Symmetry Analysis, Explicit Solutions, and Conservation Laws of a Sixth-Order Nonlinear Ramani Equation

Aliyu, Aliyu Isa; Inc, Mustafa; Yusuf, Abdullahi; Baleanu, Dumitru

doi:10.3390/sym10080341

开放式访问第条

六阶非线性Ramani方程的对称性分析、显式解和守恒定律

¹

土耳其埃拉泽菲拉特大学科学系数学系，23119

²

尼日利亚Dutse 71560，Dutse联邦大学科学院数学系

^三

土耳其安卡拉坎卡亚大学数学系，邮编：06790

⁴

罗马尼亚马古雷空间科学研究所077126

^*

信件应寄给的作者。

对称 2018,10(8), 341;https://doi.org/10.3390/sym10080341

收到的提交文件：2018年7月11日/修订日期：2018年8月8日/接受日期：2018年8月9日/发布日期：2018年8月15日

（本文属于特刊离散数学与对称)

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版本注释

摘要

:

在这项工作中，我们研究了完全可积的六阶非线性Ramani方程。应用李对称分析技术，导出了方程的李点对称性和一维子代数的最优系统。进一步利用最优系统导出对称约简和精确解。结合Riccati-Bernoulli子常微分方程（RBSO），我们通过求解对称约化得到的常微分方程来构造方程的行波解。我们证明了方程是非线性自共轭的，并通过调用伊布拉基莫夫的守恒定理，构造了与李对称性相关的守恒定律（CL）。一些数字显示了对所得结果的物理解释。

关键词：

李对称分析;守恒定律;行波解

1.简介

众所周知，大多数真实世界的物理现象都是由数学方程建模的，尤其是偏微分方程（PDE）。这些现象包括流体力学、弹性力学、等离子体物理和光纤、广义相对论、气体动力学、热力学等方面的问题[1]. 为了理解这种物理现象，寻找偏微分方程的精确解至关重要。在过去的几十年里，许多科学家和数学家广泛研究了几个偏微分方程的动力学行为[2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24]使用不同的概念。对称性分析已用于研究PDE[2,三,4,5,6]. 已经发现，通过对称变换，可以从旧解中获得PDE的一些新解[2]. 另一方面，守恒定律在偏微分方程的研究中非常重要。CL在确定PDE的可积性方面很重要[2].

作为一个重要的可积非线性模型，可积六阶非线性Ramani方程[10,11,12,13,14,15,16]

- 5 ψ_{t吨 t吨} + 45 {ψ_{x个}}^{2} ψ_{x个 x个} + 15 ψ_{x个 x个} ψ_{x个 x个 x个} - 5 (三 ψ_{x个} ψ_{x个 t吨} + 三 ψ_{t吨} ψ_{x个 x个} + ψ_{x个 x个 x个 t吨}) + 15 ψ_{x个} ψ_{x个 x个 x个 x个} + ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个} = 0

(1)

近年来，孤子理论备受关注。该等式是在参考文献中首次提出的[10]. 该方程是双线性Kadomtsev–Petviashvili（BKP）方程的五次归约[11]. 结果表明，Ramani方程具有双线性Bäcklund变换和CL[12]. 参考中[13]，应用截断奇异展开格式构造方程的Bäcklund自变换和Lax对(1). 参考中[14]应用Lax对和Bäcklund变换研究方程。方程的一个推广(1)，称为耦合Ramani方程，在参考文献中进行了广泛研究[15,16,17,18].

据我们所知，方程的Lie对称性分析(1)尚未完成。这项工作的主要目的是推导李点对称性[2,4]、一维子代数的最优系统、不变解和方程的CL，通过调用Ibragimov的守恒定理[7,8]. 通过使用Riccati-Bernoulli子常微分方程（RBSO）求解对称约简过程中获得的常微分方程，导出了不变解[19].

1.1. 方程的Lie对称性分析(1)

在这一部分中，我们构造了方程的向量场(1). 方程的相关向量场(1)由提供

X（X） = ξ (x个, t吨, ψ) \partial_{x个} + η (x个, t吨, ψ) \partial_{t吨} + 直径 (x个, t吨, ψ) \partial_{ψ},

(2)

其中系数函数

ξ (x个, t吨, ψ), η (x个, t吨, ψ), 直径 (x个, t吨, ψ)

是无穷小。单参数李群表示为

\begin{matrix} \bar{x个} = x个 + ¦Β ξ (x个, t吨, ψ) + O（运行） ({¦Β}^{2}), \\ \bar{t吨} = t吨 + ¦Β η (x个, t吨, ψ) + O（运行） ({¦Β}^{2}), \\ \bar{ψ} = ψ + ¦Β 直径 (x个, t吨, ψ) + O（运行） ({¦Β}^{2}), \end{matrix}

哪里

¦Β

表示组参数。如果方程中的向量字段(2)生成等式的点对称(1)，然后X（X）应满足以下给出的不变性条件

{{P（P）}_{第页}^{6} X（X） (Δ)|}_{Δ = 0} = 0,

(3)

哪里

{P（P）}_{第页}^{6}

是的六阶延长

Γ

[2]、和

Δ = - 5 ψ_{t吨 t吨} + 45 {ψ_{x个}}^{2} ψ_{x个 x个} + 15 ψ_{x个 x个} ψ_{x个 x个 x个} - 5 (三 ψ_{x个} ψ_{x个 t吨} + 三 ψ_{t吨} ψ_{x个 x个} + ψ_{x个 x个 x个 t吨}) + 15 ψ_{x个} ψ_{x个 x个 x个 x个} + ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个} = 0 .

(4)

放置方程式(4)到方程式中(三)结合六阶延拓，我们得到了一组线性偏微分方程的判定方程。通过求解线性偏微分方程组，我们得到了无穷小

ξ

,

直径

、和

η

，由提供

\begin{matrix} ξ = C_{1} + x个 C_{2}, \\ η = 三 t吨 C_{2} + C_{4}, \\ 直径 = - ψ C_{2} + C_{三}, \end{matrix}

哪里

C_{1}

,

C_{2},

C_{三}

和

C_{4}

是常量。方程的对称性(1)由以下给定的向量场跨越

{X（X）}_{1} = \frac{\partial}{\partial x个},

(5)

{X（X）}_{2} = \frac{\partial}{\partial ψ},

(6)

{X（X）}_{三} = \frac{\partial}{\partial t吨},

(7)

{X（X）}_{4} = 三 t吨 \frac{\partial}{\partial t吨} - ψ \frac{\partial}{\partial ψ} + x个 \frac{\partial}{\partial x个} .

（8）

1.2. 最优代数系统

在这一部分中，我们导出了子代数的最优系统[4]方程中向量场的(5)–(8). 为此，我们首先要注意

{X（X）}_{我} (我 = 1, 2, 三, 4)

产生伴随表示

一个 d日 (e（电子） x个 第页 (¦Β {X（X）}_{我})) {X（X）}_{j个}

，由定义[4]

一个 d日 (e（电子） x个 第页 (¦Β {X（X）}_{我})) {X（X）}_{j个} = {X（X）}_{j个} - ¦Β [{X（X）}_{我}, {X（X）}_{j个}] + \frac{1}{2} {¦Β}^{2} [{X（X）}_{我}, [{X（X）}_{我}, {X（X）}_{j个}]] - \dots,

哪里

[{X（X）}_{我}, {X（X）}_{j个}]

代表换向器

{X（X）}_{我} {X（X）}_{j个} - {X（X）}_{j个} {X（X）}_{我} .

