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第条

单调非线性方程的修正Fletcher–Reeves共轭梯度法及其应用

通过
奥瓦尔·巴拉·阿布巴卡尔
1,2,
蓬库姆
1,3,4,*,
哈桑·穆罕默德
2,
阿里尤·穆罕默德·阿沃尔
1,5和
Kanokwan Sitthithakengkiet公司
6
1
KMUTT固定点研究实验室，SCL 802固定点实验室，科学实验室大楼，科学系，通布里国王蒙古特理工大学（KMUTT），126 Pracha-Uthit Road，Bang Mod，Thrung Khru，Bangkok 10140，Thongburi
2
尼日利亚卡诺700241拜耳大学物理科学学院数学科学系
三
理论与计算科学卓越中心（TaCS-CoE），泰国曼谷10140，Thrung Khru Bang Mod，Pracha-Uthit路126号，通武里国王科技大学科学实验室大楼
4
台湾台中40402中国医科大学医院医学研究部
5
尼日利亚贡贝760214，贡贝州立大学科学院数学系
6
泰国曼谷，曼谷10800，Bangsue，Wongsawang，Pracharat 1 Road 1518，King Mongkut’s University North Bangkok，数学系，应用科学学院
*
信件应寄给的作者。
数学 2019,7(8), 745;https://doi.org/10.3390/math7080745
收到的提交文件：2019年6月24日/修订日期：2019年8月1日/接受日期：2019年8月5日/发布日期：2019年8月15日
（本文属于特刊求解非线性方程和系统的迭代方法)
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摘要

:
共轭梯度法（CG）是求解无约束极小化问题发展最快、最有效的方法之一。最近，人们在推广求解单调非线性方程的CG方法方面做了大量的工作。在本文中，我们对求解约束单调非线性方程的Fletcher–Reeves（FR）共轭梯度投影方法进行了改进。该方法具有充分的下降性，并在适当的假设下证明了其全局收敛性。通过两组数值实验表明，与现有的一些方法相比，该方法具有良好的性能。第一个实验是使用一些基准测试问题求解单调约束非线性方程，而第二个实验是将该方法应用于压缩传感引起的信号和图像恢复问题。
关键词：
非线性方程组;共轭梯度法;投影法;凸约束;信号和图像处理
MSC公司：
65K05；90C52；90C56；94A08型

1.简介

在本文中，我们考虑一个形式为
F类 ( x个 ) = 0 , 主题 到 x个 ∈ E类 ,
哪里 E类 ⊆ R（右） n个 是封闭凸的， F类 : R（右） n个 → R（右） 米 , ( 米 ≥ n个 ) 是连续和单调的，这意味着
〈 F类 ( x个 ) − F类 ( 年 ) , ( x个 − 年 ) 〉 ≥ 0 , ∀ x个 , 年 ∈ R（右） n个 .
一个众所周知的事实是，在上述假设下(1)除非为空，否则为凸。值得一提的是，非线性单调方程在许多实际应用中出现。这些和其他原因促使研究人员开发大量迭代方法来求解此类系统，例如，请参见[1,2,三,4,5,6,7]除其他外。此外，凸约束方程在许多科学领域都有应用，其中一些是经济均衡问题[8]，化学平衡系统[9]开发了几种算法来求解(1)其中，是信任区域[10]和Levenberg-Marquardt方法[11]. 此外，每次迭代都需要计算和存储矩阵，这使得它们对于大型非线性方程组无效。
共轭梯度（CG）方法对大规模优化和非线性系统的存储要求很低，因此对其求解非常有效。这也是近年来提出了几种类似CG方向的迭代方法的部分原因[12,13]. 最初，针对无约束优化问题提出了CG方法及其修改版本[14,15,16,17,18,19]. 受其启发，在过去的十年中，许多作者使用CG方向来求解约束和非约束情况下的非线性单调方程。由于在本文中，我们对求解带凸约束的非线性单调方程感兴趣，因此我们将只讨论具有此类性质的现有方法。
近十年来，人们提出了许多求解带凸约束的非线性单调方程的方法。例如，肖和朱[20]提出了一种CG方法，该方法结合了著名的CG-DESCENT方法[17]Solodov和Svaiter的投影法[21]. Liu等人[22]提出了两种带投影策略的CG方法(1)。在[23]，中方法的修改[20]修改的原因之一是为了提高该方法的数值性能[20]. 还有，孙和刘[24]提出了求解凸约束非线性方程组的无导数投影方法。这些方法是一些现有CG方法和著名投影方法的组合。此外，在中开发了凸约束方程的混合CG投影方法[25]. 欧和李[26]提出了一种结合缩放CG方法和投影策略的求解方法(1)。此外，Ding等人[27]将Dai and Kou（DK）CG方法推广到求解(1)并与投影法相结合。就在最近，为了推广戴元（DY）方法，刘和冯[28]提出了一种求解凸约束单调方程的改进DY方法。在一定的假设下，也得到了全局收敛性，最后，给出了一些数值结果以证明其有效性。
受上述一些建议的启发，我们对Fletcher–Reeves（FR）共轭梯度法进行了简单的修改[19]在中考虑[12]求解带凸约束的非线性单调方程。该修改确保了方向的自动下降，提高了数值性能，并且仍然继承了该方法良好的收敛特性。在适当的假设下，我们建立了该算法的全局收敛性。数值实验表明，该方法具有良好的性能和竞争力。此外，该方法具有直接方法的优点[29]如Belishev和Kuryiev的边界控制方法[30]Beilina和Klibanov提出的全局收敛方法[31]和基于Gelfand–Levitan–Krein方程多维类比的方法[32,33]. 该方法可以看作是寻找最近根的局部方法。然而，有几个全局非线性解算器可以保证在一个域内找到所有根，并且精度非常高。在某些情况下，使用基于细分的多项式解算器和分解算法的组合来处理大型和复杂的系统（参见示例[34,35,36]以及其中的参考）。
本文的其余部分组织如下。在第2节，我们提到了一些初步工作，并介绍了所提出的方法。该方法的全局收敛性在第3节最后，第4节报告了一些数值结果，以证明该方法在求解带凸约束的单调非线性方程组时的性能，并将其应用于恢复噪声信号和模糊图像。

2.算法

在本节中，我们定义了投影图及其众所周知的属性，给出了一些有用的假设，最后给出了所提出的算法。在本文中， ∥ · ∥ 表示欧几里德范数。
定义 1
让 E类 ⊂ R（右） n个 是非空闭凸集。那么对于任何 x个 ∈ R（右） n个 ，其在E上的投影定义为
P（P） E类 ( x个 ) = 参数 最小值 { ∥ x个 − 年 ∥ : 年 ∈ E类 . }
下面的引理给出了投影映射的一些属性。
引理 1 
([37]).假设 E类 ⊂ R（右） n个 是非空的闭凸集。那么以下陈述是正确的：
1 
〈 x个 − P（P） E类 ( x个 ) , P（P） E类 ( x个 ) − z 〉 ≥ 0 , ∀ x个 , z ∈ R（右） n个 .
2 
∥ P（P） E类 ( x个 ) − P（P） E类 ( 年 ) ∥ ≤ ∥ x个 − 年 ∥ , ∀ x个 , 年 ∈ R（右） n个 .
三。 
∥ P（P） E类 ( x个 ) − z ∥ 2 ≤ ∥ x个 − z ∥ 2 − ∥ x个 − P（P） E类 ( x个 ) ∥ 2 , ∀ x个 , z ∈ R（右） n个 .
自始至终，我们假设如下
( C类 1 )
的解决方案集(1)，表示为 E类 ′ ，非空。
( C类 2 )
映射F类是单调的。
( C类 三 )
映射F类利普希茨连续吗，也就是说存在一个正常数L（左）这样的话 ∥ F类 ( x个 ) − F类 ( 年 ) ∥ ≤ L（左） ∥ x个 − 年 ∥ , ∀ x个 , 年 ∈ R（右） n个 .
我们的算法是由Papp和Rapajić在[12]. 在本文中，他们修改了著名的Fletcher–Reeves共轭梯度法来求解无约束非线性单调方程。修改添加了术语 − θ k个 F类 ( x个 k个 ) 向弗莱彻-里夫斯的方向。参数 θ k个 然后以三种不同的方式确定，并提出三个不同的方向，即M3TFR1、M3TFR2和M3TFR3。我们感兴趣的方向是M3TFR1，定义为：
天 k个 = − F类 ( x个 k个 ) , 如果 k个 = 0 , − F类 ( x个 k个 ) + β k个 F类 R（右） w个 k个 − 1 + θ k个 F类 ( x个 k个 ) , 如果 k个 ≥ 1 ,
哪里，
β k个 F类 R（右） = ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 , θ k个 = − F类 ( x个 k个 ) T型 w个 k个 − 1 ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 , w个 k个 − 1 = z k个 − 1 − x个 k个 − 1 , z k个 − 1 = x个 k个 − 1 + α k个 − 1 天 k个 − 1 .
由此可见
F类 ( x个 k个 ) T型 天 k个 = − ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 .
使用中建议的相同修改[三]，我们修改方向(2)如下
天 k个 = − F类 ( x个 k个 ) , 如果 k个 = 0 , − F类 ( x个 k个 ) + ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 w个 k个 − 1 − F类 ( x个 k个 ) T型 w个 k个 − 1 F类 ( x个 k个 ) 最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } , 如果 k个 ≥ 1 ,
哪里 μ 0 是一个正常数。M3TFR1方向和本文提出的方向之间的差异是出现在方程分母中的标度项(三)即。， 最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } 。该修改在以下方面具有很好的数值性能[三]并且也有助于容易地获得方向的有界性。
备注 1
注意，参数μ被选择为严格正的，因为如果 μ ≤ 0 然后
最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } = ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 .
这意味着方向 天 k个 将始终为M3TFR1，由(2).

3.收敛性分析

为了证明算法1的全局收敛性，需要以下结果。
算法1：改进的下降弗莱彻-里夫斯重心法（MFRM）。
 步骤0。选择初始点 x个 0 ∈ R（右） n个 ，参数 μ 0 , σ 0 , 0 ρ 1 , T型 o个 我 0 、和设置 k个 : = 0 .
 步骤1。如果 ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ ≤ T型 o个 我 ，停止，否则转到第2步.
 第2步。查找 天 k个 使用(三).
 步骤3。求步长 α k个 = γ ρ 米 k个 哪里 米 k个 是最小的非负整数米这样的话
− 〈 F类 ( x个 k个 + α k个 天 k个 ) , 天 k个 〉 ≥ σ α k个 ∥ F类 ( x个 k个 + α k个 天 k个 ) ∥ ∥ 天 k个 ∥ 2 .

