Dynamic Durable Goods Monopoly and Market Power

Altan, Basak

doi:10.3390/g11020022

开放式访问第条

动态耐用品垄断与市场势力

通过

Basak Altan公司

土耳其伊斯坦布尔Ozyegin大学经济系，34794

游戏 2020,11(2), 22;https://doi.org/10.3390/g11020022

收到的提交文件：2020年2月12日/修订日期：2020年4月22日/接受日期：2020年5月7日/发布日期：2020年5月18日

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版本注释

摘要

:

我们分析了一个纵向差异化市场，在一个无限小时、离散时间的博弈中，一个垄断者为一种不完全耐用的商品提供服务。我们的目标是确定销售者可以保持其垄断能力的马尔可夫完全平稳均衡。我们确定，当卖方提供同一产品的不同质量版本时，支持垄断结果的参数集更大。因此，我们的结果表明，当产品的固有耐久性很高时，卖家应该提供不同质量的产品版本。

关键词：

耐用品;垄断;定价;质量;区别

JEL分类：

C73；C78；第12层

1.简介

自年以来，人们一直在积极研究耐用品垄断者的时间不一致问题[1]假设垄断者销售一种完全耐用商品的价格（或产出）序列并不能使其整体盈利能力最大化。垄断者无法行使其市场权力，因为理性的消费者会预测卖方的定价策略。当市场以当前价格结算时，垄断者除非降低产品价格，否则无法卖出更多产品。然后，消费者不愿意以当前价格购买产品。此外，当垄断者可以频繁调整价格时，市场价格立即下降到竞争水平，因此垄断者无法提取任何消费者剩余。然而，在实际市场中，耐用品销售商可以收取高于边际生产成本的价格，并获得可观的利润。

我们的研究是基于现实市场和科斯猜想之间的差异，并得到了文献中理论研究的支持。我们想了解我们在现实生活中观察到的策略是否能够使卖家保持其市场力量。耐用品卖家采用巧妙的策略，让一些买家比其他买家支付更多。我们在耐用品市场经常观察到的策略之一与产品质量有关。虽然一些客户非常关心高端产品，但其他客户对价格较低的简单产品感到满意。许多耐用品销售商向市场提供同一产品的不同质量版本。即使在某些情况下，耐用品销售商也会故意削弱他们的产品，以损坏产品，并以更高的单位成本生产质量更低的产品。学生版的软件、速度较慢的打印机和划痕的销售都是这种故意破坏产品的例子。追求利润的卖家生产低质量产品的主要原因是为了增加自己的利润。因为，尽管所有客户都喜欢高质量的版本而不是低质量的版本，但他们对这些产品的价值并不相同。这种估价差异为卖家创造了一个空间，可以通过以不同价格提供不同质量的版本来区分客户。因此，垄断销售商能够通过对具有垂直产品差异化的客户进行分类来获得更高的利润。我们想了解这种策略是否也有助于垄断卖家缓解时间不一致问题。这个想法背后的直觉很简单。一旦所有估值较低的客户都有质量较低的产品，垄断者降低高质量产品价格的动机就会减弱，因为高质量产品的降价幅度必须足够大，以使估值较低客户的低质量产品过时。

我们将质量差异化作为缓解耐用品垄断者承诺问题的一种策略进行研究，并研究同时引入垂直差异化产品是否能使垄断者保持其市场力量。我们研究不完全耐用商品的垄断市场。产品随机贬值。我们考虑一个无限大离散时间博弈。在每一个时期，垄断者可以销售两种版本的耐用商品，即高质量和低质量。我们认为，质量差异化可以增强耐用品垄断者的市场力量，并缓解承诺问题。特别是，当产品的固有耐用性很高时，为了可信地承诺垄断价格，垄断者必须引入质量较低的产品。

早期的研究分析了一个销售完全耐用商品的垄断者，结果表明，如果买家将其策略建立在历史上与收益相关的部分上，科斯的预测是成立的。参考[2]在两阶段模型中研究了一个耐用品垄断者，结果表明，垄断者收取的最优价格严格小于静态垄断价格。直觉上，除非垄断者可信地预先承诺生产计划，否则消费者预计垄断者将生产更多的产品，以利用降低耐用品现值的剩余需求。因此，由于消费者不愿意在第一阶段支付静态垄断价格，为了响应消费者的期望，垄断者降低了产品的价格。参考[3]延伸[2]的设置为无限小时设置。参考[3]确定存在满足科斯猜想的平衡。这种平衡是她模型的有限版本唯一平衡的极限。类似地，参考[4]结果表明，即使在无穷大模型中可能存在一个连续的子博弈完美均衡，科斯猜想也被马尔可夫策略所验证。参考[5]通过考虑一个需求随时间增长的完美耐用商品市场，扩展了这些初步分析。他的研究也验证了科斯对马尔可夫策略的预测。直觉上，如果垄断者永远收取静态垄断价格，那么随着新消费者进入市场，低估值客户的数量将增加，降价策略将不可避免。

与早期研究相反，参考[6]研究表明，如果购买者的策略不仅取决于历史上与收益相关的部分，也取决于过去的行为，那么存在着一种均衡，在这种均衡中，当生产的边际成本不低于最低购买者估价时，垄断者创造声誉并保持部分或全部市场力量。除了建立声誉外，产品折旧还可以帮助耐用品垄断者避免时间不一致问题。参考[7]研究表明，在离散时间无限小时博弈中，当商品贬值时，只要垄断者连续报价的时间间隔不为零，替代销售可能会阻止垄断者降价。然而，在极限条件下，随着时间段的长度接近零，竞争结果得以实现，科斯猜想成立。参考[8]另一方面，通过使用具有替代销售的连续时间模型，构建了垄断者可以获得高于竞争水平的利润的连续时间均衡。然而，参考[8]还证明了存在一个平衡点，从而验证了科斯猜想。然后，参考[8,9]当代理遵循马尔可夫策略时，描述折旧率对耐用品垄断市场结果的影响。他们的结论是，在一定的持久性水平以下，存在一种独特的静态均衡，在这种均衡中，垄断者在每个时期收取静态垄断价格，即使卖方变得非常不耐烦，这种均衡仍然存在。直觉上，当产品贬值时，替代销售比通过降低商品价格渗透市场更有利可图。我们将其单一良好环境扩展到垂直差异化市场环境中，以分析质量差异对耐用品垄断者承诺问题的影响。

有几项关于耐用品垄断的研究围绕着质量改进问题展开。参考文献[10,11,12]在两阶段模型中考虑这个问题。然而，有限水平模型不足以解决时间不一致问题。参考文献[13,14,15,16,17]考虑计划淘汰，并表明耐用品垄断者无法维持市场力量，因为高质量的产品降低了二手产品的价值。我们的研究表明，当产品不易腐烂时，同时引入不同版本的产品可以增加利润。与我们的研究类似，参考[18]分析了一个离散时间的无限地平线博弈。一个完美的耐用品垄断者可以随着时间的推移改变商品的质量。参考[18]结果表明，当生产的边际成本足够低时，科斯猜想适用于所有子博弈完美均衡。

