1.简介
在许多经济、社会和政治局势中，个人以群体而不是单独或独自开展活动。在这些场景中，了解团队每个成员的幸福感变得至关重要。例如，在共享资源的组中，个人的效用取决于资源的消耗水平和组中成员的身份；同样，对于属于政治联盟的政党来说，其效用取决于政党特征和其成员的身份。此外，另一个重要问题是调查制约联盟形成的动力。
莱泽博士和格林伯格[1]引入了享乐游戏，玩家对所有可能的玩家联盟都有偏好。特别是，玩家的效用仅取决于其所属联盟（或团体）的组成。享乐游戏构成了一个框架，用于正式研究玩家联盟形成过程的稳定性和演化。鉴于他们模拟了现实生活中的自然行为动力学，这类游戏在文学上引起了极大的兴趣：事实上，在经济、社会和政治环境中，个人以群体而不是自己的方式进行活动。例如，考虑以下场景：一家公司必须将其员工分配到不同的工作团队，以便他们能够进行有益的协作；在社交网络中，用户希望组成小组，在其中他们可以谈论并分享共同的兴趣。 可加性分离的享乐游戏构成了一类自然且简洁的享乐博弈。在这些游戏中，每个玩家对其他玩家都有一个值，联盟对特定玩家的效用就是她分配给联盟成员的值的总和。加性可分性满足许多理想的公理性质[2]以及Deng和Papadimitriou研究的图游戏的非传递效用泛化[三]. 虽然可加性分离享乐游戏的标准模型假设玩家是完全自私的，但在本文中，我们有兴趣分析这样一种情况，即玩家也考虑了朋友的幸福，因此在原始模型中增加了一种利他主义。回到上面描述的场景，很可能在公司员工之间存在一些友谊关系，而不一定是能够在一起进行有益合作的人之间。此外，社交网络用户通常包括来自同一家庭的人；即使他们年龄不同，因此被期望很高兴地属于不同的群体，他们也对亲人的幸福感兴趣。我们称这些游戏为社会背景可加性分离享乐游戏（SCASHG），我们相信他们能够以更准确的方式模拟许多现实场景中的联盟形成现象。事实上，在SCASHG中，每个玩家的行为也取决于她的朋友们的幸福，就像上面描述的场景一样。 在SCASHG中，估值是相加的，每个参与者我有估价对于任何其他玩家j个，但与经典的可加性分离享乐博弈相比，有一个关键的区别：而在经典模型中，联盟对特定参与者的效用仅由她分配给联盟成员的估值之和给出，在SCASHG中，还有另一个附加项有助于形成球员的效用，这等于她的朋友分配给他们自己联盟成员的估值之和（这个贡献乘以一个给定的参数). 特别是，对于，SCASHG等价于经典的可加性分离享乐游戏（即考虑一个完全自私的环境），而对于一个完全利他的环境可以被建模。
为了建模友谊关系，SCASHG也由表示底层社交网络的图定义：节点是玩家，连接两个玩家的边表示他们之间的友谊。可以说，作为SCASHG研究的第一步，考虑对称友谊关系是很自然的，因此，在本文中，我们重点讨论无向图。
在图1例如，我们可以看到播放器5的效用等于，其中是她联盟中球员的估值总和是她的朋友1、2和3分配给他们自己联盟成员的估值之和，乘以. 我们的目的是研究SCASHG自然稳定结果的存在性和表现。我们将专注于纳什稳定结果，即没有一个参与者能够通过单方面改变自己的联盟来提高自己的效用。特别是，我们通过广泛使用的无政府状态价格和稳定价格的概念来评估SCASHG的纳什结果的表现：前者被定义为社会最佳价值与最差稳定结果的社会价值之间的比率，后者被定义为社会最佳价值与最佳稳定结果的社会价值之比。
1.1. 我们的结果
首先，我们为SCASHG提供了一个精确的势函数，从而证明了这些博弈总是具有纯纳什均衡，并且保证了收敛到纳什均衡。为了评估SCASHG的绩效，我们考虑了两个社会福利函数。第一个社会功能，，由每个参与者分配给其联盟成员的价值的总和得出，而第二个社会功能，表示为，是玩家效用的总和（对于任何玩家来说，还要考虑到其朋友的估值乘以). 事实上，我们通过无政府状态价格和稳定价格的概念来评估纳什结果的表现(和表示无政府状态的代价和分别为；类似地和表示稳定的价格和）。
