搜索: 序号:1,1,2,4,9,21,51127
|
|
A001006号
|
| 莫茨金数:绘制连接圆上n个(标记)点的任意数量不相交和弦的方法。 (原名M1184 N0456)
|
|
+30 575
|
|
|
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, 1697385471211
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
评论
|
4321、(34122413)、(34123142)和3412的数量避免了S_n中的对合。
由正整数组成的长度为n-1的序列数,其中第一个和最后一个元素为1或2,任何两个连续元素之间的绝对差为0或1-乔恩·佩里2003年9月4日
此外,Motzkin n路径数:仅使用步骤U=(1,1)、F=(1,0)和D=(1,-1)在n X n网格中从(0,0)到(n,0)的路径。
没有UUU的Dyck n路径数。(给定这样一个Dyck n路径,将每个UUD改为U,然后将每个剩余的UD改成F。这是对Motzkin n路径的双射。例如n=5:U U D U D D D->U F U D D。)
没有UDU的Dyck(n+1)路径数。(给定这样一个Dyck(n+1)-路径,标记每个后跟D的U和每个不后跟U的D。然后将匹配的D标记为F的每个未标记U更改为F。最后,删除所有标记的步骤。这是Motzkin n路的双射。n=6且标记步骤为小型的示例:U U d d U U d d d d d U d->U U d d d F U d d d U d->U U d F F F d
a(n)是以下递归定义集合中长度为2n+2的字符串的数量:L包含空字符串,对于L中的任何字符串a和b,我们也在L中找到(ab)。L的前几个元素是e、()、(())、(())、((()))、(()))、,第(n+1)个加泰罗尼亚数字索尔·施莱默(saulsch(AT)math.rutgers.edu),2006年2月23日谢尔盖·柯尔吉佐夫2020年3月5日]
a(n)=所有山谷具有偶数x坐标的Dyck n路径数(路径从原点开始时)。例如,T(4,2)=3计数UDUDUUDD、UDUUDDUD、UUDDUDUD。给定这样一条路径,将其拆分为长度为2的n个子路径,并转换UU->U、DD->D、UD->F(将不存在DU,因为这将需要具有奇数x坐标的山谷)。这是Motzkin n路的双射-大卫·卡伦2006年6月7日
此外,高度<=3的标准Young表的数量-迈克·扎布罗基2007年3月24日
a(n)是大小为2n+2的RNA形状的数量。RNA形状基本上是没有A[[B]]C形式的“直接嵌套”基序的Dyck词,用于A、B和C Dyck单词。第一个RNA形状是[];[][]; [][][], [[][]]; [][][][], [][[][]], [[][][]], [[][]][]; ... - Yann Ponty(Ponty(AT)lri.fr),2007年5月30日
该序列是从顶行A到左行开始(1,1)和底行=B的自生成序列,相同的序列是从(0,1)到右行。取A和B的点积,将结果加到A的第n项上,得到A的第(n+1)项。例如:A(5)=21如下:取A的点积=(9,4,2,1,1)和(0,1,2,4)=(0,+4+2+4)=12;将其加到9=21上-加里·亚当森2008年10月27日
等于A005773号/A005773号移位(即(1,2,5,13,35,96,…)/(1,1,2,5,13,35,97,…))-加里·亚当森2008年12月21日
从偏移量1开始=M*[1,1,0,0,0,…]的迭代次数,其中M=主对角线为[0,1,1,…],上对角线和次对角线均为[1,1,1…]的三对角线矩阵-加里·亚当森2009年1月7日
a(n)是亏格为0的{1,2,…,n}的对合数。{1,2,…,n}的置换p的亏格g(p)由g(p)=(1/2)[n+1-z(p)-z(cp')]定义,其中p'是p的逆置换,c=234…n1=(1,2,..,n),z(q)是置换q的圈数。示例:a(4)=9;实际上,p=3412=(13)(24)是亏格>0的{1,2,3,4}的唯一对合。这很容易从{1,2,…,n}的置换p有亏格0这一事实得出结论,当且仅当p的循环分解给出{1,2、…,n{的非交叉分区,并且p的每个循环都在增加(参见Dulucq-Simion参考的引理2.1)。[另外,冗余地,对于p=3412=(13)(24),我们有cp'=2341*3412=4123=(1432),因此g(p)=(1/2)(4+1-2-1)=1。]-Emeric Deutsch公司,2010年5月29日
设w(i,j,n。那么a(n)=Sum_{i=0..n,j=0..n}w(i,j,n)是长度为n的这种游动的次数-彼得·卢施尼2011年5月21日
a(n)/a(n-1)趋于3.0,因为n->无穷大:(1+2*cos(2*Pi/n))与最长奇数n条正多边形对角线有关,例如,n=7:使用三对角线生成器[参见2009年1月7日的评论],对于多边形n=7,我们提取了一个(n-1)/2=3X3矩阵[0,1,0;1,1,1;0,1,1],其e值为2.24697。。。;最长的Heptagon对角线,边=1。当N趋于无穷大时,对角线长度趋于3.0,序列收敛-加里·亚当森,2011年6月8日
避免模式132和虚线模式23\点{1}的(n+1)长度排列数-珍妮·卢克·巴里尔2012年3月7日
字母{a,b,c}上n长度单词w的数量,因此对于w的每个前缀z,我们都有#(z,a)>=#(z、b)>==#(z和c),其中#(z)计算单词z中的字母x。a(4)=9个单词是:aaaa,aaab,aaba,abaa,abab,aabc,abac,abca-阿洛伊斯·海因茨2012年5月26日
长度为n的限制增长字符串(RGS)[r(1),r(2),…,r(n)]的数目,使得r(1=r(k-1);例如,n=4的9个RGS是1010、1012、1201、1210、1212、1230、1231、1232、1234-乔格·阿恩特2013年4月16日
长度为n的限制增长字符串(RGS)[r(1),r(2),…,r(n)]的数目,其中r(11;例如,n=4的9 RGS是0000、0002、0003、0004、0022、0024、0033、0222、0224-乔格·阿恩特2013年4月17日
S_n中避免对合的(42315276143)个数-亚历山大·伯斯坦2014年3月5日
a(n)是具有n个具有关联置换避免132的节点的递增一元二叉树的数目。有关具有关联排列的一元二叉树的更多信息,请参阅A245888型-曼达·里尔2014年8月7日
a(n)是[n]上避免单个图案p的对合数,其中p是8个(经典)图案1234、1243、1432、2134、2143、3214、3412、4321中的任意一个。此外,编号(34122413)-,(34123142)-,,(341224103142)-避免了[n]上的对合,因为这三组中的每一组实际上都与3412-避免[n]的对合一致。这是一个完整的列表,其中包括8个单字母、2对字母和1个三个四字母的经典图案,这些图案的对合避免因子由Motzkin数计算。(参见Barnabei等人2011年的参考。)-大卫·卡伦2014年8月27日