参考[19]在无限小时模型中研究了完全耐用产品的质量差异，并确定引入低质量产品可以缓解时间不一致问题。参考[20]研究了一个能够在无限小时模型中提供不同质量的完美耐用品的耐用品垄断者，结果表明，当垄断者在价格和质量调整方面变得极其灵活时，他立即失去了垄断权，并取得了竞争结果。参考[21]研究了质量在有限时间模型中的作用，并为产品差异化提供了科斯解释。在所有这些模型中，当买家购买产品时，她就会离开市场。在我们的研究中，买家可以根据自己的意愿随时重新进入市场。我们建立了当垄断者也生产低质量商品时，支持垄断均衡的参数集更大。

本文的其余内容如下。第2节介绍了模型。第3节描述了动态优化问题。第4节刻画稳态并识别平稳马尔可夫完美平衡。第5节结束语。所有证据都归附录A。

2.型号

考虑一个垄断者为市场提供不可分割且不完全持久的商品。垄断者能够制造同一产品的两个不同质量版本，并提供高质量(H（H）)和低质量(L（左）)在不连续的时间点同时销售的版本。具有质量水平的耐用商品

我 \in {H（H）, L（左）}

被称为耐用商品我。

存在一个单位质量的无限寿命买家

b条 \in [0, 1]

买家分为两组：高估值买家

b条 \in [0, \hat{b条}]

和低价买家

b条 \in (\hat{b条}, 1]

.高估值买家的保留价值我是

{\bar{u个}}^{我}

以及低价买家的保留价值我是

{\underset{̲}{u个}}^{我}

.买方的流动收益b条获得一个单位的货物我由表示

{（f）}^{我} (b条) = {\bar{u个}}^{我}

对于

b条 \in [0, \hat{b条}]

和

{（f）}^{我} (b条) = {\underset{̲}{u个}}^{我}

对于

b条 \in (\hat{b条}, 1]

。1高估价买家将较高的价值分配给货物我而不是低价买家，即。，

{\bar{u个}}^{我} > {\underset{̲}{u个}}^{我}

对所有人有效我.高质量产品的最高保留值和最低保留值之间的差异更大，即。，

{\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} > {\bar{u个}}^{L（左）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

保持有效。2买家可以在一个完全竞争的二手市场进行交易。买家总是可以进入市场。此外，每个买家最多只能拥有一个单位的耐用品。生产的边际成本假定为零。连续价格变化之间的时间长度为

z（z） > 0

两种耐用品的折旧率都是随机的。产品在一段时间后仍然工作的概率z（z）是

{e（电子）}^{- λ z（z）}

因此，具有概率

μ 选择 1 - {e（电子）}^{- λ z（z）}

商品在连续的价格变化中失效。

销售仅发生在离散的时间点，

吨 = 0, z（z）, 2 z（z）, \dots, n个 z（z）, \dots

在所有市场。时间

n个 z（z）

被称为期间n个所有代理商（买方和垄断者）都是风险中性的，具有相同的折扣系数

δ 选择 {e（电子）}^{- 第页 z（z）}

在每个时段，游戏的运行方式如下。首先，垄断者决定商品的价格。然后，买家选择是否持有一种商品以及持有哪个版本。相应地，所有市场都同时进行交易。游戏在下一个时段重复。垄断者的目标是最大化其预期利润的现值，而买方寻求最大化其期望收益的现值，作为当前市场状态的函数。

我们寻求得到该博弈的平稳马尔可夫完美均衡，其中代理策略仅依赖于当前状态。让

σ

和

τ_{b条}

成为垄断者和买方的策略b条分别是。买方的指数策略b条表示为

τ_{b条} : ℜ_{+}^{2} \to {0, 1, 2}

其中，决定0表示买方倾向于在本期不持有任何货物，决定1表示买方倾向持有低质量货物，而决定2表示买方偏好在本期持有高质量货物。由于存在一个完全竞争的二手市场，买家的策略独立于其持有状态，仅取决于当前价格。因此，垄断者可以将其策略指定为市场上当前商品库存的函数，而不是价格的函数。因此，垄断者在一段时间内的价格取决于

σ : Ω \times Ω \to ℜ_{+}^{2}

，其中

Ω

Borel sigma代数在

[0, 1]

.战略概况

{σ, τ}

生成可以递归导出的商品价格和库存的固定路径。我们将注意力局限于均衡，在均衡中，通过一组测量值零的偏差既不会改变垄断者的行为，也不会改变其他买方的行为。因此，在这种均衡中，买方表现为价格接受者。

3.动态优化问题

在本节中，首先，我们描述了垄断者的目标函数。接下来，我们推导出每个产品版本的客户预订估价。然后，通过考虑激励相容性和参与约束，我们确定了每个市场状态下的最大可能价格。最后，我们刻画了平稳平衡的结构。

耐用商品的库存我在贸易被表示为

{x个}^{我}

以及耐用商品的库存我交易后表示为

年^{我}

。这两种版本的产品都按个别水平折旧。然而，我们将市场上的商品库存视为状态变量。如果我们没有二手市场，状态变量就不能是市场上的商品存量。它必须是客户的分配。产品要么停止工作，要么其价值保持不变。这意味着二手市场的价格与一级市场的价格相同。持有低质量商品的买家可以通过在二手市场上销售当前版本，以较低的成本升级产品。然后，单极子的价值函数变成

R（右） ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = \underset{年^{我} \in [{x个}^{我}, 1], \forall 我}{最大值} {{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) (年^{H（H）} - {x个}^{H（H）}) + {P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) (年^{L（左）} - {x个}^{L（左）}) + δ R（右） ((1 - μ) 年^{H（H）}, (1 - μ) 年^{L（左）})},

(1)

哪里

{P（P）}^{我} (\cdot)

耐用商品的价格是多少我、和

R（右） (\cdot)

是延续值。

我们需要推导这两种商品的预订估价，以确定价格。买方预约估价b条从好的方面我由表示

{V（V）}^{我} (b条)

它来自买方b条的跨期优化需要买家b条对今天按价格购买商品漠不关心

{V（V）}^{我} (b条)

等待一段时间购买。然后，

{V（V）}^{我} (b条)

成为

{V（V）}^{我} (b条) = (1 - ρ) {（f）}^{我} (b条) + ρ {\overset{´}{第页}}^{我}

(2)

哪里

ρ 选择 δ (1 - μ)

和

{\overset{´}{第页}}^{我}

是货物的预期价格我在下一个时期。自

{（f）}^{我} (\cdot)

是单调的，并且零购买者的测度偏差不影响均衡，

{V（V）}^{我} (\cdot)

是一个非递增的包含左的函数。当交易后的货物库存

(年^{H（H）}, 年^{L（左）})

，优质商品的价格来源于优质商品边际购买者的激励相容约束

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) \leq {V（V）}^{H（H）} (年^{H（H）}) - {V（V）}^{L（左）} (年^{H（H）}) + {P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）})

(3)

低质量商品的价格来源于低质量商品边际购买者的参与约束

{P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) \leq {V（V）}^{L（左）} (年^{H（H）} + 年^{L（左）})

(4)

哪里

{V（V）}^{L（左）} (年^{H（H）}) - {P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）})

是买家的回报

年^{H（H）}

如果她以价格购买低质量商品

{P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）})