在估值为负的情况下和（因此也和)可以是无限的。此外，在某些情况下，我们能够提供任何平衡的社会价值的实例是消极的，而最佳解决方案会带来积极的结果。
随后，我们将注意力转向非负估值的情况，并证明无政府状态的代价是，而稳定的代价是1。
1.2. 相关工作
享乐游戏在文献中得到了广泛的研究。它们首先由雷泽博士和格林伯格博士考虑[1]，他们从合作的角度分析它们。波哥莫尼亚和杰克逊[4]和Banerjee等人[5]然后以目前的形式将享乐游戏定义为一个简单但非常通用的联盟形成模型。Feldman等人[6]通过刻画纳什均衡并给出稳定价格和无政府价格的上下界，从非合作的角度研究享乐博弈的一些有趣子类。彼得斯和埃尔金[7]考虑几类享乐游戏，并确定关于表现力的简单条件，这些条件足以解决检查给定游戏是否允许计算困难的稳定结果的问题。 Bogomolnaia和Jackson首先考虑了可加性分离的享乐游戏[4]他们表明，对于估值不对称的游戏，纳什稳定结果并不一定存在。然而，对于对称估值，Nash稳定结果的存在是由势函数参数保证的[4]. 球鞋[8]还有Sung和Dimitrov[9]证明了检查实例是否承认Nash稳定结果的问题在强意义上分别是NP完全和NP完全。奥尔森[10]证明了在具有非负对称偏好的可加分离享乐博弈中，判定非平凡Nash稳定联盟是否存在的问题是NP-完全的。阿齐兹等人[11]表明，即使对于对称估值，检查核心稳定结果的存在也是NP-hard。关于具有对称估值的加性可分离享乐博弈中Nash稳定结果的性能，很容易检查无政府状态的价格是无界的[12]并且稳定性的代价是1，因为最优结果总是纳什稳定的（可以通过使用势函数很容易地证明）。 分数享乐游戏接近于可加性分离游戏。不同的是，每个参与者的效用都被其联盟的规模所分割。Aziz等人首先考虑了它们[13]（另请参见[14])他们证明，对于非对称估值，核心可能是空的，而对于某些特殊情况，核心并非空的。Brandl等人[15]还研究了分数享乐博弈中核心稳定性和个体稳定性的存在性。Biló等人[16]考虑分数享乐博弈的Nash稳定结果，并研究其存在性和复杂性。Kaklamanis等人[17]还考虑了纳什稳定结果，并提供了一些关于稳定性代价的改进结果。Carosi等人[18]考虑具有二元对称估值的分数阶享乐博弈的局部核心稳定性，证明了任何局部核心动力学都是收敛的，这意味着局部核心稳定的联盟结构总是存在的。最后，Aziz等人[19]考虑在无向图上进行的分数享乐博弈的计算福利最大化分区（不一定是纳什稳定的）的计算复杂性。 改进的分数享乐游戏与分数享乐非常相似。不同的是，每个参与者的效用是该联盟所有其他成员（即不包括她自己）的平均值。奥尔森[20]是第一个考虑这些博弈并研究纳什稳定结果的计算问题的人。摩纳哥等人[21，22]完全刻画基本稳定结果的存在性，并对其性能显示严格的结果。Elkind等人[23]研究具有对称估值的修正分数享乐博弈的帕累托最优结果集。 从不同的角度，在[24，25]. 此外，Flammini等人[26]考虑在线环境中可加性分离和分数享乐游戏的社会福利最大化问题。享乐游戏也在不同的效用定义下被广泛研究：例如，在[27，28]考虑了联盟形成博弈，其中参与者效用与其在各自联盟中的调和中心度成正比。 在本文中，我们讨论的是自私的玩家，他们也有一定程度的利他主义。在这方面，我们的工作与社会背景游戏有关。这些游戏在[29]和由战略形式的潜在博弈和由无向图和聚合函数组成的社会背景定义。