有必要计算出伴随的不变量，因为它们对元素有限制

X（X） = \sum_{我 = 1}^{4} {c（c）}_{我} {X（X）}_{我} .

实值函数

η : 克 ⟶ R（右）

由提供

η (X（X）) = 直径 ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{4})

对于

直径

是不变的

\forall X（X） \neq 0,

X（X） \in 克,

η (一个 d日 (e（电子） x个 第页 (¦Β {X（X）}_{我})) {X（X）}_{1}) = η (X（X）), 我 = 1, \dots, 4 .

伴随表示群由李代数跨越

克^{一个}

，由以下表达式跨越

Δ_{我} = {c（c）}_{我 j个}^{k} {e（电子）}^{j个} \frac{\partial}{\partial {e（电子）}^{k}}, 我 = 1, \dots, 4,

哪里

{c（c）}_{我 j个}^{k}

是从中获得的常数表1因此，可以获得

Δ_{1} η (X（X）) = {c（c）}_{4} \frac{\partial η (X（X）)}{\partial {c（c）}_{1}} = 0,

(9)

Δ_{2} η (X（X）) = {c（c）}_{4} \frac{\partial η (X（X）)}{\partial {c（c）}_{2}} = 0,

(10)

Δ_{三} η (X（X）) = 三 {c（c）}_{4} \frac{\partial η (X（X）)}{\partial {c（c）}_{三}} = 0,

(11)

Δ_{4} η (X（X）) = {c（c）}_{1} \frac{\partial η (X（X）)}{\partial {c（c）}_{1}} - {c（c）}_{2} \frac{\partial η (X（X）)}{\partial {c（c）}_{2}} + 三 {c（c）}_{三} \frac{\partial η (X（X）)}{\partial {c（c）}_{三}} = 0 .

(12)

此外，我们可以

X（X） = \sum_{我 = 1}^{4} {c（c）}_{我} {X（X）}_{我} = 一个 d日 (e（电子） x个 第页 (α {X（X）}_{我})) o个 一个 d日 (e（电子） x个 第页 (β {X（X）}_{我})) X（X）, 我 = 1, \dots, 4 .

从方程式(9)–(12)和表1和表2，我们导出了以下李代数的最优系统：

[{X（X）}_{1}, α {X（X）}_{三} + {X（X）}_{1}, {X（X）}_{三}, {X（X）}_{4}] .

(13)

1.3. 相似约简与精确解

在这一部分中，我们在方程中使用了李代数的导出最优系统(13)研究方程的解(1). 为了实现这一点，需要求解由

\begin{matrix} \frac{d日 x个}{ξ (x个, t吨, ψ)} = \frac{d日 t吨}{η (x个, t吨, ψ)} = \frac{d日 ψ}{直径 (x个, t吨, ψ)} . \end{matrix}

1.3.1. 矢量场的对称约简 ${X（X）}_{1}$

对于向量场的约简

{X（X）}_{1} = \frac{\partial}{\partial x个}

，我们获取相似性变量

ψ (x个, t吨) = F类 (t吨)

具有

F类 (t吨)

满足ODE：

{F类}^{″} = 0 .

(14)

方程的解(1)解方程后(14)由提供

ψ (x个, t吨) = {c（c）}_{1} t吨 + {c（c）}_{2} .

1.3.2. 向量场的对称约简 ${X（X）}_{2}$

对于向量场的约简

α {X（X）}_{三} + {X（X）}_{1} = α \frac{\partial}{\partial t吨} + \frac{\partial}{\partial x个}

，我们获取相似性变量

ψ (x个, t吨) = F类 (ζ),

哪里

ζ = t吨 - α x个 .

功能

F类 (ζ)

满足以下ODE：

5 {F类}^{″} (1 + 6 α^{2} {F类}^{'} - 9 α^{4} {F类}^{' 2} + 三 α^{5} {F类}^{‴}) + 5 α^{三} (- 1 + 三 α^{2} {F类}^{'}) {F类}^{″ ″} - α^{6} {F类}^{‴ ‴} = 0 .

(15)

1.3.3. 矢量场的对称约简 ${X（X）}_{三}$

对于向量场的约简

{X（X）}_{三} = \frac{\partial}{\partial t吨}

，我们得到相似性变量

ψ (x个, t吨) = F类 (x个),

哪里

F类 (x个)

满足以下ODE：

- 45 {F类}^{' 2} {F类}^{''} - 15 {F类}^{''} {F类}^{‴} - 15 {F类}^{'} {F类}^{‴'} - {F类}^{‴ ‴} = 0 .

1.3.4. 向量场的对称性约简 ${X（X）}_{4}$

对于向量场的约简

{X（X）}_{4} = 三 t吨 \frac{\partial}{\partial t吨} - ψ \frac{\partial}{\partial ψ} + x个 \frac{\partial}{\partial x个}

，我们得到相似性变量

ψ (x个, t吨) = \frac{F类 (ζ)}{x个},

哪里

ζ = \frac{t吨}{{x个}^{三}} .

F类 (ζ)

因此满足以下ODE：

\begin{matrix} - 720 F类 + 540 {F类}^{2} - 90 {F类}^{三} - 600 {F类}^{'} - 59760 ζ {F类}^{'} + 90 F类 {F类}^{'} + 18360 ζ F类 {F类}^{'} - \\ 1350 ζ {F类}^{2} {F类}^{'} + 450 ζ {F类}^{' 2} + 67500 ζ^{2} {F类}^{' 2} - 5670 ζ^{2} F类 {F类}^{' 2} - 7290 ζ^{三} {F类}^{' 三} + \\ 5 {F类}^{″} - 1920 ζ {F类}^{″} - 272520 ζ^{2} {F类}^{″} + 45 ζ F类 {F类}^{″} + 30240 ζ^{2} F类 {F类}^{″} - \\ 405 ζ^{2} {F类}^{2} {F类}^{″} + 270 ζ^{2} {F类}^{'} {F类}^{″} + 127980 ζ^{三} {F类}^{'} {F类}^{″} - 2430 ζ^{三} F类 {F类}^{'} {F类}^{″} - \\ 3645 ζ^{4} {F类}^{' 2} {F类}^{″} + 18225 ζ^{4} {F类}^{″ 2} - 1080 ζ^{2} {F类}^{‴} - 298080 ζ^{三} {F类}^{‴} + \\ 12150 ζ^{三} F类 {F类}^{‴} + 41310 ζ^{4} {F类}^{'} {F类}^{‴} + 3645 ζ^{5} {F类}^{″} {F类}^{‴} - 135 ζ^{三} {F类}^{″ ″} - \\ 112590 ζ^{4} {F类}^{″ ″} + 1215 ζ^{4} F类 {F类}^{″ ″} + 3645 ζ^{5} {F类}^{'} {F类}^{″ ″} - 16038 ζ^{5} {F类}^{(5)} - \\ 729 ζ^{6} {F类}^{(6)} = 0 . \end{matrix}

1.3.5. 方程的不变解(15)

方程式(15)是一个六阶非线性常微分方程。我们应用了RBSO技术[19]得出其解决方案。在下文中，我们对RBSO方法进行了描述。

考虑以下给出的PDE

\begin{matrix} P（P） (ψ, ψ_{t吨}, ψ_{x个}, ψ_{t吨 t吨}, ψ_{x个 x个}, ψ_{x个 t吨}, \dots) = 0, \end{matrix}

(16)

哪里

ψ = ψ (x个, t吨)

.

