为什么证明无限多个限制素数如此困难？

Question

我想知道是否有无数用二进制书写的回文素数（11，101，111，10001，11111，1001001，1101011，…）很快发现它是未知的(OEIS公司A117697).事实上，尽管任何基中几乎所有的回文都是复合的，在任何基中是否存在无限个回文素数尚不清楚(Wolfram文章).

早期的（在MO问题中，“为什么这个操作符的素数是Sophie Germain素数？”),我了解到了未知是否存在无限数量的Sophie Germain初级.此外，不知道是否存在无穷多个梅森素数，斐波那契素数(OEIS A005478公司),Wilson素数，Cullen素数，更别提初出生的双胞胎、四胞胎、六胞胎和千美元$-元组.毫无疑问，我们的无知可以扩大。

在天真的我看来，对我们知道在限制序列中有无限个素数的素数。

第一季度这种肤浅的感觉是真的吗？

第2季度如果是，有什么高层次的原因使它如此困难吗来证明这些说法？或者每个人都有自己的特点原因？

我问这个是出于好奇，没有数论方面的专业知识。谢谢你的启发！

回答的问题。感谢您提供了丰富而翔实的答案！基本上，这两个问题都得到了回答：我的肤浅感知(第一季度)事实上并不准确，如quid、Anthony Quas和Joöl提供的示例所详细说明的那样，加上几条评论。高层原因(第2季度)对我列出的例子中的困难进行了很好的解释由弗兰克·索恩撰写，附加评论丰富了内容。谢谢！

Answer 1

为了给出一个模糊的答案，我认为这些问题很难回答，因为它们混合了乘法条件（为素数）和加法条件（如双素数情况）。

基本上，我能想到的关于素数的所有结果都归结为整数的唯一因子分解。例如，zeta函数如下所示

$$\zeta（s）=\sum_nn^{-s}=\prod_p（1-p^{-s{）^{-1}$$

右边是为什么zeta函数告诉你素数，而左边是通常帮助你证明定理的地方。例如，黎曼注意到左侧看起来类似于泊松求和的优点，因此证明了解析延拓和函数方程。

在一个更简单的层次上，有一个很好的证据证明有无穷多个素数，那就是通过初等微积分观察到$\sum_n1/n$发散，因此右侧也发散$s=1$。

Gerhard Paseman建议研究算术级数，我认为这是一个非常有启发性的例子。看一下限制为算术级数的$n^{-s}$的和，你没有像上面这样的方程式。相反，如果你在某些算术级数中只取一个乘积超过素数$p$，你不会得到像左边那样好的结果。然而，如果让$\chi$成为Dirichlet字符，例如，从$（\mathbb{Z}/N）^{times}$到$\mathbb{C}$的同态，那么就得到了Dirichlet$L$-函数

$$L（s，\chi）=\sum_n\chi（n）n^{-s}=\prod_p（1-\chi$$

在某种程度上，这是在迫使一个圆钉进入一个方孔：算术级数条件无法直接处理。但它可以写成狄里克莱字符的线性组合，一旦你强制一切都是乘法的，机器（泊松求和，等等）都会工作。

换言之，IMHO，问题不是“为什么孪生素数猜想很难”，而是“为什么我们能证明素数的任何东西？”根据我的经验，我们的工具箱仍然非常有限。

Answer 2

“天真的我似乎认为，对于素数没有任何重要的限制，因为我们知道这些素数在受限制的序列中仍然有无穷多个。问题1.这种肤浅的感觉实际上是真的吗？"

不，这绝对不是真的。以下是几个示例：

（1） 设$a>0，b$是两个相对素整数。形式$an+b$有无穷多个素数吗？对。

（2） 设$P（X）$是$n$次的一元多项式，其系数在$\mathbb{Z}$中。是否有无限多的质数$p$，使得$p（x）$具有$n$不同的根mod$p$？对。

（3） 设$X$是$\mathbb{Q}$上的投影光滑簇，$\chi$是流形$X（\mathbb{C}）$的Euler-Poincaré特征，$n$是整数。有无限多的质数$p$吗$X（\mathbb）的点数{F} （p）)$是$\chi$模$n$吗？对。$X（\mathbb{C}）$被$X（\tathbb{R}）美元替换时出现同样的问题？对。

（4） 有无限多的素数$p$可以写成$a^2+b^2$吗？是的$a^2+8b^2$和$b$奇数？对。。。

（5） 设$a，b$是两个整数（例如$4a^3+27b^2\neq 0$），$a_p$是$y^2=x^3+ax+b$模$p$的解的数目，减去$p$。是否有无限多的素数$p$使得$a_p=0$？对。是否有无限多的素数$p$使得$a_p\neq0$？对。假设$\alpha$和$\beta$是介于$1$和$1$之间的两个实数，并且$\alfa$小于$\beta$；有无限多吗素数$p$使得$\alpha<ap/2\sqrt{p}<\beta$？对。

人们可以将这些例子相乘。它们都属于代数数论，以及从狄里克雷特定理（例1）开始的一条思路，并发展成为代数数域、伽罗瓦表示、自守形式和兰兰兹程序的现代理论。也许最显著的结果是Cebotarev的密度定理，其中（1）是一个非常特殊的情况，（2）是一种结果，（3）也是一种结果结合格罗森迪克的故事上同调，（4）也是一个结果。仅（5）由于诺姆·艾尔基斯、吉安·皮埃尔·塞雷，以及负责证明佐藤泰特的一长串人员。

诚然，这里有很多自然而有趣的地方整数序列，在这些整数序列中，我们可以合理地推测有无穷多个素数，而这一思路不适用于这些素数（梅森素数，举一个例子）。

Answer 3

这是另一篇论文，表明问题1的答案是否定的：

Mauduit and Rivat，Sur un problème de Gelfond:la somme des chiffres des nombres premires首映礼。（法语、英语、法语摘要）【关于Gelʹfond提出的一个问题：素数的位数之和】数学年鉴。（2） 171（2010），第3期，1591–1646。

它们修复$q\ge 2$和$m$，使$\gcd（q-1，m）=1$。本文考虑以$q$为基数写出的素数的数字和，并将其和模降为$m$。它们表明，这个数量在模$m$的剩余类中均匀分布。

我认为这给出了非平凡条件（例如二进制数字和是奇数），其中有无穷多个素数。

Answer 4

我想说，对于第一季度，答案是否定的。对于所提到的一些事情，有一些相对接近的同源词是已知的。例如，对于双素数，由于Chen的缘故，有一个结果，即在距离一个素数或两个素数的乘积$2$处有无穷多个素数。没有人知道如何摆脱“或…”并证明了双素数，但一般的语句类型是类似的。或者，有一些关于素数之间微小差距的结果（尤其是最近由Goldston、Pintz和Yildirim提出的结果），证明了“异常”接近的素数的存在。

对于Q2，许多这样的猜想都是基于这样的假设：素数的行为或多或少像一个随机集（素数定理知道的密度），并且有一些额外的“局部”限制；主要是同余条件。问题是要证明素数的随机性足以给出某个结果。
这里根据具体情况或多或少需要不同类型的随机行为；因此，有时人们可以解决问题，有时却不能。下面的演讲中给出了一个很好的概述道.

对于那些相当于在素数中求解线性方程组的问题，其中包含一些提到的经典问题，本文的介绍素数中的线性方程作者Green和Tao给出了一个很好的印象，系统的哪些特性对问题的难度有影响。