1.简介
追求平衡在人类活动的几乎所有领域都是无处不在的。例如，在经济学中，供给和需求的动态通常被描述为均衡问题。同样，物理或社会现象，如容器中粒子的分布、交通流或电信网络，也可以从平衡的角度准确地进行概念化。
然而，直到范[1]平衡理论被应用于欧几里德空间。数学上，平衡问题最简单的定义是这样的话哪里是非空闭集，并且是平衡双函数，即。，为所有人. 可以被称为平衡问题的一些主要数学问题是：
多目标函数的弱极小点在闭集上是任何这样，对于任何这样的话.通过设置，可以将求弱极小点简化为求解平衡问题 Stampacchia变分不等式问题需要找到这样的话哪里和是一个闭集。这个问题也是一个平衡问题，其中 非合作博弈中的纳什均衡问题第页玩家，其中每个玩家我有一套可能的策略以最小化损失函数为目标具有因此，纳什均衡点是这样，任何一方都无法通过单方面改变策略来减少损失这样的话保留任何对于任何，使用表示从通过替换具有因此，这个问题相当于解决一个平衡问题
尽管这些问题具有明显的多样性，但所有上述问题都可以作为向量平衡问题的特殊情况来考虑，因此都可以包含在一个单一的数学图景中。由于该公式的强大功能，获得并研究用于解决此类更一般问题的Karush–Kuhn–Tucker（KKT）最优性条件非常有趣。
由于他们能够提供这样一个基本的见解，向量平衡问题是非线性分析的一个活跃分支，到目前为止，已有大量的出版物。例如，2003年，Iusem和Sosa等作者[2]研究了平衡问题与一些辅助凸问题之间的关系。此外，在过去的一个世纪里，物理学领域脱离了欧几里德几何学作为分配其理论的空间，转而选择更复杂的空间，也就是流形。说明这个例子的一个历史里程碑是爱因斯坦的引力理论，它围绕着黎曼流形上时空曲率的概念。物理领域中其他鲜为人知但同样基本的应用包括在处理哈密顿向量场或诺特定理时辛流形的出现。 光滑黎曼流形是包含曲率的空间，而欧几里德空间是处处平坦的。这可以在数学上表示为，其中M（M）是黎曼流形。然而，黎曼几何构成了欧几里德情况的推广。通过引入切平面的概念，很容易理解这一点。对于光滑曲线空间的任何点，例如2-Sphere，总是可以定义与该点的平切平面；即欧几里得空间。我们可以这样认为，就像我们认为地球在局部尺度上是平的，而整体上是球形的一样。事实上，所有曲线流形都局部地类似于欧几里德空间，这是我们理解它们的一个重要性质。然而，制图可以从经验上告诉我们，曲面在平面上的平面投影无法如实地表示原始曲面上物体的真实尺寸，特别是在局部条件开始减弱的大尺度上。因此，度量不再是微不足道的，距离测量需要考虑这种曲率。
在这一点上，我们已经可以看到欧几里得空间是如何简单地成为黎曼流形的，对于黎曼流形，其任何点的切平面都与平面本身相同。因此，在欧氏空间中，曲面上的向量等价于其切线空间上的向量。正是欧几里德几何的这一关键特征使得距离可以简单地定义为点积。因此，给定一个向量u个，如果在欧几里德空间中分配，其长度由另一方面，在非平面空间中，有必要考虑投影到切线空间时距离的变形。黎曼流形是那些具有所谓“度量张量”的流形；通常表示，这使我们能够充分定义距离；即。，.（请参见第2节了解更多详细信息）。 这种新的长度定义在最小化和平衡方面有直接的不足。欧几里德线元是平面上两点之间的最短连接，在流形上被一个测地线方程取代，该方程在非平面空间中扮演直线的角色。这可以从以下事实中看出：测地线是欧拉-拉格朗日方程的解，该方程最小化了由此类空间的度量给出的拉格朗夫函数，因此，描述了将从A移动到B所需动作最小化的轨迹。例如，行星的轨道遵循测地线，尽管在欧几里德意义上显然不是直线的。