第1步：: 通过引入转换

$ψ (x个, t吨) = F类 (ζ), ζ = k (x个 \pm α t吨),$

方程式(16)转换为以下ODE

$\begin{matrix} P（P） (F类, {F类}^{'}, {F类}^{″}, \dots) = 0, \end{matrix}$

(17)

具有 ${F类}^{'} (ζ) = \frac{d日 u个}{d日 ζ}$ .
第2步：: 假设方程的解(17)是RBE的解决方案

${F类}^{'} = b条 F类 + 一 {F类}^{2 - 米} + c（c） {F类}^{米},$

(18)

具有 $一,$ $b条,$ $c（c）,$ 和米是任意常数。通过积分方程式(18)，我们收购

${F类}^{″} = {F类}^{- 1 - 2 米} (一 {F类}^{2} + c（c） {F类}^{2 米} + b条 {F类}^{1 + 米}) (- 一 (- 2 + 米) {F类}^{2} + c（c）米 {F类}^{2 米} + b条 {F类}^{1 + 米}),$

$\begin{matrix} {F类}^{‴} = {F类}^{- 2 (1 + 米)} (b条 F类 + 一 {F类}^{2 - 米} + c（c） {F类}^{米}) (一^{2} (- 2 + 米) (- 三 + \\ 2 米) {F类}^{4} + {c（c）}^{2} 米 (- 1 + 2 米) {F类}^{4 米} + 一 b条 (- 三 + \\ 米) (- 2 + 米) {F类}^{三 + 米} + ({b条}^{2} + 2 一 c（c）) {F类}^{2 + 2 米} + \\ b条 c（c）米 (1 + 米) {F类}^{1 + 三米}), \dots \end{matrix}$

备注 1

什么时候？

米 = 0

和

一 c（c） \neq 0

，方程式(18)称为Riccati方程。什么时候？

米 \neq 1,

c（c） = 0

和

一 \neq 0

，方程式(18)给出了伯努利方程。方程式(18)称为Riccati–Bernoulli方程，以避免引入新术语。

方程式(18)有以下解决方案：

案例1：: 如果 $米 = 1$ ，那么我们有

$F类 (ζ) = C {e（电子）}^{(b条 + 一 + c（c）) ζ} .$

（19）
案例2：: 如果 $米 \neq 1$ , $b条 = 0$ 、和 $c（c） = 0$ ，那么我们有

$F类 (ζ) = {(一 (米 - 1) (ζ + C))}^{\frac{1}{米 - 1}} .$

(20)
案例3：: 如果 $b条 \neq 0$ , $c（c） = 0$ 和 $米 \neq 1$ ，那么我们有

$F类 (ζ) = {(C {e（电子）}^{(b条 (米 - 1) ζ)} - \frac{一}{b条})}^{\frac{1}{米 - 1}} .$

(21)
案例4：: 如果 $米 \neq 1$ , $一 \neq 0$ 和 ${b条}^{2} - 4 一 c（c） < 0$ ，那么我们有

$F类 (ζ) = {(- \frac{b条}{2 一} + \frac{\sqrt{4 一 c（c） - {b条}^{2}}}{2 一} 棕褐色的 [\frac{(1 - 米) \sqrt{4 一 c（c） - {b条}^{2}}}{2} (ζ + C)])}^{\frac{1}{1 - 米}},$

(22)

和

$F类 (ζ) = {(- \frac{b条}{2 一} - \frac{\sqrt{4 一 c（c） - {b条}^{2}}}{2 一} 帆布床 [\frac{(1 - 米) \sqrt{4 一 c（c） - {b条}^{2}}}{2} (ζ + C)])}^{\frac{1}{1 - 米}} .$

(23)
案例5：: 如果 $米 \neq 1$ , $一 \neq 0$ 和 ${b条}^{2} - 4 一 c（c） > 0$ ，那么我们有

$F类 (ζ) = {(- \frac{b条}{2 一} - \frac{\sqrt{{b条}^{2} - 4 一 c（c）}}{2 一} 棕褐色的小时 [\frac{(1 - 米) \sqrt{{b条}^{2} - 4 一 c（c）}}{2} (ζ + C)])}^{\frac{1}{1 - 米}},$

(24)

和

$F类 (ζ) = {(- \frac{b条}{2 一} - \frac{\sqrt{{b条}^{2} - 4 一 c（c）}}{2 一} 帆布床小时 [\frac{(1 - 米) \sqrt{{b条}^{2} - 4 一 c（c）}}{2} (ζ + C)])}^{\frac{1}{1 - 米}} .$

(25)
案例6：: 如果 $米 \neq 1$ , $一 \neq 0$ 和 ${b条}^{2} - 4 一 c（c） = 0$ ，那么我们有

$F类 (ζ) = {(\frac{1}{一 (米 - 1) (ζ + C)} - \frac{一}{b条})}^{\frac{1}{1 - 米}} .$

(26)

在这里，C是一个常量。

第三步：: 通过将 $F类$ 到方程式中(17)，可以获得涉及以下内容的代数表达式 $F类$ 和其他参数。通过选择米根据上述步骤，比较 ${F类}^{我}, 我 = (1, 2, \dots, 0$ 执行所有必要的代数计算，并利用方程式(19)–(26)，方程的解(16)可以导出。

