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数学
第5卷
第2版
10.3390/每小时5020019
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背景：
第条

泛化b条-度量空间与几个不动点定理

通过
塔亚布·卡姆兰
1,2,*,
玛丽亚·萨姆林
1和
库拉特UL Ain
1
1
巴基斯坦伊斯兰堡Quaid-i-Azam大学数学系，邮编：45320
2
巴基斯坦伊斯兰堡44000 H-12国立科技大学自然科学学院数学系
*
应向其寄送信件的作者。
数学 2017,5(2), 19;https://doi.org/10.3390/math5020019
收到的提交文件：2016年11月17日/修订日期：2017年3月20日/接受日期：2017年3月20日/发布日期：2017年3月23日
（本文属于特刊不动点定理及其应用)
版本注释

摘要

:
在本文中，受b条-度量空间，我们引入了扩展的概念b条-公制空间。我们还建立了定义在此类空间上的自映射的一些不动点定理。我们的结果扩展/推广了文献中已有的许多结果。
关键词：
固定点;b条-公制

1.简介

关于b条-公制起源于布尔巴吉的作品[1]和巴赫金[2]. 捷克[三]给出了一个弱于三角不等式的公理，并正式定义了一个b条-度量空间的一个观点是推广Banach压缩映射定理。随后，费金等人[4]讨论了三角不等式中的某种松弛，并将这种新的距离度量称为非线性弹性匹配（NEM）。类似类型的放松三角不平等也用于贸易衡量[5]测量浮冰[6]. 所有这些应用程序都引起了我们的兴趣，并促使我们引入扩展的概念b条-公制空间。因此，在不同的应用方向上，对这种丰富空间所获得的结果变得更加可行。
定义 1
设X是非空集 秒 ≥ 1 是给定的实数。A函数 d日 : X（X） × X（X） → [ 0 , ∞ ) 称为b-metric（巴赫金[2]、Czrerwik[三])如果它满足以下每个属性 x个 , 年 , z（z） ∈ X（X） .
（b1）： 
d日 ( x个 , 年 ) = 0 ⇔ x个 = 年 ;
（b2）： 
d日 ( x个 , 年 ) = d日 ( 年 , x个 ) ;
（b3）： 
d日 ( x个 , z（z） ) ≤ 秒 [ d日 ( x个 , 年 ) + d日 ( 年 , z（z） ) ] .
这对 ( X（X） , d日 ) 称为b-度量空间。
例子 1
1.出租 X（X） : = 我 第页 ( R（右） ) 具有 0 < 第页 < 1 哪里 我 第页 ( R（右） ) : = { { x个 n个 } ⊂ R（右） : ∑ n个 = 1 ∞ | x个 n个 | 第页 < ∞ } .定义 d日 : X（X） × X（X） → R（右） + 作为：
d日 ( x个 , 年 ) = ( ∑ n个 = 1 ∞ | x个 n个 − 年 n个 | 第页 ) 1 / 第页
哪里 x个 = { x个 n个 } , 年 = { 年 n个 } .那么d是一个b-度量空间[7,8,9]带系数 秒 = 2 1 / 第页 .
2.出租 X（X） : = L（左） 第页 [ 0 , 1 ] 成为所有实函数的空间 x个 ( t吨 ) , t吨 ∈ [ 0 , 1 ] 这样的话 ∫ 0 1 | x个 ( t吨 ) | 第页 < ∞ 具有 0 < 第页 < 1 .定义 d日 : X（X） × X（X） → R（右） + 作为：
d日 ( x个 , 年 ) = ∫ 0 1 | x个 ( t吨 ) − 年 ( t吨 ) | 第页 d日 t吨 1 / 第页
那么d是b-度量空间[7,8,9]带系数 秒 = 2 1 / 第页 .
上述示例表明b条-度量空间比度量空间大。什么时候？ 秒 = 1 ，概念b条-度量空间与度量空间的概念是一致的。有关主题的详细信息，请参阅[7,8,9,10,11,12].
定义 2
让 ( X（X） , d日 ) 是一个b度量空间。A序列 { x个 n个 } X表示：
（一） 
柯西[12]当且仅当 d日 ( x个 n个 , x个 米 ) → 0 作为 n个 , 米 → ∞ ;
（二） 
收敛[12]当且仅当存在 x个 ∈ X（X） 这样的话 d日 ( x个 n个 , x个 ) → 0 作为 n个 → ∞ 我们写 林 n个 → ∞ x个 n个 = x个 ;
（三） 
b-度量空间 ( X（X） , d日 ) 已完成[12]如果每个Cauchy序列都收敛。
在下文中，我们回顾了巴拿赫收缩原理在b条-公制空间。
定理 1
让 ( X（X） , d日 ) 是一个具有常数的完备b-度量空间 秒 ≥ 1 ，使得b-metric是连续函数。让 T型 : X（X） → X（X） 是具有收缩常数的收缩 k ∈ [ 0 , 1 ) 这样的话 k 秒 < 1 . 那么T有一个唯一的不动点[13].