在[29]作者将资源选择博弈作为基础博弈，研究了纯策略纳什均衡的存在性。基于此模型，Biló等人[30]研究社会情境博弈，其中底层博弈为线性拥挤博弈和Shapley成本分担博弈，聚合函数为最小、最大和。此外，Anagostopoulos等人[31]研究玩家利他行为的影响表明，随着玩家变得更加利他，无政府状态的代价可能会增加。他们表明，对于拥塞游戏和最小金额调度游戏，这种增长是适度的，而对于广义二次价格拍卖，这种增长可能是剧烈的。霍弗和斯科帕利克也对利他主义者的兴趣进行了建模和研究[32]他们关注原子拥塞博弈中利他参与者的纯纳什均衡的存在性和复杂性。Chen等人[33]研究了成本分担博弈、效用博弈和线性拥挤博弈等几类博弈均衡的无效性。Salehi-Abari和Boutiler[34]研究具有移情偏好的社会选择，其局部移情模型与[35]. 最后，布伦泽和拉尔森[36]学习社交远程游戏。在这些游戏中，玩家对朋友（距离一的玩家）的评价权重最高，而对距离较远的玩家的评价权重较小。 据我们所知，很少有论文讨论享乐游戏中的利他主义概念。Nguyen等人[35]定义利他主义享乐游戏，其中根据利他主义的三个程度来考虑玩家朋友的满意度，从自私第一，过度聚集玩家和朋友的意见，到利他主义让朋友先决定。他们研究了这些游戏的公理性质以及与常见稳定性概念相关的问题的计算复杂性。在[37]Umar和Mesbah将自私/利他节点组成的自组织无线网络中的联合联盟形成和带宽分配问题建模为具有不可转移效用的享乐联盟形成博弈。研究了自私偏好和利他偏好下所提出的特征算法的计算复杂性和收敛性，并提出了保证纳什稳定性的方法。 最后，还值得一提的是一些关于网络形成游戏的相关文献，其中有趣的是，所考虑的游戏被证明是潜在的游戏，正如我们的论文中所述：[38]巴德夫处理的场景中，球员的效用受到友谊关系和副总统的影响，而基纳泰德和梅利诺[39]研究一个利益在邻居之间共享的网络创建游戏。梅勒[40]提出了一个社交网络形成的经验模型，将参与者之间的战略联系和随机联系结合起来。Bourlès等人[41]对网络中的利他主义进行一个有趣的分析：代理嵌入固定网络，关心其网络邻居的幸福，也就是说，他们可能会向贫穷的朋友提供经济支持。 1.3. 纸张组织
论文组织如下。在第2节我们正式定义了社会背景可加性分离享乐游戏。论文的技术贡献在第3节，第4节和第5节其中分别讨论了纳什结果的存在性、无政府状态价格的结果和稳定价格的结果。最后，在第6节我们列出了一些有趣的开放问题。 2.型号
对于整数，表示为成套设备.
我们通过估值函数对社会背景可加性分离享乐主义游戏（SCASHG）进行建模v（v），一个无向图和给定参数。我们用表示节点数G公司和E类节点之间的边集，表示友谊关系。是对称估值函数。我们不要求v（v）和小时因此，允许两个朋友有一个相互否定的评价（正如引言中描述的场景，在企业员工之间，可能存在一些友谊关系，而不一定是能够一起盈利的人之间的友谊关系）。然而，所有获得的结果也适用于朋友之间的估值必须为正的特殊显著情况：在这种特定的情况下，所有的正结果都明显成立，而其余的结果（在命题1、定理2、定理5和定理6中给出）利用只在图中没有边连接的参与者之间存在负估价的结构G公司.为了方便起见，我们采用了符号和表示这一对及其估价分别是。
给定对称估值函数v（v），一个无向图和的值，的社会背景可加性分离特征博弈诱发因素G公司，v（v）和，表示为，是每个节点所在的游戏与玩家关联。我们假设玩家人数从1到n个并且，对于每一个，每个玩家选择加入某个联盟在…之间n个候选策略：战略玩家的我是一个整数，意思是玩家我正在选择候选人联盟.
