1.简介
利用参数多项式构造曲线和曲面是计算机辅助几何设计的重要研究领域之一。为几何建模开发的每个曲线表示的总体目的是以准备的形式创建一个有价值且用户友好的曲线/曲面。这些功能在许多应用中有着重要的用途，特别是在工业样式和设计中，出于功能和美学的原因。Bézier形式是曲线和曲面最常见的数学表示形式之一。这是两位法国人Paul de Casteljau和Pierre Bézier基于向量的表示，如Farin所述[1]创建n度曲线最初发生在1958年至1962年间的汽车行业。这主要用于CAGD和CAD/CAM系统的许多应用中。它之所以突出，是因为它具有许多数学特性，可以对曲线进行管理和评估。贝塞尔设计是CAGD中开发自由曲线曲面的一种重要方法。这里，贝塞尔设计直接与贝塞尔曲线、整个矩形平台的贝塞尔张量积以及整个三角形区域的贝塞尔曲面有关。 他们中有几个人有自己的能力，尽管他们有一个熟悉的稀缺性。也就是说，在选择了基本函数后，它们的设计通过它们的控制点得到了很好的实现。为了解决贝塞尔曲线的稀缺性，几位研究人员通过在基函数中插入参数，开发出了结构与贝塞尔曲线相关的最新曲线[2,三,4]. 这些新曲线具有一些基本的贝塞尔曲线特征，并在当时保留了适应性形式的动态特性。20世纪50年代末，德卡斯特尔贾是第一个通过三角域定义贝塞尔曲面的人，博姆继续他的研究；博姆的发现如下[5]. 20世纪70年代和80年代，几位研究人员对贝塞尔三角曲面进行了更系统的研究[6,7,8,9,10]. 除此之外，阿贝达拉[11]经常在贝塞尔的三角逻辑面上进行一些工作。这些哲学家的合作完善了贝塞尔三角曲面理论。三角曲面建模方法因其创建复杂形状的巨大能力而吸引了许多哲学家的兴趣。然而，自从Bézier曲面理论成熟以来，只有几项先前的研究研究了三角曲面的增强以增强传统的三角Bézeer结构[12,13,14,15]. 只有中显示的曲面[16,17]由于其可调节的形状特性，被纳入优秀的文献。过去三十年来，人们对贝塞尔曲线混合函数的推广产生了极大的兴趣。Ali在中引入了三次Bézier曲线[18]. 在[19]，Yan等人开发了一种新类型基函数的递归方法。基于这些函数，描述了贝塞尔曲线和矩形贝塞尔样曲面。然后将新的基函数推广到三角区域，并在三角区域上定义类贝塞尔曲面。Azhar等人在[20]称为A-Bézier。该基础以类似于三次Bézier曲线的基础为中心，该曲线由两个形状参数组成，提供了用于创建自由形式所需的样条曲线和曲面的更多自由度。 Bibi等人探索了一个重要概念，用于解决使用过度简化的贝塞尔三角混合构造某些工程对称创造性曲线和对称旋转曲面的问题[21]. 秦等人[22]介绍了一类具有形状参数的现代多项式函数，用于个人的逼近以允许创建带参数的Bézier曲线，用于控制局部形状n个，这是经典的基于伯恩斯坦的学位的扩展n个功能。推荐基函数的特征和具有局部形式的相关部分多项式曲线还研究了试验标准。Hu等人[23]提出了多形状参数的形状可调广义Bézier旋转曲线，用于一些几何建模。Sidra等人[24,25,26,27]构造了具有两个形状参数的广义混合三角Bernstein，并讨论了它们在几何建模中的应用。Chen等人[28]基于正实参数构造了Bernstein算子的一个新推广。还包括该算子的基本性质，通过使用该算子，它们提供了Weierstrass逼近定理的另一个证明。它们也给出了该算子的保形性质。