Non-Unique Fixed Point Results in Extended B-Metric Space

Alqahtani, Badr; Fulga, Andreea; Karapınar, Erdal

doi:10.3390/math6050068

开放式访问第条

非唯一不动点导致扩展B类-公制空间^†

通过

巴德·阿尔卡塔尼

¹，

安德烈亚·富尔加

²和

埃尔达尔卡拉普讷尔

^3,*

¹

沙特国王大学数学系，邮政信箱：2455，利雅得11451，沙特阿拉伯

²

罗马尼亚布拉索夫，500036，Transilvania Brasov大学数学和计算机科学系

^三

土耳其安卡拉伊斯克06836埃达尔·卡拉普纳尔阿提林大学数学系

^*

信件应寄给的作者。

^†

2000年数学学科分类46T99，47H10；54H25。

数学 2018，6(5), 68;https://doi.org/10.3390/math6050068

收到的提交文件：2018年4月5日/修订日期：2018年4月26日/接受日期：2018年4月27日/发布日期：2018年5月2日

（本文属于特刊不动点理论)

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摘要

:

在本文中，我们研究了不动点的存在性，这些不动点在扩展的b条-公制空间。我们列举了一些例子来说明我们的结果。

关键词：

b条-公制;延伸b条-度量空间;非均匀不动点

1.简介和准备工作

度量不动点理论是由巴拿赫（Banach）的优美结果，即压缩映射原理所开创的，该领域的所有研究人员都同意这一点。他公式化地表示，完备度量空间中的每一个收缩都有一个唯一的不动点。研究人员通过改进收缩条件和/或用改进的抽象空间改变度量空间来推广这一结果。度量空间的一个有趣的推广是b条-度量空间，最近由Czerwik提出[1]。根据此结果b条-度量空间，几位作者在b条-公制空间（参见，例如[2，三，4，5，6，7，8，9]以及其中的相关参考）。

在这份手稿中，我们表示

{N个}_{0} : = N个 \cup {0}

，其中

N个

表示正整数。此外，

R（右）

表示实数和

{R（右）}_{0}^{+} : = [0 ， \infty)

.

定义 1

（捷克[1]). 对于非空集X，函数

米_{b条} : X（X） \times X（X） \to {R（右）}_{0}^{+}

如果满足以下条件，则称为b度量：

(米_b条1): $米_{b条} (x个，年) = 0$ 当且仅当 $x个 = 年$ .
(米_b条2): $米_{b条} (x个，年) = 米_{b条} (年， x个)$ 为所有人 $x个，年 \in X（X）$ .
(米_b条3): $米_{b条} (x个，年) \leq 秒 [米_{b条} (x个， z) + 米_{b条} (z ，年)]$ 为所有人 $x个，年， z \in X（X）$ ，其中 $秒 \geq 1$ .

此外，这对

(X（X） ， 米_{b条})

称为b-度量空间，简而言之，bMS。

标准示例之一b条-指标如下：

例子 1

让

X（X） = R（右）

是实数集

米_{b条} (x个 ， 年) = {(x个 - 年)}^{2}

.然后

米_{b条}

是上的b度量

R（右）

具有

秒 = 2

很明显

米_{b条}

不是上的度量

R（右）

.

备注 1

值得一提的是，因为

秒 = 1

，b-度量成为一种常用度量。

最近，Kamran等人[10]引入了一种新的广义b条-公制空间。此外，他们在这个新空间的框架中观察到了巴拿赫收缩映射原理的模拟。

定义 2

[10]让

θ : X（X） \times X（X） \to [1 ， \infty)

成为一个映射。对于非空集X，函数

{d日}_{θ} : X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)

如果满足以下状态，则称为扩展的b度量

(d日_θ1): ${d日}_{θ} (ξ ， η) = 0$ 当且仅当 $ξ = η$ ，
(d日_θ2): ${d日}_{θ} (ξ ， η) = {d日}_{θ} (η ， ξ)$ 、和
(d日_θ3): ${d日}_{θ} (ξ ， ζ) \leq θ (ξ ， ζ) [{d日}_{θ} (ξ ， η) + {d日}_{θ} (η ， ζ)]$ ，

为所有人

ξ ， η ， ζ \in X（X）

此外，这对

(X（X） ， {d日}_{θ})

被称为扩展b度量空间，简称为扩展bMS。

备注 2

如果

θ (ξ ， η) = 秒

，常量，用于

秒 \geq 1

则符合b-度量空间的标准定义。

示例 2

让

θ : X（X） \times X（X） \to [1 ， \infty)

是一个映射，定义为

θ (x个 ， 年) = {x个}^{2} + 年^{2} + 2

.对于一套

X（X） = \{一 ， b条 ， c（c）\}

，我们设置映射

{d日}_{θ} : X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)

如下：

{d日}_{θ} (一 ， b条) = {d日}_{θ} (b条 ， 一) = 5 ， {d日}_{θ} (一 ， c（c）) = {d日}_{θ} (c（c） ， 一) = 三 ， {d日}_{θ} (b条 ， c（c）) = {d日}_{θ} (c（c） ， b条) = 1 ，

{d日}_{θ} (一 ， 一) = {d日}_{θ} (b条 ， b条) = {d日}_{θ} (c（c） ， c（c）) = 0 .

