1.简介和序言
度量不动点理论在Banach的经典结果之后有了很大进展[1]称为巴拿赫压缩原理，它指出“完备度量空间上的每一个压缩自映射都有一个唯一的不动点”。由于其重要性，一些研究人员对巴纳赫原理进行了许多有趣的推广（参见[2,三,4,5,6,7,8,9,10]以及其中的参考文献）。稍后，纳德勒[11]将巴拿赫压缩原理推广到集值压缩的情况。 定理 1 [11]每个多值映射，其中完全度量空间，满足为所有人，其中至少有一个固定点。 2009年，铃木[12]在紧度量空间中证明了以下结果。 定理 2 [12]让是一个紧度量空间，并且成为一个映射。假设所有人具有,那么T在X中有一个唯一的不动点。 最近，Jleli等人[13]介绍了该类所有功能的满足以下条件： - (θ1)
非递减；
- (θ2)
对于每个序列,当且仅当;
- (θ三)
存在和这样的话,
并证明了以下结果：
定理 三。 [13]让是一个完整的度量空间，并且是一个给定的映射。假设存在和这样的话则T具有唯一的不动点。 观察巴拿赫收缩-收缩因此，定理3是巴拿赫压缩原理的推广[1]. Liu等人[14]证明了一些不动点结果-类型收缩和-完备度量空间中的铃木收缩类型。Hancer等人[15]引入了多值的概念-收缩映射如下： 让是一个度量空间，并且多值映射。然后T型据说是多值的-如果存在收缩和这样的话对于任何∈X前提是，其中是的所有非空闭和有界子集的集合X。 巴赫金[2]发起了一个名为的广义度量空间的研究b条-度量空间，并提出了巴拿赫压缩原理的一个版本[1]在…的背景下b条-公制空间。随后，一些研究人员研究了单值和集值映射的不动点理论b条-公制空间（请参见[2,三,5,6,16,17,18]以及其中的参考）。 定义 1 [2]设X为非空集是给定的实数。A功能性称为b-度量，满足以下条件： - 1。
;
- 2。
;
- 三。
。
这对称为b-度量空间。
例子 1 [三]空间对于所有实函数这样的话，如果我们取b度量空间 另一方面，让A类和B类是度量空间的两个非空子集和.A分称为最佳接近点T型如果哪里 如果然后是的固定点如果，然后为所有人和T型没有固定点。
因此，重要的是要研究必要的条件，以便上述最小化问题至少有一个解。
自为所有人因此，问题的最优解其中的值得到的确实是多值映射的最佳接近点 在续集中，我们表示一b条-公制空间，、CB（X）和通过所有非空闭子集、闭有界子集和紧子集的族。对于任何和，定义 功能H（H）被称为庞贝豪斯多夫b条-公制。
定义 2 [19]让是b-度量空间的一对非空子集具有然后是这对被称为具有弱P-性质当且仅当对于任何和, 定义 三。 [20]让和。我们说T是α-近端可容许的，如果为所有人。 本文的目的是定义多值铃木类型(,)-收缩并证明最佳邻近点的存在导致设置b条-公制空间。此外，我们在以下方面获得了最佳接近点结果b条-通过我们的主要结果赋予度量空间一个图。通过实例证明了我们结果的有效性。此外，我们证明了非线性分数阶微分方程解的存在性。
2.多值映射的存在性结果
我们首先定义了非自多值映射的连续性和底层的连续性的概念b条-公制。
定义 4 让是一个b-度量空间，并且是X.A函数的两个非空子集对于所有序列，称为连续和分别来自A和B的元素,这样的话,和对于每个，我们有。
定义 5 让是一个b度量空间。b指标如果为每，每,和每个序列在一个，在B中，这样,，我们有。
定义 6 让是具有常数的b-度量空间，A和B是X。A映射的非空子集称为多值（MV）铃木型-收缩，如果存在函数,和这样的话意味着哪里为所有人。 例子 2 让使用b-metric为所有人.让和，然后，定义通过通过和通过为所有人很容易看出.现在所有人和 因此，T是MV铃木型（α，θ）收缩。
定理 4 设A和B是完备B-度量空间的两个非空闭子集这样的话非空。让为MV铃木型（α，θ）收缩。假设以下条件成立：
- （i）
对于每个，我们有和这对满足弱P-性质；
- （ii）
存在和这样的话 - （iii）
T是α-近端容许值；
- （iv）
是连续的，T是连续的。
那么T有一个最佳接近点。