。

目标函数的argmax对应关系表示为

吨 (\cdot)

根据广义最大值定理和压缩映射定理，存在唯一的连续函数

R（右） (\cdot)

、和

吨 (\cdot)

是非空的紧值对应。3此外，目标函数的超模性意味着

吨 (\cdot)

对于每个参数都是非递减的。因此，存在最多可数个点，其中

吨 (\cdot)

是多值的。

提议 1

垄断者不会沿着任何均衡路径随机化，除非是初始阶段。

因此，给定一个状态

({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）})

，垄断者的均衡产出选择为

吨 ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = 最小值 吨 ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）})

此外，输出函数，

吨^{我} (\cdot) : [0, 1 - μ] \times [0, 1 - μ] \to ℜ_{+}

，自

吨 ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）})

是一种单调的通信。

平衡用以下公式表示

{{P（P）}^{H（H）} (\cdot), {P（P）}^{L（左）} (\cdot), 吨^{H（H）} (\cdot), 吨^{L（左）} (\cdot), R（右） (\cdot)}

静止路径的结构如下所示。在初始阶段，垄断者选择价格，

{P（P）}^{H（H）} (年_{0})

和

{P（P）}^{L（左）} (年_{0})

.所有买家

b条 \leq 年_{0}^{H（H）}

购买优质商品和所有买家

年_{0}^{H（H）} < b条 \leq 年_{0}^{H（H）} + 年_{0}^{L（左）}

购买劣质商品。4在下一期开始时，优质商品的库存为

{x个}_{1}^{H（H）} = (1 - μ) 年_{0}^{H（H）}

低质量商品的库存是

{x个}_{1}^{L（左）} = (1 - μ) 年_{0}^{L（左）}

垄断者选择价格，

{P（P）}^{H（H）} (年_{1}) = {P（P）}^{H（H）} (吨 ({x个}_{1}))

和

{P（P）}^{L（左）} (年_{1}) = {P（P）}^{L（左）} (吨 ({x个}_{1}))

和所有买家

b条 \leq 年_{1}^{H（H）}

选择持有优质商品和所有买家

年_{1}^{H（H）} < b条 \leq 年_{1}^{H（H）} + 年_{1}^{L（左）}

选择持有低质量的商品。这将一直持续到达到稳定状态。一旦达到稳定状态，垄断者继续向替代需求销售产品。为了构造这个博弈的均衡[9]后面跟着。首先，我们证明了在任何平衡态中都存在稳态。然后，我们描述了所有可能的稳态。最后，我们通过使用稳态的反向诱导导出所有达到稳态的稳态路径。

我们关注的是一个重要的案例，其中

\hat{b条} {\bar{u个}}^{H（H）} > {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}

否则，唯一的静态稳定状态将是静态垄断的结果，垄断者设定价格，以便所有买家立即购买优质商品，从那时起，垄断者向替代需求销售。

4.分析

在这一节中，首先，我们建立了任何平衡态中稳态的存在性。然后，我们描述了当垄断者向高估值买家出售高质量商品时，所有可能共存的稳定状态。最后，我们确定了支持垄断均衡的参数集。

耐用品的稳定库存水平

(年_{秒}^{H（H）}, 年_{秒}^{L（左）})

必须满足

吨^{H（H）} ((1 - μ) 年_{秒}) = 年_{秒}^{H（H）}

和

吨^{L（左）} ((1 - μ) 年_{秒}) = 年_{秒}^{L（左）}

，其中

(吨^{H（H）} (\cdot), 吨^{L（左）} (\cdot))

是目标函数的argmax对应。我们确定任何平衡都有一个稳态。

提议 2

任何均衡都至少有一个稳态，稳态价格满足

{P（P）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}, 年_{秒}^{L（左）}) = {（f）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) + {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

和

{P（P）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}, 年_{秒}^{L（左）}) = {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

。

稳定价格背后的经济直觉如下。处于稳定状态

(年_{秒}^{H（H）}, 年_{秒}^{L（左）})

，优质商品的边际买家是

年_{秒}^{H（H）}

低质量商品的边际买家是

年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）}

在每个时期。买方

年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）}

当低质量商品的价格为

{（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

同样，买方

年_{秒}^{H（H）}

当优质商品的价格为

{（f）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）})

然而，当低质量商品的价格为

{（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

，买方

年_{秒}^{H（H）}

低质量商品的净盈余为

{（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) - {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

因此，向买方出售优质商品

年^{H（H）}

，垄断者必须留下不低于

{（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) - {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

对高估值买家而言。因此，在稳定状态下，优质商品的价格是

{（f）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) + {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

低质量商品的价格是

{（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

。

我们考虑的是一种均衡，在这种均衡中，垄断者可信地承诺不向低价买家出售优质商品。这种平衡的垄断稳态是

(\hat{b条}, 0)

和

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

在第一种情况下，垄断者将优质商品出售给高价值的买家，市场上没有劣质商品。这种稳定状态称为静态垄断稳定状态。我们将相应的均衡称为静态垄断均衡。在第二种情况下，垄断者通过将优质商品出售给高价值买家和将低质量商品出售给低价值买家来分割市场。这种稳定状态称为分段垄断稳定状态。我们将相应的均衡称为分段垄断均衡。

提议三。

让S表示稳态集。在任何均衡中，当垄断者将高质量的商品出售给高估值的买家时，以下情况之一成立：

1。: $S公司 = {(\hat{b条}, 1 - \hat{b条}), (\hat{b条}, 0)}$ ;
2。: $S公司 = {(\hat{b条}, 1 - \hat{b条}), (\hat{b条}, 0), (1, 0)}$
3。: $S公司 = {(\hat{b条}, 1 - \hat{b条}), (1, 0)}$ 。

我们确定，当一个垄断者生产两种版本的持久商品时，垄断均衡中存在三种可能的稳定状态：

(1, 0)

,

(\hat{b条}, 0)

,

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

.在稳定状态下

(1, 0)

所有买家在交易结束后都持有优质商品，而垄断者在每个时期都会满足他们的替代需求。这种稳态被称为科斯猜想稳态。我们证明了静态垄断稳态总是与分段垄断稳态共存。取决于

μ

科斯猜想的稳态

(1, 0)

可能与垄断稳定国家共存。我们现在确定

μ

支持提案3中确立的这三个案例。

静态垄断均衡存在的必要条件如下。首先，当贸易前的状态是

((1 - μ) \hat{b条}, 0)

，垄断者必须更倾向于出售优质商品，而非高估值买家的替代需求

μ \hat{b条}

按价格

{\bar{u个}}^{H（H）}

然后将优质商品出售给不持有优质商品的买家

(1 - (

1 - μ)

\hat{b条})

按价格

{P（P）}^{H（H）} (1, 0)

并继续向所有买家的替代需求销售优质商品

μ

按价格

{P（P）}^{H（H）} (1, 0)

之后。如果

\frac{μ \hat{b条} {\bar{u个}}_{H（H）}}{1 - δ} \geq (1 - (1 - μ) \hat{b条}) {P（P）}^{H（H）} (1, 0) + \frac{δ μ}{1 - δ} {P（P）}^{H（H）} (1, 0)

(5)

认为，垄断者从未将优质商品的价格降低到

{P（P）}^{H（H）} (1, 0)

