Fractional Euler-Lagrange Equations Applied to  Oscillatory Systems

David, Sergio Adriani; Valentim, Carlos Alberto

doi:10.3390/math3020258

开放式访问第条

分数阶欧拉-拉格朗日方程在振动系统中的应用

通过

塞尔吉奥·阿德里亚尼·戴维

^*

和

卡洛斯·阿尔贝托·瓦伦蒂姆。

圣保罗大学。Duque de Caxias Norte，225-13635-900，Pirassununga-SP，巴西

^*

应向其寄送信件的作者。

数学 2015，三(2), 258-272;https://doi.org/10.3390/math3020258

收到的提交文件：2015年3月4日/接受日期：2015年4月15日/发布日期：2015年4月20日

（本文属于特刊分数阶微积分及其应用的最新进展)

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版本说明

摘要

:

本文应用Riemann-Liouville方法和分数阶Euler-Lagrange方程，得到了分数阶非线性动力学方程，该方程涉及两个经典的物理应用：“单摆”和“弹簧-质量-阻尼系统”对整数阶微积分和分数阶微积分的应用方法。进行了数值模拟，给出了时间历程和伪相位图。这两个系统，一个已经具有阻尼特性（弹簧-质量-阻尼器），另一个不具有任何阻尼特性（单摆），都显示出迹象，表明其各自振幅的衰减能力可能更好。这意味着，如果可以方便地选择导数的阶数，那么需要更大阻尼或振动吸收器强度的系统可能会受益于在动力学中使用分数阶，并且可能会控制上述系统。因此，我们相信本文中描述的结果可能会为这些系统的复杂行为提供更深入的见解，并因此在这一方向上激发更多的研究努力。

关键词：

分数阶微积分;振荡系统;动态系统;建模;模拟

1.简介

分数阶微积分（FOC）理论可以追溯到微分学理论的诞生，但其固有的复杂性推迟了其相关概念的应用。事实上，分数微积分是经典数学的自然延伸。也许，这种落后是由于FOC固有的复杂性以及目前对其物理和几何解释缺乏意义。分数阶微积分和分数阶微分方程的基本方面可以在[1，2，三，4，5]. 值得一提的是，FOC可以依靠额外的自由度，因为导数的顺序可以任意更改以匹配特定的行为。这一优点可以使FOC仅使用几个系数来表示具有高阶动力学和复杂非线性现象的系统。事实上，许多数学家对分数微积分的历史作出了贡献[6]每个研究人员都使用不同的方法和解决方案。以下是对涉及FOC不同定义的有用公式的调查[7，8]. 应用FOC推导非保守系统的拉格朗日力学[9]. 分数哈密尔顿方程和分数欧拉-拉格朗日方程在[10]. 使用分数微积分分析速度中的线性拉格朗日方程，并通过以下公式导出欧拉-拉格朗奇方程[11]. 在这里，作者研究了两个例子，得到了欧拉-拉格朗日方程的显式解，并讨论了经典结果的恢复。在[12]，作者从一个特殊的最小作用原理推导出Stanilavsky的分数哈密顿系统，据说是因果的，在这种情况下，分数嵌入变得相干。本文受分数阶Euler-Lagrange方程最新发展的推动，我们模拟了两个经典物理应用，并给出了数值模拟结果，以提供整数和分数阶动力学行为之间的可能比较。本文分为四个部分。在第2节，我们展示了使用分数欧拉-拉格朗日方程的方法，两个物理示例的分析建模以及数值模拟中使用的条件和参数。在第3节，我们给出了一些数值模拟结果，并在最后一节中给出了讨论和结论。

2.方法

2.1. 分数欧拉-拉格朗日方程

在本文中，我们考虑了Riemann-Liouville方法，并在形式中使用了一个作用函数[9，13，14]:

S公司 = \frac{1}{Γ (α)} \int_{一}^{b条} L（左） (t吨 ， {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} q个 ， {}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} q个) {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1} d日 τ