求解方程式(15)使用RBSO技术，我们替换方程(18)与2一起

第,

三

第个,

方程的四阶和六阶导数(15)并设置

米 = 0

在得到的代数表达式中

\begin{matrix} - b条 c（c） (- 5 + 5 {b条}^{2} α^{三} + {b条}^{4} α^{6} + {c（c）}^{2} α^{4} (45 - 150 一 α + 136 一^{2} α^{2}) + 2 c（c） α^{2} (- 15 + \\ 20 一 α - 15 {b条}^{2} α^{三} + 26 一 {b条}^{2} α^{4})) + (- {b条}^{6} α^{6} + {b条}^{4} (- 5 α^{三} + 60 c（c） α^{5} - 114 一 c（c） α^{6}) + \\ 2 一 c（c） (5 + 10 c（c） α^{2} (三 - 4 一 α) + {c（c）}^{2} α^{4} (- 45 + 150 一 α - 136 一^{2} α^{2})) - 5 {b条}^{2} (- 1 + \\ 2 c（c） α^{2} (- 6 + 11 一 α) + 9 {c（c）}^{2} α^{4} (三 - 14 一 α + 16 一^{2} α^{2}))) F类 - b条 (616 一^{三} {c（c）}^{2} α^{6} - \\ 35 {b条}^{2} α^{2} (2 - 9 c（c） α^{2} + 2 {b条}^{2} α^{三}) + 2 一^{2} c（c） α^{三} (50 - 285 c（c） α^{2} + 196 {b条}^{2} α^{三}) + 一 (- 5 + \\ 25 {b条}^{2} α^{三} + 135 {c（c）}^{2} α^{4} + 21 {b条}^{4} α^{6} - 10 c（c） α^{2} (6 + 29 {b条}^{2} α^{三}))) {F类}^{2} + (- 45 {b条}^{4} α^{4} - \\ 1232 一^{4} {c（c）}^{2} α^{6} + 4 一^{三} c（c） α^{三} (- 50 + 285 c（c） α^{2} - 896 {b条}^{2} α^{三}) + 30 一 {b条}^{2} α^{2} (4 - 18 c（c） α^{2} + \\ 13 {b条}^{2} α^{三}) - 2 一^{2} (- 5 + 125 {b条}^{2} α^{三} + 135 {c（c）}^{2} α^{4} + 301 {b条}^{4} α^{6} - 60 c（c） (α^{2} + 24 {b条}^{2} α^{5}))) {F类}^{三} - \\ 75 一 b条 α^{2} (- 1 + 2 一 α) (- 三 {b条}^{2} α^{2} + 28 一^{2} c（c） α^{三} + 一 (2 - 9 c（c） α^{2} + 14 {b条}^{2} α^{三})) {F类}^{4} - \\ 5 一^{2} α^{2} (- 1 + 2 一 α) (- 27 {b条}^{2} α^{2} + 56 一^{2} c（c） α^{三} + 2 一 (2 - 9 c（c） α^{2} + 56 {b条}^{2} α^{三})) {F类}^{5} - \\ 1315 一^{三} b条 α^{4} (1 - 6 一 α + 8 一^{2} α^{2}) {F类}^{6} - 90 一^{4} α^{4} (1 - 6 一 α + 8 一^{2} α^{2}) {F类}^{7} = 0 . \end{matrix}

(27)

通过收集以下条款

{F类}^{我} (我 = 0, 1 \dots, 7)

在方程式中(27)并执行所有必要的代数计算，我们得到

常量：

\begin{matrix} - b条 c（c） (- 5 + 5 {b条}^{2} α^{三} + {b条}^{4} α^{6} + {c（c）}^{2} α^{4} (45 - 150 一 α + \\ 136 一^{2} α^{2}) + 2 c（c） α^{2} (- 15 + 20 一 α - 15 {b条}^{2} α^{三} + 26 一 {b条}^{2} α^{4})) = 0, \end{matrix}

(28)

{F类}^{1}

:

\begin{matrix} (- {b条}^{6} α^{6} + {b条}^{4} (- 5 α^{三} + 60 c（c） α^{5} - 114 一 c（c） α^{6}) + 2 一 c（c） (5 + 10 c（c） α^{2} (三 - 4 一 α) + \\ {c（c）}^{2} α^{4} (- 45 + 150 一 α - 136 一^{2} α^{2})) - 5 {b条}^{2} (- 1 + 2 c（c） α^{2} (- 6 + 11 一 α) + \\ 9 {c（c）}^{2} α^{4} (三 - 14 一 α + 16 一^{2} α^{2}))), \end{matrix}

(29)

{F类}^{2}

:

\begin{matrix} - 三 b条 (616 一^{三} {c（c）}^{2} α^{6} - 5 {b条}^{2} α^{2} (2 - 9 c（c） α^{2} + 2 {b条}^{2} α^{三}) + 2 一^{2} c（c） α^{三} (50 - 285 c（c） α^{2} + \\ 196 {b条}^{2} α^{三}) + 一 (- 5 + 25 {b条}^{2} α^{三} + 135 {c（c）}^{2} α^{4} + 21 {b条}^{4} α^{6} - 10 c（c） α^{2} (6 + 29 {b条}^{2} α^{三})) = 0, \end{matrix}

（30）

{F类}^{三}

:

\begin{matrix} (- 45 {b条}^{4} α^{4} - 1232 一^{4} {c（c）}^{2} α^{6} + 4 一^{三} c（c） α^{三} (- 50 + 285 c（c） α^{2} - 896 {b条}^{2} α^{三}) + \\ 30 一 {b条}^{2} α^{2} (4 - 18 c（c） α^{2} + 13 {b条}^{2} α^{三}) - 2 一^{2} (- 5 + 125 {b条}^{2} α^{三} + 135 {c（c）}^{2} α^{4} + \\ 301 {b条}^{4} α^{6} - 60 c（c） (α^{2} + 24 {b条}^{2} α^{5})) = 0, \end{matrix}

(31)

{F类}^{4}

:

\begin{matrix} - 75 一 b条 α^{2} (- 1 + 2 一 α) (- 三 {b条}^{2} α^{2} + 28 一^{2} c（c） α^{三} + 一 (2 - 9 c（c） α^{2} + 14 {b条}^{2} α^{三})) = 0, \end{matrix}

(32)

{F类}^{5}

:

\begin{matrix} - 15 一^{2} α^{2} (- 1 + 2 一 α) (- 27 {b条}^{2} α^{2} + 56 一^{2} c（c） α^{三} + 2 一 (2 - 9 c（c） α^{2} + 56 {b条}^{2} α^{三})) = 0, \end{matrix}

(33)

{F类}^{6}

:

\begin{matrix} - 315 一^{三} b条 α^{4} (1 - 6 一 α + 8 一^{2} α^{2}) = 0, \end{matrix}

(34)

{F类}^{7}

:

\begin{matrix} - 90 一^{4} α^{4} (1 - 6 一 α + 8 一^{2} α^{2}) = 0 . \end{matrix}

（35）

通过求解方程(28)–(35)，我们获得以下参数值系列：

系列1：什么时候？

c（c） = 0, 一 = \frac{1}{2 α}, b条 = \frac{1}{α} \sqrt{\frac{- 5 + 三 \sqrt{5}}{2 α}},

(36)

我们有以下给出的案例和解决方案

案例A：如果

α > 0,

我们得到了以下给出的扭结型解

ψ (x个, t吨) = - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- 10 + 6 \sqrt{5}}{α}} \{1 + 坦纳 [\frac{1}{2 α} \sqrt{\frac{- 5 + 三 \sqrt{5}}{2 α}} (C + t吨 - x个 α)]\},

(37)

和奇异解

ψ (x个, t吨) = - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- 10 + 6 \sqrt{5}}{α}} \{1 + 帆布床 [\frac{1}{2 α} \sqrt{\frac{- 5 + 三 \sqrt{5}}{2 α}} (C + t吨 - x个 α)]\} .

(38)

案例B：如果

α < 0,

我们获得了以下周期行波解

ψ (x个, t吨) = - \sqrt{\frac{- 5 + 三 \sqrt{5}}{2 α}} + \sqrt{\frac{5 - 三 \sqrt{5}}{2 α}} 棕褐色的 [\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5 - 三 \sqrt{5}}{2 α}} (C + t吨 - x个 α)],

和

ψ (x个, t吨) = - \sqrt{\frac{- 5 + 三 \sqrt{5}}{2 α}} - \sqrt{\frac{5 - 三 \sqrt{5}}{2 α}} 婴儿床 [\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5 - 三 \sqrt{5}}{2 α}} (C + t吨 - x个 α)] .