使用2*A(n)+A(n+1)创建的序列具有F(2n)的Hankel变换,偏移量3,F是斐波那契等分,A001906号(实证观察)。
使用2*A(n)+3*A(n+1)+A(n+2)创建的序列给出了求和{k=0..n}k*Fibonacci(2*k),偏移量3,A197649号(实证观察)。(结束)
猜想:(2/n)*Sum_{k=1..n}(2k+1)*a(k)^2是每个正整数n的整数-孙志伟2017年11月16日
Rubey和Stump参考证明了RenéMarczinzik的一个猜想的改进,他们说:“2-Gorenstein代数的数量是具有n个简单模的Nakayama代数,并且有一条定向线作为相关的箭矢,等于长度n的Motzkin路径的数量。”-埃里克·施密特2017年12月16日
U的数量_{k} -等效Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的,如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫2018年4月8日
如果tau_1和tau_2是从集合{132231312}中选择的两个不同的置换模式,则a(n)是[n+1]的置换的有效钩配置数,这些置换避免了模式tau_1和tau_2-科林·德芬特,2019年4月28日
长度为n的排列数,按连续321避免堆栈和经典21避免堆栈排序为标识-科林·德芬特2020年8月29日
a(n)是第一象限中从(0,0)开始,由无限集{(1,1),(1,-1),(1,-2),(1,-3),…}的n步组成的路径数。
例如,如果j>=2,表示U=(1,1)、D=(1,-1)、D_j=(1、-j),则a(4)计算UUUU、UUUD、UUUT_2、UUUUD_3、UUDU、UUDD、UUD_2U、UDUU、UDU、UDUD。
这个步骤集的灵感来自于2000年左右Emeric Deutsch提出的{(1,1),(1,-1),(1,3),(1,-5),…}。
请参见包含Motzkin路径双射的Prodinger链接。(结束)
Donaghey(1977)以以色列-美国数学家西奥多·莫茨金(1908-1970)的名字命名。在斯隆的《整数序列手册》(1973)中,它们被称为“广义选票数”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月15日
推测:
(1) 对于素数p==1(mod 6)和n,r>=1,a(n*p^r-2)==-A005717号(n-1)(mod p),取A005717号(0)=0,以匹配上述巴塔洛夫猜想。
(2) 对于素数p==5(mod 6)和n>=1,a(n*p-2)==-A005773号(n) (修订版)。
(3) 对于素数p>=3和k>=1,a(n+p^k)==a(n)(mod p)表示0<=n<=(p^k-3)。
(4) 对于素数p>=5和k>=2,对于0<=n<=(p^(k-1)-3),a(n+p^k)==a(n)(mod p^2)。(结束)
省略(0)的这个序列的Hankel变换给出了周期-6序列[1,0,-1,-1,0,1,…],它是A010892号省略了第一项,而当前序列的Hankel变换是全一序列A000012号,也是具有这种性质的唯一序列,它类似于加泰罗尼亚数的唯一Hankel变换性质-迈克尔·索莫斯2022年4月17日
|
|
参考文献
|
E.Barccci、R.Pinzani和R.Sprugnoli,莫茨金家族,P.U.M.A.Ser。A、 第2卷,1991年,第3-4期,第249-279页。
F.Bergeron、L.Favreau和D.Krob,关于有界高度表枚举的猜想,《离散数学》,第139卷,第1-3期(1995年),463-468。
F.R.Bernhart、Catalan、Motzkin和Riordan数字,Disc。数学。,204 (1999) 73-112.
R.Bojicic和M.D.Petkovic,基于Motzkin数的序列Hankel变换的正交多项式方法,马来西亚数学科学公报,2015,doi:10.1007/s40840-015-0249-3。
Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第24、298、618、912页。
Alin Bostan,Calcul Formel pour la Combinatoire des Marches,HabilitationáDiriger des Recherches,巴黎大学北区信息实验室,2017年12月13日;https://specfun.inria.fr/bostan/HDR.pdf
A.J.Bu,受限Motzkin路径的自动计数,枚举组合与应用,ECA 1:2(2021)第S2R12条。
奈奥米·卡梅隆(Naiomi Cameron),JE McLeod,《广义Dyck路径上的回归和丘陵》(Returns and Hills on Generalized Dyck Paths),《整数序列杂志》(Journal of Integer Sequences),2016年第19卷,第16.6.1号。
L.Carlitz,某些复发的解决方案,SIAM J.Appl。数学。,17 (1969), 251-259.
Michael Dairyko、Samantha Tyner、Lara Pudwell和Casey Wynn,二叉树中的非相似模式避免。电子。J.Combin.19(2012),第3期,论文22,21 pp.MR2967227。
D.E.Davenport、L.W.Shapiro和L.C.Woodson,《Double Riordan Group》,《组合数学电子期刊》,第18卷第2期(2012年),第33页。
E.Deutsch和L.Shapiro,《细数调查》,离散数学。,241 (2001), 241-265.
T.Doslic、D.Svrtan和D.Veljan,二级结构的枚举方面,Disc。数学。,285 (2004), 67-82.
Tomislav Doslic和Darko Veljan,一些组合序列的对数行为。离散数学。308(2008),第11期,2182-2212。MR2404544(2009j:05019)。
S.Dulucq和R.Simion,交替排列的组合统计,J.代数组合学,81998169-191。
M.Dziemianczuk,“具有多条边和Raney晶格路径的平面树的枚举”,《离散数学》337(2014):9-24。
方文杰,Motzkin路上的一个偏序,离散数学。,343 (2020), #111802.
I.P.Goulden和D.M.Jackson,《组合计数》,纽约威利出版社,1983年,(5.2.10)。
N.S.S.Gu、N.Y.Li和T.Mansour,《二叉树:双投影和相关问题》,Disc。数学。,308 (2008), 1209-1221.