战略简介直接导致结果其中，对于任何，反过来，结果自然诱发联盟结构即，将玩家集划分为联盟这样，对于任何，（即，空的候选联盟被排除在分区之外），和对于任何具有。为了简洁起见，我们用也是由.如果，我们说那个球员我是联盟成员。我们表示为联盟哪个玩家我是成员。在一个结果中，播放器的效用我定义为其中，对于每个，. 每个玩家都会选择自己所属的联盟，以实现效用最大化为目标。我们表示为，新的联盟结构来自通过移动播放器我从到; 正式地，.玩家偏离如果她改变了她所属的联盟。如果有结果，一个改进动作（或者简单地说移动)对于玩家我是对任何联盟的背离这严格地增加了她的效用，即。，此外，玩家我执行最佳反应在联盟结构中通过选择一个能为她提供最高效用的联盟（注意，当存在联盟时，最好的回应也是一种行动这样的话。玩家是稳定的如果她不能移动。结果是（纯）纳什稳定（或a纳什均衡)如果每个球员都稳定。安改善动态或者简单地说，是一系列改进动作，而最佳响应动力学是一系列最佳反应。游戏具有有限改进路径性质如果它不允许无限长的改进动力学。显然，具有有限改进路径性质的博弈总是允许纳什稳定结果。我们用表示Nash稳定结果集.
这个社会福利联盟结构的是玩家效用的总和，即。，.
我们还定义了第二个社会福利函数这是由她分配给联盟成员的每个玩家的估值总和得出的（不考虑朋友的效用）。
给定一个游戏，一个最佳的联盟结构（分别为)是社会福利最大化（分别为属于. The
无政府状态的代价社会背景的可加性分离享乐游戏定义为社会最优结果的社会福利与纳什均衡的社会福利之间的最坏情况比率。正式地，和 类似地稳定价格属于定义为社会最优结果的社会福利与纳什均衡的社会福利之间的最佳情况比率。正式地，和 3.纳什稳定结果
在本节中，我们考虑纳什稳定结果。
我们首先表明，社会背景从根本上修改了可加性分离享乐游戏的稳定性概念。为此，考虑其图形的实例G公司估值如所示图2一方面，联盟结构纳什何时稳定（即，不考虑社会影响）：玩家的效用是分别是。球员1的收入尽可能多，因此没有偏离的动机；玩家2将通过加入玩家3的联盟获得2的效用，而它将通过单独行动获得0的效用；玩家3将获得加入玩家1和玩家2的联盟。另一方面，当即，当考虑社会背景的影响时。事实上，在这种情况下，玩家2的效用再次，而她将获得加入同一个玩家3联盟。有趣的是，也有可能构建一个逆命题不成立的实例：考虑定理2证明中使用的实例。在这里，大联盟是纳什稳定的，因此每个玩家都会得到一个负效用。如果我们不考虑社会背景对玩家效用的影响，大联盟就不会是纳什稳定的，因为每个玩家都明显喜欢单独组成一个新联盟，所以效用为0。 我们现在证明了一个稳定的结果是被保证存在的，并且SCASHG的有限改进路径属性是成立的，因为这些游戏承认潜在函数。具有，其中，对于每对选手，我们定义如果和如果. 在下面的定理中，我们证明了是我们游戏的一个精确的势函数。
证明。 给出两个稳定的结果和哪里是从以下位置获得的在球员之后我执行移动时，我们证明以下内容成立： 对于方程式的左侧(1)，通过应用，我们得出： 因此，证明如下。 □
4.无政府状态的价格
在本节中，我们评估了纳什稳定结果相对于无政府状态价格概念的表现。
我们首先表明，对于一般估值而言，无政府状态的价格是无限的。众所周知，可加性分离享乐游戏的无政府状态的代价是无限的[12]. 以下建议是对我们的社会背景的简单扩展。以下结果适用于两种社会福利功能和. 提议 1 对于任何，存在一个函数v（也承认负估值），使得和是无界的，其中.
