Fractional Hermite–Hadamard–Fejer Inequalities for a Convex Function with Respect to an Increasing Function Involving a Positive Weighted Symmetric Function

Mohammed, Pshtiwan Othman; Abdeljawad, Thabet; Kashuri, Artion

doi:10.3390/sym12091503

开放式访问第条

凸函数关于包含正加权对称函数的增函数的分数阶Hermite–Hadamard–Fejer不等式

通过

普什蒂万·奥特曼·穆罕默德

^1,*

,

塔贝特·阿卜杜勒贾瓦德

^2,3,4,*

和

阿蒂恩·卡舒里

⁵

¹

伊拉克库尔德斯坦地区苏莱曼尼46001苏莱曼尼大学教育学院数学系

²

沙特阿拉伯利雅得11586，邮政信箱66833，苏丹王子大学数学与普通科学系

^三

中国医科大学医学研究部，台湾台中40402

⁴

亚洲大学计算机科学与信息工程系，台湾台中41354

⁵

阿尔巴尼亚维洛拉伊斯梅尔·凯马利大学技术科学学院数学系，9401

^*

应向其发送信件的作者。

对称 2020,12(9), 1503;https://doi.org/10.3390/sym12091503

收到的提交文件：2020年9月1日/修订日期：2020年9月9日/接受日期：2020年9月11日/发布日期：2020年9月12日

（本文属于特刊函数方程和不等式中的对称性)

下载版本注释

摘要

:

文献中提出了许多不同的分数阶微积分定义，尤其是近年来。这些定义可以分为具有类似属性的组。一个重要的研究方向涉及证明特定类型函数的分数次积分不等式，如Hermite–Hadamard–Fejer（HHF）不等式和相关结果。在这里，我们考虑了一类分数算子（即加权分数算子）的HHF分数积分不等式和相关结果，这些分数算子适用于凸型函数关于包含正加权对称函数的增函数。我们可以得出结论，我们研究中的所有导出不等式都推广了许多著名的不等式，包括经典的和Riemann–Liouville分数次积分不等式。

关键词：

对称的；加权分数算子；凸函数；Hermite–Hadamard–Fejer不等式

1.简介

首先，我们回顾凸分析中的基本符号。一套

V（V） \subset R（右）

称为凸，如果

\begin{matrix} ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2} \in V（V） \end{matrix}

对于每个

ϑ_{1}, ϑ_{2} \in V（V）

和

ε \in [0, 1]

.基于凸集

V（V）

，我们说一个函数

ℏ : V（V） \to R（右）

是凸的，如果不等式

\begin{matrix} ℏ (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) \leq ε ℏ (ϑ_{1}) + (1 - ε) ℏ (ϑ_{2}), \forall ϑ_{1}, ϑ_{2} \in V（V）, ε \in [0, 1] \end{matrix}

(1)

持有。我们这么说ℏ是凹面的，如果

- ℏ

是凸的。

凸性的理论和应用由于其性质和定义的表现，特别是近几年来，在分数阶积分不等式领域发挥了重要作用。凸性理论和对称性理论之间有着密切的联系。无论我们学习哪一个，我们都可以将其应用于另一个；参见，例如[1]. 已经为凸函数建立了许多著名的积分不等式(1)文学中；例如，Ostrowski型积分不等式[2]，Simpson型积分不等式[三]，Hardy型积分不等式[4]，Olsen型积分不等式[5]，Gagliardo-Nirenberg型积分不等式[6]，Opial型积分不等式[7,8]和Rozanova型积分不等式[9]. 然而，最常见的积分不等式是Hermite-Hadamard型积分不等式：经典和分数阶Hermite–Hadamard型不等式[10,11]分别由下式给出：

\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) & \leq \frac{1}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} ℏ (x个) 天 x个 \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2}, \end{matrix}

(2)

和

\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) & \leq \frac{Γ (ℓ + 1)}{2 {(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} [{}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{1} +}^{ℓ} ℏ (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ (ϑ_{1})] \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2}, \end{matrix}

(3)

哪里

ℏ : V（V） \to R（右）

假设为正凸函数，

ℏ \in {L（左）}^{1} (ϑ_{1}, ϑ_{2})

具有

ϑ_{1} < ϑ_{2}

、和

{}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{1} +}^{ℓ}

和

{}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ}

代表左侧和右侧的Riemann-Liouville阶分数积分

ℓ > 0

分别定义为[12,13]:

\begin{matrix} \begin{matrix} {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{1} +}^{ℓ} ℏ (x个) = \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{ϑ_{1}}^{x个} {(x个 - ε)}^{ℓ - 1} ℏ (ε) 天 ε, x个 > ϑ_{1} ； \\ {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ (x个) = \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{x个}^{ϑ_{2}} {(ε - x个)}^{ℓ - 1} ℏ (ε) 天 ε, x个 < ϑ_{2} . \end{matrix} \end{matrix}

(4)

HH型不等式(2)已经应用于许多类型的凸函数，包括s几何凸函数[14]，GA-凸函数[15],

米 T型

-凸函数[16]和

(α, 米)

-凸函数[17]，和许多其他类型可以在中找到[18]. 此外，HH型不等式(三)已应用于大量凸函数，例如F类-凸函数[19],

λ_{ψ}

-凸函数[20],

米 T型

-凸函数[21]和

(α, 米)

-凸函数[22]，一类新的凸函数[23]，以及许多其他类型可以在文献中找到。同时，它也被应用于分数微积分的其他模型，如标准RL-分数算子[24]，共形分数运算符[25,26]，广义分数运算符[27],

ψ

-RL-分数运算符[28,29]，调和分数运算符[30]AB和Prabhakar分数运算符[31]。

在扩展Hermite–Hadamard型不等式领域之后(2)和(三)，许多作者建立了许多经典的分数阶积分不等式；有关更多详细信息，请参阅[24,25,26,27,28,29,30,31]。

定义 1

([32]).让

克 : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \to [0, \infty)

是一个可积函数；那么我们说g相对于

(ϑ_{1} + ϑ_{2}) / 2

，如果

克 (ϑ_{1} + ϑ_{2} - x个) = 克 (x个),

(5)

为每个人保留

x个 \in [ϑ_{1}, ϑ_{2}]

.