Kris Hatch,《Motzkin Monoid的介绍》,加州大学圣巴巴拉分校高级论文,2012年;http://ccs.math.ucsb.edu/senior-thesis/Kris-Hatch.pdf。
V.Jelinek、Toufik Mansour和M.Shattuck,《关于多模式避免集合划分》,《应用数学进展》第50卷第2期,2013年2月,第292-326页。
Hana Kim和R.P.Stanley,六叉树和相关多项式的精细枚举,网址:http://www-math.mit.edu/~rstan/papers/hextrees.pdf,2015年预印本。
S.Kitaev,《排列和单词中的模式》,施普林格出版社,2011年。见第399页表A.7。
A.Kuznetsov等人,《与Motzkin数相关的树》,J.Combin.理论,A 76(1996),145-147。
T.Lengyel,《关于Motzkin数某些差异的可除性》,《Annales Mathematicae et Informaticae》,41(2013),第121-136页。
W.A.Lorenz、Y.Ponty和P.Clote,《RNA形状的渐进性》,《计算生物学杂志》。2008, 15(1): 31-63. doi:10.1089/cmb.2006.0153。
Piera Manara和Claudio Perelli Cippo,4321避免对合和321避免对合的精细结构,PU。M.A.Vol.22(2011),227-238;http://www.mat.unisi.it/newsito/puma/public_html/22_2manara_perelli-cippo.pdf。
Toufik Mansour,限制1-3-2置换和广义模式,《组合年鉴》,6(2002),65-76。
图菲克·曼苏尔(Toufik Mansour)、马蒂亚斯·肖克(Matthias Schork)和马克·沙塔克(Mark Shattuck),加泰罗尼亚数字和模式限制集分区。离散数学。312(2012),第20期,2979-2991。MR2956089。
T.S.Motzkin,超曲面交比与多边形分割、永久优势和非结合积的组合公式之间的关系,布尔。阿默尔。数学。《社会学杂志》,54(1948),352-360。
Jocelyn Quaintance和Harris Kwong,《加泰罗尼亚和贝尔数字差异表的组合解释》,《整数》,13(2013),#A29。
J.Riordan,《通过分支和端点对平面树进行计数》,J.Combin.Theory,A 23(1975),214-222。
A.Sapounakis等人,有序树和横向中阶,Disc。数学。,306 (2006), 1732-1741.
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,《Dyck路径中的字符串计数》,离散数学。,307 (2007), 2909-2924.
E.Schroeder,Vier组合问题,Z.f.数学。物理。,15 (1870), 361-376.
L.W.Shapiro等人,Riordan小组,离散应用数学。,34 (1991), 229-239.
Mark Shattuck,《关于组合系数多项式的零点》,《数学与信息年鉴》,42(2013),第93-101页,http://ami.ektf.hu。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil,《k二项式变换和Hankel变换》,《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.1条。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,剑桥,第2卷,1999年;参见问题6.37。还有问题7.16(b),y_3(n)。
P.R.Stein和M.S.Waterman,关于推广加泰罗尼亚数和莫茨金数的一些新序列,离散数学。,第26页(1979年),第261-272页。
孙振伟,涉及数列的猜想,《数论:香格里拉的算术》(编辑:S.Kanemitsu,H.Z.Li和J.Y.Liu),Proc。第六届中日学期数理论(上海,2011年8月15日至17日),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页;网址:http://math.nju.edu.cn/~zwsun/142p.pdf。
王晨英,Piotr Miska和István Mezõ,“r-无序数”。离散数学340.7(2017):1681-1692。
王颖,辛国策,莫茨金数模8的分类,电子。J.Combina.,25(1)(2018),#P1.54。
Woan Wen-Jin,Motzkin序列递归关系的格路组合证明。斐波纳契夸脱。40(2002),第1期,第3-8页。
Woan Wen-jin,加权Motzkin序列的递归关系,整数序列杂志,第8卷(2005),第05.1.6条。
F.Yano和H.Yoshida,一些在非交叉分区中设置分区统计和生成函数,Discr。数学。,307 (2007), 3147-3160.
|
|
链接
|
M.Aigner,莫茨金数,欧洲。J.库姆。19 (1998), 663-675.
M.Aigner,通过选票编号枚举,离散数学。,308 (2008), 2544-2563.
J.L.Arregui,切线和伯努利数通过数字三角形与Motzkin和Catalan数字相关,arXiv:math/0109108[math.NT],2001年。
马塞洛·阿蒂奥利(Marcello Artioli)、朱塞佩·达托利(Giuseppe Dattoli)、西尔维娅·利奇亚迪(Silvia Licciardi)和西蒙内塔·帕格努蒂(Simonetta Pagnutti),Motzkin数:一种操作观点,arXiv:1703.07262[math.CO],2017年。
安德烈·阿西诺夫斯基(Andrei Asinowski)、阿克塞尔·巴彻(Axel Bacher)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和伯恩哈德·吉滕贝格(Bernhard Gittenberger),具有禁止模式的格路的分析组合学:枚举方面《语言与自动机理论与应用国际会议》,S.Klein,C.Martín-Vide,D.Shapira(编辑),Springer,Cham,第195-206页,2018年。
安德烈·阿辛诺夫斯基(Andrei Asinowski)、西里尔·班德利尔(Cyril Banderier)和瓦莱丽·罗特纳(Valerie Roitner),具有多个禁止模式的格路径的生成函数, (2019).
A.Asinowski和G.Rote,具有许多非交叉匹配的点集,arXiv预印本arXiv:1502.04925[cs.CG],2015。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps,生成树的生成函数《离散数学》246(1-3),2002年3月,第29-55页。
C.Banderier、C.Krattenthaler、A.Krinik、D.Kruchinin、V.Kruchinin、D.Nguyen和M.Wallner,格路径枚举的显式公式:basketball和核方法,arXiv预印本arXiv:1609.06473[math.CO],2016。
Elena Barcucci、Alberto Del Lungo、Elisa Pergola和Renzo Pinzani,一种平面树枚举方法《形式幂级数与代数组合数学第七届会议论文集》(Noisy-le-Grand,1995)。离散数学。180(1998),第1-3、45--64号。MR1603693(98m:05090)。
Jean-Luc Baril,避免不可约排列中的模式《离散数学与理论计算机科学》,第17卷,第3期(2016年)。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov,置换的纯下降统计量, 2016.
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov,置换的纯下降统计量,离散数学,340(10)(2017),2550-2558。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、JoséL.Ramírez和Diego Villamizar,Motzkin Polyminoes的组合学,arXiv:2401.06228[math.CO],2024。参见第1页和第7页。
Jean-Luc Baril、Toufik Mansour和A.Petrossian,置换模例外的等价类, 2014.