显然，

({d日}_{θ} 1)

和

({d日}_{θ} 2)

保持。对于

({d日}_{θ} 三)

，我们有

5 = {d日}_{θ} (一 ， b条) \leq θ (一 ， b条) ({d日}_{θ} (一 ， c（c）) + {d日}_{θ} (c（c） ， b条)) = (一^{2} + {b条}^{2} + 2) \cdot 4

三 = {d日}_{θ} (一 ， c（c）) \leq θ (一 ， c（c）) ({d日}_{θ} (一 ， b条) + {d日}_{θ} (b条 ， c（c）)) = (一^{2} + {c（c）}^{2} + 2) \cdot 6

1 = {d日}_{θ} (b条 ， c（c）) \leq θ (b条 ， c（c）) ({d日}_{θ} (b条 ， 一) + {d日}_{θ} (一 ， c（c）)) = ({b条}^{2} + {c（c）}^{2} + 2) \cdot 8 .

总之，对于任何

ξ ， η ， ζ \in X（X）

，第三条公理

{d日}_{θ} (ξ ， ζ) \leq θ (ξ ， ζ) [{d日}_{θ} (ξ ， η) + {d日}_{θ} (η ， ζ)]

感到满意。因此，

(X（X） ， {d日}_{θ})

是一个扩展的b度量空间。还请注意，标准三角形不等式在以下情况下不满足

5 = {d日}_{θ} (一 ， b条) > 4 = {d日}_{θ} (一 ， c（c）) + {d日}_{θ} (c（c） ， b条) .

因此，

(X（X） ， d日)

不形成标准公制空间。

在扩展的-b条MS，可以获得基本拓扑概念的类比，例如收敛性、柯西序列和完备性。有关更多详细信息，请参见，例如[10].

定义三。

[10]让

(X（X） ， {d日}_{θ})

是一个扩展的bMS。

(我): 我们说一个序列 $ξ_{n个}$ 在X中收敛到 $ξ \in X（X）$ ，如果每个 $¦Β > 0$ 存在 $N个 = N个 (¦Β) \in N个$ 这样的话 ${d日}_{θ} (ξ_{n个} ， ξ) < ¦Β$ ，对于所有人 $n个 \geq N个$ ，表示为 ${极限}_{n个 \to \infty} ξ_{n个} = ξ$ .
(ii（ii）): 我们说一个序列 $ξ_{n个}$ 如果，对于每个 $¦Β > 0$ ，存在 $N个 = N个 (¦Β) \in N个$ 这样的话 ${d日}_{θ} (ξ_{米} ， ξ_{n个}) < ¦Β$ ，对于所有人 $米， n个 \geq N个$ .

在下文中，我们回顾了完整性的概念：

定义 4

[10]。扩展度量空间

(X（X） ， {d日}_{θ})

如果X中的每个Cauchy序列都是收敛的，则是完全的。

引理 1

[10]假设这对

(X（X） ， {d日}_{θ})

是一个完整的扩展bMS，其中

{d日}_{θ}

是连续的。那么每个收敛序列都有一个唯一的极限。

定理 1

[10]假设这对

(X（X） ， {d日}_{θ})

是一个完整的扩展bMS，其中

{d日}_{θ}

是连续的。如果是自映射

T型 : X（X） \to X（X）

满足

{d日}_{θ} (T型 ξ ， T型 η) \leq k个 {d日}_{θ} (ξ ， η)

(1)

为所有人

ξ ， η \in X（X）

，其中

k个 \in [0 ， 1)

是这样的，对于每个

{x个}_{0} \in X（X）

，

{极限}_{n个 ， 米 \to \infty} θ (ξ_{n个} ， ξ_{米}) < \frac{1}{k个}

，其中

ξ_{n个} = {T型}^{n个} ξ_{0}

，

n个 = 1 ， 2 ， \dots

，则T正好有一个不动点u。此外，对于每个不动点

η \in X（X）

，

{T型}^{n个} η \to u个

.