Hadamard流形是具有非正截面曲率的单连通完备黎曼流形。研究Hadamard空间的动机是它们与欧几里德空间有一些相同的性质。其中之一是分离定理（参见费雷拉和奥利维拉[三]). 此外，对于M（M），存在连接这两个点的最小测地线。在Hadamard流形中，任意两点之间的测地线是唯一的M（M）是一个全局微分同构。此外映射定义在整个切线空间上([4]). 然而，Hadamard流形上函数的最小化在局部上等价于欧氏空间上的光滑约束优化问题，因为每个借助John Nash嵌入定理，Hadamard流形可以等距地嵌入到欧氏空间中。这与我们之前提出的直觉是一致的。
研究Hadamard流形上的优化问题是一个强大的工具。这是因为，通常情况下，在利用欧几里德度量，也可以用仿射度量来解决Hadamard流形可行集中的无约束凸极小化问题（参见[5]). In Colao等人[5]研究了Hadamard流形上平衡问题在某些适当条件下解的存在性及其在非合作对策Nash均衡中的应用。以同样的方式，在Németh[6]得到了Hadamard流形上变分不等式问题的存在唯一性结果。 此外，许多优化问题无法在线性空间中解决，例如受控热核聚变研究（参见[7])、信号处理、数值分析和计算机视觉（参见[8，9])需要Hadamard流形结构来进行建模。此外，还从流形的角度研究了机器学习问题数据集中隐藏的几何结构。在医学领域，Hadamard流形已用于磁共振分析，以量化肿瘤的生长，从而推断其进展状态，如Fletcher等人[10]。通过使用流形和对称结构，可以更好地理解理解和执行这些技术所需的几何学。例如，磁共振成像中用于研究阿尔茨海默病的对称正定矩阵集[11]是一种情况，在这种情况下，对流形的转换是必要的。此外，计算机视觉、信号处理或学习算法中的其他问题在解决优化问题时使用测地线。最后，在经济学中，Kristály使用Hadamard流形搜索Nash–Stampacchia平衡点[12]. 众所周知，凸环境具有搜索最优点的良好特性。在费雷拉[13]给出了Hadamard流形上凸函数的充要条件。凸函数的一个重要推广是Hanson引入的不变凸函数[14]，其中x个-年向量被任何函数替换.不变凸函数的主要结果表明，标量函数是不变凸函数当且仅当每个临界点是全局最小解。由于临界点和解的一致性始终得到保证，因此该特性对于通过算法获得最优点至关重要。在Barani和Pouryayeli[15]Hosseini和Pouryayevali[16]利用中值定理研究了不变凸性与单调性之间的关系。Ruiz-Garzón等人[17]结果表明，对于标量和向量情况，可以在黎曼流形的上下文中刻画不变凸性，这与欧几里德空间类似。最近，在Ahmad等人[18]作者介绍了黎曼流形上的log预凸和log invex函数以及Cartan-Hadamard流形上的中值定理。 以同样的方式，几位作者研究了向量平衡问题。安萨里和弗洛雷斯·巴赞[19]能够提供向量拟平衡问题解的存在性定理。此外，Gong给出了实Hausdorff拓扑向量空间上凸性条件下带约束向量平衡问题的弱有效Pareto点的一个刻画[20]。在接下来的几年里，龚也给出了向量平衡问题解的尺度化结果[21]。随后，Wei和Gong研究了实赋范空间中带约束向量平衡问题的弱有效Pareto点的最优性条件[22]。此外，Feng和Qiu还获得了实Banach空间上向量均衡和广义不变凸约束向量优化问题弱有效Pareto点的充分条件[23]. 受龚的上述工作的启发，我们的目标将集中于将拓扑或赋范空间中获得的约束向量平衡问题的KKT必要和充分条件推广到其他环境，如Hadamard流形，但迄今为止尚未在文献中出现。因此，我们提出了一个推广，通过用测地线弧代替线段，将线性空间定义扩展到Hadamard流形。我们将看到，约束向量优化的KKT经典条件是约束向量平衡问题的特殊情况。