基于这一定义[33,34]推广了HH型不等式(2)和(三)他们可以推导出所谓的Hermite–Hadamard–Fejer（HHF）型不等式，其结果分别如下：

\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} 克 (x个) 天 x个 & \leq \frac{1}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} ℏ (x个) 克 (x个) 天 x个 \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} 克 (x个) 天 x个, \end{matrix}

(6)

和

\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) [{}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{1} +}^{ℓ} 克 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} 克 (ϑ_{1})] \leq [{}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{1} +}^{ℓ} (ℏ 克) (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} (ℏ 克) (ϑ_{1})] \\ \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [{}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{1} +}^{ℓ} 克 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} 克 (ϑ_{1})], \end{matrix}

(7)

哪里ℏ和以前一样克定义见定义1。

定义 2

让

(ϑ_{1}, ϑ_{2}) \subseteq R（右）

和

σ (x个)

是区间上的递增正单调函数

(ϑ_{1}, ϑ_{2}]

具有连续导数

σ^{'} (x个)

关于区间

(ϑ_{1}, ϑ_{2})

具有

σ (0) = 0, 0 \in [ϑ_{1}, ϑ_{2}]

然后，函数的加权分数积分的左侧和右侧ℏ 关于另一个函数

σ (x个)

在

[ϑ_{1}, ϑ_{2}]

由定义[35]:

\begin{matrix} \begin{matrix} ({}_{ϑ_{1} +}{J型}_{w个}^{ℓ : σ} ℏ) (x个) & = \frac{{w个}^{- 1} (x个)}{Γ (ℓ)} \int_{ϑ_{1}}^{x个} σ^{'} (ε) {(σ (x个) - σ (ε))}^{ℓ - 1} ℏ (ε) w个 (ε) 天 ε, \\ ({}_{w个}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ : σ} ℏ) (x个) & = \frac{{w个}^{- 1} (x个)}{Γ (ℓ)} \int_{x个}^{ϑ_{2}} σ^{'} (ε) {(σ (ε) - σ (x个))}^{ℓ - 1} ℏ (ε) w个 (ε) 天 ε, ℓ > 0, \end{matrix} \end{matrix}

(8)

哪里

{w个}^{- 1} (x个) = \frac{1}{w个 (x个)}, w个 (x个) \neq 0

.

备注 1

从定义2中可以看出

如果σ由专门化 $σ (x个) = x个$ 和 $w个 (x个) = 1$ ，然后是加权分数次积分算子(8)简化为经典的Riemann–Liouville分数次积分算子(4).
如果 $w个 (x个) = 1$ ，我们得到了函数的分数次积分算子ℏ 关于另一个函数 $σ (x个)$ ，定义于[36,37]如下所示：

$\begin{matrix} \begin{matrix} ({}_{ϑ_{1} +}{J型}^{ℓ : σ} ℏ) (x个) : & \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{ϑ_{1}}^{x个} σ^{'} (ε) {(σ (x个) - σ (ε))}^{ℓ - 1} ℏ (ε) 天 ε, \\ ({J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ : σ} ℏ) (x个) : & \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{x个}^{ϑ_{2}} σ^{'} (ε) {(σ (ε) - σ (x个))}^{ℓ - 1} ℏ (ε) 天 ε, ℓ > 0 . \end{matrix} \end{matrix}$

(9)

本研究通过加权分数算子研究了几个HHF型不等式(8)核中具有正加权对称函数。

研究的其余部分结构如下：第2节，我们将在下一节中证明必要的和辅助的引理。第3节包含了我们的主要结果，包括证明几个HHF分数积分不等式和一些相关结果。在第4节，我们讨论了我们的结果，并将我们的结果与现有结果进行了比较，并指出了未来的工作。第5节是结论。

2.辅助结果

这里，我们将证明分数HH不等式的类比(2)和(三)和HHF不等式(6)和(7)对于具有正加权对称函数核的加权分数次积分。这里的主要结果是定理1（HH不等式的推广(2)和(三)和HHF不等式(6)，以及HHF不等式的重新表述(7))和引理2（定理1的一个结果）。首先，我们需要以下事实。

引理 1

（i）: 让 $w个 : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \to [0, \infty)$ 是可积函数，关于 $(ϑ_{1} + ϑ_{2}) / 2, ϑ_{1} < ϑ_{2}$ ; 那么我们有

$w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) = w个 ((1 - ε) ϑ_{1} + ε ϑ_{2}),$

(10)

对于每个 $ε \in [0, 1]$ .
（ii）: 让 $w个 : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \to [0, \infty)$ 是关于的可积对称函数 $(ϑ_{1} + ϑ_{2}) / 2, ϑ_{1} < ϑ_{2}$ ; 那么我们有 $ℓ > 0$ :

$\begin{matrix} ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) = ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1})) \\ = \frac{1}{2} [({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] . \end{matrix}$

(11)

证明。

（i）: 让 $x个 = ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}$ 很明显 $x个 \in [ϑ_{1}, ϑ_{2}]$ 对于每个 $ε \in [0, 1]$ 然后 $ϑ_{1} + ϑ_{2} - x个 = (1 - ε) ϑ_{1} + ε ϑ_{2}$ 然后，通过使用假设和定义1，我们得到(10).
（ii）: 通过使用的对称属性w个，我们有

$\begin{matrix} (w个 \circ σ (ε)) = w个 (σ (ε)) = w个 (ϑ_{1} + ϑ_{2} - σ (ε)), \forall ε \in [σ^{- 1} (ϑ_{1}), σ^{- 1} (ϑ_{2})] . \end{matrix}$

通过设置

σ (x个) = ϑ_{1} + ϑ_{2} - σ (ε)

，因此

\begin{matrix} ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) & = \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) σ^{'} (x个) 天 x个 \\ = \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(σ (ε) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} w个 (ϑ_{1} + ϑ_{2} - σ (ε)) σ^{'} (ε) 天 ε \\ = \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(σ (ε) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (ε) σ^{'} (ε) 天 ε \\ = ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1})) . \end{matrix}

这将重新安排为所需(11). □

备注 2

在整个研究过程中

{w个}^{- 1} (x个) = \frac{1}{w个 (x个)}

和

σ^{- 1} (x个)

是函数的逆函数

σ (x个)

.