玛丽莲娜·巴纳贝、弗拉维奥·博内蒂和尼科洛·卡斯特罗诺沃,莫茨金和加泰罗尼亚隧道多项式,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.8.8条。
玛丽莲娜·巴纳贝(Marilena Barnabei)、弗拉维奥·博内蒂(Flavio Bonetti)和马特奥·西林巴尼(Matteo Silinbani),限制对合与Motzkin路《应用数学进展》47(2011),102-115。
A.M.Baxter和L.K.Pudwell,避免成对图案的递增序列,《组合数学电子杂志》,22(1)(2015),#P1.58。
克里斯蒂安·比恩,求置换集的结构雷克雅未克大学计算机科学学院博士论文,2018年。
米克洛斯·博纳(Miklós Bóna)、切恩·霍姆伯格(Cheyne Homberger)、杰·潘通(Jay Pantone)和文斯·瓦特(Vince Vatter),避免模式对合:精确和渐近枚举,arxiv:1310.7003[math.CO],2013年。
阿林·博斯坦,格路组合的计算机代数,Seminaire de Combinatoire Ph.Flajolet,2013年3月28日。
阿林·博斯坦和曼努埃尔·考尔斯,限制格点行走的自动分类,arXiv:0811.2899[math.CO],2009年。
Alin Bostan、Andrew Elvey Price、Anthony John Guttmann和Jean-Marie Maillard,避免图案置换的Stieltjes矩序列,arXiv:2001.00393[math.CO],2020年。
Alexander Burstein和J.Pantone,不平衡Wilf等价的两个例子,arXiv:1402.3842[math.CO],2014年。
亚历山大·伯斯坦(Alexander Burstein)和路易斯·夏皮罗(Louis W.Shapiro),Riordan群中的伪进化,arXiv:2112.11595[math.CO],2021。
朱利奥·塞尔拜(Giulio Cerbai)、安德斯·克莱森(Anders Claesson)、卢卡·费拉里(Luca Ferrari)和埃纳尔·斯坦格里姆松(Einar Steingriímsson),使用防图案堆栈进行排序:132机器,arXiv:2006.05692[math.CO],2020年。
Gi-Sang Cheon、S.-T.Jin和L.W.Shapiro,形式幂级数的组合等价关系《线性代数及其应用》,第491卷,2016年2月15日,第123-137页。
Yun Ding和Rosena R.X.Du,计算莫茨金路径中的驼峰,arXiv预印本arXiv:1109.2661[math.CO],2011。
I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham,Motzkin和Jones单体的幂等统计,arXiv:1507.04838[math.CO],2015年。
罗伯特·多纳吉和路易斯·夏皮罗,莫茨金数《组合理论》,A辑,第23卷,第3期(1977年),第291-301页。
伊万娜·乌尔德耶夫、伊戈尔·多林卡和詹姆斯·伊斯特,图范畴中的三明治半群,arXiv:1910.10286[math.GR],2019年。
Jackson Evoniuk、Steven Klee和Van Magnan,枚举最小长度格路径,J.国际顺序。,21 (2018), #18.3.6.
P.Flajolet和R.Sedgewick,分析组合数学, 2009; 参见第68页和第81页。
Juan B.Gil和Jordan O.Tirrell,经典和增强k-非交叉分区的简单双射,arXiv:1806.09065[math.CO],2018年。《离散数学》(2019),第111705条。doi:10.1016/j.disc.2019.111705
Nickolas Hein和Jia Huang,模块化加泰罗尼亚数字,arXiv:1508.01688[math.CO],2015-2016年。
曼纽尔·考尔斯(Manuel Kauers)和多伦·齐尔伯格(Doron Zeilberger),限制运行的标准杨表计数,arXiv:2006.10205[math.CO],2020年。
W.A.Lorenz、Y.Ponty和P.Clote,RNA形状的渐近性《计算生物学杂志》15(1)(2008),31-63。
K.Manes、A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,长度为2和3的投票路径模字符串的等价类,arXiv:1510.01952[math.CO],2015年。
图菲克·曼苏尔,Dyck路径统计《整数序列杂志》,9(2006),#06.1.5。
V.Mazorchuk和B.Steinberg,双加泰罗尼亚幺半群,arXiv:1105.5313[math.GR],2011年。
Cam McLeman和Erin McNicholas,图形可逆性,arXiv:1108.3588[math.CO],2011年。
梅周生和王随杰,广义置换的模式避免,arXiv:1804.06265[math.CO],2018年。
D.Merlini、D.G.Rogers、R.Sprugnoli和M.C.Verri,关于Riordan阵列的一些替代特征、加拿大。数学杂志。,49 (1997), 301-320.
T.莫茨金,超曲面交比,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,51(1945),976-984。
J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,非交换对称函数与拉格朗日反演,arXiv:math/0512570[math.CO],2005-2006。
维尔·佩特森,枚举哈密顿循环《组合数学电子杂志》,21(4)(2014),#P4.7。
L.Pudwell,树木中的模式避免(演讲中的幻灯片,提到了许多序列),2012年。
阿隆·雷格夫(Alon Regev)、阿米泰·雷格芙(Amitai Regev,S_n的字符表中的标识,arXiv:1507.03499[math.CO],2015年。
E.Rowland和R.Yassawi,有理函数对角线的自动同余,arXiv:1310.8635[数学NT],2013年。
J.Salas和A.D.Sokal,反铁磁Potts模型的转移矩阵和分区函数零点。V.方形晶格色多项式的进一步结果,J.Stat.Phys。135 (2009) 279-373,arXiv预印本,arXiv:0711.1738[第二阶段统计数据],2007-2009年。提到这个序列。
A.Sapounakis和P.Tsikouras,关于k色Motzkin词《整数序列杂志》,7(2004),#04.2.5。
E.Schröder,维耶组合问题,Z.f.数学。物理。,15 (1870), 361-376. [带注释的扫描副本]
N.J.A.斯隆,OEIS的应用(Vugraph摘自关于OEIS的演讲)。
孙志伟,涉及算术序列的猜想,在:数论:香格里拉的算术(编辑,S.Kanemitsu,H.Li和J.Liu),Proc。第六届中日研讨会(2011年8月15日至17日,上海),世界科学。,新加坡,2013年,第244-258页。
L.Takacs,有根树木和森林的计数,数学。《科学家》18(1993),1-10,特别是公式(6)。
|
|
配方奶粉
|
通用公式:A(x)=(1-x-(1-2*x-3*x^2)^(1/2))/(2*x^ 2)。
G.f.A(x)满足A(x。
G.f.:f(x)/x,其中f(x)是x/(1+x+x^2)的反转-乔格·阿恩特2012年10月23日
a(n)=(-1/2)和{i+j=n+2,i>=0,j>=0}(-3)^i*C(1/2,i)*C(1/2,j)。
a(n)=(3/2)^(n+2)*和{k>=1}3^(-k)*加泰罗尼亚语(k-1)*二项式(k,n+2-k)。【Doslic等人】
a(n)~3^(n+1)*sqrt(3)*(1+1/(16*n))/(2*n+3)*squart((n+2)*Pi))。[巴库奇、平扎尼和斯普鲁格诺利]
极限{n->infinity}a(n)/a(n-1)=3。[艾格纳]
a(n+2)-a(n+1)=a(0)*a(n)+a(1)*aa(n)*a(0)。[伯恩哈特]
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{i}(n+1)/(i!*(i+1)*(n-2*i)!)。[伯恩哈特]
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{k=0..上限(n+1;
具有递推的D-有限:(n+2)*a(n)=(2*n+1)*a(n-1)+(3*n-3)*a(n-2)。(结束)
例如:exp(x)*BesselI(1,2*x)/x-弗拉德塔·乔沃维奇2003年8月20日
这个序列的Hankel变换给出了A000012号= [1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]. 例如,Det([1,1,2,4;1,2,4,9;2,4,9,21;4,9,151])=1-菲利普·德尔汉姆2004年2月23日
