1.简介
让米是一个大于或等于2的固定正整数，并且n个除非另有规定，否则为非负整数。表示方式和斐波那契数和卢卡斯数，即。，,,()、和,,().
斐波那契数、卢卡斯数及其推广出现在数学的许多领域，如图论[1]，优化理论[2]，概率论[3]、和组合[4]. 它们也出现在计算机科学中[5]，数学生物学[6]、可靠性[7]等。 在序列的各种性质中，一类特别有趣的性质与表示斐波那契数和卢卡斯数之间关系的恒等式的证明有关。埃德加[8]声明并证明了以下身份： 特殊情况(1)，用于和分别由Benjamin和Quinn证明[4]和马克[9]. 让k个是大于或等于2的固定正整数。达夫尼斯、菲利浦和利维埃利斯[10]广义的(1)斐波那契数列和卢卡斯数列k个（关于斐波那契数列和卢卡斯数列的定义k个，我们指的是[3,11]分别为；另请参见[7,12,13])，通过颜色平铺导出以下恒等式。 一个简单的证明(2)由Philippou和Dafnis提供[14]. 在本注记中，我们陈述并证明了关于斐波那契数列和卢卡斯数列交替和的一个新恒等式k个，类似于(2). 作为此身份的特例之后，一个新的恒等式进一步简化为马丁雅克最近导出的斐波那契-卢卡斯关系[15]. 2.新身份
我们目前声明并证明如下：
定理 1 让是k阶斐波那契数列，并集合即。，对于，以及对于此外，让是Lucas数的序列或k阶。，对于，以及对于然后： 证明。 我们采用了以下关系（参见Charalambides[11],以及我们对):这意味着： 对于，标识(3)简化为一个新的斐波那契-卢卡斯关系，类似于(1). 我们将其呈现在以下推论中。 推论 1 让是斐波那契数列是卢卡斯的数字。那么，对于任何, 对于，推论1进一步简化为：这是Martinjak的定理1[15]. 接下来，在推论2中，我们提出了三阶卢卡斯数之间的一个新关系（参见[11])和tribonacci数（参见[3,16,17])，作为定理1的另一个特例. 推论 2 让是tribonacci数的序列，即。，,,，以及对于此外，让是三阶卢卡斯数的序列，即。，,,，以及对于.设置然后： 最后，在表1，我们给出斐波那契数列的前10项()，摩擦片()、tetranacci或quadranacci()、彭塔纳奇或彭塔奇()、hexacci或esanacci()，赫普塔纳奇()和辛酸()数字。在表2，我们给出了Lucas顺序数的前10项k个对于。根据在线整数序列百科全书（OEIS），每个表的最后一列包含A-number[18]，对于每个序列。 表1和表2可以提供以下内容的插图(3), (4)和(6)对于n的较小值，我们现在将给出三个示例。正在修复,利用每个表第三行的适当条目，我们可以很容易地计算(3)如预期，等于−29，因为.固定,利用每个表第一行的适当条目，我们可以很容易地计算(4)如预期，等于−21，因为最后，修复,利用每个表第二行的适当条目，我们可以很容易地计算(6)如预期，等于−13，因为. 3.讨论和结论
在目前的工作中，我们探讨了斐波那契数列和卢卡斯数列之间的关系k个我们建立了一个新的身份，它概括或扩展了过去十年文献中出现的结果。我们新结果的证明很简单，因为我们的目的是进一步揭示上述关系。关于未来的研究，可以使用不同的技术来证明新的恒等式，例如组合方法或基于数字生成函数的方法。作者坚信，新的恒等式可能对应用研究非常有益，因为斐波那契数和卢卡斯数在各个领域的广泛应用中都能满足。