为所有买家提供优质服务。自

{P（P）}^{H（H）} (1, 0) \leq {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}

, (5)为所有人保留

μ \geq \frac{(1 - δ) (1 - \hat{b条}) {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}}{\hat{b条} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}) - δ (1 - \hat{b条}) {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}} 选择 {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

第二，当贸易前的状态是

((1 - μ) \hat{b条}, 0)

，垄断者必须更倾向于出售优质商品，而非高估值买家的替代需求

μ \hat{b条}

按价格

{\bar{u个}}^{H（H）}

永远把优质商品卖给高价值买家的替代需求

μ \hat{b条}

按价格

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

然后将低质量的商品出售给低价值的买家

1 - \hat{b条}

按价格

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

继续向替代需求销售低质量产品

μ (1 - \hat{b条})

按价格

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

之后。如果

\frac{μ \hat{b条} {\bar{u个}}^{H（H）}}{1 - δ} \geq \frac{μ \hat{b条}}{1 - δ} {P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条}) + (1 - \hat{b条}) {P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条}) + \frac{δ μ (1 - \hat{b条})}{1 - δ} {P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

(6)

认为，垄断者从不降低低质量商品的价格

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

为低价值的买家提供低质量的商品。自

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条}) \leq {\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条}) \leq {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

, (6)保持，如果

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

因此，垄断者不会偏离静态垄断稳态

(\hat{b条}, 0)

什么时候

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

。

分段垄断均衡存在的必要条件如下。当交易前的状态

((1 - μ) \hat{b条}, (1 - μ) (1 - \hat{b条}))

，垄断者必须更喜欢出售高质量的商品，而不是高估值买家的替代需求

μ \hat{b条}

按价格

{\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

并将低质量商品出售给低价值买家的替代需求

μ (1 - \hat{b条})

按价格

{\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

然后通过收费以优质产品渗透整个市场

{P（P）}^{H（H）} (1, (1 - μ) (1 - \hat{b条}))

并继续向所有买家的替代需求销售优质商品

μ

按价格

{P（P）}^{H（H）} (1, {x个}^{L（左）})

之后。如果

\frac{μ \hat{b条} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})}{1 - δ} + \frac{μ (1 - \hat{b条}) {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}}{1 - δ} \geq (1 - (1 - μ) \hat{b条}) {P（P）}^{H（H）} ({1, x个}^{L（左）}) + \frac{δ μ}{1 - δ} {P（P）}^{H（H）} (1, {x个}^{L（左）})

(7)

认为，垄断者从未将优质商品的价格降低到

{P（P）}^{H（H）} ({1, x个}^{L（左）})

为所有买家提供优质服务。自

{P（P）}^{H（H）} (1, {x个}^{L（左）}) \leq {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

为所有人

{x个}^{L（左）} > 0

, (7)保持，如果

μ \geq \frac{(1 - δ) (1 - \hat{b条}) ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})}{\hat{b条} (({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}) - ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})) - δ (1 - \hat{b条}) ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}) + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}} 选择 {\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ)

因此，垄断者不会偏离分段垄断的稳态

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

对于

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ)

此外，由于

{P（P）}^{H（H）} (1, 0) > {P（P）}^{H（H）} (1, {x个}^{L（左）})

为所有人

{x个}^{L（左）} > 0

,

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ) < {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

必须保持。图1将这些阈值表示为

δ

。

垄断均衡存在的必要条件，

μ \geq

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ)

，也足以证明平衡的存在性和唯一性。

定理 1

当满足以下条件时，最多存在一个垄断均衡

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ)

对于给定的δ。这种均衡的垄断稳态是

${(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})}$ 在平衡和 ${(\hat{b条}, 1 - \hat{b条}), (1, 0)}$ 偏差时 ${\underset{̲}{μ}}^{秒克} (δ) \leq μ < {\underset{̲}{μ}}^{秒吨} (δ)$ ,
${(\hat{b条}, 0)}$ 在平衡和 ${(\hat{b条}, 0), (\hat{b条}, 1 - \hat{b条}), (1, 0)}$ 偏差时 $μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒吨} (δ)$

哪里

{\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ) 选择 \frac{(1 - δ) (1 - \hat{b条}) {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}}{\hat{b条} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}) - δ (1 - \hat{b条}) {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}}

和

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ) 选择 \frac{(1 - δ) (1 - \hat{b条}) ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})}{\hat{b条} (({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}) - ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})) - δ (1 - \hat{b条}) ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}) + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}}

。

在这样的平衡中

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

，垄断者最初收费

{\bar{u个}}^{H（H）}

对于高质量的商品，并对低质量的商品收取足够高的价格，以至于没有买家购买。因此，从最初的状态

(0, 0)

，垄断者使国家

(\hat{b条}, 0)

通过向所有高估值买家出售优质商品。然后，他继续满足高估值买家对高质量商品的替代需求。对于

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ) \leq μ < {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

，垄断者最初收费

{\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

为了高质量的产品和

{\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

为低质量的产品。因此，从初始状态

(0, 0)

，垄断者使国家

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

通过向所有高价值的买家销售高质量的商品，向所有低价值的买家出售低质量的商品。然后，他继续收取细分垄断价格，以满足替代需求。

如果垄断者为了增加利润而出售更多产品，从而偏离垄断稳定状态，那么垄断均衡状态下的国家运动如下。状态序列

{({\tilde{x个}}_{k个, j}^{H（H）}, {\tilde{x个}}_{k个, j}^{L（左）})}_{k个 = 0}^{米_{j} + 1}

构造为当该状态为

({\tilde{x个}}_{k个, j}^{H（H）}, {\tilde{x个}}_{k个, j}^{L（左）})

，垄断者对下一阶段的状态

({\tilde{x个}}_{k个 - 1, j}^{H（H）}, {\tilde{x个}}_{k个 - 1, j}^{L（左）})

通过充电

({\tilde{第页}}_{k个 - 1, j}^{H（H）}, {\tilde{第页}}_{k个 - 1, j}^{L（左）})

并住在

({\tilde{x个}}_{k个, j}^{H（H）}, {\tilde{x个}}_{k个, j}^{L（左）})

通过充电

({\tilde{第页}}_{k个, j}^{H（H）}, {\tilde{第页}}_{k个, j}^{L（左）})

永远。价格是递归驱动的。如果市场上充斥着劣质产品，那么劣质产品的价格就会变成零。如果一些（但不是所有）低价值客户持有低质量版本，那么其价格将等于

{\underset{̲}{u个}}_{L（左）}

因此，在构建高质量产品的价格路径时，需要考虑激励相容约束。

存在三条路径，

j \in {1, 2, 3}

，取决于低质量商品的状态。在所有路径上，优质商品状态的初始值为

{\tilde{x个}}_{0, j}^{H（H）} = (1 - μ) \hat{b条}

其最终值为

{\tilde{x个}}_{米_{j} + 1, j}^{H（H）} \leq 1 - μ

.在第一条路径上

j = 1

，没有一个买家持有劣质商品。那就是，

{\tilde{x个}}_{k个, 1}^{L（左）} = 0

为所有人k个然后，低质量商品的价格变为

{\tilde{第页}}_{k个, 1}^{L（左）} \geq {\underset{̲}{u个}}^{L（左）} + ρ^{k个} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）})

