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第21卷
第2期
10.3390/21020018年
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第条

一类带参数的三次三角自动插值曲线曲面

通过
李俊成
湖南人文科技大学数学与金融学院，娄底417000
数学。计算。申请。 2016，21(2), 18;https://doi.org/10.3390/mca21020018
收到的提交文件：2016年3月5日/修订日期：2016年5月3日/接受日期：2016年5月16日/发布日期：2016年5月20日
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版本说明

摘要

:
本文给出了在空间{1，sin上生成的具有两个参数的三次三角插值曲线t吨，科斯t吨，罪过2t吨，罪过三t吨，科斯三t吨}. 新曲线不仅可以在不求解方程组的情况下自动插值给定的数据点，而且还可以C类2并通过改变这两个参数的值来调整它们的形状。最佳插值曲线可以通过能量优化模型来确定。相应的插值曲面具有与新曲线类似的特性。

1.简介

众所周知，三角多项式在电子或医学等不同领域有着重要的应用[1]. 近年来，三角多项式在几何建模中受到了广泛关注。例如，韩[2]提出了一类带形状参数的三次三角多项式曲线，Zhang[三]利用三角基和双曲基构造均匀B样条[4]用一类三角Bernstein基构造Bézier样曲线，Wang[5]利用三角函数构造了三种样条[6]定义了具有两个形状参数的三次三角Bézier曲线，Han[7]使用五个三角混合函数定义一类曲线，Bashir[8，9]提出了具有两个形状参数的有理二次和三次三角Bézier曲线，Han[10]基于度三角多项式空间的归一化B基，构造了类Bézier曲线的对称三角多项式曲线n个，燕[11]提出了一种具有两个形状参数的代数三角混合分段曲线，Yan[12]构造了一类具有局部形状参数的三次三角非均匀B样条曲线等。
为了构造插值曲线，Su[13]和Yan[14]在空间{1上构造三角曲线，t吨，罪过t吨，科斯t吨，sin2t吨，二氧化碳t吨}和{1，t吨，罪过t吨，科斯t吨，罪过2t吨，罪过三t吨，科斯三t吨}. 中所示的两条三角曲线[13，14]可以在不求解方程组的情况下自动插值给定的数据点，这为构造插值曲线提供了一种简单有效的方法。然而，尽管Su定义的准三次混合插值曲线[13]可以自动插值给定的数据点，当数据点固定时，无法调整其形状。这个xy公司Yan定义的B曲线[14]可以自动插值给定的数据点并通过更改参数调整形状x当数据点和辅助点是固定的，但它们只是G公司2并且在插值曲线中具有一个自由度。本文的主要目的是提出一类三角插值曲线，它不仅可以在不求解方程组的情况下自动插补给定的数据点，而且还可以自动插补C类2并且在插值曲线中具有两个自由度。
本文的其余部分组织如下。在第2节空间{1，sin上生成的具有两个参数的三次三角插值基函数t吨，科斯t吨，罪过2t吨，罪过三t吨，科斯三t吨}给出了基函数的一些性质。在第3节在基函数的基础上定义了插值曲线，并给出了插值曲线的一些性质。然后，讨论了最佳插值曲线的确定。在第4节给出了相应的插值曲面。以下是一个简短的结论第5节.