例子 1

考虑以下可积正加权函数

\begin{matrix} w个 (x个) = \{\begin{matrix} 2 x个 + \frac{1}{2}, & 0 \leq x个 \leq \frac{1}{2}, \\ - 2 x个 + \frac{5}{2}, & \frac{1}{2} \leq x个 \leq 1 . \end{matrix} \end{matrix}

人们可以很容易地证明这一点

\begin{matrix} w个 (1 - x个) = \{\begin{matrix} 2 x个 + \frac{1}{2}, & 0 \leq x个 \leq \frac{1}{2}, \\ - 2 x个 + \frac{5}{2}, & \frac{1}{2} \leq x个 \leq 1 . \end{matrix} \end{matrix}

因此，

w个 (x个) = w个 (1 - x个)

因此，给定的加权函数在

[0, 1]

关于

\frac{1}{2}

.

定理 1

让

ℏ : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \subseteq [0, \infty) \to R（右）

成为

{L（左）}^{1}

凸函数

0 \leq ϑ_{1} < ϑ_{2}

和

w个 : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \to R（右）

是关于的可积、正和加权对称函数

\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}

.如果σ是

[ϑ_{1}, ϑ_{2})

和

σ^{'} (x个)

持续打开

(ϑ_{1}, ϑ_{2})

，那么，我们有

ℓ > 0

:

\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) [({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] \\ \leq w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个 \circ σ}{J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1})) \\ \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] . \end{matrix}

(12)

证明。

自ℏ是上的凸函数

[ϑ_{1}, ϑ_{2}]

，我们有

\begin{matrix} ℏ (\frac{x个 + 年}{2}) \leq \frac{ℏ (x个) + ℏ (年)}{2}, \forall x个, 年 \in [ϑ_{1}, ϑ_{2}] . \end{matrix}

因此，对于

x个 = ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}

和

年 = (1 - ε) ϑ_{1} + ε ϑ_{2}, ε \in [0, 1]

，因此

\begin{matrix} 2 ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) \leq ℏ (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) + ℏ ((1 - ε) ϑ_{1} + ε ϑ_{2}) . \end{matrix}

（13）

通过将的两边相乘(13)由

ε^{ℓ - 1} w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2})

然后，通过将所得不等式与

ε

结束

[0, 1]

，我们得到

\begin{matrix} 2 ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) \int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε \leq \int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} ℏ (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε \\ + \int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} ℏ ((1 - ε) ϑ_{1} + ε ϑ_{2}) w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε . \end{matrix}

(14)

对于左侧不等式，我们利用(11)得到

\begin{matrix} \frac{Γ (ℓ)}{2 {(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} [({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] \\ \frac{Γ (ℓ)}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) \\ = \frac{1}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) σ^{'} (x个) 天 x个 \\ = \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(\frac{ϑ_{2} - σ (x个)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) σ^{'} (x个) \frac{天 x个}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} \\ = \int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε, [表示 ε \frac{ϑ_{2} - σ (x个)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}}] . \end{matrix}

(15)

现在，我们对加权分数算子进行如下评估：

\begin{matrix} w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个 \circ σ}{J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1})) \\ = w个 (ϑ_{2}) \frac{{(w个 \circ σ)}^{- 1} (σ^{- 1} (ϑ_{2}))}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (ℏ \circ σ) (x个) (w个 \circ σ) (x个) σ^{'} (x个) 天 x个 \\ + w个 (ϑ_{1}) \frac{{(w个 \circ σ)}^{- 1} (σ^{- 1} (ϑ_{1}))}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (ℏ \circ σ) (x个) (w个 \circ σ) (x个) σ^{'} (x个) 天 x个 \\ = \frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(\frac{ϑ_{2} - σ (x个)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}})}^{ℓ - 1} (ℏ \circ σ) (x个) (w个 \circ σ) (x个) σ^{'} (x个) \frac{天 x个}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} \\ + \frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} {(\frac{σ (x个) - ϑ_{1}}{ϑ_{2} - ϑ_{1}})}^{ℓ - 1} (ℏ \circ σ) (x个) (w个 \circ σ) (x个) σ^{'} (x个) \frac{天 x个}{ϑ_{2} - ϑ_{1}}, \end{matrix}

哪里

\begin{matrix} {(w个 \circ σ)}^{- 1} (σ^{- 1} (z（z）)) & = \frac{1}{(w个 \circ σ) (σ^{- 1} (z（z）))} = \frac{1}{w个 (z（z）)}, z（z） = ϑ_{1}, ϑ_{2} . \end{matrix}

(16)

设置

{t吨}_{1} = \frac{ϑ_{2} - σ (x个)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}}

和

{t吨}_{2} = \frac{σ (x个) - ϑ_{1}}{ϑ_{2} - ϑ_{1}}

，因此

\begin{matrix} w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个 \circ σ}{J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1})) \\ = \frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}}{Γ (ℓ)} [\int_{0}^{1} {t吨}_{1}^{ℓ - 1} ℏ ({t吨}_{1} ϑ_{1} + (1 - {t吨}_{1}) ϑ_{2}) w个 ({t吨}_{1} ϑ_{1} + (1 - {t吨}_{1}) ϑ_{2}) 天 {t吨}_{1} \\ + \int_{0}^{1} {t吨}_{2}^{ℓ - 1} ℏ ((1 - {t吨}_{2}) ϑ_{1} + {t吨}_{2} ϑ_{2}) w个 ((1 - {t吨}_{2}) ϑ_{1} + {t吨}_{2} ϑ_{2}) 天 {t吨}_{2} \\ = \frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}}{Γ (ℓ)} [\int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} ℏ (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε \\ + \int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} ℏ ((1 - ε) ϑ_{1} + ε ϑ_{2}) \underset{通过 使用 (10)}{\underset{⏟}{w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2})}} 天 ε] . \end{matrix}