.由于激励相容性约束，优质商品的价格变为

{\tilde{第页}}_{k个, 1}^{H（H）} = {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} + ρ^{k个} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）})

为所有人k个在第二条道路上，一些买家持有低质量商品。由于估价较低的买家预计，低质量商品的价格最终将等于

{\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

，垄断者不能收取超过

{\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

为了低质量的产品。因此，

{\tilde{第页}}_{k个, 2}^{L（左）} = {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

为所有人k个然后，优质商品的价格变成

{\tilde{第页}}_{k个, 2}^{H（H）} = {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} + ρ^{k个} (({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}) - ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}))

为所有人k个在路径3上，存在低质量商品的过剩供应。因此，

{\tilde{第页}}_{k个, 3}^{L（左）} = 0

为所有人k个那么，优质商品的价格是

{\tilde{第页}}_{k个, 3}^{H（H）} = ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}) + ρ^{k个} (({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}) - ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}))

为所有人k个。

如果商品足够容易腐烂，垄断者将从上述高质量商品的任何状态恢复到垄断稳定状态

(1 - μ) \hat{b条}

因此，我们有

{\tilde{x个}}_{米_{j} + 1, j}^{H（H）} = 1 - μ

。否则，科斯猜想稳态

(1, 0)

与垄断稳定国家共存。在这种情况下，我们有

{\tilde{x个}}_{米_{j} + 1, j}^{H（H）} < 1 - μ

因此，当状态为

({\tilde{x个}}_{米_{j} + 1, j}^{H（H）}, {\tilde{x个}}_{米_{j} + 1, j}^{L（左）})

，垄断者对将国家

({\tilde{年}}_{米_{j}, j}^{H（H）}, {\tilde{年}}_{米_{j}, j}^{L（左）})

通过向所有买家销售优质商品并继续满足替代需求，全面渗透市场

μ

为以后的高质量产品。因此，当优质商品的状态大于

{\tilde{x个}}_{米_{j} + 1, j}^{H（H）}

。

图2说明了当货物足够容易腐烂时，国家如何走向垄断稳定状态。箭头指示任意位置的状态移动方向

(年^{H（H）}, 年^{L（左）})

.对于所有人

(年^{H（H）}, 年^{L（左）})

，国家又回到了垄断的稳定状态。如果

年^{L（左）} = 0

则相应的稳态为静态垄断稳态

(\hat{b条}, 0)

; 否则，就是分段垄断的稳态

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

。图3说明了当货物不易腐烂时，国家如何进入垄断稳定状态。箭头指示任意位置的状态移动方向

(年^{H（H）}, 年^{L（左）})

.如果

年^{H（H）}

低，国家走向垄断稳定状态；否则，状态将朝着科斯猜想的稳态移动。

让

{\underset{̲}{μ}}^{秒} (δ)

当垄断者生产一种单一版本的耐用品时，所有人都存在垄断均衡

μ > {\underset{̲}{μ}}^{秒} (δ)

对于给定的

δ

。已确定

推论 1

当垄断者生产垂直差异化产品时，支持垄断均衡的参数集会扩大。

我们表明，支持静态垄断稳态的阈值失效概率是

δ

这样的话

{\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ) = {\underset{̲}{μ}}^{秒} (δ)

为所有人保留

δ

由于分段垄断稳定状态得到支持

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ) \leq μ < {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

静态垄断均衡不存在时，存在分段垄断均衡。如果我们比较稳态利润，我们可以观察到，在静态垄断均衡下，垄断者达到了可能的最高利润。垄断者的利润变成

Π^{秒 吨} = \hat{b条} {\bar{u个}}^{H（H）} (1 + \frac{δ μ}{1 - δ})

然而，除非产品足够容易腐烂，否则无法获得这种利润。当分段平衡存在时，

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ) \leq μ < {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

，垄断者在此均衡下的利润变为

Π^{秒 克} = (\hat{b条} {\bar{u个}}^{H（H）} - (\hat{b条} {\bar{u个}}^{L（左）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})) (1 + \frac{δ μ}{1 - δ})

.分段均衡利润，

Π^{秒 克}

，严格高于垄断者在科斯猜想结果下获得的利润，

Π^{c（c） c（c）} = \hat{b条} {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} (1 + \frac{δ μ}{1 - δ})

因此，对于失效概率集

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ) \leq μ < {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

在纵向产品差异化的情况下，垄断者可以获得比单一产品情况下垄断者获得的利润更高的利润。

考虑一个例子，观察低质量产品的生产如何影响符合每种平衡类型的参数。让

\hat{b条} = 0.7

,

{\bar{u个}}^{H（H）} = 3 {\bar{u个}}^{L（左）}

,

{\underset{̲}{u个}}^{H（H）} = 3 {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

,

0.6 ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}) = {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

、和

δ = 0.60

然后，阈值折旧率变为

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} = 0.15

、和

{\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} = 0.42

因此，如果垄断者只生产高质量的商品，那么当预期寿命小于2年时，垄断均衡就存在。然而，如果垄断者生产低质量产品和高质量产品，当预期寿命小于六年时，存在垄断均衡。图4表示稳态利润以及科斯猜想利润，当

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} = 0.15

、和

{\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} = 0.42

。

现在，考虑平稳路径的结构，因为垄断者连续报价之间的时间间隔缩短了。对于

{x个}^{H（H）} > (1 - μ) \hat{b条}

状态要么立即进入科斯猜想的稳态，要么慢慢回到垄断稳态。已经确定，达到垄断稳定状态的速度与低质量商品的状态无关。

推论 2

随着连续价格变化之间的时间间隔接近于零，优质商品的状态以以下速度走向垄断稳定状态

{\dot{x个}}^{H（H）} = λ {x个}^{H（H）} (1 - \frac{{\underset{̲}{u个}}^{H（H）}}{{\bar{u个}}^{L（左）}} {(\frac{年^{H（H）}}{\hat{b条}})}^{\frac{λ + 第页}{λ}})

对于

{x个}^{H（H）} > (1 - μ) \hat{b条}

。

如果垄断者为了增加利润而增加销售额，从而偏离了垄断稳定状态，那么当货物足够容易腐烂时，国家就会回到垄断稳定状态。如果

{x个}^{L（左）} = 0

则相应的稳态为静态垄断稳态

(\hat{b条}, 0)

; 否则，就是分段垄断的稳态

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

当货物对于低价值的

{x个}^{H（H）}

，国家走向垄断稳定状态。对于高值

{x个}^{H（H）}

然而，状态朝着科斯猜想的稳态发展。

5.结论

本研究分析了质量差异对耐用品垄断者承诺问题的影响。我们考虑一个垄断者在一个无限小时、离散时间的博弈中销售一种不完全耐用的商品，这种商品有两个质量等级。我们刻画了平稳马尔可夫完全均衡，其中卖家可以保持其市场势力，作为共同折扣率、货物共同折旧率、连续价格变化之间的时间段长度以及货物质量水平的函数。我们表明，如果折旧率足够高，则存在垄断均衡。即使在药物变得极其耐心的情况下，这种结果仍然存在。我们还建立了当垄断者可以生产低质量商品时，支持垄断均衡的参数集更大。