2.CTI-基础功能

具有两个参数的三次三角插值基函数定义如下。
定义1。 
对于 0 ≤ t吨 ≤ 1 ， α ， β ∈ R（右） ，以下关于t的四个函数称为带参数α和β的三次三角插值基函数（简称CTI-basis函数），
{ （f） 0 ( t吨 ) = 1 24 ( ( − 14 α − 2 β + 6 ) + ( 9 α + 三 β − 9 ) S公司 + 24 α S公司 2 + ( − 19 α − β + 三 ) S公司 三 + ( 14 α + 2 β − 6 ) C类 三 ) （f） 1 ( t吨 ) = 1 24 ( ( 2 α − 10 β + 6 ) + ( − 9 α − 三 β + 9 ) C类 + 24 β S公司 2 + ( − 2 α − 14 β − 6 ) S公司 三 + ( 7 α + 13 β + 9 ) C类 三 ) （f） 2 ( t吨 ) = 1 24 ( ( 2 α + 14 β + 6 ) + ( − 9 α − 三 β + 9 ) S公司 − 24 β S公司 2 + ( 7 α + 13 β + 9 ) S公司 三 + ( − 2 α − 14 β − 6 ) C类 三 ) （f） 三 ( t吨 ) = 1 24 ( ( 10 α − 2 β + 6 ) + ( 9 α + 三 β − 9 ) C类 − 24 α S公司 2 + ( 14 α + 2 β − 6 ) S公司 三 + ( − 19 α − β + 三 ) C类 三 )
哪里 S公司 : = 罪 π 2 t吨 ， C类 : = 余弦 π 2 t吨 .
备注1。 
为了自动构造插值给定数据点的曲线，我们还定义了两种基函数。第一类基函数定义在空间{1，sint，cost，sin2t，cos2t}上[15].相应的曲线可以自动插值给定的数据点，但当数据点和辅助点保持不变时，它们的形状无法调整。因此，它们在插值曲线中没有任何自由度。第二类基函数定义在空间{1，t，sint，cos2t}上[16].尽管这些插值曲线的形状可以通过控制参数进行调整，但它们只有C1.如果我们强迫他们成为C2，则插值曲线中没有自由度。为了得到性能更好的插值曲线，我们将基空间改为{1，sint，cost，sin2t、 罪三t、 科斯三t} ●●●●。因此，我们得到了CTI基础函数。
通过简单推导，定义为方程（1）的CTI基函数具有以下性质，
（a）
统一的划分： （f） 0 ( t吨 ) + （f） 1 ( t吨 ) + （f） 2 ( t吨 ) + （f） 三 ( t吨 ) 选择 1 .
（b）
对称性： （f） 我 ( 1 − t吨 ) = （f） 三 − 我 ( t吨 ) ( 我 = 0 ， 1 ， 2 ， 三 ) .
（c）
端点处的属性：
{ （f） 0 ( 0 ) = 0 ， （f） 1 ( 0 ) = 1 ， （f） 2 ( 0 ) = 0 ， （f） 三 ( 0 ) = 0 （f） 0 ( 1 ) = 0 ， （f） 1 ( 1 ) = 0 ， （f） 2 ( 1 ) = 1 ， （f） 三 ( 1 ) = 0
{ （f） 0 ′ ( 0 ) = − π 16 ( − 三 α − β + 三 ) ， （f） 1 ′ ( 0 ) = 0 ， （f） 2 ′ ( 0 ) = π 16 ( − 三 α − β + 三 ) ， （f） 三 ′ ( 0 ) = 0 （f） 0 ′ ( 1 ) = 0 ， （f） 1 ′ ( 1 ) = − π 16 ( − 三 α − β + 三 ) ， （f） 2 ′ ( 1 ) = 0 ， （f） 三 ′ ( 1 ) = π 16 ( − 三 α − β + 三 )
{ （f） 0 ″ ( 0 ) = π 2 16 ( α − β + 三 ) ， （f） 1 ″ ( 0 ) = − π 2 8 ( α − β + 三 ) ， （f） 2 ″ ( 0 ) = π 2 16 ( α − β + 三 ) ， （f） 三 ″ ( 0 ) = 0 （f） 0 ″ ( 1 ) = 0 ， （f） 1 ″ ( 1 ) = π 2 16 ( α − β + 三 ) ， （f） 2 ″ ( 1 ) = − π 2 8 ( α − β + 三 ) ， （f） 三 ″ ( 1 ) = π 2 16 ( α − β + 三 )