2.结果

在本节中，我们引入了一种新型的广义度量空间，我们称之为扩展度量空间b条-公制空间。我们还建立了由此度量空间产生的一些不动点定理。
定义 三。
设X为非空集 θ : X（X） × X（X） → [ 1 , ∞ ) . A函数 d日 θ : X（X） × X（X） → [ 0 , ∞ ) 称为扩展b-度量 x个 , 年 , z（z） ∈ X（X） 它满足：
  • ( d日 θ 1 ) d日 θ ( x个 , 年 ) = 0 若（iff） x个 = 年 ;
  • ( d日 θ 2 ) d日 θ ( x个 , 年 ) = d日 θ ( 年 , x个 ) ;
  • ( d日 θ 三 ) d日 θ ( x个 , z（z） ) ≤ θ ( x个 , z（z） ) [ d日 θ ( x个 , 年 ) + d日 θ ( 年 , z（z） ) ] .
这对 ( X（X） , d日 θ ) 称为扩展的b度量空间。
备注 1
如果 θ ( x个 , 年 ) = 秒 对于 秒 ≥ 1 然后我们得到了b-度量空间的定义。
例子 2
让 X（X） = { 1 , 2 , 三 } . 定义 θ : X（X） × X（X） → R（右） + 和 d日 θ : X（X） × X（X） → R（右） + 作为：
θ ( x个 , 年 ) = 1 + x个 + 年
d日 θ ( 1 , 1 ) = d日 θ ( 2 , 2 ) = d日 θ ( 三 , 三 ) = 0
d日 θ ( 1 , 2 ) = d日 θ ( 2 , 1 ) = 80 , d日 θ ( 1 , 三 ) = d日 θ ( 三 , 1 ) = 1000 , d日 θ ( 2 , 三 ) = d日 θ ( 三 , 2 ) = 600
证明。 
( d日 θ 1 ) 和 ( d日 θ 2 ) 微不足道的坚持。对于 ( d日 θ 三 ) 我们有：
d日 θ ( 1 , 2 ) = 80 , θ ( 1 , 2 ) d日 θ ( 1 , 三 ) + d日 θ ( 三 , 2 ) = 4 ( 1000 + 600 ) = 6400
d日 θ ( 1 , 三 ) = 1000 , θ ( 1 , 三 ) d日 θ ( 1 , 2 ) + d日 θ ( 2 , 三 ) = 5 ( 80 + 600 ) = 3400
类似的计算适用于 d日 θ ( 2 , 三 ) 因此 x个 , 年 , z（z） ∈ X（X）
d日 θ ( x个 , z（z） ) ≤ θ ( x个 , z（z） ) [ d日 θ ( x个 , 年 ) + d日 θ ( 年 , z（z） ) ]
因此 ( X（X） , d日 θ ) 是一个扩展b条-公制空间。 ☐
例子 三。
让 X（X） = C ( [ 一 , b条 ] , R（右） ) 是定义在上的所有连续实值函数的空间 [ 一 , b条 ] 注意，X是完全扩展的b-度量空间，通过考虑 d日 θ ( x个 , 年 ) = 啜饮 t吨 ∈ [ 一 , b条 ] | x个 ( t吨 ) − 年 ( t吨 ) | 2 ，使用 θ ( x个 , 年 ) = | x个 ( t吨 ) | + | 年 ( t吨 ) | + 2 ，其中 θ : X（X） × X（X） → [ 1 , ∞ ) .
收敛性、柯西序列和完备性的概念可以很容易地推广到b条-公制空间。
定义 4
让 ( X（X） , d日 θ ) 是一个扩展的b度量空间。
（i） 
A序列 { x个 n个 } 在X中表示收敛到 x个 ∈ X（X） ，如果每个 ¦Β > 0 存在 N个 = N个 ( ¦Β ) ∈ N个 这样的话 d日 θ ( x个 n个 , x个 ) < ¦Β , 为所有人 n个 ≥ N个 . 在这种情况下，我们写 林 n个 → ∞ x个 n个 = x个 .