Srivastava等人[29]通过在具有重新参数化节点的扩展域上构造二元Bernstein–Kantorovich型算子，在近似理论和可和方法之间建立了联系。他们对理论结果进行了数值分析，并给出了一些计算机图形，以了解这项研究的重要性。在新的Bernstein基函数的帮助下，Cai等人[30]推广了q-Bernstein多项式，给出了带形状参数的q-Bernstein多项式的许多逼近性质关于对称区间Hiemstra等人[31]提出了一种新的思路，用扩展的切比雪夫空间导出的片段来计算样条空间的归一化B样条基。扩展的切比雪夫空间的大小允许区间之间的变化。该方法包括创建一个矩阵，将广义伯恩斯坦基转换为所需的B样条基。类B样条基与传统的单变量B样条具有许多相同的特性，可以简单地集成到当前的样条程序中。 拟议的gBBF和gBC的差异/优点/缺点及其形状参数和在中列出表1. 在这项工作中，作出了以下贡献：
- 1
具有两个形状参数的新型gBBF的构造；
- 2
具有两个形状参数的新型gBC的构造；
- 三。
新的gBBF和gBC的一些几何性质的构造及其与经典性质相似的结论；
- 4
一些自由曲线用所提出的gBC建模；
- 5
构造了一些具有形状参数的类Bézier曲面；
- 6
讨论了形状参数对类贝塞尔曲线和曲面的影响。
文章概述如下：第2节具有两个形状参数的新gBBF和gBC在第3节本节还讨论了新的gBBF和gBC的一些几何性质。在第4节自由曲线由新的gBC建模。最后，这项工作的后果如下第5节. 2.前期工作
在本节中，给出了Bernstein多项式和Bézier曲线的一些定义及其性质。
2.1、。伯恩斯坦多项式
贝塞尔曲线是用伯恩斯坦多项式构造的[1]. 这个秒次Bernstein多项式定义为：对于哪里=是二项式系数。 一定有 秒四阶伯恩斯坦多项式。通常，我们设置的是数学舒适度，如果或.
2.2. Bézier曲线
让是给出了控制点。贝塞尔次数曲线秒定义为[1]:哪里方程中给出的伯恩斯坦多项式(1). 2.3. 贝塞尔曲面
定义 1 经典Bézier张量积次曲面带控制点描述如下：哪里是具有度s的伯恩斯坦基函数分别是。 定义 2 对于每个正整数s，有控制点，其中,和域三角形，其中是F内点的重心坐标。s次Bernstein函数的经典曲面在三角形域中描述：哪里是s次伯恩斯坦多项式。 3.广义Bézier样曲线和曲面
在本节中，定义了具有两个形状参数的类Bernstein基函数和类Bézier曲线的推广。还讨论了具有两个形状参数的gBBF和gBC的几个性质。还讨论了形状参数的影响。此外，还构造了一些使用Bézier样曲线的曲面。
3.1. 广义Bernstein-like基函数的构造
本部分包括对具有两个形状参数的gBBF及其几何特性的描述。
定义 三。 鉴于，用于，以下功能：称为二次Bernstein-like基函数。 对于任何整数，功能递归地描述为： 它被称为广义Bernstein-like度基函数秒.以防或，我们设置。来源(6)，我们可以计算任意程度的类伯恩斯坦基函数，如下所示： - 1
让，用于，然后执行以下功能：称为类伯恩斯坦基度函数.
图1显示类Bernstein基函数的度图.图2显示了具有特定形状参数值的三次和四次Bernstein-like基函数图。粗、细、虚线和虚线图形对应于和分别是。 为了简洁起见，我们将省略自变量并缩写,到,分别是。此外，我们将使用符号,对于,，如果没有混淆,表示经典伯恩斯坦基度函数秒.