出于我们的目的，我们需要回顾以下定义和结果。

定义 5

[11]假设这对

(X（X） ， {d日}_{θ})

是用于自映射的扩展bMS

T型 : X（X） \to X（X）

，每个

ξ \in X（X）

和

n个 \in N个

，我们定义

O（运行） (ξ; n个) = \{ξ ， T型 ξ ， \dots ， {T型}^{n个} ξ\} 和 O（运行） (ξ; \infty) = \{ξ ， T型 ξ ， \dots ， {T型}^{n个} ξ ， \dots\} .

我们说那套

O（运行） (ξ; \infty)

是T的轨道。

定义 6

假设这对

(X（X） ， {d日}_{θ})

是一个扩展的bMS。一个自映射

T型 : X（X） \to X（X）

称为轨道连续，如果

{极限}_{我 \to \infty} {T型}^{{n个}_{我}} (ξ) = ζ

对一些人来说

ζ \in X（X）

意味着

{极限}_{我 \to \infty} T型 ({T型}^{{n个}_{我}} (ξ)) = T型 ζ

此外，如果形式的每个Cauchy序列

{{T型}^{{n个}_{我}} (ξ)}_{我 = 1}^{\infty} ， ξ \in X（X）

收敛于

(X（X） ， {d日}_{θ})

然后我们说扩展的bMS

(X（X） ， {d日}_{θ})

称为T轨道完全。

备注三。

很明显，T的轨道连续性产生T的任何迭代幂的轨道连续，即

{T型}^{米}

对于任何

米 \in N个

.

定义 7

[12]假设T是非空集X上的自映射

α : X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)

成为一个映射。那么T称为α轨道可容许，如果

ξ \in X（X）

，我们有

α (ξ ， T型 ξ) \geq 1 \Rightarrow α (T型 ξ ， {T型}^{2} ξ) \geq 1 .

（2）

备注 4

我们注意到，任何α-容许映射也是α-轨道容许映射。（参见，例如[12]).

2.主要成果

在整篇论文中，我们假设

{d日}_{θ}

是一个连续函数。

引理 2

[13]让

(X（X） ， {d日}_{θ})

是一个扩展的b度量空间。如果存在

q个 \in [0 ， 1)

这样，序列

\{{x个}_{n个}\}

，对于任意

{x个}_{0} \in X（X）

，满足

\underset{n个 ， 米 \to \infty}{极限} θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{米}) < \frac{1}{q个}

、和

0 < {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq q个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})

(3)

对于任何

n个 \in N个

，然后是序列

{{x个}_{n个}}

在X中是Cauchy。

证明。

让

{\{{x个}_{n个}\}}_{n个 \in N个}

是一个给定的序列。通过使用不平等(三)递归地推导出

0 < {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq {q个}^{n个} {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) .

(4)

自

q个 \in [0 ， 1)

，我们发现

\underset{n个 \to \infty}{极限} {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) = 0 .

(5)

另一方面，通过

({d日}_{θ} 三)

，再加上三角不等式

第页 \geq 1

，我们推导出

\begin{matrix} {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) & \leq θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) \cdot [{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) + {d日}_{θ} ({x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 第页})] \\ \leq θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) + θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 第页}) \\ \leq θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) {q个}^{n个} {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) + θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) θ ({x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 第页}) [{d日}_{θ} ({x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 2}) + {d日}_{θ} ({x个}_{n个 + 2} ， {x个}_{n个 + 第页})] \\ \leq θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) \cdot {q个}^{n个} {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) + θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) θ ({x个}_{n个 + 1} ， {x个}_{n个 + 第页}) \cdot {q个}^{n个 + 1} {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) + \dots + \\ + θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) \cdot \dots \cdot θ ({x个}_{n个 + 第页 - 1} ， {x个}_{n个 + 第页}) \cdot {k个}^{n个 + 第页 - 1} {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) \\ = {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) \sum_{我 = 1}^{n个 + 第页 - 1} {q个}^{我} \prod_{j个 = 1}^{我} θ ({x个}_{n个 + j个} ， {x个}_{n个 + 第页}) . \end{matrix}

(6)

注意，上面的不等式主要由

\sum_{我 = 1}^{n个 + 第页 - 1} {q个}^{我} \prod_{j个 = 1}^{我} θ ({x个}_{n个 + j个} ， {x个}_{n个 + 第页}) \leq \sum_{我 = 1}^{n个 + 第页 - 1} {q个}^{我} \prod_{j个 = 1}^{我} θ ({x个}_{j个} ， {x个}_{n个 + 第页})

.

