2.符号和序言
我们表示为X（X）一组有限的对象或备选方案，以及的非空子集集上的二元关系捕获代理的偏好关系。符号是的缩写，我们解释当且仅当元素被认为至少与元素一样好.然后，P（P）和我分别代表R（右）此外，R（右）如果它验证了自反性、及物性和完整性，则是一个完整的前序。
我们处理机会集的排序问题，即对备选方案集的子集进行排序X（X）更准确地说，我们研究了根据最佳元素对这些子集进行排序的标准，这些元素与备选方案的潜在排序有关。接下来的定义修复了这些概念。
定义 1 给定有限集上的总预序RR的最佳元素是元素这样的话
由于有限性假设，最佳元素存在，但它可能不是唯一的。当X（X）是线性的。
定义 2 设X是一个非空的替代集，R是X上的偏好序。间接效用准则在与R相关的定义如下，每个.给，代表子集的最佳元素
观察到R（右）确保该标准得到明确定义：无论选择何种元素或者它总是错的。
相反，如果我们对，那么我们就可以自然地定义一个完整的预购R（右）在X（X）作为.
此外，决策者通常会跨时间做出选择，并有不同的备选方案集或在每个时刻使用不同的标准。引用自[6]“实际上，代理人通常会根据相应的机会集序列进行一系列的选择，而不是从单个机会集中进行一次性的选择”。为了研究这种情况，我们考虑，其中有限且非空的备选方案集是否及时可用我、和是在上定义的完整预订单.备选方案的空间为并且≽是在上定义的完全预订单。当我们想要精确定位周期时我，序列表示为同样，. 我们的目标是研究在一个非同寻常的例子中。下一节将专门讨论此模型。
3.随时间变化的间接效用标准
现在，我们将标准形式化，包括间接效用标准在与完整的预订单关联。它们分别定义于，连续的备选方案集。如前一节所述，对于每个子集，运算符max给出选择中的最佳元素
定义 3 随时间变化的间接效用标准定义为：()，我们表示当且仅当：
任何一个为所有人或
存在这样的话为所有人和
事实上的是完整的预订单，确保max对最佳元素的选择不会影响该标准满足以下公理1和公理2，这对受检结构具有重要影响。它们指的是仅在其中一个期间提供的机会集中存在差异的序列。
公理 1（A1）. 对于任何一对仅状态不同的序列我，如果那么肯定是这样的为所有人.
公理1在精神上与文献中的独立式公理相似。我们公理背后的直觉如下。假设对于固定的情况，替换机会集在期间我通过另一个机会集产生一个不会更糟的序列。然后在任何情况下出现在期间我，将其替换为机会集产生的序列也没有恶化。
我们的下一个公理扩展了一个条件[1]跨期设置。克雷普斯[1]在备选方案集上的偏好顺序不固定的模型中，给出了备选方案子集上的间接效用准则的特征。他使用了一个延长光圈的条件，即在DM的可能选择中添加不太有趣的替代品不会让他变得更糟糕。在我们的框架中，我们陈述了以下变化： Axiom公司 2（A2）. 扩展的稳健性。
如果和，然后： 现在，我们着手建立一个对后续分析至关重要的命题。它假设与中的近似值存在关键差异[6]. 提议 1 让我们在满足公理A1和A2。那么，对于任何，存在这样的话此外，每个满足这一点为所有人以及所有人
证明。 让我们选择一个元素让我们假设我们通过归纳法进行。由于≽是完整的，我们可以假设： 现在我们假设（归纳假说）：和 我们得出结论通过递归参数。
这意味着元素满足我们的第一个要求。
第二项索赔已在上述第一期和第二套索赔中确定Axiom A1将其扩展到任何子集
以相同的方式进行，证明结束。 ☐
除了上述属性外，定义3中给出的排名还满足下一个公理（急躁或A3）。
Axiom公司 三（A3）. 对于任何一对只有一个州不同，为所有人 A3的解释如下。假设关于，机会就在眼前我更改（自到)，因此，决策者的情况更糟。然后，当她在这段时间后面临的机会集也发生变化时，她对最初的顺序有严格的偏好。Axiom 3表达了任何时期对其未来的独裁统治。这正是词典编纂标准的精神：它旨在强制执行对即时回报的强烈偏好。因此，这种行为与众所周知的折现效用模型（参见例如[12]了解其基本功能的技术说明）。尽管公用事业折现总额能够产生清晰的分析结果，但在经济学中并不被普遍接受。奇奇林斯基[13]（第2节）对这一标准在增长理论或可持续发展中的利弊进行了清晰的批判性说明。此外，观察公理3和间接效用标准都没有在任何时期强加独裁。独裁行为的正式表达出现在[13,14]在具有无限视野的跨期框架中，或在[15]在有限社会的社会福利判断中。 我们现在已经准备好描述随时间变化的间接效用标准：
定理 1 完整的预订单满足A1、A2和A3，前提是且仅当存在完整的预订单在()这样的话即，≽是与.
证明。 我们已经提到，充分条件很容易检查，即排名定义3中满足公理A1、A2和A3。
现在让我们证明，如果≽是满足公理A1、A2和A3，则存在完整的预订单在，并且这样.
授予日期：，我们定义在以以下方式：, 借助Axiom A1，可以由可选表达式定义当且仅当存在这样的话.
现在，让我们用上的总预订单与这些相关根据定义3。我们继续证明
命题1为每个，存在元素为所有人这样： 让我们证明这也是事实
事实上，我们知道满足公理A1和A2；因此，必须存在 这样的话和： 应用的定义，我们有或然而，，这是不可能的，因为(1)，因此，，这导致. 类似的论点适用于：导致. 归纳论元与的及物性证明该断言是正确的。
现在让我们考虑一下这些因素和这样的话我们必须证明
有两种可能性：
存在这样的话为所有人和
定义的应用生产为所有人,，尤其是： Axiom A3可实现：为所有人 拿,，我们得出结论：发件人为所有人以及，我们有：及物性导致： 对于所有人,.
在这种情况下，我们有因此，我们得出结论。
为了结束这一证明，我们必须证明这一点这样的话一定是这样
假设通过矛盾的方式，那么我们就有了存在这样的话为所有人和因此：为所有人 然而，为所有人，导致：然后：与假设相反。 ☐ 为了证明我们的刻画是严密的，现在我们给出三个例子来证明定理1中公理的独立性。我们从满足A1和A3的完整预订单开始，但不满足A2。
例子 1 鉴于: 然后，≽满足A1和A3，但不满足A2。 ◁
下一个示例给出了一个与A1矛盾但满足A2和A3的完整预订单。
例子 2 让我们考虑定义在X上的一个完整的前序R和以这样一种方式定义：:
立即证明该排名满足A3。
为了证明A1不满意，让我们这样的话我们有：但是：因为 ◁ 最后，示例3非常简单。它满足A1和A2，但不满足A3。
例子 3 让我们修复一个定义在X上的完整预序R，然后定义相关的排名作为： 
