等于最后一个的平方和k个。让我们用表示中间数n个找到这些整数就相当于求解方程:n个2=2k(k+1)n这为我们提供了两个解决方案:平凡解0和非平凡解n=2k(k+1).

所以我们的奇迹方程式成为这个系列的一部分。前面的方程是著名的勾股三元组:2+ 42= 52下一个方程式是212+ 222+ 232+242= 252+ 262+ 272。序列中的中间数是三角形数乘以四。

实际上,你知道吗102+ 112+ 122= 132+ 142= 365,一年中的天数?也许有奇迹或偶然的侥幸。

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9评论

  1. 乔纳森:

    另外,$latex 20^2+22^2+24^2=26^2+28^2$
    对于偶数连续整数的较长字符串,有一些解决方案。
    看起来在奇数连续整数中不可能有解。

  2. 塔尼亚·霍瓦诺娃:

    乔纳森,偶数的解可以由整数的解乘以2得到。

  3. 乔纳森:

    哎呀。我对我的(n-4)^2+(n-2)^2+……工作非常满意。但是的,这是显而易见的(事后诸葛亮)。我怎么没有注意到我有20、22、24,而不是10、11、12?

  4. 米沙:

    可能的其他程度的概括(而不是2)是相当清楚的。

  5. 巧合«:

    […]很巧合vgtfinal迈克尔·卢戈考虑了毕达哥拉斯三元组,其中所有三个数字都是连续的,另一个类似的[…]

  6. 尼罗帕尔·辛哈:

    我想与正方形分享一个类似的有趣特性。两个整数的和是平方。它们的平方和也是一个平方。

    (-3)+4=1²和(-3)²+4²=5²

    9+40=7平方米,9平方米+40平方米=41平方米

    这有无限多的解决方案。

  7. 阿尔基斯·皮斯卡斯:

    你好,

    关于这个方程式,请看一下:https://abstruegoose.com/63
    很喜欢。

    阿尔基斯

  8. 哈贝尔:

    有人能回答这个问题吗???拉姆用一个巨大的奇迹数字乘以他的出生年份。他的朋友山姆也用另一个奇迹般的数字乘以了他的出生年份。当他们将结果相加时,得到的答案等于825384558296。萨姆和拉姆的出生年份是什么。(提示:eqn使用ax+by=ans,其中a,b是出生年份(1920年和2010年),x,y是大奇迹数字。ans是总和。)

  9. 阿尼尔·巴巴萨赫布·坦贝(Anil Babasaheb Tambe):

    3^2+4^2=5^2

    加上3+7=10和5+9=14

    10^2+11^2+12^2=13^2+14^2
    10+11=21或14+13=27给出第一个和最后一个数字
    所以
    21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2

    21+15=36&27+17=44

    所以
    36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2

    接下来是36+19=55和44+21=65
    编号为55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65

    等等…。

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