（ii） 
A序列 { x个 n个 } 在X中被称为Cauchy，如果 ¦Β > 0 存在 N个 = N个 ( ¦Β ) ∈ N个 这样的话 d日 θ ( x个 米 , x个 n个 ) < ¦Β , 为所有人 米 , n个 ≥ N个 .
定义 5
扩展的b-度量空间 ( X（X） , d日 θ ) 如果X中的每个Cauchy序列都是收敛的，则是完全的。
请注意，一般情况下b条-度量不是连续函数，因此扩展的度量也是b条-公制。
例子 4
让 X（X） = N个 ⋃ ∞ 然后让 d日 : X（X） × X（X） → R（右） 由定义[14]:
d日 ( x个 , 年 ) = 0 我 （f） 米 = n个 | 1 米 − 1 n个 | 我 （f） 米 , n个 一 第页 e（电子） e（电子） v（v） e（电子） n个 o个 第页 米 n个 = ∞ 5 我 （f） 米 , n个 一 第页 e（电子） o个 d日 d日 一 n个 d日 米 ≠ n个 2 o个 t吨 小时 e（电子） 第页 w个 我 秒 e（电子）
然后 ( X（X） , d日 ) 是带有的b度量 秒 = 三 但它不是连续的。
引理 1
让 ( X（X） , d日 θ ) 是一个扩展的b度量空间。如果 d日 θ 是连续的，那么每个收敛序列都有唯一的极限。
我们的第一个定理类似于扩展的Banach收缩原理b条-公制空间。在本节中，对于映射 T型 : X（X） → X（X） 和 x个 0 ∈ X（X） , O（运行） ( x个 0 ) = { x个 0 , T型 2 x个 0 , T型 三 x个 0 , ⋯ } 表示的轨道 x个 0 .
定理 2
让 ( X（X） , d日 θ ) 是一个完全扩展的b度量空间，以便 d日 θ 是一个连续的函数。让 T型 : X（X） → X（X） 满足：
d日 θ ( T型 x个 , T型 年 ) ≤ k d日 θ ( x个 , 年 ) （f） o个 第页 一 我 我 x个 , 年 ∈ X（X）
哪里 k ∈ [ 0 , 1 ) 使每个人 x个 0 ∈ X（X） , 林 n个 , 米 → ∞ θ ( x个 n个 , x个 米 ) < 1 k ，在这里 x个 n个 = T型 n个 x个 0 , n个 = 1 , 2 , ⋯ 那么T正好有一个不动点ξ。此外，对于每个 年 ∈ X（X） , T型 n个 年 → ξ .
证明。 
我们选择任何 x个 0 ∈ X（X） 任意定义迭代序列 { x个 n个 } 签署人：
x个 0 , T型 x个 0 = x个 1 , x个 2 = T型 x个 1 = T型 ( T型 x个 0 ) = T型 2 ( x个 0 ) … , x个 n个 = T型 n个 x个 0 … .
然后依次应用不等式(1)我们获得：
d日 θ ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ≤ k n个 d日 θ ( x个 0 , x个 1 )
通过三角不等式和(2)，用于 米 > n个 我们有：
d日 θ ( x个 n个 , x个 米 ) ≤ θ ( x个 n个 , x个 米 ) k n个 d日 θ ( x个 0 , x个 1 ) + θ ( x个 n个 , x个 米 ) θ ( x个 n个 + 1 , x个 米 ) k n个 + 1 d日 θ ( x个 0 , x个 1 ) + ⋯ + θ ( x个 n个 , x个 米 ) θ ( x个 n个 + 1 , x个 米 ) θ ( x个 n个 + 2 , x个 米 ) . . . θ ( x个 米 − 2 , x个 米 ) θ ( x个 米 − 1 , x个 米 ) k 米 − 1 d日 θ ( x个 0 , x个 1 ) ≤ d日 θ ( x个 0 , x个 1 ) [ θ ( x个 1 , x个 米 ) θ ( x个 2 , x个 米 ) ⋯ θ ( x个 n个 − 1 , x个 米 ) θ ( x个 n个 , x个 米 ) k n个 + θ ( x个 1 , x个 米 ) θ ( x个 2 , x个 米 ) ⋯ θ ( x个 n个 , x个 米 ) θ ( x个 n个 + 1 , x个 米 ) k n个 + 1 + ⋯ + θ ( x个 1 , x个 米 ) θ ( x个 2 , x个 米 ) ⋯ θ ( x个 n个 , x个 米 ) θ ( x个 n个 + 1 , x个 米 ) . . . θ ( x个 米 − 2 , x个 米 ) θ ( x个 米 − 1 , x个 米 ) k 米 − 1 ]
自， 林 n个 , 米 → ∞ θ ( x个 n个 + 1 , x个 米 ) k < 1 因此该系列 ∑ n个 = 1 ∞ k n个 ∏ 我 = 1 n个 θ ( x个 我 , x个 米 ) 通过比率测试收敛 米 ∈ N个 .让：
S公司 = ∑ n个 = 1 ∞ k n个 ∏ 我 = 1 n个 θ ( x个 我 , x个 米 ) , S公司 n个 = ∑ j个 = 1 n个 k j个 ∏ 我 = 1 j个 θ ( x个 我 , x个 米 )
因此，对于 米 > n个 上述不等式意味着：
d日 θ ( x个 n个 , x个 米 ) ≤ d日 θ ( x个 0 , x个 1 ) S公司 米 − 1 − S公司 n个
出租 n个 → ∞ 我们的结论是 { x个 n个 } 是一个柯西序列。自X（X）完成出租 x个 n个 → ξ ∈ X（X） :
d日 θ ( T型 ξ , ξ ) ≤ θ ( T型 ξ , ξ ) [ d日 θ ( T型 ξ , x个 n个 ) + d日 θ ( x个 n个 , ξ ) ] ≤ θ ( T型 ξ , ξ ) [ k d日 θ ( ξ , x个 n个 − 1 ) + d日 θ ( x个 n个 , ξ ) ] d日 θ ( T型 ξ , ξ ) ≤ 0 一 秒 n个 → ∞ d日 θ ( T型 ξ , ξ ) = 0
因此 ξ 是的固定点T型此外，通过使用不等式可以很容易地调用唯一性(1)，自 k < 1 . ☐
在下文中，我们包括另一个类似于Hicks和Rhoades不动点定理的变体[15]. 我们需要以下定义。
定义 6
让 T型 : X（X） → X（X） 还有一些 x个 0 ∈ X（X） , O（运行） ( x个 0 ) = { x个 0 , （f） x个 0 , （f） 2 x个 0 , ⋯ } 是…的轨道 x个 0 从X到实数集的函数G称为T轨道下半连续 t吨 ∈ X（X） 如果 { x个 n个 } ⊂ O（运行） ( x个 0 ) 和 x个 n个 → t吨 暗示 G公司 ( t吨 ) ≤ 林 n个 → ∞ inf公司 G公司 ( x个 n个 ) .
定理 三。
让 ( X（X） , d日 θ ) 是一个完全扩展的b度量空间，以便 d日 θ 是一个连续的函数。让 T型 : X（X） → X（X） 并且存在 x个 0 ∈ X（X） 这样：
d日 θ ( T型 年 , T型 2 年 ) ≤ k d日 θ ( 年 , T型 年 ) （f） o个 第页 e（电子） 一 c（c） 小时 年 ∈ O（运行） ( x个 0 )
哪里 k ∈ [ 0 , 1 ) 这样做是为了 x个 0 ∈ X（X） , 林 n个 , 米 → ∞ θ ( x个 n个 , x个 米 ) < 1 k ，在这里 x个 n个 = T型 n个 x个 0 , n个 = 1 , 2 , ⋯ 。那么 T型 n个 x个 0 → ξ ∈ X（X） ( 一 秒 n个 → ∞ ) 此外，ξ是T的不动点当且仅当 G公司 ( x个 ) = d日 ( x个 , T型 x个 ) 在ξ处为T轨道下半连续。