a(n)=(1/(n+1))*Sum_{j=0..floor(n/3)}(-1)^j*二项式(n+1,j)*二项法(2*n-3*j,n)-Emeric Deutsch公司2004年3月13日
通用公式:A(x)=(1-y+y^2)/(1-y)^2,其中(1+x)*(y^2-y)+x=0;A(x)=4*(1+x)/(1+x+平方(1-2*x-3*x^2))^2;a(n)=(3/4)*(1/2)^n*总和_(k=0..2*n,3^(n-k)*C(k)*C(k+1,n+1-k))+0^n/4[根据Doslic等人]-保罗·巴里2005年2月22日
渐近公式:a(n)~sqrt(3/4/Pi)*3^(n+1)/n^(3/2)-贝诺伊特·克洛伊特2007年1月25日
a(n)=(1/(2*Pi))*Integral_{x=-1..3}x^n*sqrt((3-x)*(1+x))是力矩表示-保罗·巴里2007年9月10日
给定一个整数t>=1和初始值u=[a_0,a_1,…,a{t-1}],我们可以通过设置a_n=a_{n-1}+a_0*a_{n-1}+a_1*a{n-2}+…+来定义无限序列Phi(u)a_{n-2}*a_1表示n>=t。例如,Phi([1])是加泰罗尼亚数字A000108号当前序列为Phi([0,1,1]),见第6个公式-加里·亚当森,2008年10月27日
G.f.:1/(1-x-x^2/(1-x-x^2/-(1-x-x2/(1-x-x^2/……(连分数))-保罗·巴里2008年12月6日
通用公式:1/(1-(x+x^2)/(1-x^2/(1--保罗·巴里2009年2月8日
a(n)=(-3)^(1/2)/(6*(n+2))*(-1)^n*(3*超几何([1/2,n+1],[1],4/3)-超几何([1],n+2],[1],4/3))-马克·范·霍伊2009年11月12日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1-x^2/-保罗·巴里2010年3月2日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1+x-x/(1+/(1+x-x/(1+x-x/-保罗·巴里2011年1月26日[前面显然添加了第三个'1'-R.J.马塔尔2011年1月29日]
设A(x)为g.f.,则B(x)=1+x*A(x)=1+1*x+1*x^2+2*x^3+4*x^4+9*x^5+…=1/(1-z/(1-z:(1-z[(…)))),其中z=x/(1+x)(连分数);一般来说,B(x)=C(x/(1+x)),其中C(x)是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日
a(n)=(2/Pi)*积分{x=-1..1}(1+2*x)^n*sqrt(1-x^2)-彼得·卢施尼2011年9月11日
总面积:(1-x-sqrt(1-2*x-3*(x^2)))/(2*(x*2))=1/2/(x^ 2)-1/2/x-1/2/(x^2)*G(0);G(k)=1+(4*k-1)*x*(2+3*x)/(4*k+2-x*(2+3*x)*(4*k+1)*(4*k+2)/(x*(2+3*x;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月1日
总面积:(1-x-sqrt(1-2*x-3*(x^2)))/(2*(x*2))=(-1+1/G(0))/;G(k)=1-2*x/(1+x/(1+x/(1-2*x/(1-x/(2-x/G(k+1))));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月11日
0=a(n)*(9*a(n+1)+15*a-迈克尔·索莫斯2012年3月23日
a(n)=(-1)^n*超几何([-n,3/2],[3],4)-彼得·卢施尼2012年8月15日
雅可比多项式P(n,alpha,beta,x)的特殊值表示,Maple表示法:a(n)=2*(-1)^n*n*雅可比(n,2,-3/2-n,-7)/(n+2)!,n> =0-卡罗尔·彭森2013年6月24日
G.f.:Q(0)/x-1/x,其中Q(k)=1+(4*k+1)*x/((1+x)*(k+1)-x*(1+x)*(2*k+2)*(4*k+3)/(x*(8*k+6)+(2*k+3)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月14日
加泰罗尼亚语(n+1)=和{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)。例如:42=1*1+4*1+6*2+4*4+1*9-多伦·齐尔伯格2015年3月12日
偏移量为1的G.f.A(x)满足:A(x)^2=A(x^2/(1-2*x))-保罗·D·汉纳2015年11月8日
a(n)=GegenbauerPoly(n,-n-1,-1/2)/(n+1)-伊曼纽尔·穆纳里尼2016年10月20日
a(n)=a(n-1)+A002026号(n-1)。以F步长开始的Motzkin路径数,加上以U步长开头的Motz路径数-R.J.马塔尔2017年7月25日
G.f.:A(x)=exp(int((E(x)-1)/x dx)),其中E(xA002426号等价地,E(x)=1+x*A'(x)/A(x)-亚历山大·伯斯坦2017年10月5日
总面积:2/(1-x+平方(1-2*x-3*x^2))。
和{n>=0}1/a(n)=2.941237337631031025604300320152921013604885956025483079699366681494505960039781389... -瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月17日
对于Z中的所有n,设a(-1)=(1-sqrt(-3))/2和a(n)=a(-3-n)*(-3)^(n+3/2)。然后,a(n-迈克尔·索莫斯2022年4月17日
设b(n)=1表示n<=1,否则b(n)=Sum_{k=2..n}b(k-1)*b(n-k),则a(n)=b(n+1)(猜想)-乔格·阿恩特2023年1月16日
A(x)=1/(1-3*x)*c(-x/(1-3**))^2。
a(n+1)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*A000245型(k+1)。
a(n)=3^n*和{k=0..n}(-3)^(-k)*二项式(n,k)*加泰罗尼亚语(k+1)。
a(n)=3^n*超深层([3/2,-n],[3],4/3)。(结束)
|
|
例子
|
G.f.:1+x+2*x^2+4*x^3+9*x^4+21*x^5+51*x^6+127*x^7+323*x^8+。。。
|
|
MAPLE公司
|
#此序列有三种不同的Maple脚本:
[seq(加上(二项式(n+1,k)*二项式[n+1-k,k-1),k=0..ceil((n+1)/2))/(n+1),n=0..50)];
A001006号:=proc(n)选项记忆;局部k;如果n<=1,则1其他进程名(n-1)+添加(进程名(k)*进程名(n-k-2),k=0..n-2);fi;结束;
顺序:=20:求解(级数(x/(1+x+x^2),x)=y,x);
zl:=4*(1-z+sqrt(1-2*z-3*z^2))/(1-z+sqrt#零入侵拉霍斯,2007年2月28日
#n->[a(0),a(1),..,a(n)]
A001006号_列表:=proc(n)局部w,m,j,i;w:=proc(i,j,n)选项记忆;
如果最小(i,j,n)<0或最大(i,j)>n,则0
elif n=0,则如果i=0且j=0,那么1为0,否则为0
w(i,j+1,n-1)+w(i-1,j,n-1
[seq(add(add(w(i,j,m),i=0..m),j=0..m),m=0..n)]结束:
|
|
数学
|
a[0]=1;a[n_Integer]:=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k],{k,0,n-2}];数组[a,30]
(*第二个节目:*)
表[超几何2F1[(1-n)/2,-n/2,2,4],{n,0,29}](*彼得·卢施尼2016年5月15日*)
表[GegenbauerC[n,-n-1,-1/2]/(n+1),{n,0,100}](*埃马努埃勒·穆纳里尼2016年10月20日*)
MotzkinNumber=DifferenceRoot[函数[{y,n},{(-3n-3)*y[n]+(-2n-5)*y[1]+(n+4)*y[2]==0,y[0]==1,y[1]==1}]];
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=波尔科夫((1-x-sqrt((1-x)^2-4*x^2+x^3*O(x^n))/(2*x^2),n)}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n++;polceoff(serreverse(x/(1+x+x^2)+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*polceoff(exp(x+x*O(x^n))*besseli(1,2*x+x*O(x*n)),n))}/*迈克尔·索莫斯2003年9月25日*/