3.CTI-曲线

3.1. CTI-曲线的定义和性质

在CTI基本函数的基础上，相应的曲线可以定义如下。
定义2。 
给定数据点 b条 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ； n个 ≥ 三 ) 在里面 R（右） 2 或 R（右） 三 、曲线
对 我 ( t吨 ) = ∑ j个 = 0 三 （f） j个 ( t吨 ) b条 我 + j个
称为带参数α和β的三次三角插值曲线（简称CTI曲线），其中 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 三 ， （f） j个 ( t吨 ) ( j个 = 0 ， 1 ， 2 ， 三 ) 是方程式中定义的CTI基本函数(1).
定理1。 
定义为方程式的CTI曲线(2)具有以下属性，
（a）
对称：两者 b条 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 和 b条 n个 − 我 ( 我 = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， n个 ) 对于相同的形状参数α和β，在不同的参数化中定义相同的CTI曲线，即。，
对 我 ( t吨 ； b条 我 ， b条 我 + 1 ， b条 我 + 2 ， b条 我 + 三 ) = 对 我 ( 1 − t吨 ； b条 我 + 三 ， b条 我 + 2 ， b条 我 + 1 ， b条 我 ) ，   我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 三 .
（b）
几何不变性：CTI曲线的形状与坐标系的选择无关。通过对数据点执行相同的仿射变换，可以对CTI曲线执行仿射变换。
（c）
C类2连续性和自动插值特性：对于给定的数据点 b条 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) ，CTI曲线 对 我 ( t吨 ) ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 三 ) 是C2并自动插入所有给定的数据点 b条 0 和 b条 n个 .
证明。 
（a）
根据CTI基函数和方程（2）的对称性，
对 我 ( 1 − t吨 ； b条 我 + 三 ， b条 我 + 2 ， b条 我 + 1 ， b条 我 ) = （f） 0 ( 1 − t吨 ) b条 我 + 三 + （f） 1 ( 1 − t吨 ) b条 我 + 2 + （f） 2 ( 1 − t吨 ) b条 我 + 1 + （f） 三 ( 1 − t吨 ) b条 我 = （f） 三 ( t吨 ) b条 我 + 三 + （f） 2 ( t吨 ) b条 我 + 2 + （f） 1 ( t吨 ) b条 我 + 1 + （f） 0 ( t吨 ) b条 我 = 对 我 ( t吨 ； b条 我 ， b条 我 + 1 ， b条 我 + 2 ， b条 我 + 三 )
（b）
因为方程（2）是数据点的仿射组合，所以几何不变性随之而来。
（c）
根据CTI基函数和方程（2）端点的性质，
对 我 ( 0 ) = b条 我 + 1 ， 对 我 ( 1 ) = b条 我 + 2
对 我 ′ ( 0 ) = π 16 ( − 三 α − β + 三 ) ( b条 我 + 2 − b条 我 ) ，   对 我 ′ ( 1 ) = π 16 ( − 三 α − β + 三 ) ( b条 我 + 三 − b条 我 + 1 )
对 我 ″ ( 0 ) = π 2 16 ( α − β + 三 ) ( b条 我 − 2 b条 我 + 1 + b条 我 + 2 ) ，   对 我 ″ ( 1 ) = π 2 16 ( α − β + 三 ) ( b条 我 + 1 − 2 b条 我 + 2 + b条 我 + 三 )
从方程式（3）–（5）可以看出
对 我 ( k个 ) ( 1 ) = 对 我 + 1 ( k个 ) ( 0 )   ( k个 = 0 ， 1 ， 2 )
方程式（6）表明，CTI曲线为C类2另一方面，方程（3）表明CTI曲线 对 我 ( t吨 ) ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 三 ) 自动插入所有给定的数据点，除了 b条 0 和 b条 n个 .
发件人定理1，如果有两个辅助点 b条 − 1 和 b条 n个 + 1 添加到给定数据点，打开C类2CTI曲线 对 我 ( t吨 ) ( 我 = − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 2 ) 插值所有数据点 b条 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 将自然生成。一般来说， b条 − 1 和 b条 n个 + 1 可以视为 b条 − 1 = 2 b条 0 − b条 1 ， b条 n个 + 1 = 2 b条 n个 − b条 n个 − 1 .如果有三个辅助点 b条 − 1 ， b条 n个 + 1 和 b条 n个 + 2 被视为 b条 − 1 = b条 n个 ， b条 n个 + 1 = b条 0 ， b条 n个 + 2 = b条 1 ，已关闭C类2CTI曲线 对 我 ( t吨 ) ( 我 = − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 2 ) 插值所有数据点 b条 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 将自然生成。
很明显，在C类2即使数据点和辅助点是固定的，CTI曲线也是固定的。通过改变CTI曲线的参数α和β，可以获得不同的插值结果。
示例1。 
考虑数据点 b条 0 = ( 0 ， 0 ) ， b条 1 = ( 1 ， 1 ) ， b条 2 = ( 2 ， 0 ) ， b条 三 = ( 三 ， 1 ) ， b条 4 = ( 4 ， 0 ) ， b条 5 = ( 5 ， 1 ) ， b条 6 = ( 6 ， 0 ) ，和两个辅助点 b条 − 1 = ( − 1 ， − 1 ) ， b条 7 = ( 7 ， − 1 ) .打开C类2参数α和β值不同的CTI曲线如所示图1，其中参数取为 ( α ， β ) = ( − 0.5 ， 0.5 ) （用虚线标记）， ( α ， β ) = ( 0 ， 0 ) （用实线标记），以及 ( α ， β ) = ( 0.5 ， − 0.5 ) （用虚线标记）。
示例2。 
考虑数据点 b条 0 = ( 0 ， 1 ) ， b条 1 = ( 1 ， 2 ) ， b条 2 = ( 2 ， 1 ) ， b条 三 = ( 1 ， 0 ) 、和三个辅助点 b条 − 1 = ( 1 ， 0 ) ， b条 4 = ( 0 ， 1 ) ， b条 5 = ( 1 ， 2 ) .已关闭C类2具有不同参数α和β值的CTI曲线如所示图2，其中参数取为 ( α ， β ) = ( − 0.5 ， 0.5 ) （用虚线标记）， ( α ， β ) = ( 0 ， 0 ) （用实线标记），以及 ( α ， β ) = ( 0.5 ， − 0.5 ) （用虚线标记）。
备注2。 
使用传统三次样条构造C时2插值曲线，一般的方法是求解线性方程组。然而，由于CTI曲线的插值特性和连续性，插值曲线可以在不求解方程组的情况下自然生成。另一方面，当数据点和辅助点固定时，传统的三次插值曲线是唯一的，而CTI曲线可以通过参数α和β进行调整。
备注3。 
与一些类似的三角插值曲线进行比较（参见[13，14，15，16]),本文提出的CTI曲线有两个突出的特点，
（a）
即使数据点和辅助点保持不变，也可以通过改变参数α和β来调整CTI曲线的形状.
（b）
CTI曲线不仅是C2而且在插值曲线中也有两个自由度.

3.2. 最佳Cti曲线

CTI曲线有两个自由度。当数据点和辅助点固定时，曲线的形状由参数α和β决定。因此，如果参数α和β选择不当，将生成错误的插值曲线。
示例3。 
考虑数据点 b条 0 = ( 0 ， 0 ) ， b条 1 = ( 1 ， 0.5 ) ， b条 2 = ( 1.5 ， 1 ) ， b条 三 = ( 2 ， 2 ) ， b条 4 = ( 2.5 ， 2.5 ) ， b条 5 = ( 三 ， 2 ) ， b条 6 = ( 3.5 ， 1 ) ， b条 7 = ( 4 ， 0.5 ) ， b条 8 = ( 5 ， 0 ) ，和两个辅助点 b条 − 1 = ( − 1 ， − 0.5 ) ， b条 9 = ( 6 ， − 0.5 ) .图3显示了相同数据点和辅助点的参数α和β值不同的CTI曲线，其中参数取为（a）： ( α ， β ) = ( − 0.1 ， 0.2 ) ，（b）： ( α ， β ) = ( 3.6 ， − 2.8 ) .
很明显图3a比中的插值曲线更令人满意图3b.因此，在构造CTI曲线时，如何确定合适的参数α和β是关键C类2数据点和辅助点固定时的插值曲线。确定CTI曲线最佳参数α和β的方法如下所示。
当CTI曲线用于构造C类2插值曲线，通常要求插值曲线平滑。一般来说，曲线的平滑度可以通过其能量来衡量。能量越低，曲线越平滑。根据参考[17]曲线的能量值 第页 ( t吨 ) ( 一 ≤ t吨 ≤ b条 ) 可以近似地表示如下，
E类 c（c） = ∫ 一 b条 ( 第页 ″ ( t吨 ) ) 2 d日 t吨
根据方程式（7），对于给定的数据点 b条 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 和辅助点 b条 − 1 ， b条 n个 + 1 CTI曲线的最佳参数α和β 对 我 ( t吨 ) ( 我 = − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 2 ) 可以通过如下所示的能量优化模型确定，
最小值 E类 c（c） ( α ， β ) = ∑ 我 = − 1 n个 − 2 ∫ 0 1 ( 对 我 ″ ( t吨 ) ) 2 d日 t吨   秒 . t吨 .   α ， β ∈ R（右）
为了获得最小能量值，必须
{ ∂ E类 c（c） ∂ α = 0 ∂ E类 c（c） ∂ β = 0
设置
L（左） 0 ( t吨 ) = 1 24 ( − 14 + 9 S公司 + 24 S公司 2 − 19 S公司 三 + 14 C类 三 ) ，   L（左） 1 ( t吨 ) = 1 24 ( 2 − 9 C类 − 2 S公司 三 + 7 C类 三 ) ，
L（左） 2 ( t吨 ) = 1 24 ( 2 − 9 S公司 + 7 S公司 三 − 2 C类 三 ) ，   L（左） 三 ( t吨 ) = 1 24 ( 10 + 9 C类 − 24 S公司 2 + 14 S公司 三 − 19 C类 三 ) ，
M（M） 0 ( t吨 ) = 1 24 ( − 2 + 三 S公司 − S公司 三 + 2 C类 三 ) ，   M（M） 1 ( t吨 ) = 1 24 ( − 10 − 三 C类 + 24 S公司 2 − 14 S公司 三 + 13 C类 三 ) ，
M（M） 2 ( t吨 ) = 1 24 ( 14 − 三 S公司 − 24 S公司 2 + 13 S公司 三 − 14 C类 三 ) ，   M（M） 三 ( t吨 ) = 1 24 ( − 2 + 三 C类 + 2 S公司 三 − C类 三 ) ，
N个 0 ( t吨 ) = 1 24 ( 6 − 9 S公司 + 三 S公司 三 − 6 C类 三 ) ，   N个 1 ( t吨 ) = 1 24 ( 6 + 9 C类 − 6 S公司 三 + 9 C类 三 ) ，
N个 2 ( t吨 ) = 1 24 ( 6 + 9 S公司 + 9 S公司 三 − 6 C类 三 ) ，   N个 三 ( t吨 ) = 1 24 ( 6 − 9 C类 − 6 S公司 三 + 三 C类 三 ) ，