本研究表明，质量差异化可以增强耐用品垄断者的市场力量，缓解承诺问题。特别是，当一种商品的固有耐用性很高时，如果能够可靠地承诺该商品的垄断价格，垄断者也会生产出质量较低的商品。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录A

证明 提案1。

假设存在一段历史，在此历史之后，状态为

({x个}_{0}^{H（H）}, {x个}_{0}^{L（左）})

垄断者在

P（P） (吨 ({x个}_{0}))

.让商品的预期价格我是

{第页}_{第页}^{我}

让我们定义

{第页}_{米}^{我} = 最大值 {{P（P）}^{我} ({最小值}_{{x个}^{H（H）}} 吨 ({x个}_{0})), {P（P）}^{我} ({最小值}_{{x个}^{L（左）}} 吨 ({x个}_{0}))}

。自

吨 (\cdot)

是一个子晶格，

{第页}_{米}^{我}

存在。表示买方的估价

年_{0}^{H（H）}

为了高品质

{\hat{v（v）}}_{j}^{H（H）}

哪里

{（f）}^{H（H）} (年_{0}^{H（H）}) - {\hat{v（v）}}_{j}^{H（H）} = ρ ({（f）}^{H（H）} (年_{0}^{H（H）}) - {第页}_{j}^{H（H）})

并表示买方的估价

年_{0}^{H（H）} + 年_{0}^{L（左）}

对于低质量的

{\hat{v（v）}}_{j}^{L（左）}

通过

{（f）}^{L（左）} (年_{0}^{H（H）} + 年_{0}^{L（左）}) - {\hat{v（v）}}_{j}^{L（左）} = ρ ({（f）}^{L（左）} (年_{0}^{H（H）} + 年_{0}^{L（左）}) - {第页}_{j}^{L（左）})

,

j = 第页, 米

，其中

年_{0}^{H（H）} = \frac{{x个}_{0}^{H（H）}}{1 - μ}

和

年_{0}^{L（左）} = \frac{{x个}_{0}^{L（左）}}{1 - μ}

当垄断者随机化时，边际买方对货物的估价我不能大于

{\hat{v（v）}}_{第页}^{我}

在上一期间。我们现在表明，这并不成立，并得出结论，即垄断者不会随机化。让

年_{n个}

定义为

年_{n个}

↑

年_{0}

和

吨 ((1 - μ) 年_{n个})

对所有人来说都是单值的n个。自

吨 (\cdot)

是单调的非递减对应，我们有

\begin{matrix} {V（V）}^{我} (年_{0}^{H（H）} + 1_{{我 = L（左）}} 年_{0}^{L（左）}) = \underset{n个 \to \infty}{林} {V（V）}^{我} (年_{n个}^{H（H）} + 1_{{我 = L（左）}} 年_{n个}^{L（左）}) \\ = \underset{n个 \to \infty}{林} ((1 - ρ) {（f）}^{我} (年_{n个}^{H（H）} + 1_{{我 = L（左）}} 年_{n个}^{L（左）}) + ρ {P（P）}^{我} (吨 ((1 - μ) 年_{n个})) \\ \geq (1 - ρ) {（f）}^{我} (年_{0}^{H（H）} + 1_{{我 = L（左）}} 年_{0}^{L（左）}) + ρ {第页}_{米}^{我} = {\hat{v（v）}}_{米}^{我} \end{matrix}

为所有人

我 = H（H）, L（左）

。自

{\hat{v（v）}}_{米}^{我} \geq {第页}_{米}^{我} \geq {第页}_{第页}^{我}

为所有人

我 \in {H（H）, L（左）}

，我们一定有

{V（V）}^{H（H）} (年_{0}^{H（H）}) > {\hat{v（v）}}_{第页}^{H（H）}

或

{V（V）}^{L（左）} (年_{0}^{L（左）}) > {\hat{v（v）}}_{第页}^{L（左）}

或两者兼而有之。因此，我们可以得出结论，垄断者不会沿着任何均衡路径随机化。 □

证明 提案2。

（命题2的证明）。让

年_{秒}^{我}

是稳定的库存水平

{第页}_{秒}^{我}

是商品的稳定价格我.由于低质量商品边际购买者的参与约束和高质量商品的激励相容约束，我们必须

{第页}_{秒}^{L（左）} = {V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{L（左）} + 年_{秒}^{L（左）})

和

{第页}_{秒}^{H（H）} = {V（V）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - {V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) + {第页}_{秒}^{L（左）}

首先，让我们从低质量商品的价格开始。买方

年_{秒}^{L（左）} + 年_{秒}^{L（左）}

在今天购买商品和等待一段时间购买之间漠不关心。也就是说，

{（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）}) - {V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）}) = ρ ({（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）}) - {第页}_{秒}^{L（左）})

持有。由于下一阶段的边际买方是买方

年_{秒}^{L（左）} + 年_{秒}^{L（左）}

，我们有

{第页}_{秒}^{L（左）} = {V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{L（左）} + 年_{秒}^{L（左）})

然后，从买方的无差异方程

年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）}

，我们得到

{V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）}) = {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{L（左）} + 年_{秒}^{L（左）})

。

第二，让我们看看优质商品的价格。买方的无差异方程

年_{秒}^{H（H）}

因为高质量和低质量的商品

{（f）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - {V（V）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) = ρ ({（f）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - {第页}_{秒}^{H（H）})

和

{（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) - {V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) = ρ ({（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) - {第页}_{秒}^{L（左）}),

分别。如果我们替换

{第页}_{秒}^{L（左）}

进入第二个无差异方程并求解

{V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）})

，我们得到

{V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) = (1 - ρ) {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) + ρ {V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{L（左）} + 年_{秒}^{L（左）})

然后，通过替换

{V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）})

和

{第页}_{秒}^{L（左）}

进入之内

{第页}_{秒}^{H（H）} = {V（V）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - {V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) + {第页}_{秒}^{L（左）}

并求解第一个无差异方程

{V（V）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）})

，我们得到

{V（V）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) = {（f）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - ρ ({（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) - {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{L（左）} + 年_{秒}^{L（左）}))

。由此可见

{第页}_{秒}^{H（H）} = {（f）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) + {V（V）}^{L（左）} (年_{秒}^{L（左）} + 年_{秒}^{L（左）})

因此，

{P（P）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}, 年_{秒}^{L（左）}) = {（f）}^{H（H）} (年_{秒}^{H（H）}) - {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}) + {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

和

{P（P）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）}, 年_{秒}^{L（左）}) = {（f）}^{L（左）} (年_{秒}^{H（H）} + 年_{秒}^{L（左）})

保持。 □

证明 提案3。

当市场状况

((1 - μ) {\bar{年}}^{H（H）}, (1 - μ) {\bar{年}}^{L（左）})

，垄断者严格地倾向于将国家

({\overset{ˇ}{年}}^{H（H）}, {\overset{ˇ}{年}}^{L（左）})

而不是

({\bar{年}}^{H（H）}, {\bar{年}}^{L（左）})

如果（i）

{P（P）}^{我} ({\overset{ˇ}{年}}^{H（H）}, {\overset{ˇ}{年}}^{L（左）}) = {P（P）}^{我} ({\bar{年}}^{H（H）}, {\bar{年}}^{L（左）})