案例C：通过替换方程式中的参数(36)转化为方程式(21)，我们得到以下方程的精确解(1)以下为：

\begin{matrix} ψ (x个, t吨) = {\{C {e（电子）}^{\frac{1}{α} \sqrt{\frac{- 5 + 三 \sqrt{5}}{2 α}} (- t吨 + x个 α)} - α \sqrt{\frac{1}{- 10 + 6 \sqrt{5}}}\}}^{- 1} . \end{matrix}

(39)

系列2：什么时候？

一 = \frac{1}{2 α}, c（c） = \frac{1}{4} \{\frac{三 \sqrt{5}}{α^{2}} + \frac{5}{α^{2}} + 2 {b条}^{2} α\},

我们获得了由以下表达式表示的周期行波解

\begin{matrix} ψ (x个, t吨) = - b条 α + \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{5 + 三 \sqrt{5}}{α}} 棕褐色的 [\frac{1}{2 α} \sqrt{\frac{5 + 三 \sqrt{5}}{α}} (C + t吨 - x个 α)], \end{matrix}

(40)

和

\begin{matrix} ψ (x个, t吨) = - \frac{1}{2} α \{2 b条 + \frac{1}{α} \sqrt{\frac{10 + 6 \sqrt{5}}{α}} 帆布床 [\frac{1}{2 α} \sqrt{\frac{5 + 三 \sqrt{5}}{2 α}} (C + t吨 - x个 α)]\} . \end{matrix}

(41)

2.保护法

在这一部分中，我们导出了方程的非线性自共轭性(1)为了构造CL。我们首先考虑参考文献中的以下定理[7,8]:

定理 1

系统

\bar{米}

微分方程，

{F类}_{\bar{α}} (\bar{x个}, ψ, ψ_{(1)}, \dots, ψ_{秒}) = 0, \bar{α} = 1, \dots, 米,

(42)

具有m个因变量

ψ = (ψ^{1}, \dots, ψ^{米})

有一个伴随方程

{F类}_{\bar{α}}^{*} (\bar{x个}, ψ, ψ_{(1)}, \dots, ψ_{秒}) = \frac{δ (υ^{\bar{β}} {F类}_{\bar{β}})}{δ ψ^{\bar{α}}}, α = 1, \dots, 米,

(43)

哪里

\frac{δ}{δ ψ^{\bar{α}}} = \frac{\partial}{\partial ψ^{\bar{α}}} + \sum_{秒 = 0}^{\infty} {(- 1)}^{秒} {D类}_{我_{1}} \dots {D类}_{我_{秒}} \frac{\partial}{\partial ψ_{我_{1} \dots 我_{秒}}^{\bar{α}}} .

正式的拉格朗日语

L（左）

对于方程式(42)由提供

L（左） = \sum_{\bar{β} = 1}^{米} υ^{\bar{β}} {F类}_{\bar{β}} (\bar{x个}, ψ, ψ_{(1)}, \dots, ψ_{秒}),

(44)

哪里

υ^{\bar{β}} = υ^{\bar{β}} (\bar{x个}, t吨)

是一个非局部因变量。

形式拉格朗日方程(44)对于方程式(1)写为

\begin{matrix} L（左） = υ (x个, t吨) (5 ψ_{t吨 t吨} - 45 {ψ_{x个}}^{2} ψ_{x个 x个} - 15 ψ_{x个 x个} ψ_{x个 x个 x个} + 5 (三 ψ_{x个} ψ_{x个 t吨} + 三 ψ_{t吨} ψ_{x个 x个} + ψ_{x个 x个 x个 t吨}) - 15 ψ_{x个} ψ_{x个 x个 x个 x个} - ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个}), \end{matrix}

(45)

哪里

υ = υ (x个, t吨)

是一个非局部变量。随后，我们导出了方程的伴随(1)作为

\begin{matrix} {F类}^{*} = 5 υ_{t吨 t吨} + 30 υ_{x个} ψ_{x个 t吨} + 15 ψ_{t吨} υ_{x个 x个} - 45 {ψ_{x个}}^{2} υ_{x个 x个} - 45 ψ_{x个 x个} υ_{x个 x个 x个} - 60 υ_{x个 x个} ψ_{x个 x个 x个} + \\ 5 υ_{x个 x个 x个 t吨} + 15 ψ_{x个} (υ_{x个 t吨} - 6 υ_{x个} ψ_{x个 x个} - υ_{x个 x个 x个 x个}) - 30 υ_{x个} ψ_{x个 x个 x个 x个} - υ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个} = 0 . \end{matrix}

(46)

定理 2

方程式(42)如果它等价于其伴随方程，则为非线性自共轭(43)在替换时

υ^{\bar{α}} = {直径}^{\bar{α}} (\bar{x个}, ψ), \bar{α} = 1, 2, \dots, \bar{米},

这样的话

直径 (\bar{x个}, ψ) \neq 0 .

(47)

方程式(47)意味着并非所有组件

{直径}^{\bar{α}} (\bar{x个}, ψ)

φ的消失。

定理三。

方程式(1)是非线性自共轭的，如果方程中的γ(46)由提供

\begin{matrix} υ = {c（c）}_{1} + t吨 {c（c）}_{2} . \end{matrix}

(48)

证明。

让

\begin{matrix} υ = 直径 (x个, t吨, ψ) . \end{matrix}

(49)

