On Statistical and Semi-Weyl Manifolds Admitting Torsion

Blaga, Adara M.; Nannicini, Antonella

doi:10.3390/math10060990

开放式访问第条

关于允许扭转的统计流形和半周流形

通过

阿达拉·布拉加

^1,*,†

和

南尼西尼安东内拉

^2,†

¹

罗马尼亚蒂米什瓦拉西部大学数学与计算机科学学院数学系，邮编：300223

²

意大利佛罗伦萨大学数学与信息学系“U.Dini”，Viale Morgagni，67/a，50134 Firenze

^*

信件应寄给的作者。

^†

这些作者为这项工作做出了同等贡献。

数学 2022,10(6), 990;https://doi.org/10.3390/math10060990

收到的提交文件：2022年2月20日/修订日期：2022年3月15日/接受日期：2022年3月17日/发布日期：2022年3月19日

（本文属于特刊流形几何及其应用)

下载版本注释

摘要

:

我们引入了拟semi-Weyl结构的概念，给出了利用伪黎曼度量、仿射连接和光滑流形上的张量场构造拟统计和拟semi-Weyl构造的几种方法，并将这些结构相互联系起来。

关键词：

统计结构;准统计结构;半Weyl结构;准semi-Weyl结构;二重的;半双连接

MSC公司：

53C15；53C05；53立方38

1.简介

统计结构，由Lauritzen于年介绍[1]，是对

(克, \nabla)

伪黎曼度量克和无扭转仿射连接件

\nabla 克

是完全对称的。为了描述量子态空间上的几何结构，Kurose首先考虑了允许扭转的统计流形（或准统计流形）[2]. 这些自然出现在仿射分布的几何中，可以被视为统计流形的量子版本。在[三]，Norden使用广义对偶连接的概念来研究Weyl几何；因此，统计流形（以及Weyl流形）的另一个推广是半Weyl流[4]出现在仿射微分几何中。非退化仿射浸没提供了一个自然示例[5]. 此外，如果非退化浸入也是等仿射的，则会产生统计流形[5]. 值得一提的是，Weyl引入了Weyl流形的概念[6]为了统一引力定律和电磁学定律，他没有成功，但在数学中，Weyl流形作为保角几何中的一类重要流形进行了研究。

本文引入了拟semi-Weyl结构的概念，给出了利用伪黎曼度量、仿射连接和张量场在光滑流形上构造拟统计和拟semi-Weyl构造的几种方法，并将这些结构相互联系起来。这项研究补充了陶和张的观点，他们在[7]保持共轭连接的Codazzi耦合的变换，以及统计结构。

2.统计和准统计结构-双重联系

让M（M）做一个光滑的流形，让克是上的伪黎曼度量M（M）在本文中，我们将表示M（M）通过

T型 M（M）

，其余切束由

{T型}^{*} M（M）

以及

T型 M（M）

（分别为，共

{T型}^{*} M（M）

)由

Γ^{\infty} (T型 M（M）)

（分别由

Γ^{\infty} ({T型}^{*} M（M）)

).

对于上的仿射连接M（M），其扭转张量

{T型}^{\nabla}

及其曲率张量

{R（右）}^{\nabla}

定义如下：

{T型}^{\nabla} (X, Y（Y）) : = \nabla_{X} Y（Y） - \nabla_{Y（Y）} X - [X, Y（Y）],

{R（右）}^{\nabla} (X, Y（Y）) : = \nabla_{X} \nabla_{Y（Y）} - \nabla_{Y（Y）} \nabla_{X} - \nabla_{[X, Y（Y）]},

对于

X, Y（Y） \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，其中

[\cdot, \cdot]

是Lie括号。因此，仿射连接称为无扭转如果它的扭转张量为零并且平的如果它的曲率张量为零。

我们将回顾统计、准统计结构和对偶连接的概念。

定义 1

([8]). 让

(M（M）, 克)

是伪黎曼流形，让∇是M上的无扭转仿射连接。然后，

(克, \nabla)

称为统计结构在M上（和

(M（M）, 克, \nabla)

一统计流形)如果满足以下方程：

(\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) = (\nabla_{Y（Y）} 克) (X, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

备注 1

请注意

(M（M）, 克, \nabla)

是统计流形当且仅当

\nabla 克

是完全对称的。

伪黎曼度量提供了统计结构的一个简单示例克带有Levi–Civita连接

\nabla^{克}

.

在本文的其余部分中，我们将表示为

\nabla^{克}

伪黎曼度量的Levi–Civita联系克.

2007年，Kurose引入了统计流形承认扭转的概念。

定义 2

([2]). 让

(M（M）, 克)

是伪黎曼流形，让∇是M上带扭转张量的仿射连接

{T型}^{\nabla}

.然后，

(克, \nabla)

称为准统计结构关于M（和

(M（M）, 克, \nabla)

一准统计流形或允许扭转的统计流形)如果

{d日}^{\nabla} 克 = 0

，其中

({d日}^{\nabla} 克) (X, Y（Y）, Z轴) : = (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) - (\nabla_{Y（Y）} 克) (X, Z轴) + 克 ({T型}^{\nabla} (X, Y（Y）), Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

对偶连接的概念是由阿玛里首先提出的，他用它来处理统计推断问题。

定义三

([1,8]). 让

(M（M）, 克)

是伪黎曼流形。两个仿射连接∇和

\nabla^{*}

在M上被认为是双重连接关于g，如果满足以下方程：

X (克 (Y（Y）, Z轴)) = 克 (\nabla_{X} Y（Y）, Z轴) + 克 (Y（Y）, \nabla_{X}^{*} Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，我们打电话给

(克, \nabla, \nabla^{*})

一二元结构。

我们注意到，从克，因此

{(\nabla^{*})}^{*} = \nabla

.