为所有人我，（ii）

{（f）}^{H（H）} ({\overset{ˇ}{年}}^{H（H）}) = {（f）}^{H（H）} ({\bar{年}}^{H（H）})

和

{（f）}^{L（左）} ({\overset{ˇ}{年}}^{H（H）} + {\overset{ˇ}{年}}^{L（左）}) = {（f）}^{L（左）} ({\bar{年}}^{H（H）} + {\bar{年}}^{L（左）})

和（iii）

{P（P）}^{H（H）} ({\bar{年}}^{H（H）}, {\bar{年}}^{L（左）}) ({\overset{ˇ}{年}}^{H（H）} - {\bar{年}}^{H（H）}) + {P（P）}^{L（左）} ({\bar{年}}^{H（H）}, {\bar{年}}^{L（左）}) ({\overset{ˇ}{年}}^{L（左）} - {\bar{年}}^{L（左）}) > 0

保持。然后，

({\bar{年}}^{H（H）}, {\bar{年}}^{L（左）})

不能是稳定状态。我们的结论是

({\bar{年}}^{H（H）}, {\bar{年}}^{L（左）})

不能是稳定状态，如果（i）

{\bar{年}}^{H（H）} \in (\hat{b条}, 1)

和/或（ii）

{\bar{年}}^{H（H）} + {\bar{年}}^{L（左）}

\in (\hat{b条}, 1)

保持。因此，可能的稳态是

(1, 0)

,

(\hat{b条}, 0)

和

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

现在，让我们确定哪些稳态共存。

假设

(\hat{b条}, 0)

是一种稳定状态。我们一定有

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, 0) = {\bar{u个}}^{H（H）}

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 0) = {\bar{u个}}^{L（左）}

。如果状态移动到

(\hat{b条} + ϵ, 0)

，我们有

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条} + ϵ, 0) > {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条} + ϵ, 0) > {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

或

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条} + ϵ, 0) \leq {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条} + ϵ, 0) = {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

然后，如果

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条} + ϵ, 0) > {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条} + ϵ, 0) > {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

按住，状态将移回

(\hat{b条}, 0)

逐步地。否则，该州将移至

(1, 0)

因此，

(\hat{b条}, 0)

和

(1, 0)

可能共存。如果州移动到

(\hat{b条}, ϵ)

，这些商品有三种可能的价格水平。首先，如果

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, ϵ) > {\bar{u个}}^{H（H）} -

{\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, ϵ) > {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

，然后状态将移回

(\hat{b条}, 0)

偏差后逐渐增加。其次，如果

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, ϵ) = {\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, ϵ) \leq {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

，则状态将移至

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

第三，如果

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, ϵ) < {\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, ϵ) \leq {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

，则状态将移至

(1, 0)

。假设

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

是一种稳定状态。然后，根据同样的推理，

(1, 0)

共存。 □

证明 定理1。

让

{\tilde{x个}}_{k个, 我}^{j}

成为耐用商品的状态j,

j \in {H（H）, L（左）}

，在期间k个在路径上我存在三条路径，

我 \in {1, 2, 3}

，取决于低质量商品的状态。优质商品的状态不会因低质量商品的状态而改变：

{\tilde{x个}}_{k个, 1}^{H（H）} = {\tilde{x个}}_{k个, 2}^{H（H）} = {\tilde{x个}}_{k个, 3}^{H（H）}

为所有人k个.定义

{\tilde{x个}}_{k个}^{H（H）}

作为

{\tilde{x个}}_{k个}^{H（H）} 选择 {\tilde{x个}}_{k个, 我}^{H（H）}

为所有人k个和我更具体地说，

{\tilde{x个}}_{0}^{H（H）} = (1 - μ) \hat{b条}

和

{\tilde{x个}}_{k个}^{H（H）} = \frac{{\underset{̲}{u个}}^{H（H）} + ρ^{k个 - 1} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）})}{{\underset{̲}{u个}}^{H（H）} + (1 - μ) ρ^{k个 - 1} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）})} {\tilde{x个}}_{k个 - 1}^{H（H）}

为所有人k个此外，我们将低质量货物的状态定义为

{\tilde{x个}}_{k个, 1}^{L（左）} = 0

,

{\tilde{x个}}_{k个, 2}^{L（左）} = 1 - μ - {\tilde{x个}}_{k个, 2}^{H（H）}

和

{\tilde{x个}}_{k个, 3}^{L（左）} = (1 - μ) {\tilde{x个}}_{k个 + 1, 3}^{H（H）}

此外，让

{\tilde{年}}_{k个, 我}^{j} = \frac{{\tilde{x个}}_{k个, 我}^{j}}{1 - μ}

为所有人

k个, 我, j

。我们现在定义

{{\tilde{第页}}_{k个, 我}^{j}}_{k个 = 0}^{米_{我} + 1}

.对于优质商品的价格，请定义：

{\tilde{第页}}_{k个, 1}^{H（H）} = {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} + ρ^{k个} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）})

,

{\tilde{第页}}_{k个, 2}^{H（H）} = {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} + ρ^{k个} (({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}) - ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}))

、和

{\tilde{第页}}_{k个, 3}^{H（H）} = ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}) + ρ^{k个} (({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}) - ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}))

.对于低质量商品的价格，请定义：

{\tilde{第页}}_{k个, 1}^{L（左）} \geq {\underset{̲}{u个}}^{L（左）} + ρ^{k个} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）})

,

{\tilde{第页}}_{k个, 2}^{L（左）} = {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

、和

{\tilde{第页}}_{k个, 2}^{L（左）} = 0

。

所有人都存在静态垄断均衡

μ \geq \frac{(1 - δ) (1 - \hat{b条}) {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}}{\hat{b条} Δ θ - δ (1 - \hat{b条}) {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}} 选择 {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

.如果

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

，我们有

\frac{μ \hat{b条} {\bar{u个}}^{H（H）}}{1 - δ} \geq ((1 - (1 - μ) \hat{b条}) + \frac{δ μ}{1 - δ}) {P（P）}^{H（H）} (1, 0)

和

\frac{μ \hat{b条} {\bar{u个}}^{H（H）}}{1 - δ} \geq \frac{μ \hat{b条}}{1 - δ} {P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条}) + ((1 - \hat{b条}) + \frac{δ μ (1 - \hat{b条})}{1 - δ}) {P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

因此，垄断者不会偏离静态垄断稳态

(\hat{b条}, 0)

什么时候

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

.面向所有人

μ \geq \frac{(1 - δ) (1 - \hat{b条}) ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})}{\hat{b条} (({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}) - ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})) - δ (1 - \hat{b条}) ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}) + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}} 选择 {\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ)

存在分割垄断均衡。如果

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ)

，我们有

\frac{μ \hat{b条} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})}{1 - δ} + \frac{μ (1 - \hat{b条}) {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}}{1 - δ} \geq ((1 - (1 - μ) \hat{b条}) + \frac{δ μ}{1 - δ}) {P（P）}^{H（H）} (1, {x个}^{L（左）})

因此，垄断者不会偏离分段垄断稳态

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

什么时候

μ \geq {\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ)

