1.简介
对于任何实数x个，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式由定义,,,，二阶线性递推公式如下： ,,,二阶线性递归公式：显然，二阶微分方程的多项式解：切比雪夫多项式是第一类吗. 二阶微分方程的多项式解：第二类是切比雪夫多项式. 很明显和是正交多项式。例如， 作为数学理论和应用的重要组成部分，这些多项式不仅吸引了数论专家，也吸引了数学爱好者来研究它们的性质，产生了许多有趣的问题和许多论文。特别是张文鹏[1]证明了包含切比雪夫多项式及其导数的恒等式。即：总和超过了所有-维数非负整数坐标这样的话、和表示小时-的阶导数关于x个.然后用这个公式，张文鹏[1]获得了由斐波那契数和卢卡斯数组成的一系列恒等式。另一方面，马荣和张文鹏[2]证明了一些基于切比雪夫多项式良好性质的幂和恒等式。王思义[三]用数学归纳法证明了一个恒等式，它将卷积和（2）表示为。即：哪里和是两个可计算的多项式、和x个具有积分系数。 在本文中，作为[1,2,三]，我们将介绍一种新的二阶非线性递归序列，然后我们将使用这个序列给出（2）的一个新的有趣表达式。首先，我们将给出以下主要结果： 定理 1 设h为正整数。如果是任意整数，则我们获得恒等式：哪里是由定义的二阶非线性递归序列,,和为所有人. 与参考文献比较[1]和[三]，我们的定理1非常有利，它给出了将（2）表示为.尤其是服用，根据这个定理，我们现在得出以下结论： 推论 1 如果任何正整数h是这样的，我们得到了身份： 特别是，如果服用3，对上述定理1稍作修改，我们可以得出：
为了进一步说明我们的结果的应用，我们给出了一个数值例子。采取在推论2中，其中我是一个假想单位，即。，。请注意标识（请参见[1])哪里表示由定义的著名斐波那契数列,,、和对于所有正整数. 根据这个结果和推论2，我们可以立即推断出以下结论： 这表明我们的结果与斐波那契数密切相关。因此，它们具有重要的应用价值。换句话说，通过我们的定理1，我们可以推导出一系列涉及斐波那契数的重要恒等式，这些恒等式充分反映了我们结果的重要性。
一些注释：为了进一步了解序列的属性，这里我们给出以下的前几个值如下： 如果采取并注意到，那么从推论1中，我们还可以推导出一个有趣的恒等式，涉及因此，我们得出： 2.两个简单引理
在这一部分中，我们将给出定理证明过程中的两个必要引理。第一条及其详细证明如下：
引理 1 让; 如果n是任何正整数，x和t是任何实数，则，我们有身份：哪里与定理1中的相同表示的h阶导数关于t。 证明。 引理1来自数学归纳法。利用导数的性质，我们发现：和：那就是，和： （3） 和（4）意味着引理1在, 2. 我们假设引理1也适用于。我们可以获得，然后，从（3）、（5）和以及导数，我们有：从（6）中，我们可以立即推断：也就是说，引理1也适用于现在，引理1的结论来自数学归纳法。 □ 如果我们允许那么我们不容易推导出类似于引理1的公式。这就是为什么我们在定理中没有给出第一类切比雪夫多项式的相应结果。
引理 2 对于任何正整数h和k，幂级数展开式如下：对于所有实数t和x. 证明。 实际上，这个结果很容易由幂级数的性质推导出来。首先，公式如下：可以从第二类切比雪夫多项式的定义中导出.然后，让小时为任意正整数；应用幂级数的性质，我们得到：其次，如果k个是一个正整数。那么，真的t吨和x个，满足了，幂级数展开式如下：同样，结合（7），（8）并考虑幂级数的乘法性质，我们得到：也就是说，引理2已经被证明了。 □ 3.定理证明
在第2节，我们证明了在定理的证明过程中起重要作用的两个引理。现在我们来看定理1的详细展示。事实上，如果小时是一个正整数，结合幂级数的性质，我们使用（1）、引理1和得到：另一方面，应用引理2，我们还可以获得：结合（9）、（10）和引理1，以及比较幂级数的系数，我们可以立即推导出恒等式：总之，我们已经完成了定理1的证明。 4.结论
本文的主要结果是定理1。它给出了求和（2）的一种新表示。这个定理的特点简单明了，其右侧表示为，这很容易计算。此外，我们的研究方法也可以应用于许多其他特殊多项式；例如，贝尔多项式、斐波那契多项式、卢卡斯多项式等。
推论1深刻地揭示了第二类切比雪夫多项式之间的密切关系。也就是说，它表征了标准正交基之间的关系和正交基,,.
对于第一类切比雪夫多项式，我们自然会问是否存在与定理1类似的公式。这仍然是一个悬而未决的问题。这将在未来进行研究。