备注 2

请注意

\nabla = \nabla^{*}

当且仅当∇是公制连接，即，

\nabla 克 = 0

此外，如果∇没有扭转，那么，

\nabla = \nabla^{*}

当且仅当∇是g的Levi–Civita连接。

对于任何向量场X和任何1形式

η

，我们将进一步表示为

X^{♭}

和

η^{♯}

他们通过音乐同构的形象♭ 和♯, 也就是说，

X^{♭} (Y（Y）) : = 克 (X, Y（Y）)

和

克 (η^{♯}, Y（Y）) : = η (Y（Y）)

，对于任何向量场Y（Y）.

直接计算提供了以下内容。

引理 1

如果∇是上的仿射连接

(M（M）, 克)

然后，双连接

\nabla^{*}

属于∇关于g的计算公式如下：

\nabla_{X}^{*} Y（Y） = {(\nabla_{X} {Y（Y）}^{Ş})}^{♯},

对于任何

X, Y（Y） \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

此外，我们还有

\nabla^{*} 克 = - \nabla 克

.

引理 2

如果∇和

\nabla^{*}

是关于g的对偶连接，那么它们的曲率张量和扭转张量由以下公式关联：

克 ({R（右）}^{\nabla^{*}} (Z轴, W公司) X, Y（Y）) + 克 ({R（右）}^{\nabla} (Z轴, W公司) Y（Y）, X) = 0,

克 ({T型}^{\nabla^{*}} (X, Y（Y）), Z轴) = 克 ({T型}^{\nabla} (X, Y（Y）), Z轴) + (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) - (\nabla_{Y（Y）} 克) (X, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴, W公司 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）) .

从前面的两个引理中，我们可以说明以下内容。

推论 1

如果∇和

\nabla^{*}

是关于g的双重连接，那么我们有：

（i）

{R（右）}^{\nabla} = 0 \Leftrightarrow {R（右）}^{\nabla^{*}} = 0

;

（ii）

{T型}^{\nabla^{*}} = 0 \Leftrightarrow (M（M）, 克, \nabla)

是一个准统计流形；

（iii）

{T型}^{\nabla} = 0 \Leftrightarrow (M（M）, 克, \nabla^{*})

是一个准统计流形；

（iv）

{T型}^{\nabla^{*}} = 0, {T型}^{\nabla} = 0 \Leftrightarrow (M（M）, 克, \nabla)

和

(M（M）, 克, \nabla^{*})

都是统计流形。

证明。

它来自引理1和2。□

定义 4

二元结构

(克, \nabla, \nabla^{*})

在M上，使得

\nabla^{*}

是平的且无扭转的称为双平面结构在M上（和

(M（M）, 克, \nabla, \nabla^{*})

一双平面歧管).

3.具有相同度量的准统计结构

让

(M（M）, 克)

是一个伪黎曼流形，并让是上的仿射连接M（M）.

3.1. 张量场定义的拟统计结构

从任意准统计结构开始，我们将通过

(1, 1)

或

(1, 2)

-张量场。

直接计算提供了以下内容。

引理三。

对于任何

(1, 2)

-张量场S

(M（M）, 克)

，仿射连接

\bar{\nabla} : = \nabla + S公司

满足以下要求：

{T型}^{\bar{\nabla}} (X, Y（Y）) = {T型}^{\nabla} (X, Y（Y）) + S公司 (X, Y（Y）) - S公司 (Y（Y）, X),

({\bar{\nabla}}_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) = (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) - 克 (S公司 (X, Y（Y）), Z轴) - 克 (Y（Y）, S公司 (X, Z轴)),

({d日}^{\bar{\nabla}} 克) (X, Y（Y）, Z轴) = ({d日}^{\nabla} 克) (X, Y（Y）, Z轴) + 克 (X, S公司 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, S公司 (X, Z轴)),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

因此，我们可以说明以下内容。

提议 1

让S成为一个

(1, 2)

-张量场

(M（M）, 克)

令人满意的

克 (X, S公司 (Y（Y）, Z轴)) = 克 (S公司 (X, Z轴), Y（Y）)

，对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.然后，

(克, \nabla)

是拟统计结构当且仅当

(克, \bar{\nabla} : = \nabla + S公司)

是一种准统计结构。

证明。

请注意

{d日}^{\bar{\nabla}} 克 = {d日}^{\nabla} 克

. □

如果我们用

\nabla^{*}

和

{\bar{\nabla}}^{*}

+和的双重连接

\bar{\nabla}

，关于克，通过直接计算，我们得到以下结果：

引理 4

克 ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 克 (Y（Y）, S公司 (X, Z轴)),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

提议 2

设为g-自共轭Codazzi

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

也就是说，

克 (ϕ X, Y（Y）) = 克 (X, ϕ Y（Y）)

和

(\nabla_{X}^{克} ϕ) Y（Y） = (\nabla_{Y（Y）}^{克} ϕ) X

，对于任何

X, Y（Y） \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.然后，

(克, \nabla)

是拟统计结构当且仅当

(克, \bar{\nabla} : = \nabla + \nabla^{克} ϕ)

是一种准统计结构。在这种情况下，

{\bar{\nabla}}^{*} = \nabla^{*} - \nabla^{克} ϕ

.

证明。

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，我们有以下内容：

克 ((\nabla_{X}^{克} ϕ) Y（Y）, Z轴) = 克 ((\nabla_{X}^{克} ϕ) Z轴, Y（Y）) = 克 ((\nabla_{Z轴}^{克} ϕ) X, Y（Y）) = 克 ((\nabla_{Z轴}^{克} ϕ) Y（Y）, X),

我们从命题1中得出结论。此外，从引理4，我们从下一个关系中找到对偶连接的表达式：

克 ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 克 (Y（Y）, (\nabla_{X}^{克} ϕ) Z轴) = 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 克 (Z轴, (\nabla_{X}^{克} ϕ) Y（Y）) .