 步骤4。设置 z k个 = x个 k个 + α k个 天 k个 .如果 z k个 ∈ E类 和 ∥ F类 ( z k个 ) ∥ ≤ T型 o个 我 ，停止。其他计算
x个 k个 + 1 = P（P） E类 [ x个 k个 − ζ k个 F类 ( z k个 ) ]
哪里
ζ k个 = F类 ( z k个 ) T型 ( x个 k个 − z k个 ) ∥ F类 ( z k个 ) ∥ 2 .

 步骤5。让 k个 = k个 + 1 并转至步骤1。
引理 2
让 天 k个 由方程式定义(三)，然后
天 k个 T型 F类 ( x个 k个 ) = − ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2
和
∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ ≤ ∥ 天 k个 ∥ ≤ 1 + 2 μ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ .
证明。 
按公式(三)，假设 k个 = 0 ,
天 k个 T型 F类 ( x个 k个 ) = − F类 ( x个 k个 ) T型 F类 ( x个 k个 ) = − ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 .
现在假设 k个 0 ,
天 k个 T型 F类 ( x个 k个 ) = − F类 ( x个 k个 ) T型 F类 ( x个 k个 ) + ( ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 w个 k个 − 1 ) T型 F类 ( x个 k个 ) − ( F类 ( x个 k个 ) T型 w个 k个 − 1 F类 ( x个 k个 ) ) T型 F类 ( x个 k个 ) 最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } = − ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 + ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 w个 k个 − 1 T型 F类 ( x个 k个 ) − F类 ( x个 k个 ) T型 ( w个 k个 − 1 T型 F类 ( x个 k个 ) ) F类 ( x个 k个 ) 最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } = − ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 + ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 w个 k个 − 1 T型 F类 ( x个 k个 ) − ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 w个 k个 − 1 T型 F类 ( x个 k个 ) 最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } = − ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 .
使用Cauchy–Schwartz不等式，我们得到
∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ ≤ ∥ 天 k个 ∥ .
此外，由于 最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } ≥ μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ ，然后，
∥ 天 k个 ∥ = − F类 ( x个 k个 ) + ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 w个 k个 − 1 − ( F类 ( x个 k个 ) T型 w个 k个 − 1 ) F类 ( x个 k个 ) 最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } ≤ ∥ − F类 ( x个 k个 ) ∥ + ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 w个 k个 − 1 − ( F类 ( x个 k个 ) T型 w个 k个 − 1 ) F类 ( x个 k个 ) ∥ 最大值 { μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ , ∥ F类 ( x个 k个 − 1 ) ∥ 2 } ≤ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ + ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 ∥ w个 k个 − 1 ∥ μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ + ∥ F类 ( x个 k个 ) T型 w个 k个 − 1 F类 ( x个 k个 ) ∥ μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ ≤ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ + ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 ∥ w个 k个 − 1 ∥ μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ + ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 ∥ w个 k个 − 1 ∥ μ ∥ w个 k个 − 1 ∥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ = ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ + 2 ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ μ = 1 + 2 μ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ .
组合(8)和(9)，我们得到了预期的结果。 □
引理 三。
假设假设( C类 1 )–( C类 三 )hold和序列 { x个 k个 } 和 { z k个 } 由算法1生成。那么我们有
α k个 ≥ ρ 最小值 1 , ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 ( L（左） + σ ) ∥ F类 ( x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 ) ∥ ∥ 天 k个 ∥ 2
证明。 
假设 α k个 ≠ ρ ，然后 α k个 ρ 不满足方程式(4)，这是
− F类 x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 σ α k个 ρ ∥ F类 ( x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 ) ∥ ∥ 天 k个 ∥ 2 .
这与(7)事实上F类是Lipschitz连续产量
∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 = − F类 ( x个 k个 ) T型 天 k个 = F类 ( x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 ) − F类 ( x个 k个 ) T型 天 k个 − F类 T型 x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 天 k个 ≤ L（左） α k个 ρ ∥ F类 ( x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 ) ∥ ∥ 天 k个 ∥ 2 + σ α k个 ρ ∥ F类 ( x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 ) ∥ ∥ 天 k个 ∥ 2 = L（左） + σ ρ α k个 ∥ F类 ( x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 ) ∥ ∥ 天 k个 ∥ 2 .
上述等式表示
α k个 ≥ ρ 最小值 ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 2 ( L（左） + σ ) ∥ F类 ( x个 k个 + α k个 ρ 天 k个 ) ∥ ∥ 天 k个 ∥ 2 ,
这就完成了证明。 □
引理 4
假设假设( C类 1 )–( C类 三 )保持，然后是序列 { x个 k个 } 和 { z k个 } 由算法1生成的是有界的。此外，我们
林 k个 → ∞ ∥ x个 k个 − z k个 ∥ = 0
和
林 k个 → ∞ ∥ x个 k个 + 1 − x个 k个 ∥ = 0 .
证明。 
我们将首先展示这些序列 { x个 k个 } 和 { z k个 } 有界。假设 x个 ¯ ∈ E类 ′ ，然后通过单调性F类，我们得到
〈 F类 ( z k个 ) , x个 k个 − x个 ¯ 〉 ≥ 〈 F类 ( z k个 ) , x个 k个 − z k个 〉 .
也根据定义 z k个 和线路搜索(4)，我们有
〈 F类 ( z k个 ) , x个 k个 − z k个 〉 ≥ σ α k个 2 ∥ F类 ( z k个 ) ∥ ∥ 天 k个 ∥ 2 ≥ 0 .
所以，我们有
∥ x个 k个 + 1 − x个 ¯ ∥ 2 = ∥ P（P） E类 [ x个 k个 − ζ k个 F类 ( z k个 ) ] − x个 ¯ ∥ 2 ≤ ∥ x个 k个 − ζ k个 F类 ( z k个 ) − x个 ¯ ∥ 2 = ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ 2 − 2 ζ 〈 F类 ( z k个 ) , x个 k个 − x个 ¯ 〉 + ∥ ζ F类 ( z k个 ) ∥ 2 ≤ ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ 2 − 2 ζ k个 〈 F类 ( z k个 ) , x个 k个 − z k个 〉 + ∥ ζ F类 ( z k个 ) ∥ 2 = ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ 2 − 〈 F类 ( z k个 ) , x个 k个 − z k个 〉 ∥ F类 ( z k个 ) ∥ 2 ≤ ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ 2 .
因此，序列 { ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ } 是非递增和收敛的，因此 { x个 k个 } 有界。此外，根据方程式(15)，我们有
∥ x个 k个 + 1 − x个 ¯ ∥ 2 ≤ ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ 2 ,
我们可以递归地推导出
∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ 2 ≤ ∥ x个 0 − x个 ¯ ∥ 2 , ∀ k个 ≥ 0 .
然后根据假设( C类 三 )，我们获得
∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ = ∥ F类 ( x个 k个 ) − F类 ( x个 ¯ ) ∥ ≤ L（左） ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ ≤ L（左） ∥ x个 0 − x个 ¯ ∥ .
如果我们允许 L（左） ∥ x个 0 − x个 ¯ ∥ = κ ，然后是序列 { F类 ( x个 k个 ) } 有界，即，
∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ ≤ κ , ∀ k个 ≥ 0 .
根据的定义 z k个 ，方程式(14)，的单调性F类和柯西-施瓦茨不等式，我们得到
σ ∥ x个 k个 − z k个 ∥ = σ ∥ α k个 天 k个 ∥ 2 ∥ x个 k个 − z k个 ∥ ≤ 〈 F类 ( z k个 ) , x个 k个 − z k个 〉 ∥ x个 k个 − z k个 ∥ ≤ 〈 F类 ( x个 k个 ) , x个 k个 − z k个 〉 ∥ x个 k个 − z k个 ∥ ≤ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ .
序列的有界性 { x个 k个 } 连同方程式(17)和(18)，表示序列 { z k个 } 有界。
现在，作为 { z k个 } 是有界的，那么对于任何 x个 ¯ ∈ E类 ′ ，序列 { z k个 − x个 ¯ } 也是有界的，也就是说，存在一个正常数 ν 0 这样的话
∥ z k个 − x个 ¯ ∥ ≤ ν .
这与假设一起( C类 三 )，这个产量
∥ F类 ( z k个 ) ∥ = ∥ F类 ( z k个 ) − F类 ( x个 ¯ ) ∥ ≤ L（左） ∥ z k个 − x个 ¯ ∥ ≤ L（左） ν .
因此，使用方程式(15)，我们有
σ 2 ( L（左） ν ) 2 ∥ x个 k个 − z k个 ∥ 4 ≤ ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ 2 − ∥ x个 k个 + 1 − x个 ¯ ∥ 2 ,
这意味着
σ 2 ( L（左） ν ) 2 ∑ k个 = 0 ∞ ∥ x个 k个 − z k个 ∥ 4 ≤ ∑ k个 = 0 ∞ ( ∥ x个 k个 − x个 ¯ ∥ 2 − ∥ x个 k个 + 1 − x个 ¯ ∥ 2 ) ≤ ∥ x个 0 − x个 ¯ ∥ ∞ .
方程式(19)暗示
林 k个 → ∞ ∥ x个 k个 − z k个 ∥ = 0 .
然而，使用引理1的语句2 ζ k个 还有Cauchy-Schwartz不等式
∥ x个 k个 + 1 − x个 k个 ∥ = ∥ P（P） E类 [ x个 k个 − ζ k个 F类 ( z k个 ) ] − x个 k个 ∥ ≤ ∥ x个 k个 − ζ k个 F类 ( z k个 ) − x个 k个 ∥ = ∥ ζ k个 F类 ( z k个 ) ∥ = ∥ x个 k个 − z k个 ∥ ,
这就产生了
林 k个 → ∞ ∥ x个 k个 + 1 − x个 k个 ∥ = 0 .
 □
备注 2
按公式(11)和定义 z k个 ，然后
林 k个 → ∞ α k个 ∥ 天 k个 ∥ = 0 .
定理 1
假设这个假设( C类 1 )–( C类 三 )保持并让序列 { x个 k个 } 由算法1生成，然后
lim信息 k个 → ∞ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ = 0 .
证明。 
假设方程式(22)不是真的，那么存在一个常量 ϵ 0 这样的话
∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ ≥ ϵ , ∀ k个 ≥ 0 .
组合(8)和(23)，我们有
∥ 天 k个 ∥ ≥ ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ ≥ ϵ , ∀ k个 ≥ 0 .
作为 w个 k个 = x个 k个 + α k个 天 k个 和 林 k个 → ∞ ∥ x个 k个 − z k个 ∥ = 0 ，我们得到 林 k个 → ∞ α k个 ∥ 天 k个 ∥ = 0 和
林 k个 → ∞ α k个 = 0 .
在另一侧，如果 M（M） = 1 + 2 μ κ 、引理3和方程(9)暗示 α k个 ∥ 天 k个 ∥ ≥ ρ ϵ 2 ( L（左） + σ ) M（M） L（左） ν ，这与(24)。因此(22)必须保持。 □