(最大值)a[0]:1$
a[1]:1$
a[n]:=((2*n+1)*a[n-1]+(3*n-3)*a[2])/(n+2)$
(最大值)
M(n):=系数(展开((1+x+x^2)^(n+1)),x^n)/(n+1;
(Maxima)标记列表(超球面(n,-n-1,-1/2)/(n+1),n,0,12)/*埃马努埃勒·穆纳里尼2016年10月20日*/
(哈斯克尔)
a001006 n=a001006_列表!!n个
a001006_list=zipWith(+)a005043_list$tail a005043-list
(Python)
从gmpy2导入divexact
对于范围(2,10**3)中的n:
(Python)
定义mot():
a、 b,n=0,1,1
为True时:
产量b//n
n+=1
a、 b=b,(3*(n-1)*n*a+(2*n-1)*n*b)//((n+1)*(n-1))
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A026300型,A005717号,A020474号,A001850号,A004148号。的第一列A064191美元,A064189号,A000108号,A088615号,A007971号,A001405号,A005817号,A049401号,A007579号,A007578号,A097862号,A005773号,A178515号,17275英镑。第一行A064645号.
莫兹金数A001006号读取模块2,3,4,5,6,7,8,11:A039963号,A039964号,A299919型,A258712型,A299920型,A258711型,A299918型,A258710型.
|
|
关键词
|
非n,核心,容易的,美好的
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A086246号
|
| (1+x-sqrt(1-2*x-3*x^2))/2的x次幂展开。 |
|
+30 16
|
|
|
0、1,1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, 1697385471211, 4859761676391, 13933569346707
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,5
|
|
评论
|
起始(1,1,1…)=的二项式逆变换A014137号: (1, 2, 4, 9, 23, 65, ...). -加里·亚当森2009年4月2日
|
|
链接
|
亚历山大·伯斯坦(Alexander Burstein)和路易斯·夏皮罗(Louis W.Shapiro),Riordan群中的伪进化,arXiv:2112.11595[math.CO],2021。
Gi-Sang Cheon、Marshall M.Cohen和Nikolaos Pantelidis,Riordan矩阵的分解和特征向量《线性代数及其应用》,第642卷(2022年),第118-138页。
T.Feil、K.Hutson和R.M.Kretchmar,树木遍历和排列,祝贺。数字。(2005),省略了前面的0,最后一个数字中有一个打字错误(303应该是323),第6章的最后一句。
|
|
配方奶粉
|
g.f.A(x)的级数反转为-A(-x)。
a(n)+a(n-1)=a(0)*a(na(n)*a(0),n>2。
G.f.A(x)满足0=f(x,A(x。
G.f.A(x)满足0=f(x,A(x。
总面积:(1+x-sqrt(1-2*x-3*x^2))/2。
G.f.:(1+x-sqrt(1-2*x-3*x^2))/2=(x+x/G(0))/2,其中G(k)=1-2*x/(1+x/(1-2x/(2-x/(2-1))));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年12月11日
G.f.:x+x^2*Q(0),其中Q(k)=1+x/(1-x-x/(x+1/Q(k+1)));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年4月25日
G.f.:x*Q(0),其中Q(k)=1+(4*k+1)*x/((1+x)*(k+1)-x*(1+x)*(2*k+2)*(4*k+3)/(x*(8*k+6)+(2*k+3)*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月14日
如果n>0,则0=a(n)*(9*a(n+1)+15*a(n+2)-12*a(n+3))+a(n+1)*(-3*a(n-+1)+10*a(nC+2)-5*a-迈克尔·索莫斯2014年1月25日
a(n)~3^(n-1/2)/(2*sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年4月20日
a(n)=和{k=1..n}二项式(2*k-2,k-1)*(-1)^(n-k)*二项式-弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年5月27日
带递归的D-有限:(3*n-3)*a(n)+(1+2*n)*a-罗伯特·伊斯雷尔2018年5月1日
|
|
例子
|
G.f.=x+x ^2+x ^3+2*x ^4+4*x ^5+9*x ^6+21*x ^7+51*x ^8+127*x ^9+。。。
|
|
MAPLE公司
|
使用(多项式工具):系数列表(转换为(taylor((1+x-sqrt(1-2*x-3*x^2))/2,x=0,33),多项式),x)#塔拉斯·戈伊2017年8月7日
|
|
数学
|
a[n_]:=系列系数[(1+x-Sqrt[1-2x-3x^2])/2,{x,0,n}](*迈克尔·索莫斯2014年1月25日*)
a=DifferenceRoot[函数[{y,n},{(3n-3)*y[n]+(2n+1)*y[1]+(-n-2)*y[2]==0,y[0]==0,y[1]==1,y[2]==1}]];
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=polceoff((1+x-sqrt(1-2*x-3*x^2+x*O(x^n)))/2,n)}
(PARI)x='x+O('x^99);concat(0,Vec((1+x-(1-2*x-3*x^2)^(1/2))\\阿尔图·阿尔坎2018年5月1日
(极大值)a(n):=总和((二项式(2*k-2,k-1)*(-1)^(n-k)*二项式[n-2,n-k)]/k,k,1,n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2014年5月27日*/
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A005207号
|
| a(n)=(F(2*n-1)+F(n+1))/2,其中F(n)是斐波那契数。 (原名M1183)
|
|
+30 12
|
|
|
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 322, 826, 2135, 5545, 14445, 37701, 98514, 257608, 673933, 1763581, 4615823, 12082291, 31628466, 82798926, 216761547, 567474769, 1485645049, 3889431721, 10182603746, 26658304492, 69792188337, 182718064101, 478361686155, 1252366480135
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
评论
|
当识别出镜像喷泉时,底部正好有n枚硬币的块状喷泉数量迈克尔·沃尔特曼(mwoltermann(AT)washjeff.edu),2010年10月6日
S_{n+1}中避免对合的(341254312)和(341245321)个数-拉尔夫·斯蒂芬,2003年7月6日
数量(0),s(1)。。。,s(n)),当i=1,2,。。。,n、 s(0)=1,s(n)=1-赫伯特·科西姆巴2004年5月31日
序列1,1,2,4,9,。。。具有g.f.1/(1-x-x^2/(1-x-x^2/(1-x-x^2/(1-x)))=(1-3*x+x^2+x^2)/(1-4*x+3*x^2+2*x^3-x^4)和一般术语(A001519号(n)+A000045号(n+1))/2。它是的二项式变换A001519号充气-保罗·巴里2009年12月17日
a(n)是高度<=3的Motzkin n路径数-阿洛伊斯·海因茨2023年11月24日
|
|
参考文献
|
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
|
|
链接
|
丹尼尔·海尔特,几类图的面翻转和上下马尔可夫链的混合时间德国柏林工业大学Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universitat Berlin zur Erlangang des akademischen Grades Doktor der Naturwisschaften,2016,论文。