(17)

通过利用(15)和(17)英寸(14)，我们得到

\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} w个 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} w个 (ϑ_{1})] \leq w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) \\ + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个 \circ σ}{J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1})) . \end{matrix}

(18)

第一个不等式(12)已被证明。

另一方面，我们将证明(12). 通过利用ℏ，我们得到

\begin{matrix} ℏ (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) + ℏ ((1 - ε) ϑ_{1} + ε ϑ_{2}) \leq ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2}), \end{matrix}

(19)

我们将(19)由

ε^{ℓ - 1} w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2})

并在以下方面进行整合

ε

结束

[0, 1]

得到

\begin{matrix} \int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} ℏ (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε \\ + \int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} ℏ ((1 - ε) ϑ_{1} + ε ϑ_{2}) w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε \leq (ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})) \int_{0}^{1} ε^{ℓ - 1} w个 (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε . \end{matrix}

(20)

然后，通过使用(10)和(17)英寸(20)，我们得到

\begin{matrix} w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个 \circ σ}{J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1})) \\ \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} w个 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} w个 (ϑ_{1})] . \end{matrix}

这就完成了我们定理的证明。□

备注三。

特别是，在定理1中，如果我们

（i）: $σ (x个) = x个$ ，然后是不等式(12)成为

$\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} w个 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} w个 (ϑ_{1})] \leq w个 (ϑ_{2}) ({}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}_{w个}^{ℓ} ℏ) (ϑ_{2}) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ) (ϑ_{1}) \\ \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} w个 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} w个 (ϑ_{1})], \end{matrix}$

（21）

哪里 ${}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}_{w个}^{ℓ}$ 和 ${}_{w个}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ}$ 是左右加权的黎曼-刘维尔分数算子，定义为

$\begin{matrix} ({}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}_{w个}^{ℓ} ℏ) (x个) & = \frac{{w个}^{- 1} (x个)}{Γ (ℓ)} \int_{ϑ_{1}}^{x个} {(x个 - ε)}^{ℓ - 1} ℏ (ε) w个 (ε) 天 ε, \\ ({}_{w个}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ) (x个) & = \frac{{w个}^{- 1} (x个)}{Γ (ℓ)} \int_{x个}^{ϑ_{2}} {(ε - x个)}^{ℓ - 1} ℏ (ε) w个 (ε) 天 ε, ℓ > 0, \end{matrix}$

分别是。
（ii）: $σ (x个) = x个$ 和 $ℓ = 1$ ; 然后是不等式(12)减少到不平等(6).
（iii）: $σ (x个) = x个$ 和 $w个 (x个) = 1$ ; 那么不等式(12)减少到不平等(三).
（iv）: $σ (x个) = x个$ , $w个 (x个) = 1$ 和 $ℓ = 1$ ; 然后是不等式(12)减少到不平等(2).

备注 4

从备注3中，我们可以看到HH不等式(三)和HHF不等式(6)本质上是HHF不等式的特殊情况(12)此外，HHF不等式(21)可以看作是HHF不等式的重新表述(12)，尽管它是关于加权分式积分和RL-分式积分，而不是显式的RL-分法积分。

引理 2

让

ℏ : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \subseteq [0, \infty) \to R（右）

成为

{L（左）}^{1}

具有的函数

ℏ^{'} \in {L（左）}^{1}

和

0 \leq ϑ_{1} < ϑ_{2}

、和

w个 : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \to R（右）

是关于的可积、正和加权对称函数

\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}

.如果σ是

[ϑ_{1}, ϑ_{2})

和

σ^{'} (x个)

持续打开

(ϑ_{1}, ϑ_{2})

那么，我们有

ℓ > 0

:

\begin{matrix} \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] \\ - [w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个 \circ σ}{J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] \\ = \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} [\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个 \\ - \int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个] (ℏ^{'} \circ σ) (ε) σ^{'} (ε) 天 ε . \end{matrix}

(22)

证明。

设置

\begin{matrix} \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} [\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个 \\ - \int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个] (ℏ^{'} \circ σ) (ε) σ^{'} (ε) 天 ε \\ = \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} [\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个] (ℏ^{'} \circ σ) (ε) σ^{'} (ε) 天 ε \\ + \frac{- 1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} [\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个] (ℏ^{'} \circ σ) (ε) σ^{'} (ε) 天 ε \\ : = Ξ_{1} + Ξ_{2} . \end{matrix}

通过分部积分，利用引理1和定义(8)和(9)，我们获得

\begin{matrix} {¦Β}_{1} & = \frac{1}{Γ (ℓ)} (\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个) (ℏ \circ σ) (ε) 天 ε |_{t吨 = σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} \\ - \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (ε) {(ϑ_{2} - σ (ε))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (ε) (ℏ \circ σ) (ε) 天 ε \\ = (\frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个) ℏ (ϑ_{2}) \\ - \underset{通过 使用 (16)}{\underset{⏟}{w个 (ϑ_{2}) \frac{{(w个 \circ σ)}^{- 1} (σ^{- 1} (ϑ_{2}))}{Γ (ℓ)}}} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (ε) {(ϑ_{2} - σ (ε))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (ε) (ℏ \circ σ) (ε) 天 ε \\ = ℏ (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) - w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) \\ = \frac{ℏ (ϑ_{2})}{2} [({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] \\ - w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) . \end{matrix}