论文的结构如下：第2节，我们讨论了Hadamard流形上的符号、微分和不变凸函数的概念。第3节证明了本文的主要结果，并研究了约束向量平衡问题弱有效点的最优性充要条件。第4节详细讨论了如何将先前的结果简化为约束向量优化问题的经典KKT条件，该问题首先由William Karush获得[24]被哈罗德·库恩和阿尔伯特·塔克发现[25]。最后，给出了一个例子以及最后的结论。 2.前期工作
让M（M）成为-希尔伯特空间上的流形H（H）具有黎曼度量在切线空间上.我们用表示的切线空间M（M）在x个，由的切线束M（M），由子流形的开邻域M（M）属于相应的范数表示为以及分段的长度曲线由定义 我们定义d日作为诱导原始拓扑的距离M（M）这样的话如果d日是黎曼度量得出的距离然后是任何黎曼流形可以转换为公制空间.曲线在某一点的导数x个关于向量空间中的流形.无论走哪条路连接x个和年在里面M（M）这样的话是测地线。 让是定义为对于每个，其中测地线的起点是x个有速度V（V）（即。，).
假设现在是地图吗在产品歧管上定义，以便 定义 1 [26]一个子集如果包含每个测地线端点x和y属于的M的. 在Hadamard流形上M（M），我们可以定义函数作为为所有人。此函数的作用与.在这里是唯一的最小测地线连接年到x个如下 例子 1 让赋有由定义的黎曼度量成为哈达玛流形。双曲空间和测地空间，更准确地说，Busemann非正曲率（NPC）空间是Hadarmard流形的例子。
我们需要一个适当的微分概念：
定义 2 [27]映射被称为沿测地线的微分图在当且仅当极限存在。 实值的梯度功能在x中的M上，表示为，是中的唯一向量这样的话对于中的所有X是f在第页，共页。
备注 1 f在X的定义类似于欧氏空间中方向导数的定义。
让是非空的开全凸子集且设，是映射。
定义 三。 我们定义约束集并考虑带约束的向量平衡问题（VEPC）：这样的话哪里是的非负值. 我们回顾了经典概念：
定义 4 向量令人满意的称为VEPC的弱有效Pareto点。
符号 1 我们表示为给定，其中是一个映射。
受线性空间上凸性概念的启发，Hadamard流形上的不变函数概念已成为向量优化的一个成功工具。这一广义定义是由汉森于年提出的[14]. 定义 5 让是Hadamard流形M的非空开全凸子集。可微函数称为-invex在尊重如果存在这样的话 利用上述定义，我们可以通过问题函数的不变凸性假设，获得最优性的充分条件。
3.主要成果
接下来，我们将通过应用必要和充分的最优性条件，获得VEPC弱有效点的特征。我们从必要的条件开始：
定理 1 【必要的KKT条件】让是Hadamard流形M的非空开放全凸子集，且设，，是映射。让.假设H和g在此外，假设存在这样的话.如果是VEPC的弱有效Pareto点，则存在，这样的话 证明。 就这样吧作为弱有效的Pareto指向VEPC。我们表示为 可以注意到，W是一个非空的开放全凸集。该证明可分为五个步骤：
步骤1。我们必须证明通过荒谬的还原，如果，因此 作为是一个开放集，那么这样的话 根据假设，从，、和，然后 作为是一个完全凸集和与…相矛盾作为弱有效的Pareto指向VEPC，因此. 第2步。我们将证明存在乘数.作为W公司是一个开集，分离定理成立（参见中的定理2.13和备注2.14[28])或[三])，存在这样的话 让那就是重点了这样的话 对于任何，，，我们有和.
出租我们得到因此为所有人，即以同样的方式，我们可以证明.
步骤3。我们将证明这一点因此，通过荒谬的还原，如果，来自方程式(11)我们得到 根据假设，这样的话; 然后，我们得到 作为，如果，我们得到，这意味着矛盾，因此.