M.D.McIlroy,动态存储系统的状态数《计算机杂志》,25(1982年第3期),388-392。
M.D.McIlroy,动态存储系统的状态数《计算机杂志》,25(1982年第3期),388-392。(带注释的扫描副本)
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
迈克尔·沃尔特曼,问题1826《数学杂志》,83(2010),304-305。
|
|
配方奶粉
|
总尺寸:1-x*(1-2*x-x^2+x^3)/((x^2+/x-1)*(x^2-3*x+1))。
a(n)=4*a(n-1)-3*a(n-2)-2*a(n-3)+a(n-4)。
a(n)=(w^(2*n-1)+w^。
a(n)=(2/5)*Sum_{k=1..4}(sin(Pi*k/5)^2*(1+2*cos(Pi*k/5))^n)-赫伯特·科西姆巴2004年5月31日
设M=一个无限三对角矩阵,所有1都在上对角线和主对角线中,[1,1,0,0,0,…]在次对角线。设V=向量[1,0,0,0,…]。序列作为M*V迭代的最左侧列生成-加里·亚当森,2011年6月7日
|
|
MAPLE公司
|
A005207号:=-(1-2*zz^2+z^3)/(z^2-3*z+1)/(z ^2+z-1)#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中,偏移量为0
a: =n->(矩阵([1,1,1,3]])。矩阵(4,(i,j)->如果i=j-1,则1 elif j=1,然后[4,-3,-2,1][i]其他0 fi)^n)[1,2]:seq(a(n),n=0..34)#阿洛伊斯·海因茨2008年9月6日
|
|
数学
|
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)a(n)=(斐波那契(2*n-1)+斐波那奇(n+1))/2
(PARI)x='x+O('x^50);Vec(-x*(1-2*x-x^2+x^3)/((x^2+x-1)*(x^2-3*x+1))\\G.C.格鲁贝尔2017年3月5日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A168049号
|
| 扩展(3-x-sqrt(1-2*x-3*x^2))/2。 |
|
+30 6
|
|
|
1, 0,1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,5
|
|
评论
|
或者,这个序列对应于n步{-1,0,1}的正行走次数,从原点开始,在高度1结束,并严格保持在x轴上方-大卫·阮2016年12月1日
|
|
链接
|
C.Banderier、C.Kreattehaler、A.Krinik、D.Kruchinin、V.Kruchini、D.Nguyen和M.Wallner,格路径枚举的显式公式:basketball和核方法,arXiv:1609.06473[math.CO],2016年。
|
|
配方奶粉
|
递归D-有限:n*a(n)+(3-2n)*a(n-1)+3(3-n)*a(n-2)=0-R.J.马塔尔2011年12月20日
如果n>0,则0=a(n)*(+9*a(n+1)+15*a(n+2)-12*a(n+3))+a(n+1)*(-3*a(n+1)+10*a-迈克尔·索莫斯2014年1月31日
a(n)~3^(n+1/2)/(6*sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年2月12日
通用格式:1+x^2/(1-x-x^2/(1-x-x-x^2/(1-x-x2/(1-…))),一个连分数-伊利亚·古特科夫斯基2017年9月23日
|
|
例子
|
G.f.=1+x ^2+x ^3+2*x ^4+4*x ^5+9*x ^6+21*x ^7+51*x ^8+-迈克尔·索莫斯,2018年9月26日
|
|
数学
|
系数列表[级数[(3-x-Sqrt[1-2*x-3*x^2])/2,{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年2月12日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)Vec((3-x-sqrt(1-2*x-3*x^2))/2)\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年12月1日
(岩浆)m:=30;R<x>:=PowerSeriesRing(基本原理(),m);系数(R!((3-x-Sqrt(1-2*x-3*x^2))/2)//G.C.格鲁贝尔,2018年9月25日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
容易的,非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A094286号
|
| 数量(0),s(1)。。。,s(n)),当i=1,2,。。。,n、 s(0)=1,s(n)=1。 |
|
+30 1
|
|
|
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127、323、835、2187、5787、15435、41419、111659、302059、819243、2226219、6058155、16503211、44991659、122727595、334914219、914235051、2496201387、6816678571、18617371307、50851322539、138903833259、379443202731、1036559854251
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
评论
|
a(n)是高度<=4的Motzkin n条路径的数量-阿洛伊斯·海因茨2023年11月24日
|
|
链接
|
丹尼尔·海尔特,几类图的面翻转和上下马尔可夫链的混合时间德国柏林工业大学Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universitat Berlin zur Erlangang des akademischen Grades Doktor der Naturwisschaften,2016,论文。
|
|
配方奶粉
|
a(n)=(1/12)*(4+3*2^n+(1-sqrt(3))^n+。
通用格式:-x*(1-3*x+3*x^3)/((x-1)*(2*x-1)x(2*x^2+2*x-1-R.J.马塔尔2011年12月20日
|
|
数学
|
线性递归[{5,-6,-2,4},{1,2,4,9},30](*哈维·P·戴尔2012年2月1日*)
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
容易的,非n
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A094288号
|
| 数量(0),s(1)。。。,s(n))使得对于i=1,2,。。。,n、 s(0)=1,s(n)=1。 |
|
+30 1
|
|
|
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113633, 310557, 853333, 2355861, 6531062, 18171848, 50722229, 141973073, 398351055, 1120056347, 3155043447, 8901325751, 25147423616, 71127785002, 201381834019, 570655858439, 1618256772285
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
评论
|
通常,a(n)=(2/m)*Sum_{k=1..m-1}sin(Pi*k/m)^2(1+2*cos(Pi*k/m))^n计算(s(0),s(1)。。。,s(n)),当i=1,2,。。。,n、 s(0)=1,s(n)=1。这里是m=8。
a(n)是高度小于等于6的Motzkin n条路径的数量-阿洛伊斯·海因茨2023年11月24日
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
a(n)=(1/4)*Sum_{k=1..7}sin(Pi*k/8)^2*(1+2*cos(Pi*k/8))^n。
猜想:a(n)=+7*a(n-1)-15*a-R.J.马塔尔2011年12月20日
|
|
数学
|
f[n_]:=完全简化[TrigToExp[(1/4)*和[Sin[Pi*k/8]^2(1+2Cos[Pi*k/8])^n,{k,1,7}]];表[f[n],{n,28}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月18日*)
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
容易的,非n