(1)

其中0≤β≤1，0<γ<1，0≤α≤1。如果ε表示函数S的变化，则

Δ_{ε} S公司 = \int_{一}^{b条} L（左） (q个 + ε δ q个 ， {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} q个 + ε {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} δ q个 ， {}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} q个 + ε {}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} δ q个) {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1} d日 τ

(2)

公式（2）可以重写[14]作为

Δ_{ε} S公司 = \int_{一}^{b条} (\frac{\partial L（左）}{\partial q个} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1} + \frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} q个)} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1} {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} δ q个 + \frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} q个)} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1} {}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} δ q个) \times ε d日 τ + 0 (ε^{2})

(3)

或者，

Δ_{ε} S公司 = \int_{一}^{b条} (\frac{\partial L（左）}{\partial q个} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1} + {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} [\frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} q个)} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}] + {}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} [\frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} q个)} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}]) \times δ q个 ε d日 τ + 0 (ε^{2})

(4)

因此，欧拉-拉格朗日方程用分数导数表示，如下所示

\frac{\partial L（左）}{\partial q个} 负极 \frac{1}{{(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}} [{}_{t吨}{D类}_{b条}^{β} (\frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} q个)} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}) + {}_{一}{D类}_{t吨}^{γ} (\frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} q个)} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1})] = 0

(5)

对于β=γ=1，假设拉格朗日函数仅取决于

{}_{一}{D类}_{t吨}^{β} q个

或打开

{}_{t吨}{D类}_{b条}^{γ} q个

，得到以下结果：

\frac{d日}{d日 t吨} (\frac{\partial L（左）}{\partial \dot{q个}}) 负极 \frac{\partial L（左）}{\partial q个} + \frac{(α 负极 1)}{(t吨 负极 τ)} \frac{\partial L（左）}{\partial \dot{q个}} = 0

(6)

2.2。应用程序

上述分数欧拉-拉格朗日方程用作工具，通过建模和仿真研究以下应用：单摆和弹簧-阻尼系统。

2.2.1. 简单的摆模型

我们考虑了一个简单的摆，其“经典”和已知的拉格朗日可以写成：

L（左） = \frac{1}{2} 米 我^{2} {\dot{θ}}^{2} + \frac{1}{2} 米 我 \dot{θ} + 米 克 我 余弦 θ

(7)

在这个系统中，“L”是拉格朗日函数，“m”是摆的质量，“L”代表导线的长度，最后，θ是角度。将欧拉-拉格朗日方程应用于该拉格朗基方程也提供了该方程，也称为运动方程

米 我^{2} \ddot{θ} + 米 克 我 秒 e（电子） n个 θ = 0

(8)

应用方程式（7）和方程式（6）中的拉格朗日函数，并知道q↔ θ、可以注意到

\frac{\partial L（左）}{\partial θ} = 负极 米 克 我 秒 e（电子） n个 θ; \frac{\partial L（左）}{\partial \dot{θ}} = 米 我^{2} \dot{θ} + \frac{1}{2} 米 我; \frac{d日}{d日 t吨} (\frac{\partial L（左）}{\partial \dot{θ}}) = 米 我^{2} \ddot{θ}

(9)

因此，从等式（6）可以得出

米 我^{2} \ddot{θ} + 米 克 我 秒 e（电子） n个 θ + \frac{(α 负极 1)}{(t吨 负极 τ)} [米 我^{2} \dot{θ} + \frac{1}{2} 米 我] = 0

(10)

同样可以观察到，为了进行类比和假设拉格朗日函数只依赖于

{}_{一}{D类}_{t吨}^{β} q个

，我们可以写：

L（左） = \frac{1}{2} 米 我^{2} {({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ)}^{2} + \frac{1}{2} 米 我 {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ + 米 克 我 余弦 θ

(11)