4.数值实验

为了测试该方法的性能，我们在[27,28]分别是。此外，MFRM方法还用于解决压缩传感中出现的信号和图像恢复问题。所有代码都是用MATLAB R2018b编写的，并在配有英特尔COREi5处理器、4GB RAM和2.3GHZ CPU的PC上运行。每次运行都会停止 ∥ F类 ( x个 k个 ) ∥ 10 − 5 . 为每种方法选择的参数如下：
  • MFRM方法： γ = 1 , ρ = 0 . 9 , μ = 0 . 01 , σ = 0 . 0001 .
  • ACGD方法：选择所有参数，如[27].
  • PDY公司方法：选择所有参数，如下所示[28].
我们测试了八个维度的问题 n个 = 1000 ,   5000 ,   10 , 000   , 50 , 000   , 100 , 000 和6个初始点： x个 1 = ( 0 . 1 , 0 . 1 , ⋯ , 1 ) T型 , x个 2 = ( 0 . 2 , 0 . 2 , ⋯ , 0 . 2 ) T型 , x个 三 = ( 0 . 5 , 0 . 5 , ⋯ , 0 . 5 ) T型 , x个 4 = ( 1 . 2 , 1 . 2 , ⋯ , 1 . 2 ) T型 , x个 5 = ( 1 . 5 , 1 . 5 , ⋯ , 1 . 5 ) T型 , x个 6 = ( 2 , 2 , ⋯ , 2 ) T型 .英寸表1,表2,表3,表4,表5,表6,表7和表8报告了迭代次数（Iter）、函数求值次数（Fval）、CPU时间（秒）和近似解的范数（norm）。当迭代次数超过1000和/或函数求值次数超过2000时，使用符号“−”。
下面列出了测试问题，其中函数F类被视为 F类 ( x个 ) = ( （f） 1 ( x个 ) , （f） 2 ( x个 ) , … , （f） n个 ( x个 ) ) T型 .
问题1[38]指数函数。
（f） 1 ( x个 ) = e（电子） x个 1 − 1 , （f） 我 ( x个 ) = e（电子） x个 我 + x个 我 − 1 , 对于 我 = 2 , 三 , … , n个 , 和 E类 = R（右） + n个 .
问题2[38]修改的对数函数。
（f） 我 ( x个 ) = 自然对数 ( x个 我 + 1 ) − x个 我 n个 , 对于 我 = 2 , 三 , … , n个 , 和 E类 = { x个 ∈ R（右） n个 : ∑ 我 = 1 n个 x个 我 ≤ n个 , x个 我 − 1 , 我 = 1 , 2 , … , n个 } .
问题3[6]非平滑函数。
（f） 我 ( x个 ) = 2 x个 我 − 罪 | x个 我 | , 我 = 1 , 2 , 三 , … , n个 , 和 E类 = { x个 ∈ R（右） n个 : ∑ 我 = 1 n个 x个 我 ≤ n个 , x个 我 ≥ 0 , 我 = 1 , 2 , … , n个 } .
很明显，问题3在 x个 = 0 .
问题4[38]严格凸函数I。
（f） 我 ( x个 ) = e（电子） x个 我 − 1 , 对于 我 = 1 , 2 , … , n个 , 和 E类 = R（右） + n个 .
问题5[38]严格凸函数II。
（f） 我 ( x个 ) = 我 n个 e（电子） x个 我 − 1 , 对于 我 = 1 , 2 , … , n个 , 和 E类 = R（右） + n个 .
问题6[39]三对角指数函数
（f） 1 ( x个 ) = x个 1 − e（电子） 余弦 ( 小时 ( x个 1 + x个 2 ) ) , （f） 我 ( x个 ) = x个 我 − e（电子） 余弦 ( 小时 ( x个 我 − 1 + x个 我 + x个 我 + 1 ) ) , 对于 我 = 2 , … , n个 − 1 , （f） n个 ( x个 ) = x个 n个 − e（电子） 余弦 ( 小时 ( x个 n个 − 1 + x个 n个 ) ) , 小时 = 1 n个 + 1 和 E类 = R（右） + n个 .
问题7[40]非光滑函数
（f） 我 ( x个 ) = x个 我 − 罪 | x个 我 − 1 | , 我 = 1 , 2 , 三 , … , n个 . 和 E类 = { x个 ∈ R（右） n个 : ∑ 我 = 1 n个 x个 我 ≤ n个 , x个 我 ≥ − 1 , 我 = 1 , 2 , … , n个 } .
问题8[27]罚款1
t吨 我 = ∑ 我 = 1 n个 x个 我 2 , c（c） = 10 − 5 （f） 我 ( x个 ) = 2 c（c） ( x个 我 − 1 ) + 4 ( t吨 我 − 0 . 25 ) x个 我 , 我 = 1 , 2 , 三 , … , n个 . 和 E类 = R（右） + n个 .
为了详细显示所有方法的效率和鲁棒性，我们使用了在[41]这是一个规范方法比较的有益过程。假设我们有 n个 秒 解算器和 n个 我 我们感兴趣的是使用迭代次数、CPU时间或函数求值次数来衡量性能；所以我们让 k个 我 , 秒 是求解器解决问题所需的迭代次数、CPU时间或函数求值次数。比较问题性能我由解算器执行秒在这个问题上，任何其他求解器的性能都是最好的，我们使用性能比 第页 我 , 秒 定义为
第页 我 , 秒 = k个 我 , 秒 最小值 { k个 我 , 秒 : 秒 ∈ S公司 } ,
哪里S公司是解算器的集合。
使用性能比的（累积）分布函数获得解算器的总体性能P（P）.所以如果我们允许
P（P） ( t吨 ) = 1 n个 我 秒 我 z e（电子） { 我 ∈ L（左） : 第页 我 , 秒 ≤ t吨 } ,
然后 P（P） ( t吨 ) 是求解器的概率 秒 ∈ S公司 性能比率 第页 我 , 秒 在一定范围内 t吨 ∈ R（右） 尽可能达到最佳比率。如果这组问题L（左）足够大，那么具有较大概率的解算器 P（P） ( t吨 ) 被认为是最好的。
图1发现MFRM在迭代次数方面表现更好，因为它用更少的迭代次数解决并赢得了70%以上的问题，而ACGD和PDY分别解决并赢得40%和近10%的问题。故事有点不同图2因为ACGD方法非常有竞争力。然而，与ACGD方法相比，MFRM方法的表现稍好一些，它以更少的CPU时间解决并赢得了50%以上的问题，而ACGD法解决并赢得的问题不到所考虑问题的50%。PDY方法的性能最低，成功率仅为10%。解释图3与的相似图1最后，在表11中，我们报告了问题2的MFRM、ACGD和PDY的数值结果，以及给定初始点和尺寸的双浮点数( 10 − 16 )准确性。

4.1. 解决稀疏信号问题的实验

在信号处理和统计推断中存在许多问题，涉及到寻找病态线性方程组的稀疏解。常用的方法是最小化包含二次型的目标函数( ℓ 2 )误差项和稀疏项 ℓ 1 - 正则化项。，
最小值 x个 1 2 ∥ 年 − B类 x个 ∥ 2 2 + η ∥ x个 ∥ 1 ,
哪里 x个 ∈ R（右） n个 , 年 ∈ R（右） k个 是一种观察， B类 ∈ R（右） k个 × n个 ( k个 n个 )是线性运算符， η 是非负参数， ∥ x个 ∥ 2 表示的欧几里德范数x个和 ∥ x个 ∥ 1 = ∑ 我 = 1 n个 | x个 我 | 是 ℓ 1 − 的规范x个。很容易看出这个问题(25)是一个凸的无约束极小化问题。由于如果原始信号在某些正交基中稀疏或近似稀疏，问题(25)在压缩传感中经常出现，因此可以通过求解(25).
求解的迭代方法(25)已在许多论文中发表（参见[42,43,44,45]). 这些方法中最流行的是基于梯度的方法，Figueiredo等人提出了最早的用于稀疏重建（GPRS）的梯度投影方法[44]. GPRS方法的第一步是(25)作为二次型问题使用以下过程。考虑一点 x个 ∈ R（右） n个 这样的话 x个 = 单位 − v（v） ，其中 单位 , v（v） ≥ 0 .单位和v（v）选择的方式x个分为正负两部分，如下所示 单位 我 = ( x个 我 ) + , v（v） 我 = ( − x个 我 ) + 为所有人 我 = 1 , 2 , … , n个 、和 ( . ) + = 最大值 { 0 , . } .根据定义 ℓ 1 -正常，我们有 ∥ x个 ∥ 1 = e（电子） n个 T型 单位 + e（电子） n个 T型 v（v） ，其中 e（电子） n个 = ( 1 , 1 , … , 1 ) T型 ∈ R（右） n个 .现在(25)可以写成
最小值 单位 , v（v） 1 2 ∥ 年 − B类 ( 单位 − v（v） ) ∥ 2 2 + η e（电子） n个 T型 单位 + η e（电子） n个 T型 v（v） , 单位 ≥ 0 , v（v） ≥ 0 ,
它是一个有界约束的二次规划。然而，从[44]，方程式(26)可以用标准格式书写为
最小值 z 1 2 z T型 D类 z + c（c） T型 z , 这样的 那个 z ≥ 0 ,
哪里 z = 单位 v（v） , c（c） = ω e（电子） 2 n个 + − b条 b条 , b条 = B类 T型 年 , D类 = B类 T型 B类 − B类 T型 B类 − B类 T型 B类 B类 T型 B类 显然，D类是一个半正定矩阵，这意味着方程(27)是一个凸二次型问题。
Xiao等人[20]翻译的(27)转化为等价于线性互补问题的线性变量不等式问题。此外，z是线性互补问题的解当且仅当它是下列非线性方程的解：
F类 ( z ) = 最小值 { z , D类 z + c（c） } = 0 .
功能F类是一个向量值函数，“min”被解释为分量最小值。此外，F类在中被证明是连续的和单调的[46]. 因此，问题(25)可以转化为问题(1)因此，可以应用MFRM方法进行求解。
在本实验中，我们考虑了一种简单的压缩传感可能的情况，其中我们的目标是重建长度为n个从k个观察。恢复质量通过原始信号的均方误差（MSE）进行评估 x个 ˜ ,
M（M） S公司 E类 = 1 n个 ∥ x个 ˜ − x个 * ∥ 2 ,
哪里 x个 * 是恢复的信号。信号大小选择为 n个 = 2 11 , k个 = 2 9 并且原始信号包含 2 6 随机非零元素。此外，测量年分布有噪声，即， 年 = B类 x个 ˜ + ϱ ，其中B类是随机生成的高斯矩阵 ϱ 是高斯噪声以平均值0和方差正态分布 10 − 4 .
为了证明MFRM方法在信号恢复问题中的性能，我们将其与共轭梯度下降CGD进行了比较[20]和投影共轭梯度PCG[23]方法。PCG和CGD方法中的参数选择如下 γ = 10 , σ = 10 − 4 , ρ = 0 . 5 。然而，我们选择了 γ = 1 , σ = 10 − 4 , ρ = 0 . 9 和 μ = 0 . 01 在MFRM方法中。为了比较公平，每个代码都是从相同的初始点运行的，对参数使用相同的延续技术 η 并且只观察了每种方法的收敛行为，就有了类似的精确解。实验用初始化 x个 0 = B类 T型 年 并在以下情况下终止
∥ （f） ( x个 k个 ) − （f） ( x个 k个 − 1 ) ∥ ∥ （f） ( x个 k个 − 1 ) ∥ 10 − 5 ,
哪里 （f） ( x个 k个 ) = 1 2 ∥ 年 − B类 x个 k个 ∥ 2 2 + η ∥ x个 k个 ∥ 1 .
在图4和图5MFRM、CGD和PCG方法几乎准确地恢复了受干扰的信号。对20个不同的噪声样本重复实验（参见表9)。可以观察到，在大多数情况下，MFRM在迭代次数和CPU时间方面比CGD和PCG方法更有效。此外，MFRM能够在二十（20）个实验中的九（9）个实验中实现最小MSE。为了直观地显示这两种方法的性能，绘制了两幅图，以基于MSE、目标函数值、迭代次数和CPU时间（参见图6和图7)。还可以观察到，MFRM需要更少的计算时间来实现类似的质量分辨率。这可以在中以图形方式看到图6和图7这说明了MFRM获得的目标函数值在整个迭代过程中减少得更快。