证明。 通过假设，存在和这样的话 如果，然后我们得到所以是的最佳接近点T型证明是完整的。 接下来，我们假设.自，我们有 假设，然后矛盾。因此， 另一方面，因为和来自()，我们得到暗示 自紧凑，存在这样的话等等 通过假设，我们有所以存在这样的话 自T型α-近端容许值，来自(6)以及(12)，因此 自满足弱P-性质，我们有 如果，然后是的最佳接近点T型证明是完整的。发件人(11), (14)以及()，我们有 如果，然后是的最佳接近点T型现在假设，自然后根据上面给出的类似论点，我们得到了。自，我们有 因此，通过归纳，我们可以找到两个序列和这样的话
- （a）
具有;
- （b）
和;
- （c）
和
现在，为所有人。这表明和()给予 因此，存在和这样的话 我们区分两种情况。
第一种情况：如果。
根据极限的定义，存在一些自然数这样的话这就产生了 第二种情况：如果。
让是任意正数。从极限的定义来看，存在一些自然数这样的话产生 因此，在所有情况下，都存在和自然数这样的话 现在，为了所有人,和使用(21)，我们有 自,聚合。因此这就产生了是完备b-度量空间中的柯西序列.来自(17)，因此 同样，我们可以证明是中的Cauchy序列B类.自A类和B类是一个完整的b条-度量空间，存在和这样的话和作为分别是。自为所有人和是连续的，我们得出结论 自T型是连续的，我们有此外，暗示因此，是的最佳接近点T。这就完成了证明。 ☐ 例子 三。 让被赋予b度量为所有人和.让和.定义通过和一个函数如下： Take（获取）为所有人。
请注意,,和为所有人和这对满足弱P-性质。让.那么我们有 考虑和这样的话,.那么我们有.因此意味着T是α-近端可容许的。
对于和，我们有这样的话和此外， 自和，我们获得 注意到和，所以和.因此和 因此，T是MV铃木型（α，θ）收缩。此外，T是连续的，并且是假设的验证了定理4。的确，因为和，我们获得因此，定理4的所有假设都得到了验证。因此，T有一个最佳接近点，即。 在下一个结果中，我们替换了映射的连续性T型通过以下属性：如果是中的序列A类这样的话为所有人和作为，则存在子序列属于这样的话为所有人.如果满足上述条件，则我们称集合A类满足-后续属性。
定理 5 设A和B是完备B-度量空间的两个非空闭子集这样的话非空。让是MV铃木类型（α，θ）-收缩，这样的条件——定理4的连续性与如果a满足α-子序列性质，则T在a中有一个最佳邻近点。
证明。 从定理4的证明中，我们得到了两个序列在里面和在里面这样的话
- （a）
和;
- （b）
和;
- （c）
和
此外，还有,这样的话,作为分别为和。
现在，我们展示一下是的最佳接近点T型.如果存在子序列属于这样的话为所有人，然后我们得到这就产生了为所有人.出租，我们获得 因此是的最佳接近点T型因此，在不失一般性的情况下，我们可以假设为所有人.根据α-子序列性质，存在一个子序列属于这样的话为所有人.根据假设，我们获得这样的话 自和，我们获得 出租，我们获得因此，我们有 因此，是的最佳接近点T型。 ☐
以下结果是定理4和5的直接结果：
推论 1 设A和B是完备B-度量空间的两个非空闭子集这样的话非空且是连续的。让是多值收缩。假设以下条件成立：
- （i）
对于每个，我们有和这对满足弱P-性质；
- （ii）
存在和这样的话 - （iii）
T是α-近端容许值；
- （iv）
存在和这样的话意味着 - （iv）
T是连续的或A满足α-子序列性质。
那么T有一个最佳接近点。
证明。 如果我们采取在定理4（定理5）中，我们得到了期望的结果。 ☐
单值映射的存在性结果
定义 7 让是具有常数的b-度量空间，A和B是X。A映射的非空子集被称为铃木类型-如果存在函数，则收缩,和这样的话意味着哪里为所有人。 定理 6 设A和B是完备B-度量空间的两个非空闭子集这样的话非空且是连续的。让为铃木型（α，θ）-收缩。假设以下条件成立：
- （i）
和这对满足弱P-性质；
- （ii）
存在这样的话 - （iii）
T是α-近端容许的；
- （iv）
T是连续的或A满足α-子序列性质。
那么T有一个最佳接近点。