因此，在这种情况下，分数欧拉-拉格朗日方程将是

\frac{\partial L（左）}{\partial θ} 负极 \frac{1}{{(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}} [{}_{t吨}{D类}_{b条}^{β} (\frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ)} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1})] = 0

(12)

使用

\frac{\partial L（左）}{\partial θ} = 负极 米 克 我 秒 e（电子） n个 θ

(13)

\frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ)} = \frac{\partial}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ)} {\frac{1}{2} 米 我^{2} {({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ)}^{2} + \frac{1}{2} 米 我 {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ + 米 克 我 余弦 θ} = 米 我^{2} {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ + \frac{1}{2} 米 我

(14)

因此，自由系统的分数方程变为：

\frac{1}{{(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}} [{}_{b条}{D类}_{t吨}^{β} ((米 我^{2} {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ + \frac{1}{2} 米 我) {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1})] + 米 克 我 罪 θ = 0

(15)

众所周知，对于IOC的情况，在外力激励的系统中，等式（15）的右侧不为零。我们可以对FOC应用相同的情况。因此，如果我们将Q1视为可能影响该系统的外力（式（15）中为零），我们还可以写下：

\frac{1}{{(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}} [{}_{b条}{D类}_{t吨}^{β} ((米 我^{2} {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} θ + \frac{1}{2} 米 我) {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1})] + 米 克 我 罪 θ = 问 1

(16)

值得强调的是，如果β=1（整数阶），可以很容易地验证公式（15）被简化为公式（10）。此外，在方程式（10）中，如果α=1（整数阶），如预期，我们得到了运动方程，式（8）。

2.2.2. 弹簧-质量-减振器系统-建模

现在，我们考虑一个耗散系统，关于质量（用“m”表示）、弹簧（刚度常数“k”）和阻尼器（阻尼常数“c”）。“经典”和已知的拉格朗日公式如下所示

L（左） = \frac{1}{2} 米 {\dot{x}}^{2} 负极 \frac{1}{2} k个 x^{2}

(17)

欧拉-拉格朗日方程在非保守系统中的应用

\frac{d日}{d日 t吨} (\frac{\partial L（左）}{\partial {\dot{q个}}_{我}}) 负极 \frac{\partial L（左）}{\partial {q个}_{我}} = 问_{我}

(18)

在哪里？

问_{我}

表示耗散力，可得出以下结果：

\frac{\partial L（左）}{\partial x} = 负极 k个 x; \frac{\partial L（左）}{\partial \dot{x}} = 米 \dot{x}; \frac{d日}{d日 t吨} (\frac{\partial L（左）}{\partial \dot{x}}) = 米 \ddot{x}

（19）

以便，

\frac{d日}{d日 t吨} (\frac{\partial L（左）}{\partial \dot{x}}) 负极 \frac{\partial L（左）}{\partial x} = 问_{我}

(20)

将提供已知的运动方程

米 \ddot{x} + c（c） \dot{x} + k个 x = 问 1

(21)

其中Q1是耗散力。

使用拉格朗日函数

L（左） = \frac{1}{2} 米 {\dot{x}}^{2} 负极 \frac{1}{2} k个 x^{2}

式（6）和（18）中，因此q↔ x可以获得：

米 \ddot{x} + c（c） \dot{x} + 米 \frac{(α 负极 1)}{(t吨 负极 τ)} \dot{x} + k个 x = 问_{1}

(22)

应用仅取决于

{}_{一}{D类}_{t吨}^{β} q个

，写为

L（左） = \frac{1}{2} 米 {({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x)}^{2} 负极 \frac{1}{2} k个 x^{2}

(23)

分数欧拉-拉格朗日方程为：

\frac{\partial L（左）}{\partial x} 负极 \frac{1}{{(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}} [{}_{t吨}{D类}_{b条}^{β} (\frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x)} {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1})] = 问 1

(24)