通过放置方程式(49)到伴随方程中(46)，我们收购

\begin{matrix} - 15 {直径}_{ψ ψ} = 0, - 10 {直径}_{ψ ψ} = 0, - 6 {直径}_{ψ ψ} = 0, 5 {直径}_{ψ ψ} = 0, 15 {直径}_{ψ ψ} = 0, \\ - 60 {直径}_{ψ ψ ψ} = 0, - 15 {直径}_{ψ ψ ψ} = 0, 15 {直径}_{ψ ψ ψ} = 0, - 45 {直径}_{ψ ψ ψ ψ} = 0, \\ - 20 {直径}_{ψ ψ ψ ψ} = 0, 5 {直径}_{ψ ψ ψ ψ} = 0, - 15 {直径}_{ψ ψ ψ ψ ψ} = 0, - {直径}_{ψ ψ ψ ψ ψ ψ} = 0, \\ - 6 {直径}_{x个 ψ} = 0, 15 {直径}_{x个 ψ} = 0, 15 {直径}_{x个 ψ ψ} = 0, - 30 ({直径}_{ψ} + {直径}_{x个 ψ ψ}) = 0, \\ 30 ({直径}_{ψ} + {直径}_{x个 ψ ψ}) = 0, - 15 (6 {直径}_{ψ} + 4 {直径}_{x个 ψ ψ}) = 0, - 180 {直径}_{ψ ψ} - \\ 90 {直径}_{x个 ψ ψ ψ} = 0, - 120 {直径}_{ψ ψ} - 60 {直径}_{x个 ψ ψ ψ} = 0, 15 (2 {直径}_{ψ ψ} + {直径}_{x个 ψ ψ ψ}) = 0, \\ - 15 (9 {直径}_{ψ ψ ψ} + 4 {直径}_{x个 ψ ψ ψ ψ}) = 0, - 三 (5 {直径}_{ψ ψ ψ ψ} + 2 {直径}_{x个 ψ ψ ψ ψ ψ}) = 0, \\ - 30 {直径}_{x个} - 15 {直径}_{x个 x个 ψ} = 0, 30 {直径}_{x个} + 15 {直径}_{x个 x个 ψ} = 0, - 180 {直径}_{x个 ψ} - 60 {直径}_{x个 x个 ψ ψ} = 0, \\ - 45 (三 {直径}_{x个 ψ} + {直径}_{x个 x个 ψ ψ}) = 0, 45 {直径}_{x个 ψ} + 15 {直径}_{x个 x个 ψ ψ} = 0, - 45 (2 {直径}_{ψ} + 7 {直径}_{x个 ψ ψ} + \\ 2 {直径}_{x个 x个 ψ ψ ψ}) = 0, - 45 {直径}_{ψ ψ} - 60 {直径}_{x个 ψ ψ ψ} - 15 {直径}_{x个 x个 ψ ψ ψ ψ} = 0, 5 {直径}_{t吨 ψ} - \\ 60 {直径}_{x个 x个} - 20 {直径}_{x个 x个 x个 ψ} = 0, 10 {直径}_{t吨 ψ} + 15 {直径}_{x个 x个} + 5 {直径}_{x个 x个 x个 ψ} = 0, 15 {直径}_{t吨 ψ ψ} - \\ 90 {直径}_{x个} - 225 {直径}_{x个 x个 ψ} - 60 {直径}_{x个 x个 x个 ψ ψ} = 0, 5 {直径}_{t吨 ψ ψ ψ} - 90 {直径}_{x个 ψ} - 0 {直径}_{x个 x个 ψ ψ} - \\ 920 {直径}_{x个 x个 x个 ψ ψ ψ} = 0, 15 {直径}_{x个 t吨 ψ} - 45 {直径}_{x个 x个 x个} - 15 {直径}_{x个 x个 x个 x个 ψ} = 0, 15 {直径}_{t吨 ψ} + \\ 15 {直径}_{x个 t吨 ψ ψ} - 45 {直径}_{x个 x个} - 60 {直径}_{x个 x个 x个 ψ} - 15 {直径}_{x个 x个 x个 x个 ψ ψ} = 0, 15 {直径}_{x个 t吨} + 15 {直径}_{x个 x个 t吨 ψ} - \\ 15 {直径}_{x个 x个 x个 x个} - 6 {直径}_{x个 x个 x个 x个 x个 ψ} = 0, 5 {直径}_{t吨 t吨} + 5 {直径}_{x个 x个 x个 t吨} - {直径}_{x个 x个 x个 x个 x个 x个} = 0 . □ \end{matrix}

(50)

使用名为SYM的Mathematica包[24]，我们得到方程的解(50)作为

\begin{matrix} 直径 = {c（c）}_{1} + t吨 {c（c）}_{2} . \end{matrix}

□

定理 4

任何无穷小对称性（李点，Bäcklund，非局部）

X（X） = ξ^{我} (\bar{x个}, ψ, ψ_{(1)}, \dots) \frac{\partial}{\partial {\bar{x个}}^{我}} + η^{\bar{α}} (\bar{x个}, ψ, ψ_{(1)}, \dots) \frac{\partial}{\partial ψ^{\bar{α}}}

方程式的(42)导致CL

{D类}_{我} ({T型}^{我}) = 0

，由公式构造

\begin{matrix} {T型}^{我} = ξ^{我} L（左） + {W公司}^{\bar{α}} [\frac{\partial L（左）}{\partial ψ_{我}^{\bar{α}}} - {D类}_{j个} (\frac{\partial L（左）}{\partial ψ_{我 j个}^{\bar{α}}}) + {D类}_{j个} {D类}_{k} (\frac{\partial L（左）}{\partial ψ_{我 j个 k}^{\bar{α}}}) - \dots] \\ + {D类}_{j个} ({W公司}^{\bar{α}}) [\frac{\partial L（左）}{\partial ψ_{我 j个}^{\bar{α}}} - {D类}_{k} (\frac{\partial L（左）}{\partial ψ_{我 j个 k}^{\bar{α}}}) + \dots] + {D类}_{j个} {D类}_{k} ({W公司}^{\bar{α}}) [\frac{\partial L（左）}{\partial ψ_{我 j个 k}^{\bar{α}}} - \dots], \end{matrix}

(51)

哪里

{W公司}^{\bar{α}} = η^{\bar{α}} - ξ^{j个} ψ_{j个}^{\bar{α}}

和

{T型}^{我}

是保守向量。

方程式(1)与代换方程是非线性自共轭的(48). 我们现在利用这个事实来构建保守的载体。作为特殊情况，我们选择

{c（c）}_{1} = {c（c）}_{2} = 1

在方程式中(48)以获得

υ (x个, t吨) = (1 + t吨) .

(52)

通过放置方程式(52)到方程式中(45)，我们收购

\begin{matrix} {L（左）}^{*} = (1 + t吨) (5 ψ_{t吨 t吨} - 45 {ψ_{x个}}^{2} ψ_{x个 x个} - 15 ψ_{x个 x个} ψ_{x个 x个 x个} + 5 (三 ψ_{x个} ψ_{x个 t吨} + 三 ψ_{t吨} ψ_{x个 x个} + ψ_{x个 x个 x个 t吨}) - \\ 15 ψ_{x个} ψ_{x个 x个 x个 x个} - ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个}) . \end{matrix}

我们现在使用每个对称方程(9)–(12)和守恒公式方程(51)以获得以下保守向量：

发电机 ${X（X）}_{1} = \partial_{x个}$ 确定保守向量：

$\begin{matrix} {T型}_{1}^{x个} = \frac{5}{4} (4 (1 + t吨) ψ_{t吨 t吨} + 6 {ψ_{x个}}^{2} + 12 (1 + t吨) ψ_{x个} ψ_{x个 t吨} + ψ_{x个 x个 x个} + (1 + t吨) ψ_{x个 x个 x个 t吨}), \\ {T型}_{1}^{t吨} = - \frac{5}{4} (4 ψ_{x个} (- 1 + 三 (1 + t吨) ψ_{x个 x个}) + (1 + t吨) (4 ψ_{x个 t吨} + ψ_{x个 x个 x个 x个})) . \end{matrix}$
发电机 ${X（X）}_{2} = \partial_{ψ}$ 确定保守向量：

$\begin{matrix} {T型}_{2}^{x个} = - \frac{15}{2} (ψ_{x个} + (1 + t吨) ψ_{x个 t吨}), \\ {T型}_{2}^{t吨} = - 5 + \frac{15}{2} (1 + t吨) ψ_{x个 x个} . \end{matrix}$
发电机 ${X（X）}_{三} = \partial_{t吨}$ 确定保守向量：