4.2. 模糊图像恢复实验

在本小节中，我们测试了MFRM在恢复模糊图像方面的性能。我们使用以下著名的灰度测试图像；（P1）摄影师、（P2）莉娜、（P3）豪斯和（P4）胡椒粉用于实验。我们使用4个不同的高斯模糊核，具有标准偏差 υ 比较MFRM方法和[20].
为了评估每种测试算法在指示更好恢复质量的指标方面的性能表10我们报告了近似解的目标函数（ObjFun），即MSE，即信噪比（SNR），其定义为
信噪比 = 20 × 日志 10 ∥ x个 ¯ ∥ ∥ x个 − x个 ¯ ∥ ,
和衡量原始图像和恢复图像之间相似性的结构相似性（SSIM）指数[47]对于16个实验中的每一个。SSIM索引的MATLAB实现可以在以下位置获得网址：http://www.cns.nyu.edu/~lcv/ssim/.
每个算法的原始图像、模糊图像和恢复图像在中给出图8,图9,图10和图11数字表明，这两种算法都可以恢复模糊图像。与CGD相比，MFRM恢复图像的质量在大多数情况下都优于CGD。表11报告了问题2的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。

5.结论

本文提出了一种求解凸约束单调非线性方程组的改进共轭梯度法，该方法类似于[三]. 该方法适用于非光滑方程。在适当的假设下，证明了该方法的全局收敛性。数值结果表明，对于给定的约束单调方程问题，MFRM方法与ACGD和PDY方法相比是有效的。最后，MFRM在解码稀疏信号和恢复模糊图像方面也表现出了有效性。

作者贡献

概念化，A.B.A。；方法学，A.B.A。；软件，H.M。；验证、P.K.、A.M.A.和K.S。；形式分析，P.K.和K.S。；调查、P.K.和H.M。；资源、P.K.和K.S。；数据管理，H.M.和A.M.A。；书面——原始草案编制，A.B.A。；写作——审查和编辑，H.M。；可视化、A.M.A.和K.S。；监督，P.K。；项目管理、P.K.和K.S。；融资收购，P.K.和K.S。

基金

蒙古特国王理工大学通布里分校博士项目佩奇拉·普拉·乔姆·克劳博士奖学金。该项目由泰国研究基金会（TRF）和通武里国王理工大学（KMUTT）根据TRF研究学者奖（批准号RSA6080047）提供部分支持。此外，Kanokwan Sittithakengkiet还得到了曼谷北部蒙古特国王科技大学应用科学学院的支持。合同号：6242104。