现在

\frac{\partial L（左）}{\partial x} = 负极 k个 x

(25)

从而，

\frac{\partial L（左）}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x)} = \frac{\partial}{\partial ({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x)} {\frac{1}{2} 米 {({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x)}^{2} 负极 \frac{1}{2} k个 x^{2}} = 米 {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x

(26)

由此，分数方程变为：

负极 k个 x 负极 \frac{1}{{(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}} [{}_{t吨}{D类}_{b条}^{β} ((米 {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x) {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1})] = c（c） {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x

(27)

或者，

\frac{1}{{(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1}} [{}_{t吨}{D类}_{b条}^{β} (({}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x) {(t吨 负极 τ)}^{α 负极 1})] + c（c） {}_{一}{D类}_{t吨}^{β} x + k个 x = 问 1

(28)

同样，如果β=1（整数阶），可以很容易地验证公式（26）是否简化为公式（22），在公式（22α=1（整数阶），如预期，我们得到了已知的整数运动方程Eq。(21).

2.3. 模拟条件和参数

对上述方程进行了数值模拟，目的是研究它们的动力学行为，并将分数阶系统和整数阶系统的结果进行比较。这些方程通过Matlab Simulink进行了模拟^®所有情况下使用的求解器（求解方法/算法）为“ode113（Adams）”。表1举例说明了模拟的三种不同情况，这三种情况涉及作用在系统中的外力的存在和不存在。

表1。模拟案例。

**表1。**模拟案例。
	简单摆	弹簧质量减振器系统
案例	外力	外力
案例A	Q1=0	Q1=0
案例B	Q1=A cos（wt）	Q1=A cos（wt）
案例C	Q1=A cos（wt）l₁sin（θ）	Q1=脉冲函数

另一方面，表2描述了仿真中使用的参数和系数的预先设定值。

表2。所有三种情况的模拟参数。

**表2。**所有三种情况的模拟参数。
简单摆		弹簧-总减振器系统
质量	米=1公斤	质量	米=1公斤
重力加速度	克=9.81m/s²	重力加速度	克=9.81m/s²
字符串的长度	我₁=1米	刚度和阻尼常数	k=5；c=0.1
系数tau	τ=1	系数tau	τ=1
系数α（带有β=α)	τ= 1;α= 0.4;α= 0.6;α= 0.9;α=1.0；α= 1.1;α= 1.2	系数α（带有β=α)	τ= 1;α=0.4；α= 0.6;α= 0.9;α= 1.0;α= 1.1;α= 1.2

3.仿真结果

3.1. 关于单摆的结果

方程式（16）关于单摆的数值模拟结果如下所示，具有不同的值α和β(α=β)，根据表2以及从案例A到案例C（上述表1). 每种情况的第一张图比较α小于或等于1.0时获得的曲线，第二张图比较了α大于或等于1.0的曲线。

案例A:: 图1。时间历程（值α≤ 1).

图1。时间历程（值α≤ 1).

图2。时间历程（值α≥ 1).

图2。时间历程（值α≥ 1).
案例B:: 图3。时间历程（值α≤ 1).

图3。时间历程（值α≤ 1).

图4。时间历程（值α≥ 1).

图4。时间历程（值α≥1）。
案例C:: 图5。时间历史（值α≤ 1).

图5。时间历程（值α≤ 1).

图6。时间历程（值α≥ 1).

图6。时间历程（值α≥ 1).

除了包含对单摆的所有三种情况的角位置模拟的图表外，它还显示在图7，图8和图9案例B的假相位图，α值不同。

图7。伪相位肖像（案例Bα= 0.9).

图8。伪相位肖像（案例Bα=1.0）。

图8。伪相位肖像（案例Bα= 1.0).

图9。伪相位肖像（案例Bα= 1.1).

