八面体系统
打电话给-上的一致超图一彩色超图。彩色配置通过获取与包含在他们的内部。我们将把来自彩色配置的彩色超图称为一配置超图.我们的战略，遵循[13]，表示一个特定的配置超图，其超边对应于包含在配置中不存在。彩色Carathéodory定理给出了任何配置超图都必须满足： 属性1。 配置超图的每个顶点都至少属于它的一个超边.
固定颜色我.我们称之为集合t吨属于d日每个点正好包含一个点除一个i-横向也就是说我-横向的t吨有和对于我们称任何一对不相交我-横截面和我-八面体; 这些可能会也可能不会生成交叉多胞体，即。，一个d日-维度八面体，在几何意义上，它们的凸包是一个交叉的多面体，具有相同的颜色点，在多面体的骨架中从未相邻。
彩色配置的一个关键特性是我-八面体Ω，包含的彩色单形数的奇偶性使用Ω中的点和一个颜色点形成我不取决于哪个颜色点我被选中。这是一个拓扑事实，与以下事实相对应是其中之一里面或外部八面体，请参见八面体引理第页，共页[三]作为证据。图1在二维情况下说明了这一点，其中位于包含三种颜色点的圆的中心。 我们有以下定义我-横向和我-八面体转到超图设置。那么任何配置超图都必须满足：
属性2。 对于任何八面体Ω超图的超边集的奇偶性Ω和一个固定点 对于i第个所有选项的坐标都相同 .
考虑一个彩色超图，其顶点为并且其超边在每个集合中只有一个元素。如果超图满足属性2，则称其为八面体系统，如果它另外满足属性1，则称其为无孤立顶点的八面体系统。色彩丰富的配置和k个彩色单纯形包含有一个配置超图，它是一个没有孤立顶点的八面体系统k个超边。让是没有孤立顶点的八面体系统中超边的最小数目颜色。然后。这是一个有趣的问题，是否有任何没有孤立顶点的八面体系统不是由任何彩色配置产生的，如果没有，是否对一些人来说d日这种纯粹的组合方法最初是由Bárány提出的[14].
八面体系统具有组合和有限的优点。原则上，对于任何特殊情况d日和k个我们可以检查是否存在没有孤立顶点的八面体系统最高可达k个通过生成最多包含k个超边，每个超边包含来自每个超边的一个元素然后测试它们是否满足属性1和2。困难在于此类超图的数量之多，以及如何有效地验证属性2。
我们得到了尝试通过一次添加一个超边来构建一个没有孤立顶点的八面体系统。我们可以通过利用这种超图中的许多组合对称性，并只考虑满足某些规范化的配置来减少搜索空间。然而，即使对于因此，我们将注意力转向如何有效使用物业2。
我们使用两种策略。第一个是查看相对独立的奇偶条件的特定子集。第二个是使用以下引理，在[15]. 呼叫超边缘e（电子）彩色超图隔离的，孤立的如果没有其他超边缘与e（电子）仅在单个坐标中。然后： 引理1。 八面体系统 或更少的超边不能包含任何孤立的超边。
枚举详细信息
我们首先将任意颜色固定为颜色0和任意0-横向。我们可以将每个集合中的点标记为0到d日并且，在不损失一般性的情况下，取横截线包含每个集合的0点。为了方便起见，我们将超边写为数字和横截作为字符串d日带有*的数字对应于省略的颜色。因此，考虑的0-横截面为.
考虑一下d日由横切面生成的八面体，用于。请注意，初始编号是任意的，我们可以在搜索算法中修复它们。给定一个彩色超图，我们可以形成一个通过写下每个的二进制表使用八面体顶点的边数奇偶性和带初始坐标秒。我们称之为奇偶校验表如果彩色超图满足属性2，则其奇偶校验表具有常量行。
关注这个表的优点是条目相对独立。仅表单的超边缘可以更改此表的多个条目。考虑到这些超边后，每个条目只能受具有给定初始坐标的相关八面体上的超边。
我们现在使用[5]根据以下几点将问题分解为几个案例Ş，包含的超边数，b条奇偶校验表八面体的奇偶校验数，以及j个，覆盖任何颜色点的最小横截面数为0。 很明显，对于任何没有孤立顶点的八面体系统或者更少的超边超边的数量至少为此外[5]表明我们必须，并且超边的数量必须至少为，以及至少假设选择颜色0以最小化Ş还有那个最后一个事实允许我们假设. 为了排除可能的没有大小为13的孤立顶点的八面体系统，考虑以下情况就足够了或，这反过来意味着或.在这种情况下，我们至少有简单，所以或，在本案中，我们有所以总之，我们需要排除三重是其中之一.
通过重新排序颜色0的点，我们可以得到超边在系统中，而不在的系统中。在包含这些超边之后考虑奇偶校验表，如所示表1.
表1。奇偶校验表.
| | 0 | 1 | 2 | 三 | 4 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
现在如果，那么我们要求奇偶校验表完全由1组成。因此，在这种情况下，前三列中的条目是正确的，而最后两列中的条目是不正确的。
对于我们继续列举如下配置。自，我们包括初始超边。然后添加超边以更正表1，必须对其进行修复才能获得正确的奇偶校验表。如前所述，添加任何非该形式的超边缘将只更改奇偶校验表中的一个条目。例如，第一行和第四列中的条目只能由表单的超边缘更改哪里考虑到30000不能添加到配置中而不进行更改Ş，只剩下15个可能的超边来更改条目，其中一个必须在我们的配置中。事实上，通过重新排序颜色，我们可以将其设置为31000、31100、31110和31111中的一种。 在这种情况下，我们可以继续利用对称性，具体取决于前面4个超边中的哪一个被选中，下一个超边可以是固定下一个表项的4到7个超边之一。然而，我们这样做并不是为了避免广泛的案例分析。相反，我们开始对所有15个可能的超边进行分支，这些超边切换给定的表条目，直到表正确并且部分配置有11个超边。
当我们分支时，我们检查两个简单的预测因子，这可能表明配置需要更多的超边。首先，我们查找当前未包含在任何超边缘中的点。如果还有颜色k个未覆盖的点，那么我们需要k个其他超边。其次，由于颜色0的任何顶点必须至少被覆盖j个超边，我们检查颜色0的哪些点没有包含在足够多的超边中，并得到分数通过总结少算的数量。同时，我们可能会发现颜色0的所有顶点已经被超过j个超边（尤其是当)，在这种情况下，部分配置不再属于此子基，可以排除。我们再次要求其他超边。如果有k个或如果足够大（在本例中为3），则当前的部分配置无法扩展到没有孤立顶点的八面体系统，且孤立顶点少于14个超边，因此被放弃。
否则，我们会检查配置，看看它是否有一个孤立的超边缘。如果它包含孤立的超边缘e（电子），那么根据引理1，如果配置要扩展到没有孤立顶点且超边少于17条的八面体系统，那么它必须包括一条相邻的超边e（电子）也就是说，它必须包含不同于e（电子）仅在单个坐标中。只有20个这样的超边，所以我们可以对它们进行分支。然后，我们重复应用预测器并寻找孤立超边的过程，直到我们找到一个没有孤立顶点的八面体系统，该系统的孤立顶点少于14个超边，或者用尽了所有具有较少超边的部分配置。
如果我们确实得到了一个没有孤立超边的部分配置，那么作为最后的手段，我们可能不得不在所有可能的超边上分支。然而，这种情况很少发生，以至于枚举在合理的时间内结束。
其余情况，其中是或是相似的。在详细分析了所有这些案例之后，我们得出结论：，因此.