□

推论 2

如果ξ是g-自关节Codazzi

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

和

(克, \nabla)

是一个统计结构，那么

(克, \bar{\nabla} : = \nabla + \nabla^{克} ϕ)

也是一种统计结构。

特别是，我们有以下几点。

推论三。

如果是g-自共轭Codazzi

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

，然后

(克, \bar{\nabla} : = \nabla^{克} + \nabla^{克} ϕ)

是一种统计结构。

提议三。

设为a

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

然后让

\tilde{\nabla}

是满足的仿射连接

克 (({\tilde{\nabla}}_{X} ϕ) Y（Y）, Z轴) = 克 (X, ({\tilde{\nabla}}_{Z轴} ϕ) Y（Y）)

，对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.然后，

(克, \nabla)

是拟统计结构当且仅当

(克, \bar{\nabla} : = \nabla + \tilde{\nabla} ϕ)

是一种准统计结构。

证明。

它源自命题1。□

推论 4

如果是

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

,

\tilde{\nabla}

是满足要求的仿射连接

克 (({\tilde{\nabla}}_{X} ϕ) Y（Y）, Z轴) = 克 (X, ({\tilde{\nabla}}_{Z轴} ϕ) Y（Y）)

，对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

、和

(克, \nabla)

是一个统计结构，那么

(克, \bar{\nabla} : = \nabla + \tilde{\nabla} ϕ)

是一种准统计结构。

特别是，我们有以下几点。

推论 5

如果是

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

和

\tilde{\nabla}

是满足要求的仿射连接

克 (({\tilde{\nabla}}_{X} ϕ) Y（Y）, Z轴) = 克 (X, ({\tilde{\nabla}}_{Z轴} ϕ) Y（Y）)

，对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，然后

(克, \bar{\nabla} : = \nabla^{克} + \tilde{\nabla} ϕ)

是一种准统计结构。

3.2. 由定义的准统计结构 $(1, 1)$ -张量场与1-形式

从任意准统计结构开始，我们将通过

(1, 1)

-张量场和1-形式。

提议 4

设为g-自共轭

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

设η为1-形式。那么，

(克, \nabla)

是拟统计结构当且仅当

(克, \bar{\nabla} : = \nabla + ϕ \otimes η)

是一种准统计结构。在这种情况下，

{\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y） = \nabla_{X}^{*} Y（Y） - 克 (ϕ X, Y（Y）) η^{♯}

，对于任何

X, Y（Y） \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

证明。

通过直接计算

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

我们获得以下信息：

{T型}^{\bar{\nabla}} = {T型}^{\nabla} + ϕ \otimes η - η \otimes ϕ,

({\bar{\nabla}}_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) = (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) - η (Y（Y）) 克 (ϕ X, Z轴) - η (Z轴) 克 (ϕ X, Y（Y）) .

因此，

{d日}^{\bar{\nabla}} 克 = {d日}^{\nabla} 克

结论来自命题1。此外，从引理4，我们从下一个关系中找到对偶连接的表达式：

克 ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 克 (Y（Y）, ϕ X) η (Z轴) .

□

请注意，如果无扭转，则

\bar{\nabla}

是四分之一对称连接[9].

推论 6

如果是g-自共轭

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

，η是非零1型

(克, \nabla)

是一个统计结构，那么

(克, \bar{\nabla} : = \nabla + ϕ \otimes η)

是一种准统计结构。

特别是，我们有以下几点。

推论 7

如果是g-自共轭

(1, 1)

-张量场

(M（M）, 克)

η是非零1-形式，那么

(克, \bar{\nabla} : = \nabla^{克} + ϕ \otimes η)

是一种准统计结构。

通过使用前面的结构获得的准静态结构示例可以在Norden结构的框架中找到[10].

定义 5

让

(M（M）, 克)

是一个偶维伪黎曼流形，并且设J是M上的g-自共轭几乎复结构，即，

J型 : T型 M（M） \to T型 M（M）

,

{J型}^{2} = - 我

和

克 (J型 X, Y（Y）) = 克 (X, J型 Y（Y）)

，对于任何

X, Y（Y） \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.然后，

(克, J型)

称为诺顿构造在M上（和

(M（M）, 克, J型)

一诺登管汇). 此外，度量标准

\tilde{克}

由定义

\tilde{克} (X, Y（Y）) : = 克 (X, J型 Y（Y）)

被称为双公制与关联

(克, J型)

.

提议 5

让

(克, J型)

成为M.If上的Norden结构

{d日}^{\nabla^{克}} J型 = 0

，然后

(克, \bar{\nabla} : = \nabla^{克} + \nabla^{克} J型)

是一种统计结构

\bar{\nabla}

关于g的计算公式为

{\bar{\nabla}}_{克}^{*} = \nabla^{克} - \nabla^{克} J型

此外，如果

\tilde{克}

那么是双公制

(\tilde{克}, \nabla^{克})

是一种统计结构

\nabla^{克}

关于

\tilde{克}

由提供

{(\nabla^{克})}_{\tilde{克}}^{*} = \nabla^{克} - J型 (\nabla^{克} J型)

.