致谢

我们感谢刘金桥副教授为我们提供了访问CGD-CS MATLAB代码的机会。作者感谢蒙古特国王的通布里理工大学通过“国民党55周年纪念基金”提供的财政支持。第一位作者得到了“通布里国王科技大学佩奇拉·普拉·乔姆·克劳博士研究奖学金”的支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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数学07 00745 g001 550
图1。迭代次数的性能配置文件。
图1。迭代次数的性能配置文件。
数学07 00745 g001
数学07 00745 g002 550
图2。CPU时间的性能配置文件（以秒为单位）。
图2。CPU时间的性能配置文件（以秒为单位）。
数学07 00745 g002
数学07 00745 g003 550
图3。功能评估数量的性能配置文件。
图3。功能评估数量的性能配置文件。
数学07 00745 g003
数学07 00745 g004 550
图4。(顶部)至(底部)利用投影共轭梯度PCG和改进的下降Fletcher–Reeves CG方法（MFRM）对原始图像、测量值和恢复信号进行处理。
图4。(顶部)至(底部)利用投影共轭梯度PCG和改进的下降Fletcher–Reeves CG方法（MFRM）对原始图像、测量值和恢复信号进行处理。
数学07 00745 g004
数学07 00745 g005 550
图5。(顶部)至(底部)通过共轭梯度下降（CGD）和MFRM方法对原始图像、测量值和恢复信号进行分析。
图5。(顶部)至(底部)通过共轭梯度下降（CGD）和MFRM方法对原始图像、测量值和恢复信号进行分析。
数学07 00745 g005
数学07 00745 g006 550
图6。PCG和MFRM的比较结果x个-轴表示迭代次数((左上角)和(左下角))和CPU时间（秒）((右上角)和(右下角)). 这个年-轴表示MSE((左上角)和(右上角))以及目标函数值((左下角)和(右下角)).
图6。PCG和MFRM的比较结果x个-轴表示迭代次数((左上角)和(左下角))和CPU时间（秒）((右上角)和(右下角)). 这个年-轴表示MSE((左上角)和(右上角))和目标函数值((左下角)和(右下角)).
数学07 00745 g006
数学07 00745 g007 550
图7。PCG和MFRM的比较结果x个-轴表示迭代次数((左上角)和(左下角))和CPU时间（秒）((右上角)和(右下角)). 这个年-轴表示MSE((左上角)和(右上角))和目标函数值((左下角)和(右下角)).
图7。PCG和MFRM的比较结果x个-轴表示迭代次数((左上角)和(左下角))和CPU时间（秒）((右上角)和(右下角)). 这个年-轴表示MSE((左上角)和(右上角))和目标函数值((左下角)和(右下角)).
数学07 00745 g007
数学07 00745 g008 550
图8。原始图像(左上角)，模糊的图像(右上角)，CGD恢复的图像(左下角)随着时间的推移 = 三 . 70 ，信噪比（SNR） = 20 . 05 和结构相似性 = 0 . 83 和MFRM(右下角)随着时间的推移 = 1 . 97 ，信噪比 = 21 . 28 和SSIM = 0 . 86 .
图8。原始图像(左上角)，模糊的图像(右上角)，CGD恢复的图像(左下角)随着时间的推移 = 三 . 70 ，信噪比（SNR） = 20 . 05 和结构相似性 = 0 . 83 和MFRM(右下角)随着时间的推移 = 1 . 97 ，信噪比 = 21 . 28 和SSIM = 0 . 86 .
数学07 00745 g008
数学07 00745 g009 550
图9。原始图像(左上角)，模糊的图像(右上角)，CGD恢复的图像(左下角)有时间 = 1 . 95 ，信噪比 = 25 . 65 和SSIM = 0 . 86 和MFRM(右下角)有时间 = 三 . 59 ，信噪比 = 27 . 59 和SSIM = 0 . 88 .
图9。原始图像(左上角)，模糊的图像(右上角)，CGD恢复的图像(左下角)有时间 = 1 . 95 ，信噪比 = 25 . 65 和SSIM = 0 . 86 和MFRM(右下角)有时间 = 三 . 59 ，信噪比 = 27 . 59 和SSIM = 0 . 88 .
数学07 00745 g009
数学07 00745 g010 550
图10。原始图像(左上角)，模糊的图像(右上角)，CGD恢复的图像(左下角)随着时间的推移 = 5 . 38 ，信噪比 = 25 . 97 和SSIM = 0 . 88 和MFRM(右下角)随着时间的推移 = 38 . 77 ，信噪比 = 26 . 26 和SSIM = 0 . 90 .
图10。原始图像(左上角)，模糊的图像(右上角)，CGD恢复的图像(左下角)随着时间的推移 = 5 . 38 ，信噪比 = 25 . 97 和SSIM = 0 . 88 和MFRM(右下角)随着时间的推移 = 38 . 77 ，信噪比 = 26 . 26 和SSIM = 0 . 90 .
数学07 00745 g010
数学07 00745 g011 550
图11。原始图像(左上角)，模糊的图像(右上角)，CGD恢复的图像(左下角)有时间 = 2 . 48 ，信噪比 = 21 . 50 和SSIM = 0 . 84 和MFRM(右下角)随着时间 = 4 . 93 ，信噪比 = 22 . 90 和SSIM = 0 . 87 .
图11。原始图像(左上角)，模糊的图像(右上角)，CGD恢复的图像(左下角)有时间 = 2 . 48 ，信噪比 = 21 . 50 和SSIM = 0 . 84 和MFRM(右下角)有时间 = 4 . 93 ，信噪比 = 22 . 90 和SSIM = 0 . 87 .
数学07 00745 g011
表
表1。问题1的修正Fletcher–Reeves（MFRM）、加速共轭梯度下降（ACGD）和投影Dai-Yuan（PDY）在给定初始点和维数下的数值结果。
表1。问题1的修正Fletcher–Reeves（MFRM）、加速共轭梯度下降（ACGD）和投影Dai-Yuan（PDY）在给定初始点和维数下的数值结果。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸起始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000 x个 1 23980.426399.01 × 10 − 6 8340.215569.26 × 10 − 6 12490.193499.18 × 10 − 6
x个 2 7350.0198858.82 × 10 − 6 9390.0865823.01 × 10 − 6 13530.073186.35 × 10 − 6
x个 三 8400.0112389.74 × 10 − 6 9380.0343594.02 × 10 − 6 14570.014055.59 × 10 − 6
x个 4 15700.0666596.01 × 10 − 6 16670.0171889.22 × 10 − 6 15610.014214.07 × 10 − 6
x个 5 5310.16103018750.116464.46 × 10 − 6 14570.086909.91 × 10 − 6
x个 6 311340.032327.65 × 10 − 6 251040.0429676.74 × 10 − 6 401620.040609.70 × 10 − 6
5000 x个 1 8380.0538655.63 × 10 − 6 9380.0237293.89 × 10 − 6 13530.027756.87 × 10 − 6
x个 2 8400.0366532.59 × 10 − 6 9380.0219516.65 × 10 − 6 14570.029744.62 × 10 − 6
x个 三 8400.0300896.41 × 10 − 6 9390.0193178.01 × 10 − 6 15610.043534.18 × 10 − 6
x个 4 16740.0817414.71 × 10 − 6 17710.052358.12 × 10 − 6 15610.032889.08 × 10 − 6
x个 5 5310.030748018750.0388948.14 × 10 − 6 15610.035567.30 × 10 − 6
x个 6 311340.0875318.1 × 10 − 6 261080.0534737.96 × 10 − 6 391580.104199.86 × 10 − 6
10,000 x个 1 5260.038293.7 × 10 − 6 9390.0449615.5 × 10 − 6 13530.055449.70 × 10 − 6
x个 2 8400.0550993.64 × 10 − 6 9390.03589.39 × 10 − 6 14570.062016.53 × 10 − 6
x个 三 8400.0499745.44 × 10 − 6 10430.041762.12 × 10 − 6 15610.087045.90 × 10 − 6
x个 4 16740.1256.61 × 10 − 6 18750.0663164.58 × 10 − 6 16650.077974.28 × 10 − 6
x个 5 5310.048751018750.118077.86 × 10 − 6 391580.207517.97 × 10 − 6
x个 6 281220.136497.18 × 10 − 6 271120.105936.22 × 10 − 6 873510.366789.93 × 10 − 6
50,000 x个 1 5260.15843.58 × 10 − 6 10430.159182.33 × 10 − 6 14570.231297.12 × 10 − 6
x个 2 8400.180448.1 × 10 − 6 10430.162523.97 × 10 − 6 15610.239754.91 × 10 − 6
x个 三 8400.1864.54 × 10 − 6 10430.157074.67 × 10 − 6 16650.247354.37 × 10 − 6
x个 4 17780.315675.47 × 10 − 6 19790.274744.1 × 10 − 6 381540.552777.54 × 10 − 6
x个 5 5310.18586018750.271185.06 × 10 − 6 1777122.299509.44 × 10 − 6
x个 6 20900.392376.44 × 10 − 6 281160.351977.69 × 10 − 6 36114494.637809.74 × 10 − 6
100,000 x个 1 5260.261164.59 × 10 − 6 10420.280383.29 × 10 − 6 15610.500903.39 × 10 − 6
x个 2 9430.352881.59 × 10 − 6 10420.289995.62 × 10 − 6 15610.458766.94 × 10 − 6
x个 三 8400.358094.96 × 10 − 6 10420.292556.59 × 10 − 6 16650.513806.18 × 10 − 6
x个 4 17780.593477.73 × 10 − 6 19790.512615.79 × 10 − 6 1757044.489209.47 × 10 − 6
x个 5 321380.984637.09 × 10 − 6 18750.460864.05 × 10 − 6 1767084.494109.91 × 10 − 6
x个 6 17780.577019.31 × 10 − 6 291200.716786.05 × 10 − 6 36014459.101709.99 × 10 − 6
表
表2。给定初始点和尺寸的问题2的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
表2。给定初始点和尺寸的问题2的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸初始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000 x个 1 三80.0070925.17 × 10 − 7 三80.0360615.17 × 10 − 7 10390.010536.96 × 10 − 6
x个 2 三80.0124016.04 × 10 − 6 三80.0061436.04 × 10 − 6 11430.009379.23 × 10 − 6
x个 三 4110.0039934.37 × 10 − 7 4110.0064764.37 × 10 − 7 13510.011116.26 × 10 − 6
x个 4 5140.0103631.52 × 10 − 7 5140.0059681.52 × 10 − 7 14550.021549.46 × 10 − 6
x个 5 5140.0072341.1 × 10 − 6 5140.023491.1 × 10 − 6 15590.018504.60 × 10 − 6
x个 6 6170.0064961.74 × 10 − 8 6170.006771.74 × 10 − 8 15590.019387.71 × 10 − 6
5000 x个 1 三80.0115611.75 × 10 − 7 三80.0097941.75 × 10 − 7 11430.035284.86 × 10 − 6
x个 2 三80.0104523.13 × 10 − 6 三80.0095913.13 × 10 − 6 12470.040326.89 × 10 − 6
x个 三 4110.015161.42 × 10 − 7 4110.0137671.42 × 10 − 7 14550.048894.61 × 10 − 6
x个 4 5140.0197333.94 × 10 − 8 5140.0142743.94 × 10 − 8 15590.048266.96 × 10 − 6
x个 5 5140.0184624.05 × 10 − 7 5140.0117284.05 × 10 − 7 16630.059693.37 × 10 − 6
x个 6 6170.0285362.36 × 10 − 9 6170.0163452.36 × 10 − 9 16630.062535.64 × 10 − 6
10,000 x个 1 三80.0190531.21 × 10 − 7 三80.01351.21 × 10 − 7 11430.067326.85 × 10 − 6
x个 2 三80.017912.79 × 10 − 6 三80.0158072.79 × 10 − 6 12470.122329.72 × 10 − 6
x个 三 4110.0330429.73 × 10 − 8 4110.0207529.73 × 10 − 8 14550.082886.51 × 10 − 6
x个 4 5140.0315762.56 × 10 − 8 5140.044832.56 × 10 − 8 15590.084139.82 × 10 − 6
x个 5 5140.0327472.93 × 10 − 7 5140.0269752.93 × 10 − 7 16630.095894.75 × 10 − 6
x个 6 6170.0360021.24 × 10 − 9 6170.0324451.24 × 10 − 9 16640.114998.55 × 10 − 6
50,000 x个 1 三80.07376.32 × 10 − 8 7260.169252.94 × 10 − 6 12470.278265.23 × 10 − 6
x个 2 三80.069643.37 × 10 − 6 9340.188012.78 × 10 − 6 13510.296427.11 × 10 − 6
x个 三 4110.0930274.87 × 10 − 8 7250.153759.11 × 10 − 6 15590.356024.82 × 10 − 6
x个 4 5140.112191.11 × 10 − 8 7240.153829.18 × 10 − 6 351410.694706.69 × 10 − 6
x个 5 5140.11731.84 × 10 − 7 9320.181646.71 × 10 − 6 351410.684889.12 × 10 − 6
x个 6 6170.137944.01 × 10 − 10 6190.112165.2 × 10 − 6 351410.709739.91 × 10 − 6