另一方面，通过比率检验，我们得出以下结论：

\sum_{我 = 1}^{\infty} {q个}^{我} \prod_{j个 = 1}^{我} θ ({x个}_{j个} ， {x个}_{n个 + 第页})

收敛一些

S公司 \in (0 ， \infty)

的确，

\underset{我 \to \infty}{极限} \frac{一_{我 + 1}}{一_{我}} = \underset{我 \to \infty}{极限} q个 θ ({x个}_{我} ， {x个}_{我 + 第页}) < 1

，这就是我们获得所需结果的原因。因此，我们有

S公司 = \sum_{我 = 1}^{\infty} {q个}^{我} \prod_{j个 = 1}^{我} θ ({x个}_{j个} ， {x个}_{n个 + 第页}) 具有 这个 部分 总和 {S公司}_{n个} = \sum_{我 = 1}^{n个} {q个}^{我} \prod_{j个 = 1}^{我} θ ({x个}_{j个} ， {x个}_{n个 + 第页}) .

因此，我们观察

n个 \leq 1 ， 第页 \leq 1

那个

{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 第页}) \leq {q个}^{n个} {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) [{S公司}_{n个 + 第页 - 1} - {S公司}_{n个 - 1} .]

（7）

出租

n个 \to \infty

在方程式中(7)，我们得出结论，构造序列

{{x个}_{n个}}

柯西在延长线b条-度量空间

(X（X） ， {d日}_{θ})

. ☐

引理三。

让

T型 : X（X） \to X（X）

是α-轨道容许映射

{x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1} ， n个 \in N个

.如果存在

{x个}_{0} \in X（X）

这样的话

α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1

，那么我们有

α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \geq 1 对于 全部的 n个 \in {N个}_{0} .

证明。

根据假设，存在一个点

{x个}_{0} \in X（X）

这样的话

α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1

.根据

\{{x个}_{n个}\} \subset X（X）

由于以下事实T型是

α

-轨道容许，我们导出

α ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) = α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1 \Rightarrow α (T型 {x个}_{0} ， {T型}^{2} {x个}_{0}) = α ({x个}_{1} ， {x个}_{2}) \geq 1 .

递归地，我们有

α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \geq 1 ， 对于 全部的 n个 \in {N个}_{0} .

(8)

☐

定理 2

假设T是T轨道完备扩展bMS上的轨道连续自映射

(X（X） ， {d日}_{θ})

.假设存在

k个 \in [0 ， 1)

和

一 \geq 1

这样的话

\begin{matrix} α (x个 ， 年) 最小值 {{d日}_{θ} (T型 x个 ， T型 年) ， {d日}_{θ} (x个 ， T型 x个) ， {d日}_{θ} (年 ， T型 年)} - 一 最小值 {{d日}_{θ} (x个 ， T型 年) ， {d日}_{θ} (T型 x个 ， 年)} \leq k个 {d日}_{θ} (x个 ， 年)) \end{matrix}

(9)

为所有人

x个 ， 年 \in X（X） .

此外，我们认为

(我): T是α-轨道容许的；
(ii（ii）): 存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
(三): $\underset{n个，米 \to \infty}{极限} θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{米}) < \frac{1}{k个} .$

然后，对于每个

{x个}_{0} \in X（X）

，序列

{{T型}^{n个} {x个}_{0}}_{n个 \in N个}

收敛到T的不动点。

证明。

根据假设

(我 我)

，存在一个点

{x个}_{0} \in X（X）

这样的话

α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1

.我们构造序列

{{x个}_{n个}}

在里面X（X）这样的话

{x个}_{n个 + 1} = T型 {x个}_{n个} \forall n个 \in {N个}_{0} .

(10)

如果

{x个}_{{n个}_{0}} = {x个}_{{n个}_{0} + 1} = T型 {x个}_{{n个}_{0}}

对一些人来说

{n个}_{0} \in {N个}_{0}

，然后

{x个}^{*} = {x个}_{{n个}_{0}}

形成固定点T型证明结束。因此，从现在开始，我们假设

{x个}_{n个} \neq {x个}_{n个 + 1} 对于 全部的 n个 \in {N个}_{0} .

(11)

基于假设

(我)

和

(我 我)

，连同引理（3），不等式(8)就是说，

α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \geq 1 ， 对于 全部的 n个 \in {N个}_{0} .

(12)

通过更换

x个 = {x个}_{n个 - 1}

和

年 = {x个}_{n个}

在不平等中(9)取方程式(12)我们发现

\begin{matrix} 最小值 \{{d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})\} \\ - 一 最小值 \{{d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个} ， {x个}_{n个 - 1}) ， {d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})\} \\ \leq α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) 最小值 \{{d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})\} - \\ - 一 最小值 \{{d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个} ， {x个}_{n个 - 1}) ， {d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})\} \\ \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \end{matrix}

(13)

或者，

最小值 \{{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})\} \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) .