证明。

我们有这个J型是一个克-自共轭

(1, 1)

-张量场和

\nabla^{克} J型

是一个克-自伴随的

(1, 2)

-张量场。此外，来自

{d日}^{\nabla^{克}} J型 = 0

，因此

\nabla^{克} J型

是Codazzi张量场，我们应用推论2。然后，对偶连接由引理4给出。此外，请注意

{d日}^{\nabla^{克}} J型 = 0

是的条件

(\tilde{克}, \nabla^{克})

作为一种统计结构和直接计算（请参见[11])提供

{(\nabla^{克})}_{\tilde{克}}^{*}

. □

从命题4和推论7中，我们得出以下结论。

提议 6

让

(克, J型)

是M上的Norden结构，且η是非零1-形式。那么，

(克, \bar{\nabla} : = \nabla^{克} + J型 \otimes η)

是一个准统计结构

\bar{\nabla}

关于g的计算公式为

{\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y） = \nabla_{X}^{克} Y（Y） - 克 (J型 X, Y（Y）) η^{♯}

，对于任何

X, Y（Y） \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

直接计算提供了以下内容。

提议 7

让

(克, J型)

是M上的Norden结构，设η为1-形式

\bar{\nabla} : = \nabla^{克} + J型 \otimes η

.如果

{\bar{\nabla}}^{*}

是的双重连接

\bar{\nabla}

关于g，那么

{\bar{\nabla}}^{*}

由以下公式提供：

{R（右）}^{{\bar{\nabla}}^{*}} (X, Y（Y）) = {R（右）}^{\nabla^{克}} (X, Y（Y）) - η^{♯} \otimes {(({d日}^{\nabla^{克}} J型) (X, Y（Y）))}^{♭}

+ (η (J型 X) η^{♯} - \nabla_{X}^{克} η^{♯}) \otimes {(J型 Y（Y）)}^{♭} - (η (J型 Y（Y）) η^{♯} - \nabla_{Y（Y）}^{克} η^{♯}) \otimes {(J型 X)}^{Ş},

对于任何

X, Y（Y） \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

4.保角度量的拟统计结构

从任意准统计结构出发，我们将构造伪黎曼度量与初始度量共形的其他准统计结构。

让

(M（M）, 克)

是一个伪黎曼流形，并让是上的仿射连接M（M）.

直接计算提供了以下内容。

引理 5

对于任意正光滑函数f

(M（M）, 克)

，仿射连接

\bar{\nabla} : = \nabla + {F类}_{（f）} (d日 （f） \otimes 我)

和伪黎曼度量

\bar{克} : = {G公司}_{（f）} 克

，使用

{F类}_{（f）}

和

{G公司}_{（f）}

两个平滑函数，满足以下条件：

{T型}^{\bar{\nabla}} = {T型}^{\nabla} + {F类}_{（f）} (d日 （f） \otimes 我 - 我 \otimes d日 （f）),

({\bar{\nabla}}_{X} \bar{克}) (Y（Y）, Z轴) = {G公司}_{（f）} (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) + {X ({G公司}_{（f）}) - 2 {F类}_{（f）} {G公司}_{（f）} X (（f）)} 克 (Y（Y）, Z轴),

({d日}^{\bar{\nabla}} \bar{克}) (X, Y（Y）, Z轴) = {G公司}_{（f）} ({d日}^{\nabla} 克) (X, Y（Y）, Z轴)

+ {X ({G公司}_{（f）}) - {F类}_{（f）} {G公司}_{（f）} X (（f）)} 克 (Y（Y）, Z轴) - {Y（Y） ({G公司}_{（f）}) - {F类}_{（f）} {G公司}_{（f）} Y（Y） (（f）)} 克 (X, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

因此，我们可以说明以下内容。

引理 6

让

（f） > 0

,

{F类}_{（f）}

和

{G公司}_{（f）}

上的平滑函数

(M（M）, 克)

然后让

\bar{\nabla} : = \nabla + {F类}_{（f）} (d日 （f） \otimes 我)

,

\bar{克} : = {G公司}_{（f）} 克

.然后，

{d日}^{\bar{\nabla}} \bar{克} = {G公司}_{（f）} {d日}^{\nabla} 克

当且仅当

d日 ({G公司}_{（f）}) = {F类}_{（f）} {G公司}_{（f）} d日 （f）

.

通过前两个引理，我们构造了以下两个命题中给出的准统计结构。

提议 8

设f是上的正光滑函数

(M（M）, 克)

然后让

\bar{\nabla} : = \nabla - \frac{1}{（f）} d日 （f） \otimes 我

,

\bar{克} : = \frac{1}{（f）} 克

然后我们得到：

{T型}^{\bar{\nabla}} = {T型}^{\nabla} - \frac{1}{（f）} (d日 （f） \otimes 我 - 我 \otimes d日 （f）),

\bar{\nabla} \bar{克} = \frac{1}{（f）} (\nabla 克 + \frac{1}{（f）} d日 （f） \otimes 克) .

因此，

(克, \nabla)

是拟统计结构当且仅当

(\bar{克}, \bar{\nabla})

是一种准统计结构。

证明。

我们立即获得

{d日}^{\bar{\nabla}} \bar{克} = \frac{1}{（f）} {d日}^{\nabla} 克

，结论来自引理5和6。□

特别是，我们有以下几点。

推论 8

如果f是上的正光滑函数

(M（M）, 克)

，然后

(\bar{克} : = \frac{1}{（f）} 克, \bar{\nabla} : = \nabla^{克} - \frac{1}{（f）} d日 （f） \otimes 我)

是一种准统计结构。

提议 9

设f是上的正光滑函数

(M（M）, 克)

然后让

\bar{\nabla} : = \nabla + d日 （f） \otimes 我

,

\bar{克} : = {e（电子）}^{（f）} 克

然后我们得到：

{T型}^{\bar{\nabla}} = {T型}^{\nabla} + d日 （f） \otimes 我 - 我 \otimes d日 （f）,

\bar{\nabla} \bar{克} = {e（电子）}^{（f）} (\nabla 克 - d日 （f） \otimes 克) .