证明。 让是球员的估值，如图3，使用.作为，我们可以很容易地注意到，这两种社会福利功能的价值观和每个联盟结构都是平等的。 一方面，存在结果具有因此和另一方面，可以很容易地验证结果具有是纳什均衡。因此，和从而证明了趋于0。 □
对于更复杂的社会关系图，我们也能够显示出更强的结果，即使是在稳定价格的情况下（分析于第5节)：根据定理5，存在一个SCASHG，其中每个Nash均衡是这样的为负值，而是积极的。我们现在证明了社会福利函数的类似结果. 定理 2 对于任何，存在一个图G和一个函数v（也承认负赋值）诱导，因此虽然纳什稳定结果属于.
证明。 让G公司是中描述的社交图图4然后让是以下所示的估价图4，使用这样的话. 一方面，联盟结构是这样的，因此.
另一方面，纳什均衡是大联盟，其中所有参与者都在同一联盟中，而且很容易检查，的确，玩家和6具有相同的实用程序当他们加入大联盟时，如果他们中有人偏离，她所能做的最好的事情就是单独组成一个新的联盟，在这个联盟中她将发挥作用此外，玩家2和玩家4具有相同的效用如果他们中的任何一个偏离组成另一个联盟，她的效用将变成对于. □
上述结果可以解释为：如果对某些玩家的估值为负值，则可以排除与估值为正值的其他玩家组成团队的可能性，而前者和后者已经在同一组中。值得注意的是，这种情况也出现在加性可分离享乐游戏的经典模型中（注意，在命题1中，社会图没有边）。这一现象表明，在社会和经济场景中，难以与其他参与者合作的参与者如何降低稳定结果的全球质量。鉴于这些负面结果，在接下来的内容中，我们将重点关注估值函数不假设负值的情况，即。，对于任何具有.
为了证明上界和，我们需要一些额外的符号和定义。考虑到任何结果，让是球员估值的总和我对属于她的朋友，即类似地，让是球员估值的总和我属于的玩家而不是做她的朋友。最后，我们表示为球员的最大价值我，即。.
以下定理提供了渐近匹配的上界和下界和.
定理 三。 对于任何、任何图G和任何函数v都不允许负值，和.
证明。 给出Nash稳定结果，适用于每个玩家它认为证明不等式2，回想一下，其中，对于每个，根据的定义和，此外，让：由此可见.让j个成为这样的球员.如果j个属于加入同一个联盟我，不平等2琐碎地持有。否则，请注意，如果玩家我加入联盟，改变战略j个以这种方式引入新的联盟结构，我们获得，因为捐款的朋友我未连接到播放器我在里面保持不变因此，如果运动员我会通过改变策略来增加她的效用：这与事实相矛盾Nash稳定了。 此外，它还认为，在所有联盟结构中，包括最佳结果和，最多为因此，和.
因此，因为，由于不平等2，，我们得到 类似地，对于社会福利功能，自和，通过回顾，我们得到从而证明了这一主张。 □ 我们现在关注下限和.
定理 4 对于每个偶数正整数n和每个，存在一个具有n个顶点的图G和赋值函数v（不允许负赋值），如下所示和.
证明。 考虑二部图具有n个中描述的顶点图5（请注意和)，并让v（v）是这样的估价函数 对于每个；
适用于所有配对这样的话和；
对于所有剩余的线对。
一方面，可以很容易地检查到，大联盟是这样的，对于每一个，因此，最佳结果是这样的和最佳结果是这样的.