现有基函数之间拟议gBBF的CPU时间比较[21,24,25]已记录在表2和表3分别用于数值计算和图形显示。可以得出结论，与现有的基函数相比，所提出的gBBF更简单、更直接、计算更经济。 提议 1 类伯恩斯坦基函数可以明确表示为：哪里和. 证明。 通过感应开启秒.何时，很容易测试方程中给出的基函数的有效性(7). 现在，假设这个计划值整数t吨例如。当它是，通过递归表达式(6)以及之前的假设，我们得到： 证据表明证明了结果。□
提议 2 类Bernstein基函数可以显示为s阶经典Bernstein-基函数和即： 3.2. 类Bernstein基函数的性质
在本节中，类Bernstein基函数的一些几何性质讨论如下：
- 1
退化：如果 也就是说，度的类Bernstein基函数秒使用参数只是度的标准伯恩斯坦基函数秒.证明。 放置英寸(7)以获得：经典的三次伯恩斯坦多项式。 对于在方程式中(8)，生成四次Bernstein-like基函数，如下所示： 让，用于: 放置英寸(9)以获得经典四次伯恩斯坦多项式。 此证明也适用于更高的学位秒. □
- 2
非负性：什么时候？,.证明。 通过归纳秒.如果，我们将把类伯恩斯坦基函数重写为： 显然，当，我们有,事实上，让我们认识到三次Bernstein-like基函数为非负。因此，二阶Bernstein-like基函数是非负的。
现在，假设类伯恩斯坦基函数的度t吨为非负。我们获得来自方程式(6)以下为： 根据我们的归纳假设和事实,，我们可以得出以下结论：为非负。□
- 三。
规范化：对于 .证明。 通过归纳秒，正如我们获得的来自(10) 现在，假设等式适用于然后，当根据递归公式(6)和归纳假设，我们有： □
- 4
对称性：证明。 通过感应开启秒，何时来自(7)三次Bernstein-like基函数的对称性 我们假设3次的类伯恩斯坦基函数是对称的。
现在，假设序的类Bernstein基函数t吨都是对称的。然后，从归纳假设和递归公式(6)，我们有： □
- 5
端点处的属性：对于:证明。 通过感应开启秒，如果表达式(5)可以通过简单的计算得到。现在，假设上述条件适用于.何时从递归公式(6)以及归纳假设，我们得到：和 这些表明(12)和(13)也适用于. □ - 6
角点导数：对于:和证明。 通过感应开启秒，何时，差异化(7)以下为： 从上面很容易推断出(16)和(17)是. 现在，假设(16)和(17)是虽然.从递归公式(6)，我们有： 如果和英寸(20)，然后： 这一结论表明(16)等待类似地，我们可以证明(17)的. □ - 7
线性独立性：若（iff）.证明。 充分条件是明确的，我们将通过归纳说明以下要求：
经过任何简化，我们从三次Bernstein基函数的线性自由度得到：.
它确保了2次的类伯恩斯坦基函数是线性无关的。
假设Bernstein-like度基函数t吨线性无关。然后，我们将证明类Bernstein基函数与度线性无关.
让我们考虑线性组合：哪里.替换递归公式(6)在上面的方程中，并重新排列，我们得到： 因为是间隔中的任意值从上述方程式中，我们得出：和 请注意如果或。我们获得了归纳假设以及(24),.连同(25)，我们获得.综合上述结论，我们推断这表明类Bernstein基函数的度线性无关。□
3.3、。Bézier样曲线的构造及其性质
定义 4 给定的控制点，表达式：称为s阶的类贝塞尔曲线，其中是类伯恩斯坦基函数。 提议 三。 类贝塞尔曲线可以通过将经典贝塞尔曲线与次数s和，如下所示：哪里， 它是s次的贝塞尔曲线，与贝塞尔曲线具有相同的控制点。以下表达式：是阶数s的类贝塞尔曲线。表达式：是一条Bézier度曲线，其控制点根据上述计算： 表达式：是一条Bézier度曲线，其控制点根据上述计算：以及表达式：也是三条Bézier度曲线，其控制点根据上述计算： 证明。 从命题（2）中，我们得到：将Bézier样曲线的定义应用于(31)，我们得到： 考虑到以下想法：如果或或经过任何简化，我们得到：哪里和在中给出(28), (29)和(30)分别是。□ 除了类Bernstein基函数的性质和经典Bézier曲线的概念外，类Bé齐尔曲线的以下性质很容易获得：
- 1
凸面船体特性：整个Bézier样曲线必须位于其控制多边形的凸包内。这被实现为类伯恩斯坦基函数大于零，且总和接近一。
- 2
几何不变性：然而，由于是控制点的仿射混合，类Bézier曲线几何与坐标系选择不同。
- 三。
对称性：贝塞尔曲线的控制点可以标记为或不改变曲线的结构。它们被改变了，只是它们被颠倒了。当我们不理解曲线的路径时，我们就有了一条曲线：
.