采取在定理6中，附加条件如下：如果是中的序列X这样的话为所有人和作为，然后为所有人.如果满足上述条件，则我们说A类有-顺序属性。
定理 7 让是一个完整的b-度量空间，并且是铃木类型（α，θ）-收缩。假设以下条件成立：
- （i）
存在这样的话
- （ii）
T为α容许值；
- （iii）
T是连续的或A具有α-序列性质
那么T有一个固定点。
3.存在的结果-赋图的度量空间
雅奇姆斯基[21]是第一个提出了赋图度量空间上映射的Banach压缩原理的类似物的人。迪内瓦里[22]主动将Nadler定理推广到Jachymski的直线上[21]. 在本节中，我们给出了中最佳邻近点定理的存在性b条-赋有图的度量空间。续集中将使用以下概念：
定义 8 让是一个b度量空间。
- 1。
这套称为笛卡尔积的对角线。
- 2。
在图表中，集合它的顶点与X和集合重合它的边包含所有循环，即。，。
- 三。
图表没有平行边，所以我们可以识别和这对。
- 4。
图表是一个加权图，通过为每条边指定其顶点之间的距离。
定义 9 让是一个具有图的b-度量空间和是X.A函数的两个非空子集被称为-所有序列的连续if和分别来自A和B的元素,这样的话,,和对于每个，我们有。
定义 10 让是赋有图的b-度量空间.b度量被称为-如果对于每个，每,和每个序列在一个，在B中，这样,和我们有。
定义 11 设A和B是B-度量空间的非空子集被赋予图形.A映射据说是-近端if为所有人和。 定义 12 让是赋有图的b-度量空间，A和B是X。A映射的非空子集称为MV铃木型-收缩（如果存在）,和这样的话意味着哪里和为所有人具有。 定理 8 设A和B是B-度量空间的两个非空闭子集被赋予图形这样的话非空。让为MV铃木型（α，)-收缩。假设以下条件成立：
- （i）
是一个-完备b-度量空间；
- （ii）
对于每个，我们有和这对满足弱P-性质；
- （iii）
存在和这样的话 - （iv）
是-顺序连续；
- （五）
T是-近端和-连续。
那么T有一个最佳接近点。
证明。 定义通过结论来自定理4。 ☐ 现在要删除以下条件-连续打开T型，我们需要以下条件：如果是中的序列A类这样的话为所有人和作为，则存在一个子序列属于这样的话为所有人.如果满足上述条件，则我们称集合A类满意的-后续属性。
定理 9 设A和B是B-度量空间的两个非空闭子集被赋予图形这样的话非空。让为MV铃木型（α，)-收缩。假设以下条件成立：
- （i）
是一个-完备b-度量空间；
- （ii）
对于每个，我们有和这对满足弱P-性质；
- （iii）
存在和这样的话 - （iv）
T是-近端；
- （五）
是-顺序连续；
- （vi）
A满意-后续属性。
那么T有一个最佳接近点。
证明。 定义通过结论来自定理5。 ☐ 4.分数微积分的应用
首先，我们回顾一些概念（参见[23]). 对于连续函数，分数阶卡普托导数定义为哪里表示实数的整数部分和是伽马函数。 在本节中，我们将应用定理7来证明非线性分数阶微分方程解的存在性：通过边界条件，其中和是所有连续函数的集合进入之内和是连续函数（参见[24]). 调用与问题相关的绿色功能(26)由提供 首先，让成为b条-赋有度量空间b条-公制为所有人具有。 现在我们证明以下存在定理：
定理 10 假设
- （i）
存在一个函数和这样的话意味着为所有人和具有，其中 - （ii）
存在这样的话为所有人，其中由定义 - （iii）
对于每个和,暗示;
- （iv）
对于每个，如果是中的序列这样的话在里面和为所有人，然后为所有人。
证明。 很容易看出是的解决方案(26)当且仅当是方程的解为所有人.然后是问题(26)等同于发现它是的不动点T型.从条件(我)以及()，对于所有不同的这样的话为所有人，让这样的话，我们有哪里 因此，对于每个，使用为所有人我们有 让,，我们有哪里.自然后因此，T型是铃木型（α，θ）-型收缩。还定义 发件人存在这样的话，对于所有人，我们明白了因此T型是α-容许的。最后，根据条件在假设、条件中定理7的成立。因此满足定理7的所有条件。因此，我们认为存在这样的话等等是问题的解决方案(26). 这就完成了证明。 ☐