(14)

自

k个 \in [0 ， 1)

，案例

{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})

是不可能的。因此，我们得出结论：

\begin{matrix} d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) . \end{matrix}

(15)

根据引理2，我们发现序列

{{x个}_{n个}}

是柯西序列。通过以下内容的完整性

(X（X） ， {d日}_{θ})

，序列

{x个}_{n个}

收敛到某个点

u个 \in X（X）

作为

n个 \to \infty

.由于施工原因

{x个}_{n个} = {T型}^{n个} {x个}_{0}

事实上

(X（X） ， {d日}_{θ})

是T型-轨道完整，有

u个 \in X（X）

这样的话

{x个}_{n个} \to u个

.自

T型 ，

是轨道连续性，我们推断

{x个}_{n个} \to T型 u个

因此，我们得出结论：

u个 = T型 u个

. ☐

例子三。

让

X（X） = \{1 ， 2 ， 三 ， 4\}

被赋予扩展的b度量

{d日}_{θ} : X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)

，由定义

{d日}_{θ} (x个 ， 年) = {(x个 - 年)}^{2}

，其中

θ : X（X） \times X（X） \to [1 ， \infty)

，

θ (x个 ， 年) = x个 + 年 + 1

.让

k个 = \frac{1}{4}

，

一 = 4

和

T型 : X（X） \to X（X）

这样的话

T型 1 = T型 三 = 1 ， T型 2 = 4 ， T型 4 = 三 .

还定义

α ， β : X（X） \times X（X） \to [0 ， \infty)

通过

α (x个 ， 年) = \{\begin{cases} 0 & 如果 ， (x个 ， 年) \in \{(三 ， 4) ， (4 ， 三)\} \\ 1 & 否则 . \end{cases}

让我们首先注意到，对于任何

x个 \in \{1 ， 2 ， 三 ， 4\}

，序列

\{{T型}^{n个} x个\}

当

n个 \to \infty

因此，我们可以得出结论，映射T是轨道连续的，并且

\underset{n个 ， 米 \to \infty}{极限} θ ({T型}^{n个} x个 ， {T型}^{米} x个) = 三 < 4 = \frac{1}{k个}

，所以

(我 我 我)

感到满意。也可以很容易地证明T是轨道容许的。

如果

x个 = 1

或

年 = 1

，然后

d日 (1 ， T型 1) = 0

所以不平等(9)持有。我们必须考虑以下情况。

案例

1 .

对于

x个 = 2

和

年 = 三

，我们有

{d日}_{θ} (2 ， 三) = 1 ， {d日}_{θ} (T型 2 ， T型 三) = 9 ， {d日}_{θ} (2 ， T型 2) = 4 ， {d日}_{θ} (三 ， T型 三) = 4 ， {d日}_{θ} (2 ， T型 三) = 1 ， {d日}_{θ} (三 ， T型 2) = 1

和不平等(9)收益率

0 = 最小值 \{9 ， 4 ， 4\} - 4 \cdot 最小值 \{1 ， 1\} \leq \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot {d日}_{θ} (2 ， 三) .

案例

2 .

对于

x个 = 2

和

年 = 4

，我们有

{d日}_{θ} (2 ， 4) = 4 ， {d日}_{θ} (T型 2 ， T型 4) = 1 ， {d日}_{θ} (2 ， T型 2) = 4 ， {d日}_{θ} (4 ， T型 4) = 1 ， {d日}_{θ} (2 ， T型 4) = 1 ， {d日}_{θ} (4 ， T型 2) = 0

和

1 = 最小值 \{1 ， 4 ， 1\} - 4 \cdot 最小值 \{1 ， 0\} \leq 1 = \frac{1}{4} \cdot {d日}_{θ} (2 ， 4) .

案例

三 .

对于

x个 = 三

和

年 = 4

，因为

α (三 ， 4) = 0

，不平等(9)持有。

因此，定理2的所有条件都满足，且T有一个不动点，

x个 = 1

.

在定理2中，如果我们假设

α (x个 ， 年) = 1

和

θ (x个 ， 年) = 1

然后我们推导出著名的奇irić的非唯一不动点定理[14]如下：

推论 1

[基里奇[14]]假设T型是轨道上连续的自映射T型-轨道完备标准度量空间

(X（X） ， d日)

。我们假设

k个 \in [0 ， 1)

这样的话

最小值 {d日 (T型 x个 ， T型 年) ， d日 (x个 ， T型 x个) ， d日 (年 ， T型 年)} - 最小值 {d日 (x个 ， T型 年) ， d日 (T型 x个 ， 年)} \leq k个 d日 (x个 ， 年)

为所有人

x个 ， 年 \in X（X） .

然后，对于每个

{x个}_{0} \in X（X）

，序列

{{T型}^{n个} {x个}_{0}}_{n个 \in N个}

收敛到T型.