证明。 
对于 x个 0 ∈ X（X） 我们定义了迭代序列 { x个 n个 } 签署人：
x个 0 , T型 x个 0 = x个 1 , x个 2 = T型 x个 1 = T型 ( T型 x个 0 ) = T型 2 ( x个 0 ) … , x个 n个 = T型 n个 x个 0 … .
现在为 年 = T型 x个 0 通过连续应用不等式(三)我们获得：
d日 θ ( T型 n个 x个 0 , T型 n个 + 1 x个 0 ) = d日 θ ( x个 n个 , x个 n个 + 1 ) ≤ k n个 d日 θ ( x个 0 , x个 1 )
按照与定理2的证明相同的程序，我们得出如下结论： { x个 n个 } 是一个柯西序列。自X（X）那么就完成了 x个 n个 = T型 n个 x个 0 → ξ ∈ X（X） .假设G公司轨道下部半连续 ξ ∈ X（X） ，然后：
d日 θ ( ξ , T型 ξ ) ≤ 有限元基础设施 n个 → ∞ d日 θ ( T型 n个 x个 0 , T型 n个 + 1 x个 0 )
≤ lim信息 n个 → ∞ k n个 d日 θ ( x个 0 , x个 1 ) = 0
相反，让 ξ = T型 ξ 和 x个 n个 ∈ O（运行） ( x个 ) 具有 x个 n个 → ξ 。然后：
G公司 ( ξ ) = d日 ( ξ , T型 ξ ) = 0 ≤ lim信息 n个 → ∞ G公司 ( x个 n个 ) = d日 ( T型 n个 x个 0 , T型 n个 + 1 x个 0 )
 ☐
备注 2
什么时候？ θ ( x个 , 年 ) = 1 一个常数函数，然后定理3简化为Hicks和Rhoades的主要结果([15]（定理1））。因此，定理3扩展/推广了([15]（定理1））。
例子 5
让 X（X） = [ 0 , ∞ ) . 定义 d日 θ ( x个 , 年 ) : X（X） × X（X） → R（右） + 和 θ : X（X） × X（X） → [ 1 , ∞ ) 作为：
d日 θ ( x个 , 年 ) = ( x个 − 年 ) 2 , θ ( x个 , 年 ) = x个 + 年 + 2
然后 d日 θ 是X上的完整扩展b-度量定义 T型 : X（X） → X（X） 通过 T型 x个 = x个 2 . 我们有：
d日 θ ( T型 x个 , T型 年 ) = x个 2 − 年 2 2 ≤ 1 三 ( x个 − 年 ) 2 = k d日 θ ( x个 , 年 )
请注意，对于每个 x个 ∈ X（X） , T型 n个 x个 = x个 2 n个 . 因此，我们得到：
林 米 , n个 → ∞ θ ( T型 米 x个 , T型 n个 x个 ) = 林 米 , n个 → ∞ x个 2 米 + x个 2 n个 + 2 < 三
因此，定理3的所有条件都满足，因此T具有唯一的不动点。
例子 6
让 X（X） = [ 0 , 1 4 ] . 定义 d日 θ ( x个 , 年 ) : X（X） × X（X） → R（右） + 和 θ : X（X） × X（X） → [ 1 , ∞ ) 作为：
d日 θ ( x个 , 年 ) = ( x个 − 年 ) 2 , θ ( x个 , 年 ) = x个 + 年 + 2
然后 d日 θ 是X上的完整扩展b-度量定义 T型 : X（X） → X（X） 通过 T型 x个 = x个 2 . 我们有：
d日 θ ( T型 x个 , T型 年 ) ≤ 1 4 d日 θ ( x个 , 年 )
请注意，对于每个 x个 ∈ X（X） , T型 n个 x个 = x个 2 n个 . 因此，我们得到：
林 米 , n个 → ∞ θ ( T型 米 x个 , T型 n个 x个 ) < 4
因此，定理3的所有条件都满足，因此T具有唯一的不动点。