因此，

(克, \nabla)

是拟统计结构当且仅当

(\bar{克}, \bar{\nabla})

是一个准统计结构。

证明。

我们立即获得

{d日}^{\bar{\nabla}} \bar{克} = {e（电子）}^{（f）} {d日}^{\nabla} 克

，结论来自引理5和6。□

请注意，如果无扭转，则

\bar{\nabla}

是半对称连接[9].

特别是，我们有以下几点。

推论 9

如果f是上的正光滑函数

(M（M）, 克)

，然后

(\bar{克} : = {e（电子）}^{（f）} 克, \bar{\nabla} : = \nabla^{克} + d日 （f） \otimes 我)

是一种准统计结构。

我们表示为

\nabla_{克}^{*}

和

{\bar{\nabla}}_{克}^{*}

+和的双重连接

\bar{\nabla}

，关于克，的对偶连接

\bar{\nabla}

，关于

\bar{克}

，由

\nabla_{\bar{克}}^{*}

和

{\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*}

然后，我们可以说明以下内容。

提议 10

设f是上的正光滑函数

(M（M）, 克)

然后让

(克, \nabla)

是一个准统计结构。

（i）如果

\bar{克} : = \frac{1}{（f）} 克

和

\bar{\nabla} : = \nabla - \frac{1}{（f）} d日 （f） \otimes 我

，然后我们得到：

{\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} = \nabla_{克}^{*} 和 {\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} - \nabla_{\bar{克}}^{*} = \frac{1}{（f）} d日 （f） \otimes 我 = {\bar{\nabla}}_{克}^{*} - \nabla_{克}^{*} .

（ii）如果

\bar{克} : = {e（电子）}^{（f）} 克

和

\bar{\nabla} : = \nabla + d日 （f） \otimes 我

，然后我们得到：

{\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} = \nabla_{克}^{*} 和 {\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} - \nabla_{\bar{克}}^{*} = - d日 （f） \otimes 我 = {\bar{\nabla}}_{克}^{*} - \nabla_{克}^{*} .

证明。

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，我们有以下内容：

(我) \bar{克} ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) - \bar{克} (Y（Y）, {\bar{\nabla}}_{X} Z轴) = X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) - \bar{克} (Y（Y）, \nabla_{X} Z轴) + \frac{d日 （f） (X)}{（f）} \bar{克} (Y（Y）, Z轴)

= \bar{克} (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) + \frac{d日 （f） (X)}{（f）} \bar{克} (Y（Y）, Z轴),

因此，

{\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} = \nabla_{\bar{克}}^{*} + \frac{1}{（f）} d日 （f） \otimes 我

.

\bar{克} ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) - \bar{克} (Y（Y）, {\bar{\nabla}}_{X} Z轴)

= - \frac{X (（f）)}{{（f）}^{2}} 克 (Y（Y）, Z轴) + \frac{1}{（f）} {X (克 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, \nabla_{X} Z轴)} + \frac{d日 （f） (X)}{{（f）}^{2}} 克 (Y（Y）, Z轴)

= \frac{1}{（f）} 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = \bar{克} (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴),

因此，

{\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} = \nabla_{克}^{*}

.

克 ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = X (克 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, {\bar{\nabla}}_{X} Z轴) = X (克 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, \nabla_{X} Z轴) + \frac{d日 （f） (X)}{（f）} 克 (Y（Y）, Z轴)

= 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) + \frac{d日 （f） (X)}{（f）} 克 (Y（Y）, Z轴),

因此，

{\bar{\nabla}}_{克}^{*} = \nabla_{克}^{*} + \frac{1}{（f）} d日 （f） \otimes 我

.

(我 我) \bar{克} ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) - \bar{克} (Y（Y）, {\bar{\nabla}}_{X} Z轴) = X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) - \bar{克} (Y（Y）, \nabla_{X} Z轴) - d日 （f） (X) \bar{克} (Y（Y）, Z轴)

= \bar{克} (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - d日 （f） (X) \bar{克} (Y（Y）, Z轴),

因此，

{\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} = \nabla_{\bar{克}}^{*} - d日 （f） \otimes 我

.

\bar{克} ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) - \bar{克} (Y（Y）, {\bar{\nabla}}_{X} Z轴)

= {e（电子）}^{（f）} X (（f）) 克 (Y（Y）, Z轴) + {e（电子）}^{（f）} {X (克 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, \nabla_{X} Z轴)} - {e（电子）}^{（f）} d日 （f） (X) 克 (Y（Y）, Z轴)

= {e（电子）}^{（f）} 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = \bar{克} (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴),

因此，

{\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} = \nabla_{克}^{*}

.

克 ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = X (克 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, {\bar{\nabla}}_{X} Z轴) = X (克 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, \nabla_{X} Z轴) - d日 （f） (X) 克 (Y（Y）, Z轴)

= 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - d日 （f） (X) 克 (Y（Y）, Z轴),

因此，

{\bar{\nabla}}_{克}^{*} = \nabla_{克}^{*} - d日 （f） \otimes 我

. □

特别是，我们有以下几点。

推论 10

设f是上的正光滑函数

(M（M）, 克)

如果（i）

\bar{克} : = \frac{1}{（f）} 克

和

\bar{\nabla} : = \nabla^{克} - \frac{1}{（f）} d日 （f） \otimes 我

，或（ii）

\bar{克} : = {e（电子）}^{（f）} 克

和

\bar{\nabla} : = \nabla^{克} + d日 （f） \otimes 我

，然后

{\bar{\nabla}}_{\bar{克}}^{*} = \nabla^{克}

，相当于

\bar{\nabla} = {(\nabla^{克})}_{\bar{克}}^{*}

.