哪里 S公司 : = 罪 π t吨 2 ， C类 : = 余弦 π t吨 2 ， 0 ≤ t吨 ≤ 1 然后，等式（2）可以重写如下，
对 我 ( t吨 ) = G公司 我 ( t吨 ) α + 小时 我 ( t吨 ) β + 我 我 ( t吨 )
哪里
G公司 我 ( t吨 ) = L（左） 0 ( t吨 ) b条 我 + L（左） 1 ( t吨 ) b条 我 + 1 + L（左） 2 ( t吨 ) b条 我 + 2 + L（左） 三 ( t吨 ) b条 我 + 三 ，
小时 我 ( t吨 ) = M（M） 0 ( t吨 ) b条 我 + M（M） 1 ( t吨 ) b条 我 + 1 + M（M） 2 ( t吨 ) b条 我 + 2 + M（M） 三 ( t吨 ) b条 我 + 三 ，
我 我 ( t吨 ) = N个 0 ( t吨 ) b条 我 + N个 2 ( t吨 ) b条 我 + 1 + N个 三 ( t吨 ) b条 我 + 2 + N个 4 ( t吨 ) b条 我 + 三 .
根据方程式（10），方程式（7）可以表示为：，
E类 c（c） = C类 1 α 2 + C类 2 β 2 + 2 C类 三 α β + 2 C类 4 α + 2 C类 5 β + C类 6
哪里
C类 1 = ∑ 我 = 0 n个 − 三 ∫ 0 1 ( G公司 我 ″ ( t吨 ) ) 2 d日 t吨 ，   C类 2 = ∑ 我 = 0 n个 − 三 ∫ 0 1 ( 小时 我 ″ ( t吨 ) ) 2 d日 t吨 ，   C类 三 = ∑ 我 = 0 n个 − 三 ∫ 0 1 ( G公司 我 ″ ( t吨 ) ⋅ 小时 我 ″ ( t吨 ) ) d日 t吨 ，
C类 4 = ∑ 我 = 0 n个 − 三 ∫ 0 1 ( G公司 我 ″ ( t吨 ) ⋅ 我 我 ″ ( t吨 ) ) d日 t吨 ，   C类 5 = ∑ 我 = 0 n个 − 三 ∫ 0 1 ( 小时 我 ″ ( t吨 ) ⋅ 我 我 ″ ( t吨 ) ) d日 t吨 ，   C类 6 = ∑ 我 = 0 n个 − 三 ∫ 0 1 ( 我 我 ″ ( t吨 ) ) 2 d日 t吨 .
通过等式（11）可以将等式（9）改写如下，
{ C类 1 α + C类 三 β + C类 4 = 0 C类 三 α + C类 2 β + C类 5 = 0
何时 C类 1 C类 2 − C类 三 2 ≠ 0 ，根据方程式（12），则
{ α = C类 三 C类 5 − C类 2 C类 4 C类 1 C类 2 − C类 三 2 β = C类 三 C类 4 − C类 1 C类 5 C类 1 C类 2 − C类 三 2
备注4。 
如果 C类 1 C类 2 − C类 三 2 = 0 ，方程没有唯一的解(13).此时，可以适当调整两个辅助点，以确保 C类 1 C类 2 − C类 三 2 ≠ 0 持有.
优化参数后 α = α ˜ 和 β = β ˜ 由方程式（13）确定C类2CTI曲线 对 ˜ 我 ( t吨 ) ( 我 = − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 2 ) 对所有给定的数据点进行插值 b条 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 可以获得。
示例4。 
对于实施例3中相同的数据点和辅助点，由方程（13）确定的CTI曲线的最佳参数为 α ˜ = − 0.0443 和 β ˜ = 0.4836 .最佳C类2CTI曲线（实线）和由经典三次B样条曲线（虚线）构造的插值曲线如所示图4，其中经典三次B样条曲线端点处的切线向量取为 三 ( b条 0 − b条 − 1 ) 和 三 ( b条 9 − b条 8 ) .
为了将CTI曲线与经典三次B样条曲线进行比较以构造插值曲线，两种方法的能量值和耗时如所示表1.
表1结果表明，由CTI曲线构造的插值曲线比经典的三次B样条曲线更平滑，计算速度更快。