3.应用

在这一节中，我们给出了Fredholm积分方程的存在性定理。让 X（X） = C ( [ 一 , b条 ] , R（右） ) 是定义在上的所有连续实值函数的空间 [ 一 , b条 ] 。请注意X（X）完全扩展b条-度量空间 d日 θ ( x个 , 年 ) = 啜饮 t吨 ∈ [ 一 , b条 ] | x个 ( t吨 ) − 年 ( t吨 ) | 2 ，使用 θ ( x个 , 年 ) = | x个 ( t吨 ) | + | 年 ( t吨 ) | + 2 ，其中 θ : X（X） × X（X） → [ 1 , ∞ ) 考虑Fredholm积分方程为：
x个 ( t吨 ) = ∫ 一 b条 M（M） ( t吨 , 秒 , x个 ( 秒 ) ) d日 秒 + 克 ( t吨 ) , t吨 , 秒 ∈ [ 一 , b条 ]
哪里 克 : [ 一 , b条 ] → R（右） 和 M（M） : [ 一 , b条 ] × [ 一 , b条 ] × R（右） → R（右） 是连续函数。让 T型 : X（X） → X（X） 操作员由以下人员给出：
T型 x个 ( t吨 ) = ∫ 一 b条 M（M） ( t吨 , 秒 , x个 ( 秒 ) ) d日 秒 + 克 ( t吨 ) 对于 t吨 , 秒 ∈ [ 一 , b条 ]
其中，函数 克 : [ 一 , b条 ] → R（右） 和 M（M） : [ 一 , b条 ] × [ 一 , b条 ] × R（右） → R（右） 是连续的。此外，假设以下条件成立：
| M（M） ( t吨 , 秒 , x个 ( 秒 ) ) − M（M） ( t吨 , 秒 , T型 x个 ( 秒 ) ) | ≤ 1 2 | x个 ( 秒 ) − T型 x个 ( 秒 ) | 对于 每个 t吨 , 秒 ∈ [ 一 , b条 ] 和 x个 ∈ X（X）
那么积分方程(8)有解决方案。
我们必须向操作员证明T型满足定理3的所有条件。对于任何 x个 ∈ X（X） 我们有：
| T型 x个 ( t吨 ) − T型 ( T型 x个 ( t吨 ) ) | 2 ≤ ∫ 一 b条 | M（M） ( t吨 , 秒 , x个 ( 秒 ) ) − M（M） ( t吨 , 秒 , T型 x个 ( 秒 ) ) | d日 秒 2 ≤ 1 4 d日 θ ( x个 , T型 x个 )
定理3的所有条件都遵循假设。因此，操作员T型有一个不动点，即Fredholm积分方程(8)有解决方案。

作者贡献

所有作者对正文贡献均等。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

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请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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