$\begin{matrix} {T型}_{三}^{x个} = \frac{1}{2} (15 ψ_{t吨} (ψ_{x个} - t吨 ψ_{x个 t吨}) + t吨 (- 15 ψ_{t吨 t吨} ψ_{x个} + 90 {ψ_{x个}}^{2} ψ_{x个 t吨} + 30 ψ_{x个 t吨} ψ_{x个 x个 x个} + 30 ψ_{x个} ψ_{x个 x个 x个 t吨} + 2 ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 t吨})), \\ {T型}_{三}^{t吨} = - 45 t吨 {ψ_{x个}}^{2} ψ_{x个 x个} + \frac{5}{2} ψ_{t吨} (2 + 三 t吨 ψ_{x个 x个}) + 5 ψ_{x个 x个 x个} - 15 t吨 ψ_{x个 x个} {u个}_{x个 x个 x个} + \frac{15}{2} t吨 ψ_{x个} (ψ_{x个 t吨} - 2 ψ_{x个 x个 x个 x个}) - t吨 ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个} . \end{matrix}$
发电机 ${X（X）}_{4} = 三 t吨 \partial_{t吨} - ψ \partial_{ψ} + x个 \partial_{x个}$ 确定保守向量：

$\begin{matrix} {T型}_{4}^{x个} = \frac{1}{4} (30 (ψ + 三 t吨 ψ_{t吨} + x个 ψ_{x个}) (ψ_{x个} + (1 + t吨) ψ_{x个 t吨}) - 30 (1 + t吨) ψ_{x个} (4 ψ_{t吨} + 三 t吨 ψ_{t吨 t吨} + x个 ψ_{x个 t吨}) + \\ 60 (1 + t吨) (2 ψ_{x个} + 三 t吨 ψ_{x个 t吨} + x个 ψ_{x个 x个}) (- ψ_{t吨} + 三 {ψ_{x个}}^{2} + ψ_{x个 x个 x个}) + 5 (三 ψ_{x个 x个} + 三 t吨 ψ_{x个 x个 t吨} + \\ x个 ψ_{x个 x个 x个}) - 15 (1 + t吨) (6 ψ_{x个 x个 t吨} + 三 t吨 ψ_{x个 x个 t吨 t吨} + x个 ψ_{x个 x个 x个 t吨}) + 60 (1 + t吨) ψ_{x个} (4 ψ_{x个 x个 x个} + \\ 三 t吨 ψ_{x个 x个 x个 t吨} + x个 ψ_{x个 x个 x个 x个}) + 4 (1 + t吨) x个 (5 ψ_{t吨 t吨} + 5 (- 9 {ψ_{x个}}^{2} ψ_{x个 x个} + 三 ψ_{x个 x个} (ψ_{t吨} - ψ_{x个 x个 x个}) + \\ ψ_{x个 x个 x个 t吨} + 三 ψ_{x个} (ψ_{x个 t吨} - ψ_{x个 x个 x个 x个})) - ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个}) + 4 (1 + t吨) (6 ψ_{x个 x个 x个 x个 x个} + \\ 三 t吨 {u个}_{x个 x个 x个 x个 x个 t吨} + x个 ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个})), \\ {T型}_{4}^{t吨} = \frac{1}{4} (10 ψ (2 - 三 (1 + t吨) ψ_{x个 x个}) + 10 ψ_{t吨} (- 2 (4 + t吨) + 9 t吨 (1 + t吨) ψ_{x个 x个}) + \\ 10 (- 6 (1 + t吨) {ψ_{x个}}^{2} (1 + 9 t吨 ψ_{x个 x个}) + ψ_{x个} (2 x个 + 9 t吨 (1 + t吨) ψ_{x个 t吨} - 6 (1 + t吨) x个 ψ_{x个 x个}) - \\ 2 (1 + t吨) (x个 ψ_{x个 t吨} + (1 + 9 t吨 ψ_{x个 x个}) ψ_{x个 x个 x个})) + 45 t吨 (1 + t吨) ψ_{x个 x个 x个 t吨} - \\ 5 (1 + t吨) (x个 + 36 t吨 ψ_{x个}) ψ_{x个 x个 x个 x个} - 12 t吨 (1 + t吨) ψ_{x个 x个 x个 x个 x个 x个}) . \end{matrix}$

3.结论

本文得到了六阶非线性Ramani方程的行波解。利用对称性将方程简化为常微分方程。首先求解常微分方程，采用RBSO格式导出方程的行波解。这些行波解包括扭结型、奇异和指数函数解。此外，我们还利用伊布拉基莫夫的守恒定理导出了方程的CL。图中显示了一些有趣的数字，显示了所获得结果的物理意义图1,图2和图3.

作者贡献

A.I.A.、M.I.、A.Y.和D.B.共同推导数学结果。所有作者阅读并批准了最终手稿。

基金

作者没有获得对这篇文章的研究、作者身份和/或出版的资金支持。

致谢

作者感谢匿名审稿人为提高论文质量提出的宝贵意见和建议。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

G.B.惠瑟姆。线性和非线性波; 威利：美国纽约州纽约市，1974年。[谷歌学者]
P.J.奥尔弗。李群在微分方程中的应用; 施普林格：美国纽约州纽约市，1993年。[谷歌学者]
Lou，S.Y。；胡X.R。；Yong，C.与Bäcklund变换相关的非局部对称性及其应用。《物理学杂志》。数学。西奥。 2012,45, 155209. [谷歌学者] [交叉参考]
布赫，E。；广义Zakharov方程的对称约化、精确解和守恒定律。数学杂志。物理学。 2015,56，101501。[谷歌学者] [交叉参考]
Gao，B.Boussinesq-Whitham-Broer-Kaup方程的对称性分析和显式幂级数解。波浪随机复杂介质 2016,27, 700–710. [谷歌学者] [交叉参考]
冯，L.L。；田，S.F。；张，T.T。；Zhou，J.Lie对称性，守恒定律和二元可积方程的解析解。下巴。《物理学杂志》。 2017,55, 996–1010. [谷歌学者] [交叉参考]
伊布拉基莫夫，N.H.非线性自共轭和守恒定律。《物理学杂志》。数学。西奥。 2011,44, 432002. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
新罕布什尔州伊布拉基莫夫，一个新的守恒定理。数学杂志。分析。申请。 2007,333, 311–328. [谷歌学者] [交叉参考]
T.B.本杰明。；Olver，P.J.Hamilton结构，水波的对称性和守恒定律。J.流体力学。 1982,125, 137–185. [谷歌学者] [交叉参考]
Ramani，A.逆散射，Painleve型常微分方程和Hirota形式主义。安·阿卡德。科学。 1981,373, 54–67. [谷歌学者] [交叉参考]
日期，E。；Jimbo，M。；Kashiwara，M。；Miwa，T.孤子方程的变换群。出版物。Res.Inst.数学。科学。 1982,18, 1077–1110. [谷歌学者] [交叉参考]
Hu，X.B.Hirota型方程，孤子解，Bäcklund变换和守恒定律。J.部分差异。等于。 1990,三, 87–95. [谷歌学者]
Karsau，A。；Sarkovich，S。；Turhan，R.Korteweg-de-Vries方程的一个新的可积推广。数学杂志。物理学。 2008,49, 1–10. [谷歌学者]
赵J.X。；耦合Ramani方程的Tam，H.W.孤子解。申请。数学。莱特。 2006,19, 307–313. [谷歌学者] [交叉参考]
新耦合Ramani方程的多孤子解。物理学。Scr.公司。 2011,83, 015002. [谷歌学者] [交叉参考]
Wazwaz，A.耦合Ramani方程：多孤子解。数学杂志。化学。 2012,52, 2133–2140. [谷歌学者] [交叉参考]
瓦兹瓦兹，A。；Triki，H.六阶Ramani方程和耦合Ramani方程式的多孤子解。申请。数学。计算。 2010,216, 332–336. [谷歌学者] [交叉参考]
陈，J。；鲍峰，F。；Chen，Y.向量Ramani方程的双线性Bäcklund变换、松弛对和多粒子解。国防部。物理学。莱特。B类 2017,31，1750133。[谷歌学者] [交叉参考]
杨，X.F。；邓，Z.C。；Wei，Y.非线性偏微分方程的Riccati-Bernoulli子常微分方程方法及其应用。高级差异。等于。 2015,2015, 117. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
严，C。；Yan，Z.利用新的sine-Gordon方程展开法求解（2+1）维Gardner方程的新精确解。物理学。莱特。一个 1996,224, 77–84. [谷歌学者] [交叉参考]
Ma，W.X.一种改进的不变子空间方法及其在演化方程中的应用。科学。中国数学。 2012,55, 1769–1778. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
马，W.X。；Liu，Y.一类色散发展方程的不变子空间和精确解。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。 2012,17, 3795–3801. [谷歌学者] [交叉参考]
公司，M。；哈希米，M.S。；Aliyu，A.I.Bogoyavlenskii方程的精确解和守恒定律。物理学报。波兰。一个 2018,133, 1133–1137. [谷歌学者] [交叉参考]
迪马斯，S。；Tsoubelis，D.一个新的Mathematica对称性发现包。2004年10月24日至31日在塞浦路斯拉纳卡举行的第十届现代群体分析国际会议论文集；塞浦路斯大学：尼科西亚，塞浦路斯，2005年；第64-70页。[谷歌学者]