4.CTI-表面

使用张量积，相应的CTI曲面可以定义如下。
定义3。 
给定数据点 b条 k个 ， 我 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ； 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 在里面 R（右） 三 、分段曲面
对 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) = ∑ k个 = 0 三 ∑ 我 = 0 三 （f） k个 ( u个 ) （f） 我 ( v（v） ) b条 我 + k个 ， j个 + 我
称为带参数的三次三角插值曲面 α 1 ， β 1 ， α 2 和 β 2 （简称CTI表面），其中 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 − 三 ， j个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 三 ， （f） k个 ( u个 ) : = （f） k个 ( u个 ； α 1 ， β 1 ) 和 （f） 我 ( v（v） ) : = （f） 我 ( v（v） ； α 2 ， β 2 ) ( 我 = 0 ， 1 ， 2 ， 三 ) 是根据方程式定义的CTI基本函数吗(1).
不难看出，CTI表面具有类似于CTI曲线的特性，其中包括以下重要特性。
定理2。 
给定的数据点 b条 k个 ， 我 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ； 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) ，CTI表面 对 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 − 三 ； j个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 三 )自动插入所有给定的数据点，除了 b条 0 ， 我 ， b条 米 ， 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 和 b条 k个 ， 0 ， b条 k个 ， n个 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ) 和是C2.
证明。 
根据CTI基函数和方程（14）端点的性质，
{ 对 我 ， j个 ( 0 ， 0 ) = b条 我 + 1 ， j个 + 1 对 我 ， j个 ( 0 ， 1 ) = b条 我 + 1 ， j个 + 2 对 我 ， j个 ( 1 ， 0 ) = b条 我 + 2 ， j个 + 1 对 我 ， j个 ( 1 ， 1 ) = b条 我 + 2 ， j个 + 2
{ ∂ u个 对 我 ， j个 ( 0 ， v（v） ) = π 16 ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ( v（v） ) ( b条 我 + 2 ， j个 + 我 − b条 我 ， j个 + 我 ) ∂ u个 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = π 16 ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ( v（v） ) ( b条 我 + 三 ， j个 + 我 − b条 我 + 1 ， j个 + 我 ) ∂ u个 对 我 ， j个 ( u个 ， 0 ) = ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ′ ( u个 ) b条 我 + k个 ， j个 + 1 ∂ u个 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ′ ( u个 ) b条 我 + k个 ， j个 + 2
{ ∂ v（v） 对 我 ， j个 ( 0 ， v（v） ) = ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ′ ( v（v） ) b条 我 + 1 ， j个 + 我 ∂ v（v） 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ′ ( v（v） ) b条 我 + 2 ， j个 + 我 ∂ v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 0 ) = π 16 ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ( u个 ) ( b条 我 + k个 ， j个 + 2 − b条 我 + k个 ， j个 ) ∂ v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = π 16 ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ( u个 ) ( b条 我 + k个 ， j个 + 三 − b条 我 + k个 ， j个 + 1 )
{ ∂ u个 v（v） 对 我 ， j个 ( 0 ， v（v） ) = π 16 ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ′ ( v（v） ) ( b条 我 + 2 ， j个 + 我 − b条 我 ， j个 + 我 ) ∂ u个 v（v） 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = π 16 ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ′ ( v（v） ) ( b条 我 + 三 ， j个 + 我 − b条 我 + 1 ， j个 + 我 ) ∂ u个 v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 0 ) = π 16 ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ′ ( u个 ) ( b条 我 + k个 ， j个 + 2 − b条 我 + k个 ， j个 ) ∂ u个 v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = π 16 ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ′ ( u个 ) ( b条 我 + k个 ， j个 + 三 − b条 我 + k个 ， j个 + 1 )
{ ∂ u个 u个 对 我 ， j个 ( 0 ， v（v） ) = π 2 16 ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ( v（v） ) ( b条 我 ， j个 + 我 − 2 b条 我 + 1 ， j个 + 我 + b条 我 + 2 ， j个 + 我 ) ∂ u个 u个 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = π 2 16 ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ( v（v） ) ( b条 我 + 1 ， j个 + 我 − 2 b条 我 + 2 ， j个 + 我 + b条 我 + 三 ， j个 + 我 ) ∂ u个 u个 对 我 ， j个 ( u个 ， 0 ) = ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ″ ( u个 ) b条 我 + k个 ， j个 + 1 ∂ u个 u个 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ″ ( u个 ) b条 我 + k个 ， j个 + 2
{ ∂ v（v） v（v） 对 我 ， j个 ( 0 ， v（v） ) = ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ″ ( v（v） ) b条 我 + 1 ， j个 + 我 ∂ v（v） v（v） 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = ∑ 我 = 0 三 （f） 我 ″ ( v（v） ) b条 我 + 2 ， j个 + 我 ∂ v（v） v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 0 ) = π 2 16 ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ( u个 ) ( b条 我 + k个 ， j个 − 2 b条 我 + k个 ， j个 + 1 + b条 我 + k个 ， j个 + 2 ) ∂ v（v） v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = π 2 16 ∑ k个 = 0 三 （f） k个 ( u个 ) ( b条 我 + k个 ， j个 + 1 − 2 b条 我 + k个 ， j个 + 2 + b条 我 + k个 ， j个 + 三 )
方程（15）表明CTI表面 对 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 − 三 ； j个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 三 )自动插入所有给定的数据点，除了 b条 0 ， 我 ， b条 米 ， 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 和 b条 k个 ， 0 ， b条 k个 ， n个 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ) 此外，还可以从方程式（15）中得出以下结果，