另一方面，联盟结构其中有非空联盟对于是纳什稳定结果；事实上，对于每一个，和，而球员的偏离我另一个非空候选人联盟将导致一个新的联盟结构这样的话，因为对玩家来说已连接G公司到玩家我它成立此外，球员的偏差我一个空的候选人联盟将导致一个新的联盟结构这样的话，再次因为玩家已连接到G公司到玩家我它能容纳一个完全对称的论点适用于每个玩家.
5.稳定性价格
在本节中，我们将介绍我们关于稳定性价格的结果。首先，请注意，如果所有估值都是非负的，那么就两个社会福利函数而言和，大联盟同时是最优解决方案和纳什稳定结果，因此意味着.
因此，在下文中，我们将讨论一般估值的情况，即我们允许估值函数假设为负值。我们首先表明，对于社会福利函数存在一个SCASHG，其中每个Nash均衡是这样的为负值，而是积极的。
定理 5 对于任何，存在一个图G和一个函数v（也承认负赋值）诱导，因此虽然每一个Nash稳定结果属于.
证明。 让我们考虑一下这个图表G公司中描述的图6和估价功能v（v）其非空值列在图6，其中是一个任意的正参数。 现在我们想证明，在每一个纳什稳定的结果参与者1、2和3属于同一联盟。
首先，请注意，对于任何，对于任何; 因此，可以丢弃玩家在下面的讨论中。玩家1、2和3属于三个不同联盟的结果并不稳定，因为例如，玩家1会将其效用从0增加到加入玩家2的联盟。玩家1和2加入联盟，玩家3加入另一个联盟的结果不是纳什稳定的，因为玩家3将从到通过加入玩家1和2的联盟（注意，对于玩家2和3在联盟中，玩家1在另一个联盟中的结果，对称论点成立）。最后，玩家1和3加入联盟，玩家2加入另一个联盟的结果不是纳什稳定的，因为，例如，玩家1将从通过单独组建一个新的联盟而达到0。由此可见，在任何纳什均衡中（记住，根据定理1，纳什均衡总是存在的）参与者1、2和3属于同一联盟。
可以很容易地验证和此外，由于，对于任何，.
为了完成证明，只需注意存在一个具有积极社会福利的联盟结构（例如，参与者1和参与者2属于同一联盟，所有其他参与者单独处于不同联盟中）。 □
现在我们将注意力集中在社会福利函数，我们证明是无界的趋于1。
定理 6 给定任何，存在一个α值、一个图G和一个函数v（也承认负赋值），这样.
证明。 让我们考虑一下这个图表G公司中描述的图7和估价功能v（v）其非空值列在图7，其中和. 通过利用定理5证明中使用的相同参数，可以证明唯一的Nash稳定结果由大联盟提供。
可以很容易地验证和因此，.
此外，存在联盟结构有社会福利因此，它认为.
因此，对于任何，对于.自，可以选择这样的话下面是声明。 □ 6.未决问题
从可加性分离享乐游戏的基本类开始，我们定义并研究了一个新的模型，在这个模型中，给定一个社交图，玩家还关心他们朋友的幸福。我们的工作带来了许多未来的研究方向。
首先，为了降低无政府状态的代价，研究特别重要的图拓扑是很有意思的。此外，对其他稳定性概念的研究，如强纳什结果和核心稳定结果，也值得进一步研究。
这是对享乐游戏中社会效应理解的首次研究。沿着这条线可以追求几个研究方向（或它们的组合）：
只有参与者之间的估值才能与零不同的问题用于哪个边缘属于社交图（并非适用于所有玩家对）；
估值不对称的环境；
考虑边缘加权社交图的问题，其中权重表示一个玩家对另一个玩家的重要性；
friends的经典效用的不同组合，在第一个作品中以加法的方式进行了组合；
用播放器特定参数定义的问题每个玩家都有不同程度的利他主义。
最后，在分数享乐游戏的背景下研究社会背景游戏是很有意思的，在分数快乐游戏中，玩家的效用（根据当前的可加性分离享乐游戏模型）除以她所属联盟中的玩家数量，以及改进的分数享乐游戏，其中玩家的效用是该联盟中所有其他成员的平均值，也就是说，不包括她自己。