证明。

我们注意到，对于Levi–Civita连接

\nabla^{克}

，我们有

\nabla^{克} = {(\nabla^{克})}_{克}^{*}

然后，得到以下结果：

X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) = \bar{克} ({\bar{\nabla}}_{X} Y（Y）, Z轴) + \bar{克} (Y（Y）, \nabla_{X}^{克} Z轴) .

□

5.半圆形和准半圆形结构-半双重连接

我们引入了拟半Weyl结构的概念，并研究了它与拟统计结构的关系。然后，我们从统计结构出发，构造了半Weyl和准半Weyl结构。

定义 6

([5]). 让

(M（M）, 克)

是伪黎曼流形，让∇是M上的无挠仿射连接，设η为1-形式，

(克, η, \nabla)

称为半Weyl结构在M上（和

(M（M）, 克, η, \nabla)

一半Weyl歧管)如果满足以下等式：

(\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴) = (\nabla_{Y（Y）} 克) (X, Z轴) + η (Y（Y）) 克 (X, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

备注三。

请注意

(M（M）, 克, η, \nabla)

是半Weyl流形当且仅当

\nabla 克 + η \otimes 克

是完全对称的。特别是，如果

η = 0

，然后

(M（M）, 克, \nabla)

是一个统计流形。此外，如果

\nabla 克 + η \otimes 克 = 0

，然后

(M（M）, 克, η, \nabla)

是一个Weyl歧管。

在Weyl几何的框架下，Norden引入的半对偶连接提供了相应的对偶概念。

定义 7

([三,12]). 让

(M（M）, 克)

是伪黎曼流形，且η是M上的非零1-形。两个仿射连接∇和

\nabla^{*}

据说在M上半双连接（或广义对偶连接)关于

(克, η)

如果满足以下方程：

X (克 (Y（Y）, Z轴)) = 克 (\nabla_{X} Y（Y）, Z轴) + 克 (Y（Y）, \nabla_{X}^{*} Z轴) - η (X) 克 (Y（Y）, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，我们打电话给

(克, η, \nabla, \nabla^{*})

一半二元结构。

我们注意到，从克，因此

{(\nabla^{*})}^{*} = \nabla

.

备注 4

请注意，如果∇没有扭转，那么，

\nabla = \nabla^{*}

当且仅当

(M（M）, 克, η, \nabla)

是Weyl流形。

直接计算提供了以下表达式，这些表达式从对偶连接推广到半对偶连接。

引理 7

如果η是非零1型，并且∇是上的仿射连接

(M（M）, 克)

，然后是半双连接

\nabla^{*}

属于∇关于

(克, η)

由以下人员提供：

\nabla_{X}^{*} Y（Y） = {(\nabla_{X} {Y（Y）}^{Ş})}^{♯} + η (X) Y（Y）,

对于任何

X, Y（Y） \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

此外，我们还有：

(\nabla_{X}^{*} 克) (Y（Y）, Z轴) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴) = - {(\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴)},

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

引理 8

如果∇和

\nabla^{*}

是关于

(克, η)

然后，它们的曲率张量和扭转张量由以下公式关联：

克 ({R（右）}^{\nabla^{*}} (Z轴, W公司) X, Y（Y）) + 克 ({R（右）}^{\nabla} (Z轴, W公司) Y（Y）, X) = 0,

克 ({T型}^{\nabla^{*}} (X, Y（Y）), Z轴) = 克 ({T型}^{\nabla} (X, Y（Y）), Z轴) + (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) - (\nabla_{Y（Y）} 克) (X, Z轴)

+ η (X) 克 (Y（Y）, Z轴) - η (Y（Y）) 克 (X, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴, W公司 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）) .

现在，我们引入以下定义，将半Weyl流形的概念推广到允许扭转的半Weyl-流形。

定义 8

让

(M（M）, 克)

是伪黎曼流形，让∇是具有扭转张量的M上的仿射连接

{T型}^{\nabla}

设η为非零1-形式，

(克, η, \nabla)

称为准semi-Weyl结构在M上（和

(M（M）, 克, η, \nabla)

一准semi-Weyl流形或允许扭转的半Weyl流形)如果满足以下等式：

(\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴) = (\nabla_{Y（Y）} 克) (X, Z轴) + η (Y（Y）) 克 (X, Z轴) - 克 ({T型}^{\nabla} (X, Y（Y）), Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

例子 1

设η是M上的非零1-型

(克, \nabla)

是M上的准统计结构

{T型}^{\nabla} \neq 我 \otimes η - η \otimes 我

.然后

(克, η, \bar{\nabla} : = \nabla + η \otimes 我)

是M上的准semi-well结构。实际上

\bar{\nabla}

等于：

{T型}^{\bar{\nabla}} (X, Y（Y）) = {T型}^{\nabla} (X, Y（Y）) + η (X) Y（Y） - η (Y（Y）) X

我们得到：

{({\bar{\nabla}}_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴)} - {({\bar{\nabla}}_{Y（Y）} 克) (X, Z轴) + η (Y（Y）) 克 (X, Z轴)}

= (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) - (\nabla_{Y（Y）} 克) (X, Z轴) + 克 ({T型}^{\nabla} (X, Y（Y）), Z轴) - 克 ({T型}^{\nabla} (X, Y（Y）) + η (X) Y（Y） - η (Y（Y）) X, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

例子 2

让

(克, \nabla)

是M上的统计结构，且η是非零1-形式。那么，

(克, η, \bar{\nabla} : = \nabla + η \otimes 我)

是M上的准semi-Weyl结构。

备注 5

如果我们表示∇关于g，通过

\nabla_{克}^{*}

和半双重连接∇关于

(克, η)

通过

\nabla_{(克, η)}^{*}

，然后

\nabla_{克}^{*} = \nabla_{(克, η)}^{*} - η \otimes 我

和

\nabla = {(\nabla_{(克, η)}^{*})}_{克}^{*} + η \otimes 我

.