类似地，可以得到

\begin{matrix} Ξ_{2} & = \frac{- 1}{Γ (ℓ)} (\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个) (ℏ \circ σ) (ε) 天 ε |_{t吨 = σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} \\ - \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (ε) {(σ (ε) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (ε) (ℏ \circ σ) (ε) 天 ε \\ = (\frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个) ℏ (ϑ_{1}) \\ - \underset{通过 使用 (16)}{\underset{⏟}{w个 (ϑ_{1}) \frac{{(w个 \circ σ)}^{- 1} (σ^{- 1} (ϑ_{1}))}{Γ (ℓ)}}} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (ε) {(σ (ε) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (ε) (ℏ \circ σ) (ε) 天 ε \\ = \frac{ℏ (ϑ_{1})}{2} [({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] \\ - w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个 \circ σ}{J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1})) . \end{matrix}

因此，我们可以推断

\begin{matrix} Ξ_{1} + Ξ_{2} = \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + ({J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (w个 \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))] \\ - [w个 (ϑ_{2}) ({}_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) +}{J型}_{w个 \circ σ}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{2})) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个 \circ σ}{J型}_{σ^{- 1} (ϑ_{2}) -}^{ℓ : σ} (ℏ \circ σ)) (σ^{- 1} (ϑ_{1}))], \end{matrix}

这就完成了证明。□

备注 5

特别是在引理2中，如果我们取：

（i）: $σ (x个) = x个$ ，然后相等(12)成为

$\begin{array}{l} \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} w个 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} w个 (ϑ_{1})] \\ - [w个 (ϑ_{2}) ({}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}_{w个}^{ℓ} ℏ) (ϑ_{2}) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ) (ϑ_{1})] \\ = \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} [\int_{ϑ_{1}}^{ε} {(ϑ_{2} - x个)}^{ℓ - 1} w个 (x个) 天 x个 - \int_{ε}^{ϑ_{2}} {(x个 - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} w个 (x个) 天 x个] ℏ^{'} (ε) 天 ε, \end{array}$

(23)

哪里 ${}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}_{w个}^{ℓ}$ 和 ${}_{w个}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ}$ 定义见备注3。
（ii）: $σ (x个) = x个$ 和 $w个 (x个) = 1$ ，然后相等(12)成为

$\begin{array}{l} \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} - \frac{Γ (ℓ + 1)}{2 {(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} [{}_{ϑ_{1}}^{+}_{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} w个 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} w个 (ϑ_{1})] \\ = \frac{ϑ_{2} - ϑ_{1}}{2} \int_{0}^{1} [ε^{ℓ} - {(1 - ε)}^{ℓ}] ℏ^{'} (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε, \end{array}$

已经在([11]，引理2）。
（iii）: $σ (x个) = x个, w个 (x个) = 1$ 和 $ℓ = 1$ ，我们获得

$\begin{matrix} \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} - \frac{1}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} ℏ (x个) 天 x个 = \frac{ϑ_{2} - ϑ_{1}}{2} \int_{0}^{1} [1 - 2 ε] ℏ^{'} (ε ϑ_{1} + (1 - ε) ϑ_{2}) 天 ε, \end{matrix}$

(24)

已经在([38]引理2.1）。

备注 6

从备注5（i）中，我们可以观察到我们的结果引理2本质上是对([34]，引理2.4），即使它是关于加权分式积分和RL-分式积分，而不是显式的RL-分法积分。此外，从备注5（ii）和（iii）中，我们可以看到([11]，引理2）和([38]，引理2.1）基本上是我们结果引理2的特例。

3.主要成果

根据引理2，我们可以得到以下HHF不等式。

定理 2

让

ℏ : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \subseteq [0, \infty) \to R（右）

成为

{L（左）}^{1}

具有的函数

ℏ^{'} \in {L（左）}^{1}

和

0 \leq ϑ_{1} < ϑ_{2}

、和

w个 : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \to R（右）

是关于的可积、正和加权对称函数

\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}

.如果

| ℏ^{'} |

在上是凸的

[ϑ_{1}, ϑ_{2}]

，σ是

[ϑ_{1}, ϑ_{2})

、和

σ^{'} (x个)

在上连续

(ϑ_{1}, ϑ_{2})

.那么，我们有

ℓ > 0

:

| Ξ_{1} + Ξ_{2} | \leq \frac{{∥ w个 \circ σ ∥}_{\infty}}{(ϑ_{2} - ϑ_{1}) Γ (ℓ + 1)} [{A类}_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) | ℏ^{'} (ϑ_{1}) | + {B类}_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) | ℏ^{'} (ϑ_{2}) |],

(25)

哪里

Ξ_{1}

和

Ξ_{2}

如引理2的证明中所定义的，以及

\begin{array}{l} {A类}_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : & = ϑ_{2} [\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1} - \frac{{(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1}] \\ - ϑ_{2} [\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1}] + [\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2}}{ℓ + 2}] \\ + \frac{ϑ_{1}}{ℓ + 1} {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} + \frac{1}{ℓ + 2} {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} \end{array}

\begin{array}{l} + ϑ_{2} [\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1} - \frac{{(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1}] \\ - ϑ_{1} [\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1}] - [\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} - {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 2}}{ℓ + 2}] \\ + \frac{ϑ_{2}}{ℓ + 1} {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1} - \frac{1}{ℓ + 2} {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2}, \end{array}

和

\begin{matrix} {B类}_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = ϑ_{1} [\frac{{(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1} - \frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2}}{ℓ + 2} \\ - \frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1} + \frac{{(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1}] \\ + \frac{ϑ_{2}}{ℓ + 1} [{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}] \\ - \frac{1}{ℓ + 2} [{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2}] \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{ϑ_{1}}{ℓ + 1} {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - \frac{1}{ℓ + 2} {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} \\ + \frac{ϑ_{1}}{ℓ + 1} [{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 1}] \\ + \frac{1}{ℓ + 2} [{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} - {(σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}) - ϑ_{1})}^{ℓ + 2}] \\ - \frac{ϑ_{2}}{ℓ + 1} {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1} + \frac{1}{ℓ + 2} {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2} . \end{matrix}

证明。

通过使用引理2和模量的性质，我们得到

\begin{matrix} | Ξ_{1} + Ξ_{2} | \leq \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} | \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个 \\ - \int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个 | |(ℏ^{'} \circ σ) (ε)| | σ^{'} (ε) | 天 ε . \end{matrix}

(26)

自

| ℏ^{'} |

在上是凸的

[ϑ_{1}, ϑ_{2}]

，我们得到

ε \in [σ^{- 1} (ϑ_{1}), σ^{- 1} (ϑ_{2})]

:

|(ℏ^{'} \circ σ) (ε)| = |ℏ^{'} (\frac{ϑ_{2} - σ (ε)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} ϑ_{1} + \frac{σ (ε) - ϑ_{1}}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} ϑ_{2})| \leq \frac{ϑ_{2} - σ (ε)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} | ℏ^{'} (ϑ_{1}) | + \frac{σ (ε) - ϑ_{1}}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} | ℏ^{'} (ϑ_{2}) | .