定理三。

假设T是T轨道完备扩展bMS上的轨道连续自映射

(X（X） ， d日)

.我们假设存在

k个 \in [0 ， 1)

这样的话

α (x个 ， 年) Γ (x个 ， 年) \leq k个 {d日}_{θ} (x个 ， 年)

(16)

为所有人

x个 ， 年 \in X（X） ，

哪里

\begin{matrix} Γ (x个 ， 年) & = \frac{P（P） (x个 ， 年) - 问 (x个 ， 年)}{R（右） (x个 ， 年)} \\ P（P） (x个 ， 年) & = 最小值 {{d日}_{θ} (T型 x个 ， T型 年) {d日}_{θ} (x个 ， 年) ， {d日}_{θ} (x个 ， T型 x个) {d日}_{θ} (年 ， T型 年)} \\ 问 (x个 ， 年) & = 最小值 {{d日}_{θ} (x个 ， T型 x个) {d日}_{θ} (x个 ， T型 年) ， {d日}_{θ} (年 ， T型 年) {d日}_{θ} (T型 x个 ， 年)} \\ R（右） (x个 ， 年) & = 最小值 {{d日}_{θ} (x个 ， T型 x个) ， {d日}_{θ} (年 ， T型 年)} \end{matrix}

哪里

R（右） (x个 ， 年) \neq 0

此外，我们假设

(我): T是α-轨道容许的；
(ii（ii）): 存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
(三): $\underset{n个，米 \to \infty}{极限} θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{米}) < \frac{1}{k个} .$

然后，对于每个

{x个}_{0} \in X（X）

，序列

{{T型}^{n个} {x个}_{0}}_{n个 \in N个}

收敛到T的不动点。

证明。

作为第一步，我们构造一个迭代序列

{{x个}_{n个}}

如定理2的证明。为此，我们采用任意初始值

x个 \in X（X）

并定义以下递归：

{x个}_{0} : = x个 和 {x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1} 对于 全部的 n个 \in N个 .

(17)

我们还认为

{x个}_{n个} \neq {x个}_{n个 - 1} 对于 全部的 n个 \in N个 ，

(18)

如定理2的证明所述。

对于

x个 = {x个}_{n个 - 1}

和

年 = {x个}_{n个}

，不平等(16)变为（考虑引理（3））

Γ ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) Γ ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})

(19)

哪里

\begin{matrix} P（P） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 {{d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})} \\ = {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \\ 问 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个}) {d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})} = 0 \\ R（右） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})} = 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \\ Γ ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = \frac{P（P） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) - 问 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})}{R（右） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})} . \end{matrix}

我们得到了

\frac{{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})}{最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})}} \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) .

(20)

如果

R（右） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) = {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})

，然后是不平等(20)变成

{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) < {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})

(21)

这是一个收缩，因为

k个 \in [0 ， 1)

因此，我们推断

{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) .

(22)

应用方程式(22)我们反复发现

{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})) \leq {k个}^{2} {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 2} ， {x个}_{n个 - 1}) \leq \dots \leq {k个}^{n个} {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) .

(23)

证明的其余部分是对定理2证明中相关行的逐字重述。 ☐

定理 4

假设T是T轨道完备扩展bMS上的轨道连续自映射

(X（X） ， {d日}_{t吨} 小时 e（电子） t吨 一)

.我们假设存在

k个 \in [0 ， 1)

和

一 > 0

这样的话

α (x个 ， 年) P（P） (x个 ， 年) - 一 问 (x个 ， 年) \leq k个 R（右） (x个 ， 年)

(24)

为所有人

x个 ， 年 \in X（X） ，

哪里

\begin{matrix} P（P） (x个 ， 年) & = 最小值 {{d日}_{θ} (T型 x个 ， T型 年) ， {d日}_{θ} (x个 ， 年) ， {d日}_{θ} (x个 ， T型 x个) ， {d日}_{θ} (年 ， T型 年)} \\ 问 (x个 ， 年) & = 最小值 {{d日}_{θ} (x个 ， T型 年) ， {d日}_{θ} (T型 x个 ， 年)} \\ R（右） (x个 ， 年) & = 最小值 {{d日}_{θ} (x个 ， 年) ， {d日}_{θ} (x个 ， T型 x个)} \end{matrix}

具有

R（右） (x个 ， 年) \neq 0

。我们还假设

(我): T是α-轨道容许的；
(ii（ii）): 存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
(三): $\underset{n个，米 \to \infty}{极限} θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{米}) < \frac{1}{k个} .$

然后，对于每个

{x个}_{0} \in X（X）

，序列

{{T型}^{n个} {x个}_{0}}_{n个 \in N个}

收敛到T的不动点。

证明。

基本上，我们将使用定理2证明中使用的相同技术。我们构建了一个递归

{{x个}_{n个}}

，

{x个}_{0} : = x个 和 {x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1} 对于 全部的 n个 \in N个

(25)

对于任意初始值

x个 \in X（X）

关于定理2的证明中的讨论，我们假设

{x个}_{n个} \neq {x个}_{n个 - 1} 对于 全部的 n个 \in N个 .