步骤4。我们将证明第一个KKT条件。
出租，我们获得.注意到和，我们有，因此因此，KKT条件保持。 □ 现在让我们看看前面定理的倒数。为了得到它，我们首先需要不存在的条件。
定理 2 [充分KKT条件]令是Hadamard流形M的非空开全凸子集，且设，是映射。让.假设H和g在.H和g为-invex在关于η.如果存在和这样的话然后是VEPC的弱有效Pareto点。 证明。 假设H（H）和克是-invex在尊重在然后 发件人，和(27)我们得到了 另一方面，我们将证明是VEPC的弱有效Pareto点。如果不是，则根据定义这样的话 发件人.
自，我们有，所以因为然后与…相矛盾(32)因此是VEPC的弱有效Pareto点。 □ 备注 2 中的定理3.1[20]关于实Hausdorff拓扑向量空间和中的定理3.2和定理3.4[22]实赋范空间上是本文在Hadamard流形上得到的定理1和定理2的特例。中的定理3.1和3.3也是如此[23]在真实的Banach空间上。 综上所述，我们获得了带约束向量平衡问题弱有效Pareto点的KKT最优性条件。这些结果不仅是必要的，而且是充分的。
4.应用
作为前一节中所得结果的一个特例，我们将获得约束向量优化问题的KKT最优性条件。
让我们考虑约束多目标规划（CVOP），定义为：哪里，是开集上的可微多目标函数然后让M（M）是Hadamard流形。 根据前面的定理，并考虑到CVOP是VEPC的一个特殊情况，我们得到了KKT经典条件。
推论 1 让是Hadamard流形M的非空开全凸子集，且设是映射。假设f和g在此外，假设存在这样的话.如果是指向CVOP的弱有效Pareto点，则存在，这样的话 推论 2 让是Hadamard流形M的非空开全凸子集，且设是映射。假设f和g在.假设f和g在f和g是-invex尊重至η.如果存在，这样的话然后是CVOP的弱有效Pareto点。 证明。 这些证明与已经显示的类似，但没有进一步考虑CVOP作为VEPC的特殊情况，只需. □
备注 三。 中的定理4.4[20]关于实Hausdorff拓扑向量空间和推论3.3[23]实Banach空间是本文在Hadamard流形上得到的推论1和推论2的特例。此外，这些结果也与Ruiz-Garzón等人给出的推论3.8一致[17]. 我们用另一个例子来说明前面的结果：
例子 2 让我们考虑一下这个集合设K是由定义的2x2矩阵具有 捐赠Ω使用黎曼度量，我们得到了一个完备的黎曼流形即双曲空间的上半平面模型和.
鉴于使用黎曼度量k和是-invex在尊重并且存在我们有这个 我们有因此存在这样的话然后是CVOP的弱有效Pareto点。 5.结论
总之，我们证明了Hadamard流形上带约束的平衡向量问题，特别是约束向量优化问题弱有效Pareto点的KKT最优性条件的存在性。由于引入了非欧几里德空间，我们提出的这种特征化的主要要求是用测地线替换线段。事实证明，这需要：
因此，我们的研究为KKT公式的逻辑连续性提供了证据，当扩展到不同于龚在文献中给出的巴拿赫空间或规范的其他上下文时[20]还有魏和龚[22]冯和邱[23]. 我们方法的优点在于，它允许我们将欧几里德空间中的非凸问题转换为Hadamard空间中的凸问题，其中已知的凸性性质可以安全地应用。另一方面，该方法的缺点是要求流形具有非正截面曲率，这限制了它的应用。此外，欧氏空间的维数往往大于流形维数，这使得这种方法有时不方便。
本文的主要贡献是获得了Hadamard空间上向量平衡问题的经典KKT最优性条件，这是迄今为止尚未探索的领域。
最后，通过考虑向量平衡问题的其他类型的解决方案，继续研究这一研究领域是很有意思的，但还没有提出类似的推广。