从前面的两个引理和推论1中，我们可以说明以下内容。

推论 11

如果∇和

\nabla_{(克, η)}^{*}

是关于

(克, η)

和

\nabla_{克}^{*}

是的双重连接∇关于g，我们有：

（i）

{R（右）}^{\nabla} = 0 \Leftrightarrow {R（右）}^{\nabla_{(克, η)}^{*}} = 0 \Leftrightarrow {R（右）}^{\nabla_{克}^{*}} = 0

;

（ii）

{T型}^{\nabla_{(克, η)}^{*}} = 0 \Leftrightarrow (M（M）, 克, η, \nabla)

是一个准semi-Weyl流形；

（iii）

{T型}^{\nabla} = 0 \Leftrightarrow (M（M）, 克, η, \nabla_{(克, η)}^{*})

是一个准semi-Weyl流形；

（iv）

{T型}^{\nabla_{(克, η)}^{*}} = 0, {T型}^{\nabla} = 0 \Leftrightarrow (M（M）, 克, η, \nabla)

和

(M（M）, 克, η, \nabla_{(克, η)}^{*})

都是半Weyl流形；

（v）

(M（M）, 克, η, \nabla_{(克, η)}^{*})

是一个准semi-Weyl流形⇔

(M（M）, 克, \nabla_{克}^{*})

是一个准统计流形。

证明。

（i）、（ii）、（iii）和（iv）源自引理7和8。（v）根据（iii）和推论1。□

此外，从引理3，我们得到了以下结果。

提议 11

设S是对称的

(1, 2)

-张量场

(M（M）, 克)

设η是一个非零1-形式，满足

克 (X, S公司 (Y（Y）, Z轴) - η (Y（Y）) Z轴) = 克 (S公司 (X, Z轴) - η (X) Z轴, Y（Y）)

，对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.然后，

(克, \nabla)

是统计结构当且仅当

(克, η, \bar{\nabla} : = \nabla + S公司)

是半Weyl结构。

证明。

我们注意到：

{({\bar{\nabla}}_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴)} - {({\bar{\nabla}}_{Y（Y）} 克) (X, Z轴) + η (Y（Y）) 克 (X, Z轴)}

= (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) - (\nabla_{Y（Y）} 克) (X, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

. □

如果我们表示关于克通过

\nabla^{*}

，和的半双重连接

\bar{\nabla}

关于

(克, η)

通过

{\bar{\nabla}}^{*}

，通过直接计算，我们得到以下结果：

引理 9

克 ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 克 (Y（Y）, S公司 (X, Z轴)) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴),

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

.

我们可以通过连接是射影等价的统计结构来构造半Weyl结构。

提议 12

设η是上的非零1-型

(M（M）, 克)

.然后，

(克, \nabla)

是统计结构当且仅当

(克, η, \bar{\nabla} : = \nabla + η \otimes 我 + 我 \otimes η)

是半Weyl结构。在这种情况下，

{\bar{\nabla}}_{(克, η)}^{*} = \nabla_{克}^{*} - 克 \otimes η^{♯}

; 因此∇关于g和半对偶连接

\bar{\nabla}

关于

(克, η)

是对偶投影等价的。

证明。

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，我们有以下内容：

克 (X, (η (Y（Y）) Z轴 + η (Z轴) Y（Y）) - η (Y（Y）) Z轴) = 克 ((η (X) Z轴 + η (Z轴) X) - η (X) Z轴, Y（Y）),

我们从命题11中得出结论。此外，从引理9中，我们可以从下一个关系中找到对偶连接的表达式：

克 ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 克 (Y（Y）, η (X) Z轴 + η (Z轴) X) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴)

= 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 克 (X, Y（Y）) η (Z轴) .

□

我们表示关于克和

\bar{克}

通过

\nabla_{克}^{*}

和

\nabla_{\bar{克}}^{*}

和半双重连接

\bar{\nabla}

关于

(克, η)

和

(\bar{克}, η)

通过

{\bar{\nabla}}_{(克, η)}^{*}

和

{\bar{\nabla}}_{(\bar{克}, η)}^{*}

然后我们可以陈述。

提议 13

设f是上的正光滑函数

(M（M）, 克)

设η为非零1-形式，

(克, \nabla)

是统计结构当且仅当

(\bar{克} : = {e（电子）}^{（f）} 克, η, \bar{\nabla} : = \nabla + (η + d日 （f）) \otimes 我 + 我 \otimes (η + d日 （f）))

是半Weyl结构。在这种情况下，

{\bar{\nabla}}_{(\bar{克}, η)}^{*} = \nabla_{克}^{*} - 克 \otimes {(η + d日 （f）)}^{♯}

; 因此∇关于g和半对偶连接

\bar{\nabla}

关于

(\bar{克}, η)

是对偶投影等价的。此外，我们还有

{\bar{\nabla}}_{(\bar{克}, η)}^{*} - {\bar{\nabla}}_{(克, η)}^{*} = d日 （f） \otimes 我 = \nabla_{\bar{克}}^{*} - \nabla_{克}^{*}

.