图1。(一)扭结型解方程的三维曲面(37)和(b条)方程的奇异解(38)通过设置

α = 0.7, C = 1

这些解决方案在铁磁体中两个磁畴之间的布洛赫壁中有多种物理应用。孤立波传播时，振幅和宽度的动力学没有变化。可以观察到孤立波以正相速度和恒定周期沿三维轴移动。孤波的振幅和相位在演化过程中没有变化。

图1。(一)扭结型解方程的三维曲面(37)和(b条)方程的奇异解(38)通过设置

α = 0.7, C = 1

这些解决方案在铁磁体中两个磁畴之间的布洛赫壁中有多种物理应用。孤立波传播时，振幅和宽度的动力学没有变化。可以观察到孤立波以正相速度和恒定周期沿三维轴移动。孤波的振幅和相位在演化过程中没有变化。

图2。方程的指数函数解的三维曲面(39)通过设置

α = 0.7, C = 1

.

图2。方程指数函数解的三维曲面(39)通过设置

α = 0.7, C = 1

.

图3。(一)方程周期奇异解的三维曲面(40)和(b条)方程式(41)通过设置

α = 0.5, C = 0.2, b条 = 0.5

这些解决方案具有低频率，在表面波中有多种应用。这些孤立波传播时振幅的动力学没有变化，但宽度因周期性振荡而变化。孤波的相位在演化过程中发生变化。可以观察到，周期性孤立波也以周期模式恒定周期的相速度沿三维轴运动。

图3。(一)方程周期奇异解的三维曲面(40)和(b条)方程式(41)通过设置

α = 0.5, C = 0.2, b条 = 0.5

这些解决方案具有低频率，在表面波中有多种应用。这些孤立波传播时振幅的动力学没有变化，但宽度因周期性振荡而变化。孤波的相位在演化过程中发生变化。可以观察到，周期性孤立波也以周期模式恒定周期的相速度沿三维轴移动。

表1。方程中向量场的交换子(5)–(8).

Cumm（累计）	${X（X）}_{1}$	${X（X）}_{2}$	${X（X）}_{三}$	${X（X）}_{4}$
${X（X）}_{1}$	0	0	0	${X（X）}_{1}$
${X（X）}_{2}$	0	0	0	− ${X（X）}_{2}$
${X（X）}_{三}$	0	0	0	三 ${X（X）}_{三}$
${X（X）}_{4}$	$- {X（X）}_{1}$	${X（X）}_{2}$	$- 三 {X（X）}_{三}$	0

表2。方程中向量场的伴随表示(5)–(8).

副官	${X（X）}_{1}$	${X（X）}_{2}$	${X（X）}_{三}$	${X（X）}_{4}$
${X（X）}_{1}$	${X（X）}_{1}$	${X（X）}_{2}$	${X（X）}_{三}$	$- ¦Β {X（X）}_{1} + {X（X）}_{4}$
${X（X）}_{2}$	${X（X）}_{2}$	${X（X）}_{2}$	${X（X）}_{三}$	$¦Β {X（X）}_{2} + {X（X）}_{4}$
${X（X）}_{三}$	${X（X）}_{1}$	${X（X）}_{2}$	${X（X）}_{三}$	$- 三 ¦Β {X（X）}_{三} + {X（X）}_{4}$
${X（X）}_{4}$	${X（X）}_{1} {e（电子）}^{¦Β}$	${X（X）}_{2} {e（电子）}^{- ¦Β}$	${X（X）}_{三} {e（电子）}^{三 ¦Β}$	${X（X）}_{4}$

分享和引用

MDPI和ACS样式

阿里育，A.I。；公司，M。；优素福，A。；D.巴利亚努。六阶非线性Ramani方程的对称性分析、显式解和守恒定律。对称 2018,10, 341.https://doi.org/10.3390/sym10080341

AMA风格

Aliyu AI，Inc M、Yusuf A、Baleanu D。六阶非线性Ramani方程的对称性分析、显式解和守恒定律。对称. 2018; 10(8):341.https://doi.org/10.3390/sym10080341

芝加哥/图拉宾风格

Aliyu、Aliyu Isa、Mustafa Inc、Abdullahi Yusuf和Dumitru Baleanu。2018.“六阶非线性Ramani方程的对称性分析、显式解和守恒定律”对称10，编号8:341。https://doi.org/10.3390/sym10080341

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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六阶非线性Ramani方程的对称性分析、显式解和守恒定律

摘要

1.简介

1.1. 方程的Lie对称性分析(1)

1.2. 最优代数系统

1.3. 相似约简与精确解

1.3.1. 矢量场的对称约简 ${X（X）}_{1}$

1.3.2. 向量场的对称约简 ${X（X）}_{2}$

1.3.3. 矢量场的对称约简 ${X（X）}_{三}$

1.3.4. 向量场的对称性约简 ${X（X）}_{4}$

1.3.5. 方程的不变解(15)

2.保护法

3.结论

作者贡献

基金

致谢

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摘要

1.简介

1.1. 方程的Lie对称性分析(1)

1.2. 最优代数系统

1.3. 相似约简与精确解

1.3.1. 矢量场的对称约简 X（X） 1

1.3.2. 向量场的对称约简 X（X） 2

1.3.3. 矢量场的对称约简 X（X） 三

1.3.4. 向量场的对称性约简 X（X） 4

1.3.5. 方程的不变解(15)

2.保护法

3.结论

作者贡献

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1.3.1. 矢量场的对称约简 ${X（X）}_{1}$

1.3.2. 向量场的对称约简 ${X（X）}_{2}$

1.3.3. 矢量场的对称约简 ${X（X）}_{三}$

1.3.4. 向量场的对称性约简 ${X（X）}_{4}$