{ 对 我 ， j个 ( 1 ， 0 ) = 对 我 + 1 ， j个 ( 0 ， 0 ) 对 我 ， j个 ( 1 ， 1 ) = 对 我 + 1 ， j个 ( 0 ， 1 ) 对 我 ， j个 ( 0 ， 1 ) = 对 我 ， j个 + 1 ( 0 ， 0 ) 对 我 ， j个 ( 1 ， 1 ) = 对 我 ， j个 + 1 ( 1 ， 0 )
根据等式（16）和（17），
{ ∂ u个 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = ∂ u个 对 我 + 1 ， j个 ( 0 ， v（v） ) ∂ u个 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = ∂ u个 对 我 ， j个 + 1 ( u个 ， 0 ) ∂ v（v） 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = ∂ v（v） 对 我 + 1 ， j个 ( 0 ， v（v） ) ∂ v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = ∂ v（v） 对 我 ， j个 + 1 ( u个 ， 0 )
根据方程式（18）–（20），
{ ∂ u个 v（v） 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = ∂ u个 v（v） 对 我 + 1 ， j个 ( 0 ， v（v） ) ∂ u个 v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = ∂ u个 v（v） 对 我 ， j个 + 1 ( u个 ， 0 ) ∂ u个 u个 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = ∂ u个 u个 对 我 + 1 ， j个 ( 0 ， v（v） ) ∂ u个 u个 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = ∂ u个 u个 对 我 ， j个 + 1 ( u个 ， 0 ) ∂ v（v） v（v） 对 我 ， j个 ( 1 ， v（v） ) = ∂ v（v） v（v） 对 我 + 1 ， j个 ( 0 ， v（v） ) ∂ v（v） v（v） 对 我 ， j个 ( u个 ， 1 ) = ∂ v（v） v（v） 对 我 ， j个 + 1 ( u个 ， 0 )
方程（21）–（23）表明CTI表面 对 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 − 三 ； j个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 三 )是C类2.
根据定理2，对于给定的数据点 b条 k个 ， 我 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ； 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) ，CTI曲面会自动内插所有给定的数据点，除了 b条 0 ， 我 ， b条 米 ， 我 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 和 b条 k个 ， 0 ， b条 k个 ， n个 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ) .如果辅助点 b条 − 1 ， j个 ， b条 米 + 1 ， j个 ( j个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 和 b条 我 ， − 1 ， b条 我 ， n个 + 1 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ) 添加到给定的数据点C类2CTI-插值所有数据点的曲面 b条 k个 ， 我 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ； 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 将自然生成。辅助点一般可以取如下，
{ b条 − 1 ， − 1 = 2 b条 0 ， 0 − b条 1 ， 1 ， b条 − 1 ， n个 + 1 = 2 b条 0 ， n个 − b条 1 ， n个 − 1 b条 米 + 1 ， − 1 = 2 b条 米 ， 0 − b条 米 − 1 ， 1 ，   b条 米 + 1 ， n个 + 1 = 2 b条 米 ， n个 − b条 米 − 1 ， n个 − 1 b条 − 1 ， j个 = 2 b条 0 ， j个 − b条 1 ， j个 ， b条 米 + 1 ， j个 = 2 b条 米 ， j个 − b条 米 − 1 ， j个 ， j个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 b条 我 ， − 1 = 2 b条 我 ， 0 − b条 我 ， 1 ， b条 我 ， n个 + 1 = 2 b条 我 ， n个 − b条 我 ， n个 − 1 ， 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米
很明显，在C类2CTI表面，即使数据点和辅助点是固定的。通过改变参数可以获得不同的插值结果 α 我 和 β 我 ( 我 = 1 ， 2 ) CTI表面。图5显示了C类2具有不同参数值的CTI表面 α 我 和 β 我 ( 我 = 1 ， 2 ) ，其中数据指向 b条 k个 ， 我 ( k个 = 0 ， 1 ， 2 ， 三 ； 我 = 0 ， 1 ， 2 ， 三 ) 是固定的，并根据方程式（24）添加辅助点。
与最佳CTI曲线类似，最佳CTI表面也可以通过能量优化模型确定。根据参考[17]，曲面的能量值 第页 ( u个 ， v（v） ) ( 一 ≤ u个 ≤ b条 ， c（c） ≤ v（v） ≤ d日 ) 可以近似表示如下，
E类 秒 = ∫ 一 b条 ∫ c（c） d日 ( ( 第页 u个 u个 ( u个 ， v（v） ) ) 2 + 2 ( 第页 u个 v（v） ( u个 ， v（v） ) ) 2 + ( 第页 v（v） v（v） ( u个 ， v（v） ) ) 2 ) d日 u个 d日 v（v）
根据方程式（25），对于给定的数据点 b条 k个 ， 我 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ； 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 和辅助点 b条 − 1 ， j个 ， b条 米 + 1 ， j个 ( j个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) ， b条 我 ， − 1 ， b条 我 ， n个 + 1 ( 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ) ，最佳参数 α 我 和 β 我 ( 我 = 1 ， 2 ) CTI表面 对 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) ( 我 = − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 − 2 ； j个 = − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 2 ) 可以通过如下所示的能量优化模型确定，
最小值 E类 秒 ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ∑ 我 = − 1 米 − 2 ∑ j个 = − 1 n个 − 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( ( ∂ 2 对 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) ∂ u个 2 ) 2 + 2 ( ∂ 2 对 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) ∂ u个 ∂ v（v） ) 2 + ( ∂ 2 对 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) ∂ v（v） 2 ) 2 ) d日 u个 d日 v（v）   秒 . t吨 .   α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ∈ R（右）
粒子群优化算法[18]可用于求解方程（26）。优化参数后 α 我 = α ˜ 我 和 β 我 = β ˜ 我 ( 我 = 1 ， 2 ) 确定，最佳C类2CTI-表面 对 ˜ 我 ， j个 ( u个 ， v（v） ) ( 我 = − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 − 2 ； j个 = − 1 ， 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 − 2 ) 插值所有给定的数据点 b条 k个 ， 我 ( k个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， 米 ； 我 = 0 ， 1 ， ⋯ ， n个 ) 可以获得。