(27)

此外，由于

w个 : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \to R（右）

是关于的对称加权函数

\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}

，所以我们可以写

\begin{matrix} \int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个 \\ = \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - x个) 天 x个 \\ = \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个 . \end{matrix}

然后，我们得到

\begin{matrix} |\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个 - \int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} σ^{'} (x个) {(σ (x个) - ϑ_{1})}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个| \\ = |\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个) 天 x个| \\ \leq \{\begin{matrix} \int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} | σ^{'} (x个) | |{(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个)| 天 x个, & ε \in [σ^{- 1} (ϑ_{1}), \frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}] ； \\ \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε}^{ε} | σ^{'} (x个) | |{(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个)| 天 x个, & ε \in [\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}, σ^{- 1} (ϑ_{2})] . \end{matrix} \end{matrix}

(28)

通过应用不等式(26)–(28)，我们有

\begin{matrix} | Ξ_{1} + Ξ_{2} | & \leq \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}} (\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} | σ^{'} (x个) | |{(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个)| 天 x个) \\ \times (\frac{ϑ_{2} - σ (ε)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} | ℏ^{'} (ϑ_{1}) | + \frac{σ (ε) - ϑ_{1}}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} | ℏ^{'} (ϑ_{2}) |) σ^{'} (ε) 天 ε \\ + \frac{1}{Γ (ℓ)} \int_{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} (\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε}^{ε} | σ^{'} (x个) | |{(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个)| 天 x个) \\ \times (\frac{ϑ_{2} - σ (ε)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} | ℏ^{'} (ϑ_{1}) | + \frac{σ (ε) - ϑ_{1}}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} | ℏ^{'} (ϑ_{2}) |) σ^{'} (ε) 天 ε . \end{matrix}

（29）

在对不等式产生的积分进行简单计算之后(29)，我们可以获得预期的结果(25). □

备注 7

特别是在定理2中，如果我们

（i）: $σ (x个) = x个$ ，我们有

$\begin{array}{l} | \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} w个 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} w个 (ϑ_{1})] \\ - [w个 (ϑ_{2}) ({}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}_{w个}^{ℓ} ℏ) (ϑ_{2}) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ) (ϑ_{1})] | \\ \leq \frac{{∥ w个 ∥}_{\infty} {(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1}}{Γ (ℓ + 2)} (1 - \frac{1}{2^{ℓ}}) [| ℏ^{'} (ϑ_{1}) | + | ℏ^{'} (ϑ_{2}) |] . \end{array}$

(30)
（ii）: $σ (x个) = x个$ 和 $w个 (x个) = 1$ ，我们得到

$\begin{matrix} |\frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} - \frac{Γ (ℓ + 1)}{2 {(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} ℏ (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ (ϑ_{1})]| \\ \leq \frac{ϑ_{2} - ϑ_{1}}{2 (ℓ + 1)} (1 - \frac{1}{2^{ℓ}}) [| ℏ^{'} (ϑ_{1}) | + | ℏ^{'} (ϑ_{2}) |], \end{matrix}$

(31)

已经在([11]定理3）。
（iii）: $σ (x个) = x个, w个 (x个) = 1$ 和 $ℓ = 1$ ，我们获得

$\begin{matrix} |\frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} - \frac{1}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} ℏ (x个) 天 x个| \leq \frac{ϑ_{2} - ϑ_{1}}{8} [| ℏ^{'} (ϑ_{1}) | + | ℏ^{'} (ϑ_{2}) |], \end{matrix}$

(32)

已经在([38]定理2.2）。

备注 8

再次，从备注7（i）中，我们可以观察到我们的结果引理2本质上是对([34]，定理2.8），尽管它是关于加权分式积分和RL-分式积分，而不是显式的RL-分法积分。此外，从备注7（ii）和（iii）中，我们可以看到([11]，定理3）和([38]，定理2.2）是我们结果引理2的基本特例。

定理三。

让

ℏ : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \subseteq [0, \infty) \to R（右）

成为

{L（左）}^{1}

具有的函数

ℏ^{'} \in {L（左）}^{1}

和

0 \leq ϑ_{1} < ϑ_{2}

、和

w个 : [ϑ_{1}, ϑ_{2}] \to R（右）

是关于的可积、正和加权对称函数

\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}

.如果

| ℏ^{'} |^{q个}, q个 \geq 1

在上是凸的

[ϑ_{1}, ϑ_{2}]

，σ是关于

[ϑ_{1}, ϑ_{2})

和

σ^{'} (x个)

持续打开

(ϑ_{1}, ϑ_{2})

.那么，我们有

ℓ > 0

:

\begin{array}{l} | Ξ_{1} + Ξ_{2} | \leq \frac{{∥ w个 \circ σ ∥}_{\infty}}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{\frac{1}{q个}} Γ (ℓ + 1)} {(C_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}))}^{1 - \frac{1}{q个}} \\ \times {[{D类}_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) | ℏ^{'} (ϑ_{1}) |^{q个} + {E类}_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) {| ℏ^{'} (ϑ_{2}) |}^{q个}]}^{\frac{1}{q个}}, \end{array}

(33)

哪里

\begin{matrix} C_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = \frac{1}{ℓ} [\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1} - C_{σ}^{(1)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) \\ + C_{σ}^{(2)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) - \frac{{(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}}{ℓ + 1}] ； \end{matrix}