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A257387型
|
| 长度为n的Motzkin路径数,在高度4处没有水平台阶。 |
|
+30 1
|
|
|
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 834, 2179, 5743, 15238, 40637, 108800, 292200, 786703, 2122387, 5735596, 15522682, 42064028, 114117541, 309918698, 842489130, 2292332265, 6242655886
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
a(n)=a(n-1)+和{j=0..n-2}A257386型(j) *a(n-j)。
a(n)~3^(n+1/2)/(24*sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年4月24日
|
|
数学
|
系数列表[系列[1/(1-x-x^2*(1/(1-x-x2*(1/-(1-x-x-2*(1/1-(1-x-x^2x(1+x-Sqrt[1-2*x-3*x^2]))/(2*x*(1+x))))]))),{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年4月24日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)x='x+O('x^50);Vec(1/(1-x-x^2*(1/\\G.C.格鲁贝尔2017年6月3日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
|
|
1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 322, 827, 2145, 5607, 14751, 39020, 103713, 276848, 741901, 1995340, 5384554, 14576673, 39579527, 107776557, 294283193, 805649528, 2211176173, 6083560542, 16776970140, 46372110274, 128456563024, 356600559820, 991986172469, 2765030171165, 7722156349298, 21607098380159
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.:1/(1-x-x^2/(1-x-x2/(1-xx^2/(1-x+x^2*(1-M(x))))A001006号.
a(n)~3^(n+7/2)/(98*sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年4月27日
|
|
例子
|
对于n=4,我们有9条路径:HHHH、UDUD、UHD、HUHD和UUDD
|
|
数学
|
系数列表[系列[1/(1-x-x^2/(1-x-x2/(1-xx^2/(1-x+x^2*(1-(1-x-(1-2*x-3*x^2)^(1/2))))]),{x,0,30}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年4月27日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI)x='x+O('x^50);Vec(1/(1-x-x^2/(1-x-x^2/(1-x-x2/(1-x+x^2*(1-(1-x-(1-2*x-3*x^2)^(1/2))))\\G.C.格鲁贝尔2017年6月3日
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A094287号
|
| 数量(0),s(1)。。。,s(n)),当i=1,2,。。。,n、 s(0)=1,s(n)=1。 |
|
+30 0
|
|
|
1、1、2、4、9、21、51、127, 323, 835, 2188, 5798, 15510, 41822, 113531, 309937, 850118, 2340918, 6466953, 17913087, 49726649, 138287113, 385126811, 1073832695, 2996974774, 8370739326, 23394528640, 65415732100, 182989086965, 512046072481, 1433197869570
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
评论
|
通常,a(n)=(2/m)*Sum_{k=1..m}sin(Pi*k/m)^2(1+2*cos(Pi*k/m))^n计算(s(0),s(1)。。。,s(n)),当i=1,2,。。。,n、 s(0)=1,s(n)=1。这里,m=7。
a(n)是高度<=5的Motzkin n路径的数目-阿洛伊斯·海因茨2023年11月24日
|
|
链接
|
丹尼尔·海尔特,几类图的面翻转和上下马尔可夫链的混合时间,论文,Mathematik and Naturwissenschaften der Technischen Universität Berlin zur Erlangung des akademischen Grades Doktor der Naturwissenschaften,2016。
|
|
配方奶粉
|
a(n)=(2/7)*Sum_{k=1..6}sin(Pi*k/7)^2(1+2*cos(Pi*k/7))^n。
猜想:a(n)=+6*a(n-1)-10*a-R.J.马塔尔2011年12月20日
|
|
数学
|
f[n_]:=完全简化[TrigToExp[(2/7)*和[Sin[Pi*k/7]^2(1+2Cos[Pi*k/7])^n,{k,1,6}]];表[f[n],{n,28}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月18日*)
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
容易的,非n
|
|
作者
|
|
|
扩展
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
|
|
1,1, -1, 2, -4, 9, -21, 51, -127, 323, -835, 2188, -5798, 15511, -41835, 113634, -310572, 853467, -2356779, 6536382, -18199284, 50852019, -142547559, 400763223, -1129760415, 3192727797, -9043402501, 25669818476, -73007772802
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
评论
|
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
总面积:(1+3x-sqrt(1+2x-3x^2))/(2x);(1+3x)/(1+2x-x^2/(1+x-x^2/(1+x-x^2/(1+xx^2(1+…))))(连分数)。
a(n)=0^n+和{k=0..n}二项式(n-1,k-1)*(-3)^(n-k)*A000108号(k) ●●●●。
总面积:(1+3*x-sqrt(1+2*x-3*x^2))/(2x)=(3-1/G(0))/2;G(k)=1+2*x/(1-x/(1+2*x/(1+x/(2+x/G(k+1))));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基,2011年12月11日
猜想:n*(n+1)*a(n)+n*(n+1)*a(n-1)-(5*n-3)*(n-2)*a-R.J.马塔尔2012年11月15日
G.f.G(x)满足(3x^2-2x^2-x)G'(x)-(x+1)G(x-罗伯特·伊斯雷尔2016年5月17日
例如:1+积分(exp(-x)*BesselI(1,2*x)/x)dx-伊利亚·古特科夫斯基2020年6月1日
|
|
例子
|
G.f.=1+x-x^2+2*x^3-4*x^4+9*x^5-21*x^6+51*x^7-127*x^8+。。。
|
|
MAPLE公司
|
f: =gfun:-rectproc({3*n*a(n)+(-3-2*n)*a(1+n)+
with(PolynomialTools):系数列表(convert(taylor((1+3*x-sqrt(1+2*x-3*x^2)))/2/x,x=0,33),polynom),x)#塔拉斯·戈伊2017年8月7日
|
|
数学
|
系数列表[级数[(1+3*t-Sqrt[1+2*t-3*t^2])/(2t),{t,0,50}],t](*G.C.格鲁贝尔2016年5月17日*)
|
|
关键词
|
容易的,签名
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
搜索在0.029秒内完成
|