100,000 x个 1 三80.130215.4 × 10 − 8 7260.26094.14 × 10 − 6 12470.445417.39 × 10 − 6
x个 2 三80.132674.27 × 10 − 6 9340.326663.93 × 10 − 6 14550.532993.39 × 10 − 6
x个 三 4110.173384.05 × 10 − 8 8290.31133.33 × 10 − 6 15600.586038.71 × 10 − 6
x个 4 5140.200368.15 × 10 − 9 8280.29973.34 × 10 − 6 722902.706308.31 × 10 − 6
x个 5 5140.252741.8 × 10 − 7 9320.320989.46 × 10 − 6 722902.722208.68 × 10 − 6
x个 6 6170.249522.71 × 10 − 10 6190.219727.01 × 10 − 6 722902.758508.96 × 10 − 6
表
表3。给定初始点和尺寸的问题3的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
表3。给定初始点和尺寸的问题3的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸初始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000 x个 1 6240.0240623.11 × 10 − 6 6400.029514.44 × 10 − 6 12480.012554.45 × 10 − 6
x个 2 6240.0053455.94 × 10 − 6 6400.00776818.75 × 10 − 6 12480.013119.02 × 10 − 6
x个 三 6240.0061099.94 × 10 − 6 6440.00670495.09 × 10 − 6 13520.014868.34 × 10 − 6
x个 4 8330.0061273.1 × 10 − 6 8440.0071425.04 × 10 − 6 14560.016988.04 × 10 − 6
x个 5 11460.0104272.71 × 10 − 6 11400.0104113.12 × 10 − 6 14560.015519.72 × 10 − 6
x个 6 16680.0106828.38 × 10 − 6 16770.0147595.98 × 10 − 6 14560.015349.42 × 10 − 6
5000 x个 1 6240.0204556.96 × 10 − 6 6400.0203689.93 × 10 − 6 12480.036609.94 × 10 − 6
x个 2 7280.0215521.33 × 10 − 6 7440.0296225.09 × 10 − 6 13520.036166.85 × 10 − 6
x个 三 7280.0230562.22 × 10 − 6 7480.0300442.96 × 10 − 6 14560.045946.14 × 10 − 6
x个 4 8330.0229846.92 × 10 − 6 8480.0227772.93 × 10 − 6 15600.043426.01 × 10 − 6
x个 5 11460.0314666.06 × 10 − 6 11400.0192266.97 × 10 − 6 15600.042967.25 × 10 − 6
x个 6 17720.0493087.67 × 10 − 6 17810.0360956.05 × 10 − 6 321290.100818.85 × 10 − 6
10,000 x个 1 6240.030649.85 × 10 − 6 6440.039973.65 × 10 − 6 13520.061924.77 × 10 − 6
x个 2 7280.0358061.88 × 10 − 6 7440.0372217.19 × 10 − 6 13520.064429.68 × 10 − 6
x个 三 7280.0357953.14 × 10 − 6 7480.0532264.18 × 10 − 6 14560.094998.69 × 10 − 6
x个 4 8330.0410179.79 × 10 − 6 8480.0579844.15 × 10 − 6 15600.076968.5 × 10 − 6
x个 5 11460.064488.58 × 10 − 6 11400.0474139.85 × 10 − 6 331330.186256.45 × 10 − 6
x个 6 18760.096514.44 × 10 − 6 18810.0852388.56 × 10 − 6 331330.155487.51 × 10 − 6
50,000 x个 1 7280.143232.2 × 10 − 6 7440.171758.17 × 10 − 6 14560.236423.51 × 10 − 6
x个 2 7280.136254.2 × 10 − 6 7480.184844.18 × 10 − 6 14560.248137.12 × 10 − 6
x个 三 7280.132467.03 × 10 − 6 7480.18279.36 × 10 − 6 15600.270496.53 × 10 − 6
x个 4 9370.182614.16 × 10 − 6 9480.189939.27 × 10 − 6 341370.545457.13 × 10 − 6
x个 5 12500.217435.2 × 10 − 6 12440.170435.73 × 10 − 6 682741.023309.99 × 10 − 6
x个 6 18760.346459.93 × 10 − 6 18850.329388.66 × 10 − 6 692781.038108.05 × 10 − 6
100,000 x个 1 7280.270783.11 × 10 − 6 7480.36144三 × 10 − 6 14560.454754.96 × 10 − 6
x个 2 7280.269745.94 × 10 − 6 7480.375155.91 × 10 − 6 15600.490183.39 × 10 − 6
x个 三 7280.254759.94 × 10 − 6 7520.390713.44 × 10 − 6 15600.490169.24 × 10 − 6
x个 4 9370.30895.88 × 10 − 6 9520.359613.41 × 10 − 6 1395594.031109.01 × 10 − 6
x个 5 12500.418397.35 × 10 − 6 12440.331058.1 × 10 − 6 702822.071008.54 × 10 − 6
x个 6 19800.647735.75 × 10 − 6 19890.613295.54 × 10 − 6 1395594.024409.38 × 10 − 6
表
表4。给定初始点和尺寸的问题4的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
表4。给定初始点和尺寸的问题4的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸初始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000 x个 1 6240.008551.65 × 10 − 6 10400.0146623.65 × 10 − 6 12480.009894.60 × 10 − 6
x个 2 5200.0042342.32 × 10 − 6 10400.00641155.79 × 10 − 6 12480.009669.57 × 10 − 6
x个 三 10420.0074266.42 × 10 − 6 10400.00548183.29 × 10 − 6 13520.008878.49 × 10 − 6
x个 4 21900.0116035.84 × 10 − 6 271100.0128548.97 × 10 − 6 12480.012075.83 × 10 − 6
x个 5 16710.0107358.48 × 10 − 6 261060.0156035.97 × 10 − 6 291170.053719.43 × 10 − 6
x个 6 1150.0059320361470.0250399.56 × 10 − 6 291170.023966.65 × 10 − 6
5000 x个 1 6240.0199953.68 × 10 − 6 10400.0182838.15 × 10 − 6 13520.025033.49 × 10 − 6
x个 2 5200.009345.2 × 10 − 6 11440.0167333.36 × 10 − 6 13520.026267.24 × 10 − 6
x个 三 11460.021563.89 × 10 − 6 10400.0170737.37 × 10 − 6 14560.033496.29 × 10 − 6
x个 4 22940.0433256.81 × 10 − 6 291180.0474367.09 × 10 − 6 13520.022584.25 × 10 − 6
x个 5 18790.0966926.15 × 10 − 6 271100.0584057.95 × 10 − 6 311250.054717.59 × 10 − 6
x个 6 1150.0121990391590.0594487.33 × 10 − 6 632540.100648.54 × 10 − 6
10,000 x个 1 6240.0192645.2 × 10 − 6 11440.026877三 × 10 − 6 13520.037614.93 × 10 − 6
x个 2 5200.0178917.35 × 10 − 6 11440.031184.76 × 10 − 6 14560.041003.37 × 10 − 6
x个 三 11460.0360795.5 × 10 − 6 11440.0346732.71 × 10 − 6 14560.039198.90 × 10 − 6
x个 4 22940.0697789.63 × 10 − 6 301220.0699715.97 × 10 − 6 321290.096136.02 × 10 − 6
x个 5 18790.0628218.69 × 10 − 6 281140.0668666.68 × 10 − 6 321290.091776.44 × 10 − 6
x个 6 1150.0172370401630.0937497.26 × 10 − 6 642580.207919.39 × 10 − 6
50,000 x个 1 7280.0934731.16 × 10 − 6 11440.167496.7 × 10 − 6 14560.171933.63 × 10 − 6
x个 2 6240.0722061.64 × 10 − 6 12480.113912.77 × 10 − 6 14560.152377.54 × 10 − 6
x个 三 12500.142853.33 × 10 − 6 11440.110366.06 × 10 − 6 15600.165496.66 × 10 − 6
x个 4 241020.303135.86 × 10 − 6 311260.309037.94 × 10 − 6 672700.762837.81 × 10 − 6
x个 5 20870.289556.31 × 10 − 6 291180.302668.89 × 10 − 6 672700.761578.80 × 10 − 6
x个 6 1150.0613270421710.411587.96 × 10 − 6 26910802.925109.41 × 10 − 6
10万 x个 1 7280.150381.65 × 10 − 6 11440.24349.48 × 10 − 6 14560.302295.13 × 10 − 6
x个 2 6240.131262.32 × 10 − 6 12480.26143.91 × 10 − 6 15600.316483.59 × 10 − 6
x个 三 12500.315854.71 × 10 − 6 11440.21618.57 × 10 − 6 321290.728389.99 × 10 − 6
x个 4 241020.580238.29 × 10 − 6 321300.652896.68 × 10 − 6 1355432.867809.73 × 10 − 6
x个 5 20870.51228.92 × 10 − 6 301220.616377.48 × 10 − 6 27210925.741409.91 × 10 − 6
x个 6 1150.116960431750.827597.88 × 10 − 6 548219711.441309.87 × 10 − 6
表
表5。给定初始点和尺寸的问题5的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
表5。给定初始点和尺寸的问题5的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸初始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000 x个 1 26980.0235553.51 × 10 − 6 391540.0222859.7 × 10 − 6 16630.075756.03 × 10 − 6
x个 2 401540.0245395.9 × 10 − 6 22850.0156715.03 × 10 − 6 16630.014705.42 × 10 − 6
x个 三 371440.0216597.11 × 10 − 6 431730.0295697.96 × 10 − 6 331320.022086.75 × 10 − 6
x个 4 492060.0306969.52 × 10 − 6 301220.0149426.05 × 10 − 6 301210.018358.39 × 10 − 6
x个 5 461940.115897.06 × 10 − 6 291180.0404066.5 × 10 − 6 321290.027008.47 × 10 − 6
x个 6 431820.0274718.7 × 10 − 6 401630.03119.83 × 10 − 6 301210.017126.95 × 10 − 6
5000 x个 1 381470.0733154.96 × 10 − 6 301170.0608779.56 × 10 − 6 17670.043945.64 × 10 − 6
x个 2 20770.0562254.98 × 10 − 6 16600.0279115.91 × 10 − 6 17670.046355.07 × 10 − 6
x个 三 411570.0821518.92 × 10 − 6 783150.127749.7 × 10 − 6 351400.083119.74 × 10 − 6
x个 4 482020.101669.19 × 10 − 6 311260.0679118.39 × 10 − 6 331330.080756.02 × 10 − 6
x个 6 1475623.3081588.44 × 10 − 7 311260.0678567.81 × 10 − 6 351410.100917.51 × 10 − 6
x个 7 451900.0902767.14 × 10 − 6 441790.093717.37 × 10 − 6 321290.080548.55 × 10 − 6
10,000 x个 1 371430.126659.28 × 10 − 6 773080.286789.85 × 10 − 6 17670.068168.81 × 10 − 6
x个 2 22840.0772889.78 × 10 − 6 16600.0716577.52 × 10 − 6 17670.088337.80 × 10 − 6
x个 三 391490.12976.74 × 10 − 6 1054240.342129.08 × 10 − 6 371480.147326.36 × 10 − 6
x个 4 602500.21757.56 × 10 − 6 321300.119377.17 × 10 − 6 371490.142938.25 × 10 − 6