(26)

对于

x个 = {x个}_{n个 - 1}

和

年 = {x个}_{n个}

，不平等(24)变为（考虑引理3）

\begin{matrix} P（P） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) - 一 问 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & \leq α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) P（P） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) - 一 问 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \\ \leq k个 R（右） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \end{matrix}

(27)

哪里

\begin{matrix} P（P） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 {{d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})} \\ = 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})} \\ 问 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})} = 0 \\ R（右） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最大值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1})} = {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) . \end{matrix}

因此，不平等(27)成为

\begin{matrix} 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})} & \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) . \end{matrix}

(28)

如果

最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})} = {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})

，那么不等式(28)变成

\begin{matrix} {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) < {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) ， \end{matrix}

(29)

收缩，因为

k个 \in [0 ， 1)

因此，我们得出结论：

\begin{matrix} {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) . \end{matrix}

(30)

递归地，我们推导出

\begin{matrix} {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})) \leq {k个}^{2} {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 2} ， {x个}_{n个 - 1})) \leq \dots \leq {k个}^{n个} {d日}_{θ} ({x个}_{0} ， {x个}_{1}) . \end{matrix}

(31)

通过遵循定理2的证明中的相关线路，我们完成了证明。 ☐

定理 5

假设T是T轨道完全扩展bMS上的轨道连续自映射

(X（X） ， d日)

。我们还假设存在

k个 \in [0 ， 1)

和

一 > 0

这样的话

\begin{matrix} α (x个 ， 年) 米 (x个 ， 年) - n个 (x个 ， 年) \leq k个 {d日}_{θ} (x个 ， T型 x个) {d日}_{θ} (年 ， T型 年) \end{matrix}

(32)

为所有人

x个 ， 年 \in X（X） ，

哪里

\begin{matrix} n个 (x个 ， 年) & = 最小值 {{[{d日}_{θ} (T型 x个 ， T型 年)]}^{2} ， {d日}_{θ} (x个 ， 年) {d日}_{θ} (T型 x个 ， T型 年) ， {[{d日}_{θ} (年 ， T型 年)]}^{2}} \\ 米 (x个 ， 年) & = 最小值 {{d日}_{θ} (x个 ， T型 x个) {d日}_{θ} (年 ， T型 年) ， {d日}_{θ} (x个 ， T型 年) {d日}_{θ} (T型 x个 ， 年)} . \end{matrix}

假设如下：

(我): T是α-轨道容许的；
(ii（ii）): 存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
(三): $\underset{n个，米 \to \infty}{极限} θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{米}) < \frac{1}{k个} .$

然后，对于每个

{x个}_{0} \in X（X）

，序列

{{T型}^{n个} {x个}_{0}}_{n个 \in N个}

收敛到T的不动点。

证明。

作为第一步，我们将构造一个递归序列

{{x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1}}_{n个 \in N个}

，对于任意初始值

{x个}_{0} : = x个 \in X（X）

，如定理2的证明。通过遵循定理2证明中的相同步骤，我们推导出序列的相邻项

{{x个}_{n个}}

应选择不同的，即，

{x个}_{n个} \neq {x个}_{n个 - 1} 对于 全部的 n个 \in N个 .

对于

x个 = {x个}_{n个 - 1}

和

年 = {x个}_{n个}

，使用

(我)

和引理（3）不等式(32)推断

\begin{matrix} 米 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) - n个 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) 米 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) - n个 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个}) ， \end{matrix}

(33)

哪里

\begin{matrix} 米 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 {{[{d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个})]}^{2} ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) {d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) ， {[{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})]}^{2}} \\ = 最小值 {{[{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})]}^{2} ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) ， {[{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})]}^{2}} \\ = 最小值 {{[{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})]}^{2} ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})} ， \\ n个 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) {d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})} \\ = 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个 + 1}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个})} = 0 . \end{matrix}

这个案子

米 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) = {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})

，不可能，因为在这种情况下不平等(33)成为

{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) < {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) ，

(34)

这是一个矛盾。因此，我们推导出

{[d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})]}^{2} \leq k个 (d日 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})) ，

(35)

这就产生了

d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) < k个 d日 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) .