3.2. 关于弹簧-质量-阻尼系统的结果

关于弹簧-质量-阻尼器系统的方程（28）的数值模拟结果如下所示，具有不同的值α和β(α=β)，根据表2以及从案例A到案例C（上述表1). 同样，每种情况的第一张图比较α小于或等于1.0时获得的曲线，第二张图比较了α大于或等于1.0的曲线。

案例A:: 图10。时间历程（值α≤ 1).

图10。时间历程（值α≤ 1).

图11。时间历程（值α≥ 1).

图11。时间历程（值α≥ 1).
案例B:: 图12。时间历程（值α≤ 1).

图12。时间历程（值α≤ 1).

图13。时间历程（值α≥ 1).

图13。时间历程（值α≥1）。
案例C:: 图14。时间历程（值α≤ 1).

图14。时间历程（值α≤ 1).

图15。时间历程（α值≥1）。

图15。时间历程（α值≥1）。

除了包含弹簧-质量-阻尼器系统所有三种情况下角位置模拟的图表外图16，图17和图18案例B的伪相位图，具有不同的值α.

图16。伪相位肖像（案例Bα= 0.9).

图17。伪相位肖像（案例Bα= 1.0).

图18。伪相位肖像（案例Bα= 1.1).

4.讨论和结论

所获得的结果表明，在代表所研究系统动力学的微分方程中使用分数阶所产生的影响具有奇怪和启发性的方面。

值得注意的是，在第一种情况下（单摆），首先，问题涉及一个没有阻尼的自由振荡系统（振动）。当模拟其运动方程时，考虑到涉及任意阶（整数或分数阶）导数的动力学的一般形式，结果如下图1，图2，图3，图4，图5，图6，图7，图8和图9简要说明：（a）对于α=1（整数阶），系统显示预期行为，即由于没有阻尼而保持振幅的振荡。（b）对于的值α>1，系统失去了其振荡特性，其振幅似乎增长非常快且不确定，如所示图2，图4、和图6（c）但是，对于α< 1,图1，图3和图5这意味着系统获得了一个“阻尼能力”，它与α值间接成正比。例如，α值越小，“阻尼能力”越大。因此，没有阻尼的系统将显示“阻尼不足”的特性(α=0.9）至“超阻尼”(α=0.4）。

另一方面，观察第二种情况（弹簧阻尼系统），可以注意到：（a）α=1，任意阶（整数或分数）的动态运动方程，表示为图10，图11，图12，图13，图14和图15，再次呈现了整数阶系统的预期行为。图10，图12和图14对于以下值，系统中也显示更大的“阻尼能力”α<1——与第一个案例中的情况相同。注意到在这种情况下图11，图13和图15，其中包括α<1，不仅似乎大幅降低了振荡（振动）的振幅，而且可能出现非线性现象的迹象，这可能是未来研究的目标。从模拟结果中收集到的另一个特殊性是，在某些情况下，系统行为中存在某些不稳定性(图7，图9，图16和图18)甚至表明在某些条件下可能发生混乱。在未来的工作中，我们希望使用基于Wolf算法的最大Lyapunov指数（LLE）来研究这些分数阶动力系统中的混沌现象。

本文中，除了这里使用的方法不同外，我们可以得出结论，α的减小值可以更好或更大地衰减振荡的振幅。

我们认为，在这项工作中发现的主要结果包括观察到，当α值降低时，系统的响应从欠阻尼行为演变为过阻尼行为，即。，系统的“阻尼能力”增加。这些结论是对这项工作的新贡献。

这意味着，如果可以方便地选择导数的阶数α，那么需要更大阻尼或振动吸收器强度的模型可能会受益于在动力学中以及可能在控制上述系统中使用分数阶。预计本文中描述的结果可能会为这些系统的复杂行为提供进一步的见解，从而激发在这方面的更多研究努力。

致谢

该项目得到了圣保罗研究基金会（FAPESP）和圣保罗大学院长办公室（USP）的研究金的支持。

作者贡献

所有作者的贡献都是平等的。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

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