x个 5 441860.17277.68 × 10 − 6 321300.119218.26 × 10 − 6 361450.147198.23 × 10 − 6
x个 6 461940.17288.62 × 10 − 6 451830.156349.01 × 10 − 6 742980.264567.79 × 10 − 6
50,000 x个 1 441700.622021 × 10 − 5 9053931.752992.56 × 10 − 7 421690.581137.78 × 10 − 6
x个 2 692800.96626.87 × 10 − 6 311220.338177.09 × 10 − 6 421690.584567.13 × 10 − 6
x个 三 11946425.876579.34 × 10 − 7 26010472.88249.67 × 10 − 6 411650.587178.87 × 10 − 6
x个 4 502100.715998.38 × 10 − 6 331340.390399.98 × 10 − 6 401610.564317.17 × 10 − 6
x个 5 461940.655388.47 × 10 − 6 351420.408077.19 × 10 − 6 823301.089208.44 × 10 − 6
x个 6 502100.691178.12 × 10 − 6 491990.577028.97 × 10 − 6 803221.066707.82 × 10 − 6
100,000 x个 1 311210.841834.48 × 10 − 6 8853061.978065.53 × 10 − 7 431731.096208.47 × 10 − 6
x个 2 13551859.192948.37 × 10 − 7 1104422.26619.55 × 10 − 6 431731.100407.77 × 10 − 6
x个 三 461781.13226.99 × 10 − 6 34513887.19389.76 × 10 − 6 421691.083309.66 × 10 − 6
x个 4 502101.37378.85 × 10 − 6 341380.743628.65 × 10 − 6 853422.118809.22 × 10 − 6
x个 5 471981.38798.31 × 10 − 6 361460.790128.09 × 10 − 6 843382.106409.78 × 10 − 6
x个 6 522181.43187.37 × 10 − 6 512071.16018.42 × 10 − 6 1676714.062009.90 × 10 − 6
表
表6。给定初始点和尺寸的问题6的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
表6。给定初始点和尺寸的问题6的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸起始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000 x个 1 11440.0111568.32 × 10 − 6 12480.027867.88 × 10 − 6 15600.016714.35 × 10 − 6
x个 2 11440.0160927.32 × 10 − 6 12480.010427.58 × 10 − 6 15600.013464.18 × 10 − 6
x个 三 11440.0104468.83 × 10 − 6 12480.00926.68 × 10 − 6 15600.016303.68 × 10 − 6
x个 4 10400.0112337.38 × 10 − 6 12480.0136174.57 × 10 − 6 14560.013397.48 × 10 − 6
x个 5 9360.0113258.29 × 10 − 6 12480.0114923.67 × 10 − 6 14560.012676.01 × 10 − 6
x个 6 7280.0094528.25 × 10 − 6 11440.0163518.32 × 10 − 6 14560.016853.54 × 10 − 6
5000 x个 1 8320.0269241.87 × 10 − 6 13520.0360254.59 × 10 − 6 15600.050389.73 × 10 − 6
x个 2 8320.0434881.8 × 10 − 6 13520.0408974.42 × 10 − 6 15600.047759.36 × 10 − 6
x个 三 8320.027091.59 × 10 − 6 13520.0399373.89 × 10 − 6 15600.049238.25 × 10 − 6
x个 4 8320.0263511.1 × 10 − 6 13520.0330132.66 × 10 − 6 15600.057935.64 × 10 − 6
x个 5 7280.0234428.62 × 10 − 6 12480.0304628.22 × 10 − 6 15600.045974.53 × 10 − 6
x个 6 7280.0229525.08 × 10 − 6 12480.0287864.85 × 10 − 6 14560.050707.93 × 10 − 6
10,000 x个 1 8320.0613742.62 × 10 − 6 13520.0923726.5 × 10 − 6 682740.407249.06 × 10 − 6
x个 2 8320.062852.52 × 10 − 6 13520.0597786.25 × 10 − 6 682740.418188.72 × 10 − 6
x个 三 8320.0599132.22 × 10 − 6 13520.0773265.5 × 10 − 6 341370.219056.22 × 10 − 6
x个 4 8320.0570031.52 × 10 − 6 13520.0877453.77 × 10 − 6 15600.100767.98 × 10 − 6
x个 5 8320.0703771.22 × 10 − 6 13520.0772173.02 × 10 − 6 15600.126806.40 × 10 − 6
x个 6 7280.0527187.18 × 10 − 6 12480.0673756.85 × 10 − 6 15600.119843.78 × 10 − 6
50,000 x个 1 8320.212585.85 × 10 − 6 14560.329653.78 × 10 − 6 1435753.091209.42 × 10 − 6
x个 2 8320.212035.63 × 10 − 6 14560.312973.63 × 10 − 6 1435753.062009.06 × 10 − 6
x个 三 8320.208854.96 × 10 − 6 14560.300893.2 × 10 − 6 1425713.049509.04 × 10 − 6
x个 4 8320.204833.4 × 10 − 6 13520.268558.42 × 10 − 6 692781.539209.14 × 10 − 6
x个 5 8320.214672.72 × 10 − 6 13520.263046.76 × 10 − 6 682741.494909.43 × 10 − 6
x个 6 8320.209331.61 × 10 − 6 13520.261433.99 × 10 − 6 15600.381778.44 × 10 − 6
100,000 x个 1 8320.417018.28 × 10 − 6 14560.588535.34 × 10 − 6 292117213.595309.53 × 10 − 6
x个 2 8320.415117.96 × 10 − 6 14560.588975.14 × 10 − 6 290116413.309309.75 × 10 − 6
x个 三 8320.440617.01 × 10 − 6 14560.573184.53 × 10 − 6 1445796.681509.96 × 10 − 6
x个 4 8320.438054.8 × 10 − 6 14560.587123.1 × 10 − 6 1415676.508009.92 × 10 − 6
x个 5 8320.411473.85 × 10 − 6 13520.563849.56 × 10 − 6 702823.305108.07 × 10 − 6
x个 6 8320.439252.27 × 10 − 6 13520.533435.64 × 10 − 6 341371.645106.37 × 10 − 6
表
表7。给定初始点和尺寸的问题7的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
表7。给定初始点和尺寸的问题7的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸初始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000 x个 1 4210.0118343.24 × 10 − 7 10420.0085282.46 × 10 − 6 14570.009535.28 × 10 − 6
x个 2 4210.0062281.43 × 10 − 7 9380.0082893.91 × 10 − 6 13530.008969.05 × 10 − 6
x个 三 三170.0040965.81 × 10 − 8 8340.0067027.43 × 10 − 6 三120.004268.47 × 10 − 6
x个 4 7340.005853.89 × 10 − 6 11460.0095795.94 × 10 − 6 15610.011696.73 × 10 − 6
x个 5 7340.0061336.36 × 10 − 6 11460.0153288.97 × 10 − 6 311260.036469.03 × 10 − 6
x个 6 8370.0061061.9 × 10 − 6 12490.014262.87 × 10 − 6 15600.010823.99 × 10 − 6
5000 x个 1 4210.0158367.25 × 10 − 7 10420.0239535.49 × 10 − 6 15610.032154.25 × 10 − 6
x个 2 4210.0145213.2 × 10 − 7 9380.0210658.74 × 10 − 6 14570.029427.40 × 10 − 6
x个 三 三170.0145171.3 × 10 − 7 9380.0254374.01 × 10 − 6 4160.011071.01 × 10 − 7
x个 4 7340.0283888.71 × 10 − 6 12500.0286073.21 × 10 − 6 16650.043315.43 × 10 − 6
x个 5 8380.027871.49 × 10 − 6 12500.0378064.84 × 10 − 6 331340.093797.78 × 10 − 6
x个 6 8370.0278984.26 × 10 − 6 12490.0292266.43 × 10 − 6 15600.040778.92 × 10 − 6
10,000 x个 1 4210.0285281.02 × 10 − 6 10420.0455857.77 × 10 − 6 15610.064846.01 × 10 − 6
x个 2 4210.0337824.52 × 10 − 7 10420.0417152.98 × 10 − 6 15610.077343.77 × 10 − 6
x个 三 三170.0292651.84 × 10 − 7 9380.0364225.67 × 10 − 6 4160.027071.42 × 10 − 7
x个 4 8380.0433011.29 × 10 − 6 12500.0635274.53 × 10 − 6 16650.079417.69 × 10 − 6
x个 5 8380.0437412.1 × 10 − 6 12500.0496046.85 × 10 − 6 341380.149426.83 × 10 − 6
x个 6 8370.0536666.02 × 10 − 6 12490.0501539.09 × 10 − 6 341380.152248.81 × 10 − 6
50,000 x个 1 4210.108162.29 × 10 − 6 11460.206244.19 × 10 − 6 16650.259954.89 × 10 − 6
x个 2 4210.119691.01 × 10 − 6 10420.163646.67 × 10 − 6 15610.246748.42 × 10 − 6
x个 三 三170.0686444.11 × 10 − 7 10420.15393.06 × 10 − 6 4160.094053.18 × 10 − 7
x个 4 8380.160672.88 × 10 − 6 13540.207282.45 × 10 − 6 361460.552076.39 × 10 − 6
x个 5 8380.144844.7 × 10 − 6 13540.194213.69 × 10 − 6 351420.546799.05 × 10 − 6
x个 6 9410.1611.41 × 10 − 6 13530.193864.9 × 10 − 6 361460.557647.59 × 10 − 6
100,000 x个 1 4210.218253.24 × 10 − 6 11460.325125.93 × 10 − 6 17690.525955.68 × 10 − 6
x个 2 4210.164351.43 × 10 − 6 10420.309499.43 × 10 − 6 16650.521024.34 × 10 − 6
x个 三 三170.130725.81 × 10 − 7 10420.310314.32 × 10 − 6 4160.148644.50 × 10 − 7
x个 4 8380.290124.07 × 10 − 6 13540.388333.46 × 10 − 6 361461.053609.04 × 10 − 6
x个 5 8380.328216.65 × 10 − 6 13540.35225.22 × 10 − 6 742992.107308.55 × 10 − 6
x个 6 9410.436491.99 × 10 − 6 13530.35616.94 × 10 − 6 371501.082406.66 × 10 − 6
表
表8。给定初始点和尺寸的问题8的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
表8。给定初始点和尺寸的问题8的MFRM、ACGD和PDY的数值结果。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸初始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000 x个 1 8270.15021.52 × 10 − 6 8260.0498266.09 × 10 − 6 692790.055388.95 × 10 − 6
x个 2 8270.0422481.52 × 10 − 6 8260.0175946.09 × 10 − 6 27010850.187989.72 × 10 − 6
x个 三 261140.038777.85 × 10 − 6 8260.0108886.09 × 10 − 6 24520.024396.57 × 10 − 6
x个 4 261140.0175427.85 × 10 − 6 8260.0078736.09 × 10 − 6 27580.015207.59 × 10 − 6
x个 5 261140.0676927.85 × 10 − 6 8260.0607336.09 × 10 − 6 28610.043309.21 × 10 − 6
x个 6 261140.0451737.85 × 10 − 6 8260.0068896.09 × 10 − 6 40850.021168.45 × 10 − 6
5000 x个 1 6280.0239258.77 × 10 − 6 4130.0110055.76 × 10 − 6 65826391.130309.98 × 10 − 6
x个 2 15700.0435127.94 × 10 − 6 4130.0091315.76 × 10 − 6 27580.051017.59 × 10 − 6