（36）

通过迭代，我们得到了

d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 d日 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq {k个}^{2} d日 ({x个}_{n个 - 2} ， {x个}_{n个 - 1}) \leq \dots \leq {k个}^{n个} (d日 ({x个}_{0} ， {x个}_{1})) .

定理2中相关行的逐字重复完成了证明。 ☐

定理 6

假设T是T轨道完全扩展bMS上的轨道连续自映射

(X（X） ， {d日}_{θ})

.我们认为存在

k个 \in [0 ， 1)

和

一 \geq 0

这样的话

\begin{matrix} α (x个 ， 年) K（K） (x个 ， 年) - 一 问 (x个 ， 年) \leq k个 S公司 (x个 ， 年) ， \end{matrix}

(37)

对于所有不同的

x个 ， 年 \in X（X）

哪里

\begin{matrix} K（K） (x个 ， 年) & = 最小值 \{{d日}_{θ} (T型 x个 ， T型 年) ， {d日}_{θ} (年 ， T型 年)\} ， \\ 问 (x个 ， 年) & = 最小值 {{d日}_{θ} (x个 ， T型 年) ， {d日}_{θ} (年 ， T型 x个)} ， \\ S公司 (x个 ， 年) & = 最大值 {{d日}_{θ} (x个 ， 年) ， {d日}_{θ} (x个 ， T型 x个) ， {d日}_{θ} (年 ， T型 年)} . \end{matrix}

如果满足以下三个条件，

(我): T是α-轨道容许的；
(ii（ii）): 存在 ${x个}_{0} \in X（X）$ 这样的话 $α ({x个}_{0} ， T型 {x个}_{0}) \geq 1$ ;
(三): $\underset{n个，米 \to \infty}{极限} θ ({x个}_{n个} ， {x个}_{米}) < \frac{1}{k个} ，$

然后，对于每个

{x个}_{0} \in X（X）

，序列

{{T型}^{n个} {x个}_{0}}_{n个 \in N个}

收敛到T的不动点。

证明。

让

{x个}_{0} \in X（X）

.从这个任意初始值开始，我们构造迭代序列

{x个}_{n个} = T型 {x个}_{n个 - 1}_{n个 \in N个}

如定理2的证明中所讨论的，我们可以假设

{x个}_{n个} \neq {x个}_{n个 - 1} 对于 全部的 n个 \in N个 .

(38)

另一方面，来自

(我)

和引理3，我们有

α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \geq 1

，所以，为了

x个 = {x个}_{n个 - 1}

和

年 = {x个}_{n个}

，不平等(37)意味着

K（K） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) - 一 问 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq α ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) K（K） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) - 一 问 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) \leq k个 S公司 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个})

(39)

哪里

\begin{matrix} K（K） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 \{{d日}_{θ} (T型 {x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})\} = 最小值 \{{d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})\} = {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \\ 问 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最小值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个 - 1})} = 0 \\ S公司 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) & = 最大值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， T型 {x个}_{n个 - 1}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， T型 {x个}_{n个})} = 最大值 {{d日}_{θ} ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) ， {d日}_{θ} ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})} . \end{matrix}

显然，因为

k个 \in [0 ， 1)

，案例

S公司 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) = d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})

是不可能的。更确切地说，不平等(39)变成

K（K） ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) = d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) < d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1})

这是一个矛盾。因此，不平等(39)产生这样的结果

d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq k个 d日 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) < d日 ({x个}_{n个 - 1} ， {x个}_{n个}) 和 d日 ({x个}_{n个} ， {x个}_{n个 + 1}) \leq {k个}^{n个} d日 ({x个}_{0} ， {x个}_{1})

为所有人

n个 \in N个 .

定理2中相关行的逐字重述完成了证明。 ☐

3.结论

我们注意到，从不同方面的主要结果中可以观察到一些后果。例如，采取

θ (x个 ， 年) = 秒 \geq 1

表示在上下文中相应的不动点结果b条-公制空间。此外，当我们采用

θ (x个 ， 年) = 1

。还请注意，如中所示[15]，通过分配

α (x个 ， 年)

用适当的方法，我们可以在偏序空间和循环压缩的框架下得出结果。

作者贡献

所有作者在写这篇文章时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

致谢

第一和第三作者感谢沙特国王大学杰出科学家研究计划（DSFP）。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

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AMA风格

Alqahtani B、Fulga A、Karap nar E。非唯一不动点导致扩展B类-公制空间。数学. 2018; 6（5）：68。https://doi.org/10.3390/math6050068

芝加哥/图拉宾风格

Alqahtani、Badr、Andreea Fulga和Erdal Karapñnar。2018.“非唯一不动点导致扩展B类-公制间距“数学6号，第5号：68。https://doi.org/10.3390/math6050068

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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