C_{σ}^{(1)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = \int_{ϑ_{1}}^{σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2})} {[ϑ_{2} - σ (σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - σ^{- 1} (x个))]}^{ℓ} 天 x个 ；

C_{σ}^{(2)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = \int_{σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2})}^{ϑ_{2}} {[ϑ_{2} - σ (σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - σ^{- 1} (x个))]}^{ℓ} 天 x个 ；

\begin{matrix} {D类}_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = \frac{1}{ℓ} [\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2}}{ℓ + 2} - ϑ_{2} C_{σ}^{(1)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) - {D类}_{σ}^{(1)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) \\ + ϑ_{2} C_{σ}^{(2)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) - \frac{{(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2}}{ℓ + 2} - {D类}_{σ}^{(2)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2})] ； \end{matrix}

{D类}_{σ}^{(1)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = \int_{ϑ_{1}}^{σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2})} x个 {[ϑ_{2} - σ (σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - σ^{- 1} (x个))]}^{ℓ} 天 x个 ；

{D类}_{σ}^{(2)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = \int_{σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2})}^{ϑ_{2}} x个 {[ϑ_{2} - σ (σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - σ^{- 1} (x个))]}^{ℓ} 天 x个,

和

\begin{matrix} {E类}_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = \frac{1}{ℓ} {\frac{ϑ_{2}}{ℓ + 1} [{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}] \\ - \frac{1}{ℓ + 2} [{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2}] \\ - \frac{ϑ_{1}}{ℓ + 1} [{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1} - {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1}] - {D类}_{σ}^{(1)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) + ϑ_{1} C_{σ}^{(1)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) \\ + {D类}_{σ}^{(2)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) + ϑ_{1} [\frac{1}{ℓ + 1} {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1} - C_{σ}^{(2)} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2})] \\ - \frac{ϑ_{2}}{ℓ + 1} {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 1} + \frac{1}{ℓ + 2} {(ϑ_{2} - σ (\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}))}^{ℓ + 2}} . \end{matrix}

证明。

通过使用引理2，众所周知的幂均值不等式，不等式(28)，的凸性

| ℏ^{'} |^{q个}

和模量的性质，我们可以推断

\begin{matrix} | Ξ_{1} + Ξ_{2} | \leq \frac{1}{Γ (ℓ)} [\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}} (\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} |σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个)| 天 x个) σ^{'} (ε) 天 ε \\ + \int_{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} (\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε}^{ε} |σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个)| 天 x个) σ^{'} (ε) 天 ε]^{1 - \frac{1}{q个}} \end{matrix}

\begin{matrix} \times [\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}} (\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} |σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个)| 天 x个) {| (ℏ^{'} \circ σ) (ε) |}^{q个} σ^{'} (ε) 天 ε \\ + \int_{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} (\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε}^{ε} |σ^{'} (x个) {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} (w个 \circ σ) (x个)| 天 x个) {| (ℏ^{'} \circ σ) (ε) |}^{q个} σ^{'} (ε) 天 ε]^{\frac{1}{q个}} \end{matrix}

\begin{matrix} \leq \frac{{∥ w个 \circ σ ∥}_{\infty}}{Γ (ℓ)} [\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}} (\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} |σ^{'} (x个)| {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} 天 x个) σ^{'} (ε) 天 ε \\ + \int_{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} (\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε}^{ε} |σ^{'} (x个)| {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} 天 x个) σ^{'} (ε) 天 ε]^{1 - \frac{1}{q个}} \end{matrix}

\begin{array}{l} \times [\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}} (\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} |σ^{'} (x个)| {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} 天 x个) {| (ℏ^{'} \circ σ) (ε) |}^{q个} σ^{'} (ε) 天 ε \\ + \int_{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} (\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε}^{ε} |σ^{'} (x个)| {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} 天 x个) {| (ℏ^{'} \circ σ) (ε) |}^{q个} σ^{'} (ε) 天 ε]^{\frac{1}{q个}} \end{array}

\begin{matrix} \leq \frac{{∥ w个 \circ σ ∥}_{\infty}}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{\frac{1}{q个}} Γ (ℓ)} {(C_{σ} (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}))}^{1 - \frac{1}{q个}} [\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1})}^{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}} (\int_{ε}^{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε} |σ^{'} (x个)| {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} 天 x个) \\ \times (\frac{ϑ_{2} - σ (ε)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} | ℏ^{'} (ϑ_{1}) |^{q个} + \frac{σ (ε) - ϑ_{1}}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} {| ℏ^{'} (ϑ_{2}) |}^{q个}) σ^{'} (ε) 天 ε \end{matrix}

\begin{array}{l} + \int_{\frac{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2})}{2}}^{σ^{- 1} (ϑ_{2})} (\int_{σ^{- 1} (ϑ_{1}) + σ^{- 1} (ϑ_{2}) - ε}^{ε} |σ^{'} (x个)| {(ϑ_{2} - σ (x个))}^{ℓ - 1} 天 x个) \\ \times (\frac{ϑ_{2} - σ (ε)}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} | ℏ^{'} (ϑ_{1}) |^{q个} + \frac{σ (ε) - ϑ_{1}}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} {| ℏ^{'} (ϑ_{2}) |}^{q个}) σ^{'} (ε) 天 ε]^{\frac{1}{q个}} . \end{array}

(34)

在对不等式产生的积分进行简单计算之后(34)，可以获得预期的结果(33). □

备注 9

特别是在定理3中，如果我们取：

（i）: $σ (x个) = x个$ ，我们得到

$\begin{matrix} | \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} w个 (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} w个 (ϑ_{1})] \\ - [w个 (ϑ_{2}) ({}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}_{w个}^{ℓ} ℏ) (ϑ_{2}) + w个 (ϑ_{1}) ({}_{w个}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ) (ϑ_{1})] | \\ \leq \frac{{∥ w个 ∥}_{\infty}}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{\frac{1}{q个}} Γ (ℓ + 1)} {(C (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}))}^{1 - \frac{1}{q个}} {[D类 (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) | ℏ^{'} (ϑ_{1}) |^{q个} + E类 (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) {| ℏ^{'} (ϑ_{2}) |}^{q个}]}^{\frac{1}{q个}}, \end{matrix}$