x个 三 15700.0464587.94 × 10 − 6 4130.0113115.76 × 10 − 6 491040.080358.11 × 10 − 6
x个 4 15700.0447887.94 × 10 − 6 4130.0104755.75 × 10 − 6 40850.079798.45 × 10 − 6
x个 5 15700.0446397.94 × 10 − 6 4130.0110345.77 × 10 − 6 18400.091289.14 × 10 − 6
x个 6 15700.0439747.94 × 10 − 6 4130.007855.76 × 10 − 6 17380.185288.98 × 10 − 6
10,000 x个 1 11540.065956.15 × 10 − 6 5200.0242322.19 × 10 − 6 491040.204437.62 × 10 − 6
x个 2 11540.0681256.15 × 10 − 6 5200.0235112.19 × 10 − 6 40850.158018.45 × 10 − 6
x个 三 11540.0654866.15 × 10 − 6 5200.0230042.19 × 10 − 6 19420.378807.66 × 10 − 6
x个 4 11540.0645156.15 × 10 − 6 5200.0304352.19 × 10 − 6 901871.258029.7 × 10 − 6
x个 5 11540.0562616.15 × 10 − 6 5200.0219632.19 × 10 − 6 988198812.682599.93 × 10 − 6
x个 6 11540.0677856.15 × 10 − 6 5200.0218892.21 × 10 − 6 27580.328597.59 × 10 − 6
50,000 x个 1 7380.178564.5 × 10 − 6 5230.0875442.45 × 10 − 6 19420.522916.42 × 10 − 6
x个 2 7380.178624.5 × 10 − 6 5230.0932272.45 × 10 − 6 1483043.930639.92 × 10 − 6
x个 三 7380.177464.5 × 10 − 6 5230.0874842.45 × 10 − 6 937188622.970979.87 × 10 − 6
x个 4 7380.173924.5 × 10 − 6 5230.0863292.4 × 10 − 6 27580.684677.59 × 10 − 6
x个 5 7380.180354.5 × 10 − 6 5230.089542.4 × 10 − 6 3467028.450439.79 × 10 − 6
x个 6 7380.175044.5 × 10 − 6 5230.0932032.5 × 10 − 6 40850.992308.45 × 10 − 6
100,000 x个 1 281220.914488.61 × 10 − 6 4200.147432.71 × 10 − 6 ----
x个 2 281220.936628.61 × 10 − 6 4200.148232.7 × 10 − 6 ----
x个 三 281220.906048.61 × 10 − 6 4200.14972.79 × 10 − 6 ----
x个 4 281220.923518.61 × 10 − 6 4200.148442.37 × 10 − 6 ----
x个 5 281220.918968.61 × 10 − 6 4200.123461.66 × 10 − 6 ----
x个 6 281220.912948.61 × 10 − 6 4200.125222.11 × 10 − 6 ----
表
表9。20个实验结果 ℓ 1 − CGD、PCG和MFRM方法的范数正则化问题。
表9。20个实验结果 ℓ 1 − CGD、PCG和MFRM方法的范数正则化问题。
序号Iter公司时间MSE公司
CGD公司PCG公司MFRM公司CGD公司PCG公司MFRM公司CGD公司PCG公司MFRM公司
1248138982.281.281.336.16 × 10 − 5 6.32 × 10 − 5 1.97 × 10 − 5
22341381173.371.261.194.08 × 10 − 5 3.36 × 10 − 5 5.40 × 10 − 5
三2241521041.901.290.972.78 × 10 − 5 1.78 × 10 − 5 1.02 × 10 − 5
42301431173.212.481.174.08 × 10 − 5 3.36 × 10 − 5 5.40 × 10 − 5
51521191141.651.031.151.23 × 10 − 5 2.07 × 10 − 5 5.49 × 10 − 5
62231271101.892.561.833.33 × 10 − 5 6.08 × 10 − 5 6.50 × 10 − 6
71561201251.371.011.204.25 × 10 − 5 3.26 × 10 − 5 1.46 × 10 − 5
821389101.900.781.121.86 × 10 − 5 3.77 × 10 − 4 1.31 × 10 − 5
92271521182.141.531.452.75 × 10 − 5 1.54 × 10 − 5 8.11 × 10 − 6
102011421012.221.641.016.75 × 10 − 5 1.86 × 10 − 5 1.17 × 10 − 5
11200151901.701.420.902.36 × 10 − 5 1.29 × 10 − 5 3.81 × 10 − 5
12202153911.751.340.846.94 × 10 − 5 2.99 × 10 − 5 9.21 × 10 − 5
132081281251.891.121.261.71 × 10 − 5 1.42 × 10 − 5 9.20 × 10 − 6
141611451221.471.281.261.15 × 10 − 5 8.75 × 10 − 6 4.36 × 10 − 6
152271601001.971.4213.41 × 10 − 5 2.40 × 10 − 5 1.54 × 10 − 5
16269172882.511.670.983.90 × 10 − 5 6.59 × 10 − 5 2.08 × 10 − 4
172101291051.841.191.112.11 × 10 − 5 1.89 × 10 − 5 6.22 × 10 − 5
18225132961.931.1513.87 × 10 − 5 7.78 × 10 − 5 9.49 × 10 − 5
19152120921.371.090.872.12 × 10 − 5 1.32 × 10 − 5 4.03 × 10 − 5
201511281131.311.151.064.48 × 10 − 5 1.85 × 10 − 5 1.71 × 10 − 5
表
表10。基于目标函数（ObjFun）平均误差（MSE）、信噪比（SNR）和SSIM指数在不同Pi下的效率比较( υ ).
表10。基于目标函数（ObjFun）平均误差（MSE）、信噪比（SNR）和SSIM指数在不同Pi下的效率比较( υ ).
图像ObjFun公司MSE公司信噪比SSIM公司
MFRM公司CGD公司MFRM公司CGD公司MFRM公司CGD公司MFRM公司CGD公司
第1页（1 × 10 − 4 )1.43 × 10 6 1.47 × 10 6 133.90177.5721.2820.050.860.83
第1页（1 × 10 − 1 )1.43 × 10 6 1.48 × 10 6 130.60177.6921.3920.50.860.83
P1（0.25）1.47 × 10 6 1.48 × 10 6 145.27177.7220.9320.050.850.83
第1页（6.25）1.58 × 10 6 1.65 × 10 6 146.06183.9620.919.90.750.79
第2页（1 × 10 − 4 )1.61 × 10 6 1.65 × 10 6 36.8857.5527.5925.650.880.86
第2页（1 × 10 − 1 )1.61 × 10 6 1.65 × 10 6 36.8557.6127.5925.650.880.86
P2（0.25）1.62 × 10 6 1.66 × 10 6 37.7857.6827.4825.640.880.86
第2页（6.25）1.77 × 10 6 1.82 × 10 6 56.6558.9625.7225.550.760.83
P3（1 × 10 − 4 )5.74 × 10 6 5.89 × 10 6 41.6344.4826.2625.970.90.88
第3页（1 × 10 − 1 )5.75 × 10 6 5.90 × 10 6 42.4244.5426.1725.960.890.88
P3（0.25）5.76 × 10 6 5.91 × 10 6 43.3344.6526.0825.950.880.88
第3页（6.25）6.35 × 10 6 6.60 × 10 6 106.7948.4722.1625.60.630.85
第4页（1 × 10 − 4 )1.40 × 10 6 1.48 × 10 6 88.81122.4422.921.50.870.84
第4页（1 × 10 − 1 )1.41 × 10 6 1.48 × 10 6 89.22122.5622.8821.50.870.84
P4（0.25）1.41 × 10 6 1.49 × 10 6 89.86122.5622.8521.50.870.84
P4（6.25）页1.56 × 10 6 1.69 × 10 6 116.79138.9721.7120.950.760.82
表
表11。问题2的修正Fletcher-Reeves方法MFRM、加速共轭梯度下降（ACGD）和投影Dai-Yuan（PDY）方法的数值结果( 10 − 16 )准确性。
表11。问题2的修正Fletcher-Reeves方法MFRM、加速共轭梯度下降（ACGD）和投影Dai-Yuan（PDY）方法的数值结果( 10 − 16 )准确性。
MFRM公司ACGD公司PDY公司
尺寸初始点Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准Iter公司Fval公司时间标准
1000x个18270.140619.47 × 10 − 19 12530.0304793.32 × 10 − 18 301190.040274.76 × 10 − 19
x个28360.0107821.49 × 10 − 18 7200.0135031.08 × 10 − 18 361530.0344543.51 × 10 − 18
x个三7200.0082631.21 × 10 − 18 13560.0213023.26 × 10 − 18 381610.0381683.51 × 10 − 18
x个48230.0156541.80 × 10 − 19 12510.020563.31 × 10 − 18 391650.0577933.51 × 10 − 18
x个511380.0184611.59 × 10 − 18 14590.0888583.34 × 10 − 18 411730.0697563.51 × 10 − 18
x个610340.0167881.07 × 10 − 18 10320.0120695.83 × 10 − 19 401690.033113.50 × 10 − 18
5000x个19330.0286587.22 × 10 − 19 12540.0416851.52 × 10 − 18 351490.106921.57 × 10 − 18
x个27230.0240462.18 × 10 − 19 9410.0491941.55 × 10 − 18 371570.122191.57 × 10 − 18
x个三6170.034363.89 × 10 − 19 14610.0941291.47 × 10 − 18 331310.106351.06 × 10 − 19
x个48260.031337.17 × 10 − 19 14600.0651471.47 × 10 − 18 391650.183611.57 × 10 − 18
x个59310.0367275.84 × 10 − 19 10430.11651.47 × 10 − 18 361440.21787.43 × 10 − 20
x个610340.0301686.41 × 10 − 19 12510.0382181.51 × 10 − 18 381610.131441.57 × 10 − 18
10,000x个18280.0646171.89 × 10 − 19 11500.0685671.03 × 10 − 18 351490.22531.11 × 10 − 18
x个26190.0442041.90 × 10 − 19 14620.159491.09 × 10 − 18 321280.343258.21 × 10 − 20
x个三6170.0451921.45 × 10 − 19 18780.107661.04 × 10 − 18 391650.238991.11 × 10 − 18
x个410350.0554084.99 × 10 − 19 12520.0615891.06 × 10 − 18 391650.231621.11 × 10 − 18
x个57200.0384392.06 × 10 − 19 14600.0873941.05 × 10 − 18 401690.289981.11 × 10 − 18
x个69290.0653185.27 × 10 − 19 16680.099171.03 × 10 − 18 401700.225641.11 × 10 − 18
50,000x个17260.210171.93 × 10 − 19 231000.518794.79 × 10 − 19 341450.928964.96 × 10 − 19
x个26210.247522.09 × 10 − 19 251080.646774.90 × 10 − 19 361530.99544.96 × 10 − 19
x个三6170.112436.27 × 10 − 20 23990.504024.93 × 10 − 19 381610.967684.96 × 10 − 19
x个47200.134421.02 × 10 − 19 241020.636644.75 × 10 − 19 793261.75424.96 × 10 − 19
x个59300.202887.25 × 10 − 20 251060.511164.78 × 10 − 19 783221.72464.96 × 10 − 19
x个612520.365262.28 × 10 − 19 23970.563424.76 × 10 − 19 803301.68124.96 × 10 − 19
100,000x个17270.360656.53 × 10 − 20 231000.882363.26 × 10 − 19 301191.21029.26 × 10 − 21
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分享和引用

MDPI和ACS样式

阿布巴卡尔，A.B。；库玛姆，P。；穆罕默德，H。；Awwal，A.M。；Sittithakengkiet，K。单调非线性方程的修正Fletcher–Reeves共轭梯度法及其应用。数学 2019,7, 745.https://doi.org/10.3390/math7080745

AMA风格

Abubakar AB、Kumam P、Mohammad H、Awwal AM、Sittithakengkiet K。单调非线性方程的修正Fletcher–Reeves共轭梯度法及其应用。数学. 2019; 7(8):745.https://doi.org/10.3390/math7080745

芝加哥/图拉宾风格

阿布巴卡尔、奥瓦尔·巴拉、普姆·库玛姆、哈桑·穆罕默德、阿里尤·穆罕默德·阿沃尔和卡诺克万·西蒂瑟克恩基特。2019.“单调非线性方程的修正Fletcher–Reeves共轭梯度法及其应用”数学7、8号：745。https://doi.org/10.3390/math7080745

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