直角三角形的边长为整数。它的面积（平方米）是周长（米）的两倍。两边的长度是多少

Question

直角三角形的边长为整数。它的面积（平方米）是它的两倍周长（米）。两边的长度是多少？

到目前为止，我得出的方程式是：

使用毕达哥拉斯的热学和面积公式：$$\frac{ab}{4}=a+b+\sqrt{a^2+b^2}$$

使用Heron公式：

$$s（s-a）（s-b）（s-c）=4（a+b+c）^2$$对于LHS：$$（压裂{a+b+c}{2}）（压裂｛a+b+c-2c｝｛2｝）$$ $$\压裂{1}{16}（（a+b+c）（b+c-a）（a+c-b）（a+b-c））$$ $$\压裂{1}{16}（（（b+c）^2-a^2）（a^2-（b-c）^2））$$

请在此处找到问题的原始链接：https://www.maths.uq.edu.au/qamt/papers/Year9-10-2022-Paper.pdf问题4

我认为，尽管这个问题很简单，但它相当棘手，确实需要一些考虑。此外，我在准备9-10学年UQ/QAMT论文时需要这个问题的答案，因为它仍然是一个只有2年历史的问题！

我的问题经常被比作具有整数边的直角三角形的面积等于其周长的两倍。求所有可能的周长之和。，但我认为问题是不同的。

Answer 1

我认为你不需要Heron公式。参数化三角形：

$a=2百万，b=n^2-m^2，c=n^2+m^2$

$A=\压裂{ab}{2}$.$ \ \ $ $P=a+b+c$

$A=mn\cdot（n^2-m^2）$

$P=2mn+n^2-m^2+m^2+n^2=2mn+2n^2=2n（m+n）$

$A=2P意味着mn（n^2-m^2）=4nm+4n^2$

$m（n-m）=4$

所以百万美元$必须是$4$.

$m=1意味着n=5意味着（10，24，26）$

$m=2意味着n=4意味着（16，12，20）$

$m=4意味着n=5意味着（40，9，41）$

Answer 2

$$\frac{ab}{4}=a+b+\sqrt{a^2+b^2}\\\表示ab=4a+4b+4\sqrt{a^2+b^2}\\\表示-4\sqrt{a^2+b^2}=4a+4b-ab\\\暗示（-4\sqrt{a^2+b^2}）^2=（4a+4b-ab）^2\\\意味着16a^2+16b^2=16a^2+16b^2+a^2b^2+32ab-8a^2b-8b^2a\\\意味着8a^2b+8b^2a=a^2b ^2+32ab\\\意味着8a+8b-ab=32\\\表示a+b-\frac{ab}{8}=4\\\表示b=\frac{8（a-4）}{（a-8）}$$从这里，我们可以得到整数十亿美元$什么时候美元（a-8）$是8的因子或倍数。因此美元=9,10,12,16,24,40$.因此b美元=40,24,16,12,10,9$.

我不想再往前走了美元$值，因为在表达式中，$a-4>a-8，压裂{a-4}{a-8}>1，压裂{8（a-4）}{a-8}>8，b>8$.因此，当我在美元a=40，b=9$这意味着所有其他更大美元$给定的值为非整数$b，8<b<9$(十亿美元$减少为美元$增加）

神奇的是，所有这些对都是毕达哥拉斯的三胞胎。$$9^2+40^2=41^2,12^2+16^2=20^2,24^2+10^2=26^2$$

Answer 3

让美元$和十亿美元$成为双腿。然后是区域ab美元/2$双倍周长$a+b+\sqrt{a^2+b^2}$.所以

$ab=4（a+b+\sqrt{a^2+b^2}）$

乘以共轭$a+b-\sqrt{a^2+b^2}$并应用平方差分解来简化右侧：

$ab（a+b-\sqrt{a^2+b^2}）=8ab$

$a+b-\sqrt{a^2+b^2}=8$

$a+b-8=\sqrt{a^2+b^2}$

$a^2+2ab-16a+b^2-16b+64=a^2+b^2$

2ab-16a-16b+64=2（ab-8a-8b+32）=0$

所以

$（a-8）（b-8）=ab-8a-8b+64=32$

我们确定了三个不同的三角形：

$a-8=1，b-8=32意味着a=9，b=40，c=sqrt{a^2+b^2}=a+b-8=41$

$a-8=2，b-8=16意味着a=10，b=24，c=26$

$a-8=4，b-8=8意味着a=12，b=16，c=20$

Answer 4

首先我们应用一个引理

引理。让$p，r，A美元$分别是三角形的周长、内接半径和面积。那么我们有$pr=2安培$.

证明很容易，因为内接圆的半径垂直于三角形的边，所以我们可以把它分成三片$\cd个$

现在有了这个事实，我们$pr=2A=4便士$，所以我们得到$r=4$.

从现在开始，我们让三角形美元\增量ABC$具有$\角度A$是直角。设置$I_C、I_B$是直线上中心的投影AB美元$和美元AC$分别是。注释$AI_B=AI_C=r=4$.让$I_BC=t，I_CB=s$.根据切线性质，我们有$BC=s+t$根据毕达哥拉斯定理，我们有$$（4+s）^2+（4+t）^2=（s+t）$$重新安排我们得到（这里我们知道$c\ne4（美元）$，你能自己做吗？）$$s=\dfrac{4t+16}{t-4}=4+\dfrac{32}{t-4]$$因此，我们t-4美元$是一个因素$32$，即。$$t-4=1,2,4,8,16,32当（s，t）=（365），（20,6），（12,8），（8,12），（6,20），（5,36）$$

现在我给你一个任务，就是验证其中有多少实际上是一个解决方案。