- 4
端点处的几何特性根据类Bernstein基函数端点的性质和导数，我们得到：
,,,
这意味着类似Bézier的曲线在端点处进行插值，并在末端边缘处进行切线插值。
- 5
形状可调属性：通过控制多边形，可以完全确定著名的Bézier曲线的形状。然而，贝塞尔曲线并非如此。为了固定控制多边形，也可以通过调整形状参数来改变Bézier样曲线的形状。
图3显示四条三阶Bézier样曲线，具有具有不同形状参数的类似控制多边形。从图中可以看出，通过增加形状参数，类贝塞尔曲线引入了控制多边形。此外，由于类贝塞尔曲线似乎只是经典的贝塞尔曲线.
4.开放曲线和闭合曲线
在本节中，使用不同的形状参数值构造了一些自由形式的开放曲线和闭合曲线。
在这里，我们利用具有不同形状参数值的不同程度的类Bézier曲线来构造一些自由形式的曲线。如果曲线的第一个和最后一个控制点相等，则称其为闭合曲线，否则称其为开放曲线。图4a显示了具有不同形状参数值的闭合三次Bézier样曲线。在该图中，蓝色曲线用于绿色曲线用于红色曲线用于黑色曲线代表 图4b、 c，e显示了具有上述相同形状参数的开放三次bézier样曲线。图4d显示了一条开放的五次Bézier样曲线，其形状参数与上述相同。图4f、 g显示了具有与上述相同形状参数的开放四次Bézier样曲线。在图4g、 叶片显示出具有不同形状参数值的闭合三次Bézier样曲线。 5.具有形状参数的类Bézier曲面的开发
定义 5 对于控制点阵列，其中,和张量积类Bézier曲面可以定义为：带控制点哪里和是类伯恩斯坦基函数、和是基本函数的形状参数和分别是。 备注 1 类贝塞尔曲面的张量积具有与标准贝塞尔曲面张量积相同的性质。通过保持控制多边形不变，通过调整形状参数也可以改变类贝塞尔曲面的结构。它还具有与经典Bézier曲面相近的其他性质，如角点插值性质、对称性、形状柔性、凸包资产、边界性质和仿射不变性。
形状参数对Bézier曲面的影响
曲面只是结构的泛化，是两条独立曲线与网格点曲面的联合运动。然而，与曲线一样，曲面也会通过更改各种形状参数来显示其动作的差异。
例子 1 图5演示了三个Bézier类具有相同控制点但不同形状参数的阶数曲面。在图5，形状参数和显示了三个不同的类贝塞尔曲面。 6.结论
本文构造了具有两个形状参数的广义Bézier样曲线和广义Bernstein样基函数。证明了广义Bernstein-like基函数和Bézier-like曲线的一些性质。自由曲线是由类贝塞尔曲线构造的。此外，一些曲面是由类贝塞尔曲线构造的。还讨论了形状参数对曲线和曲面的影响。与其他具有多个形状参数的Bézier曲线和曲面技术相比，我们对本研究中确定的基函数的解释简单而充分。