证明。

对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，我们有以下内容：

({\bar{\nabla}}_{X} \bar{克}) (Y（Y）, Z轴) + η (X) \bar{克} (Y（Y）, Z轴) = {e（电子）}^{（f）} (\nabla_{X} 克) (Y（Y）, Z轴)

- {e（电子）}^{（f）} {(η (X) + d日 （f） (X)) 克 (Y（Y）, Z轴) - (η (Y（Y）) + d日 （f） (Y（Y）)) 克 (Z轴, X) - (η (Z轴) + d日 （f） (Z轴)) 克 (X, Y（Y）)}

并得出结论。此外，我们从下一个关系中找到了半对偶连接的表达式：

\bar{克} ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = {e（电子）}^{（f）} {克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 克 (X, Y（Y）) (η + d日 （f）) (Z轴)} .

此外，我们还获得：

\bar{克} ({({\bar{\nabla}}_{(\bar{克}, η)}^{*})}_{X} Y（Y）, Z轴) = X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) - \bar{克} (Y（Y）, {\bar{\nabla}}_{X} Z轴) + η (X) \bar{克} (Y（Y）, Z轴)

= {e（电子）}^{（f）} {d日 （f） (X) 克 (Y（Y）, Z轴) + X (克 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, {\bar{\nabla}}_{X} Z轴) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴)}

= {e（电子）}^{（f）} {d日 （f） (X) 克 (Y（Y）, Z轴) + 克 ({({\bar{\nabla}}_{(克, η)}^{*})}_{X} Y（Y）, Z轴)},

因此，

{\bar{\nabla}}_{(\bar{克}, η)}^{*} = {\bar{\nabla}}_{(克, η)}^{*} + d日 （f） \otimes 我

，以及：

\bar{克} ({(\nabla_{\bar{克}}^{*})}_{X} Y（Y）, Z轴) = X (\bar{克} (Y（Y）, Z轴)) - \bar{克} (Y（Y）, \nabla_{X} Z轴)

= {e（电子）}^{（f）} {d日 （f） (X) 克 (Y（Y）, Z轴) + X (克 (Y（Y）, Z轴)) - 克 (Y（Y）, \nabla_{X} Z轴)}

= {e（电子）}^{（f）} {d日 （f） (X) 克 (Y（Y）, Z轴) + 克 ({(\nabla_{克}^{*})}_{X} Y（Y）, Z轴)},

因此，

\nabla_{\bar{克}}^{*} = \nabla_{克}^{*} + d日 （f） \otimes 我

. □

我们注意到，对于具有半对称连接的准静态结构，可以按以下方式将半Weyl结构关联起来。

提议 14

设η是上的非零1-型

(M（M）, 克)

.如果

(克, \nabla)

是一个准统计结构

{T型}^{\nabla} = η \otimes 我 - 我 \otimes η

，然后

(克, η, \bar{\nabla} : = \nabla + η \otimes 我 + 2 我 \otimes η)

是半Weyl结构。在这种情况下，

{\bar{\nabla}}_{(克, η)}^{*} = \nabla_{克}^{*} - 2 克 \otimes η^{♯}

; 因此∇关于g和半对偶连接

\bar{\nabla}

关于

(克, η)

是对偶投影等价的。

证明。

我们立即获得

{T型}^{\bar{\nabla}} = 0

。对于任何

X, Y（Y）, Z轴 \in Γ^{\infty} (T型 M（M）)

，我们有以下内容：

({\bar{\nabla}}_{X} 克) (Y（Y）, Z轴) + η (X) 克 (Y（Y）, Z轴) = ({\bar{\nabla}}_{Y（Y）} 克) (X, Z轴) + η (Y（Y）) 克 (X, Z轴)

并得出结论。此外，我们从下一个关系中找到了半对偶连接的表达式：

克 ({\bar{\nabla}}_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) = 克 (\nabla_{X}^{*} Y（Y）, Z轴) - 2 克 (X, Y（Y）) η (Z轴) .

□

作者贡献

A.M.B.和A.N.为概念化和调查做出了贡献。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究没有得到外部资助。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

致谢

我们感谢裁判的评论和评论。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。资助者在研究设计中没有任何角色；收集、分析或解释数据；撰写手稿时；或者在决定公布结果时。

工具书类

Lauritzen，S.L.统计流形。在统计推断中的微分几何; IMS演讲笔记专题系列；数理统计研究所：美国加利福尼亚州海沃德，1987年；第10卷，第96-163页。[谷歌学者]
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诺登，A.P。仿射连通空间; 瑙卡：莫斯科，俄罗斯，1950年。（俄语）[谷歌学者]
Matsuzoe，H.半Weyl流形和Weyl流形的几何。九州J.数学。 2001,55, 107–117. [谷歌学者] [交叉参考]
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布拉加，A.M。；Nannicini，A。α-广义几何中的联系。联合国开发计划署 2021,165, 104225. [谷歌学者] [交叉参考]
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出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

布拉加，A.M。；Nannicini，A。关于允许扭转的统计和半周流形。数学 2022,10, 990.https://doi.org/10.3390/math10060990

AMA风格

Blaga AM，Nannicini A。关于允许扭转的统计和半周流形。数学. 2022; 10(6):990.https://doi.org/10.3390/math10060990

芝加哥/图拉宾风格

布拉加、阿达拉·M·和安东内拉·纳尼西尼。2022.“关于允许扭转的统计和半周流形”数学10，编号6:990。https://doi.org/10.3390/math10060990

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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关于允许扭转的统计流形和半周流形

摘要

1.简介

2.统计和准统计结构-双重联系

3.具有相同度量的准统计结构

3.1. 张量场定义的拟统计结构

3.2. 由定义的准统计结构 $(1, 1)$ -张量场与1-形式

4.保角度量的拟统计结构

5.半圆形和准半圆形结构-半双重连接

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4.保角度量的拟统计结构

5.半圆形和准半圆形结构-半双重连接

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3.2. 由定义的准统计结构 $(1, 1)$ -张量场与1-形式