5.结论

本文提出的CTI曲线不仅可以在不求解方程组的情况下自动插值给定的数据点，而且还可以C类2有两个自由度。CTI表面也具有类似于CTI曲线的特性。因此，本文提出的CTI曲线/曲面为构造插值曲线和曲面提供了一种简单有效的方法。
对于所提出的插值曲线和曲面在几何建模中的实际应用，显然需要建立一些特殊的算法。此外，所提出的插值曲线和曲面仅允许全局调整。因此，还需要研究插值曲线和曲面的局部调整。这方面的一些有趣结果将在后续研究中介绍。

致谢

这项工作得到了国家自然科学基金（编号61472135）和湖南省教育厅科学研究基金（编号14B099）的支持。作者也非常感谢中国湖南人文科技大学湖南省重点建设学科“计算机应用技术”。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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麦加21 00018 g001 1024
图1。正常开放C类2不同参数的三次三角插值曲线（CTI曲线）。
图1。正常开放C类2不同参数的三次三角插值曲线（CTI曲线）。
麦加21 00018 g001
麦加21 00018 g002 1024
图2。关闭C类2不同参数的CTI曲线。
图2。关闭C类2不同参数的CTI曲线。
麦卡21 00018 g002
麦加21 00018 g003 1024
图3。参数对CTI曲线的影响。(一) ( α ， β ) = ( − 0.1 ， 0.2 ) (b条) ( α ， β ) = ( 3.6 ， − 2.8 ) .
图3。参数对CTI曲线的影响。(一) ( α ， β ) = ( − 0.1 ， 0.2 ) (b条) ( α ， β ) = ( 3.6 ， − 2.8 ) .
麦加21 00018 g003
麦加21 00018 g004 1024
图4。最佳C类2CTI曲线。
图4。最佳C类2CTI曲线。
麦加21 00018 g004
麦加21 00018 g005 1024
图5。 C类2具有不同参数的CTI表面。(一) ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ( − 0.5 ， 0.5 ， 0.5 ， − 0.5 ) ; (b条) ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ( 0.5 ， − 0.5 ， − 0.5 ， 0.5 ) ; (c（c）) ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ( 0.1 ， − 0.5 ， 0.4 ， − 0.3 ) ; (d日) ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ( − 0.3 ， 0 ， 0 ， 0.4 ) .
图5。 C类2具有不同参数的CTI表面。(一) ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ( − 0.5 ， 0.5 ， 0.5 ， − 0.5 ) ; (b条) ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ( 0.5 ， − 0.5 ， − 0.5 ， 0.5 ) ; (c（c）) ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ( 0.1 ， − 0.5 ， 0.4 ， − 0.3 ) ; (d日) ( α 1 ， β 1 ， α 2 ， β 2 ) = ( − 0.3 ， 0 ， 0 ， 0.4 ) .
麦加21 00018 g005
表
表1。这两种方法的能量值和耗时。
表1。这两种方法的能量值和耗时。
方法能源价值时间消耗量
CTI曲线4.85849.6
经典三次B样条曲线17.613716.3

分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

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芝加哥/图拉宾风格

李俊成。2016.“一类带参数的三次三角自动插值曲线和曲面”数学和计算应用第21页，第2页：第18页。https://doi.org/10.3390/mca21020018

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