(35)

哪里

$\begin{matrix} C (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : & = \frac{2 {(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 1}}{ℓ (ℓ + 1)} (1 - \frac{1}{2^{ℓ}}), \\ D类 (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : & = \frac{1}{ℓ} [\frac{1}{ℓ + 1} ({(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2} - 2 ϑ_{2} {(\frac{ϑ_{2} - ϑ_{1}}{2})}^{ℓ + 1}) - \frac{2}{ℓ + 2} {(\frac{ϑ_{2} - ϑ_{1}}{2})}^{ℓ + 2}], \end{matrix}$

和

$\begin{matrix} E类 (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) : = \frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ + 2}}{ℓ (ℓ + 1)} (1 - \frac{1}{2^{ℓ}}) . \end{matrix}$
（ii）: $σ (x个) = x个$ 和 $w个 (x个) = 1$ ，我们得到

$\begin{array}{l} |\frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} - \frac{Γ (ℓ + 1)}{2 {(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} [{}_{ϑ_{1} +}^{R（右） L（左）}{J型}^{ℓ} ℏ (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ (ϑ_{1})]| \\ \leq \frac{1}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{\frac{1}{q个}} Γ (ℓ)} {(C (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}))}^{1 - \frac{1}{q个}} {[D类 (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) | ℏ^{'} (ϑ_{1}) |^{q个} + E类 (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}) {| ℏ^{'} (ϑ_{2}) |}^{q个}]}^{\frac{1}{q个}}, \end{array}$

(36)

哪里 $C (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2}), D类 (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2})$ 和 $E类 (ℓ ； ϑ_{1}, ϑ_{2})$ 定义如上。
（iii）: $σ (x个) = x个, w个 (x个) = 1$ 和 $ℓ = 1$ ，我们获得

$\begin{matrix} |\frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} - \frac{1}{ϑ_{2} - ϑ_{1}} \int_{ϑ_{1}}^{ϑ_{2}} ℏ (x个) 天 x个| \leq \frac{1}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{\frac{1}{q个}}} {(\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{2}}{2})}^{1 - \frac{1}{q个}} \\ \times {[\frac{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{2}}{12} (2 ϑ_{2} - 5 ϑ_{1}) | ℏ^{'} (ϑ_{1}) |^{q个} + \frac{三 {(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{三}}{4} {| ℏ^{'} (ϑ_{2}) |}^{q个}]}^{\frac{1}{q个}} . \end{matrix}$

(37)

备注 10

具体结果与[11,34,38]根据备注9。

4.讨论

我们考虑了加权分数算子。在我们目前的研究中，我们建立了新的分数HHF积分不等式，其中涉及与正对称函数相关的加权分数算子。HHF分数阶积分不等式(7)已应用于其他类凸函数，例如第页-凸函数[39]，广义凸函数[40],

(η_{1}, η_{2})

-凸函数[41]以及其他许多可以在文献中找到的东西。因此，这里得到的结果也可以应用于上述一类凸函数。

值得一提的是，有三种著名的分数阶Hermite–Hadamard积分不等式。第一个版本由Sarikaya等人于[11]结果如下所示(三). 其他版本包括

\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) & \leq \frac{2^{ℓ - 1} Γ (ℓ + 1)}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} [{}^{R（右） L（左）}{J型}_{(\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) +}^{ℓ} ℏ (ϑ_{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{(\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) -}^{ℓ} ℏ (ϑ_{1})] \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2}, \end{matrix}

(38)

和

\begin{matrix} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) & \leq \frac{2^{ℓ - 1} Γ (ℓ + 1)}{{(ϑ_{2} - ϑ_{1})}^{ℓ}} [{}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{1} +}^{ℓ} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2}) + {}^{R（右） L（左）}{J型}_{ϑ_{2} -}^{ℓ} ℏ (\frac{ϑ_{1} + ϑ_{2}}{2})] \leq \frac{ℏ (ϑ_{1}) + ℏ (ϑ_{2})}{2} ； \end{matrix}

(39)

这些已经由Sarikaya和Yaldiz建立[42]、穆罕默德和布雷维克[1]分别是。我们相信，这项研究的结果是非常通用的，可以扩展到进一步给出可能有趣且有用的积分不等式，包括其他形式的分数积分不等式(38)和(39).

5.结论

积分不等式是数学分析的一个重要分支，它已与所有分数微积分模型相结合，但以前从未与加权分数微积分模式相结合。因此，在本研究中，我们考虑了具有正加权对称函数核的分数阶微积分背景下的Hermite–Hadamard–Fejer积分不等式。

作者贡献

概念化、P.O.M.和T.A。；方法论，A.K。；软件，P.O.M。；验证，P.O.M.，A.K。；形式分析，P.O.M。；调查，P.O.M。；资源，T.A。；数据管理，P.O.M。；编写初稿，P.O.M。；写作审查和编辑，A.K。；可视化，A.K。；监督，T.A。；项目管理，T.A。；所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

作者特别感谢副主编和裁判。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

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AMA风格

Mohammed PO，Abdeljawad T，Kashuri A。凸函数关于包含正加权对称函数的增函数的分数阶Hermite–Hadamard–Fejer不等式。对称. 2020; 12(9):1503.https://doi.org/10.3390/sym12091503

芝加哥/图拉宾风格

Mohammed、Pshtiwan Othman、Thabet Abdeljawad和Artion Kashuri。2020年，“关于涉及正加权对称函数的递增函数的凸函数的分数阶Hermite–Hadamard–Fejer不等式”对称12，编号9:1503。https://doi.org/10.3390/sym12091503

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凸函数关于包含正加权对称函数的增函数的分数阶Hermite–Hadamard–Fejer不等式

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