此外，由于

{P（P）}^{H（H）} (1, 0) > {P（P）}^{H（H）} (1, {x个}^{L（左）})

为所有人

{x个}^{L（左）} > 0

,

{\underset{̲}{μ}}^{秒 克} (δ) < {\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ)

必须保持。对于

μ \geq μ^{秒 吨}

，我们将路径定义如下。

让

米 = 啜饮 {k个 : {\tilde{x个}}_{k个}^{H（H）} < 1 - μ}

。假设这样一个米存在。什么时候？

年^{H（H）} \in [0, \hat{b条}]

如果

年^{L（左）} = 0

，我们有

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\bar{u个}}^{H（H）}

.如果

年^{L（左）} \in (0, 1 - \hat{b条}]

，我们有

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

.如果

年^{L（左）} > 1 - \hat{b条}

，我们有

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）}

.何时

年^{H（H）} \in ({\tilde{年}}_{k个 - 1}^{H（H）}, {\tilde{年}}_{k个}^{H（H）}]

如果

年^{L（左）} = 0

，我们有

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\tilde{第页}}_{k个, 1}^{H（H）}

.如果

年^{L（左）} \in (0, 1 - {\tilde{年}}_{k个 - 1}^{H（H）}]

，我们有

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\tilde{第页}}_{k个, 2}^{H（H）}

.如果

年^{L（左）} > 1 - {\tilde{年}}_{k个 - 1}^{H（H）}

，我们有

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\tilde{第页}}_{k个, 3}^{H（H）}

对于

k个 = 1, \dots, 米 + 1

.何时

年^{H（H）} \in [0, \hat{b条}]

和

年^{L（左）} = 0

，我们有

{P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\bar{u个}}^{L（左）} + ϵ

.何时

年^{H（H）} + 年^{L（左）} \leq 1

和

年^{L（左）} > 0

，我们有

{P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

.何时

年^{H（H）} + 年^{L（左）} > 1

和

年^{L（左）} > 0

，我们有

{P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = 0

.何时

年^{H（H）} \in ({\tilde{年}}_{k个 - 1}^{H（H）}, {\tilde{年}}_{k个}^{H（H）}]

和

年^{L（左）} = 0

，我们有

{P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\underset{̲}{u个}}^{L（左）} + ρ^{k个} ({\bar{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}) + γ

对于

k个 = 1, \dots, 米 + 1

、和

ϵ, γ > 0

此外，对于所有人

{x个}^{L（左）}

，我们有

吨^{H（H）} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = \hat{b条}

如果

{x个}^{H（H）} \in [0, {\tilde{x个}}_{0}^{H（H）}]

和

吨^{H（H）} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = {\tilde{年}}_{k个 - 1}^{H（H）}

如果

{x个}^{H（H）} \in ({\tilde{x个}}_{k个 - 1}^{H（H）}, {\tilde{x个}}_{k个}^{H（H）}]

对于

k个 = 2, \dots, 米 + 1

.面向所有人

{x个}^{H（H）}

,

吨^{L（左）} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = 0

如果

{x个}^{L（左）} = 0

。如果没有，

吨^{L（左）} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = 1 - 吨^{H（H）} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）})

对于

{x个}^{H（H）} + {x个}^{L（左）} \leq 1 - μ

和

吨^{L（左）} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = {x个}^{L（左）}

对于

{x个}^{H（H）} + {x个}^{L（左）} > 1 - μ

什么时候？

米 = 啜饮 {k个 : {\tilde{x个}}_{k个}^{H（H）} < 1 - μ}

不存在，让我们定义

{\tilde{R（右）}}_{j} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = \sum_{我} (\frac{δ {\tilde{x个}}_{k个 - 1}^{我}}{(1 - δ) (1 - μ)} - ({x个}^{我} - {\tilde{x个}}_{k个 - 1}^{我})) {\tilde{第页}}_{k个 - 1, j}^{我}

对于

{x个}^{H（H）} \in ({\tilde{x个}}_{k个 - 1}^{H（H）}, {\tilde{x个}}_{k个}^{H（H）}]

和

k个 \geq 1

.让

{\bar{x个}}_{j} = 米 一 x个 {{x个}^{H（H）} \in [(1 - μ) \hat{b条}, 1] : {\tilde{R（右）}}_{j} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) \geq {\bar{R（右）}}_{j} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）})}

哪里

{\bar{R（右）}}_{1} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = (\frac{δ μ}{1 - δ} + (1 - {x个}^{H（H）})) {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}

和

{\bar{R（右）}}_{j} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = (\frac{δ μ}{1 - δ} + (1 - {x个}^{H（H）})) ({\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）})

对于

j = 2, 3

.让

米_{j}

是这样的

{\bar{x个}}_{j} \in ({\tilde{x个}}_{米_{j}}, {\tilde{x个}}_{米_{j} + 1}]

与上述表征的区别如下。

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}

如果

年^{H（H）} \in ({\tilde{年}}_{米_{1} + 1}^{H（H）}, 1]

和

年^{L（左）} = 0

。

{P（P）}^{H（H）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = {\underset{̲}{u个}}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

如果

年^{H（H）} \in ({\tilde{年}}_{米_{2} + 1}^{H（H）}, 1]

和

0 < 年^{L（左）} \leq 1 - {\tilde{年}}_{米_{2} + 1}^{H（H）}

或者如果

年^{H（H）} \in ({\tilde{年}}_{米_{3} + 1}^{H（H）}, 1]

和

年^{L（左）} > 1 - {\tilde{年}}_{米_{3} + 1}^{H（H）}

。

{P（P）}^{L（左）} (年^{H（H）}, 年^{L（左）}) = 0

如果

年^{H（H）} > 年_{米_{j} + 1}^{H（H）}

对于

j = 1, 2

此外，如果

{x个}^{H（H）} > {\tilde{年}}_{米_{j} + 1}^{H（H）}

对于

j = 1, 2, 3

，我们有

吨^{H（H）} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = 1

和

吨^{L（左）} ({x个}^{H（H）}, {x个}^{L（左）}) = {x个}^{L（左）}

。

通过构造

({P（P）}^{H（H）} (\cdot), {P（P）}^{L（左）} (\cdot))

和

(吨^{H（H）} (\cdot), 吨^{L（左）} (\cdot))

以上满足了垄断者的优化问题，并且是唯一的。对于

μ^{秒 克} \geq μ < μ^{秒 克}

，垄断者立即转向

(\hat{b条}, 1 - \hat{b条})

从

(0, 0)

有价格

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条}) = {\bar{u个}}^{H（H）} - {\bar{u个}}^{L（左）} + {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

和

{P（P）}^{L（左）} (\hat{b条}, 1 - \hat{b条}) = {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}

然后，在偏离时，它遵循与初始特征化类似的路径。 □

证明 结论1。

自

{\tilde{x个}}_{k个, 1}^{H（H）} = {\tilde{x个}}_{k个}

和

{\tilde{第页}}_{k个, 1}^{H（H）} = {\tilde{第页}}_{k个}

哪里

({\tilde{x个}}_{k个}, {\tilde{第页}}_{k个})

表示垄断者生产一种商品的路径，我们必须

{\underset{̲}{μ}}^{秒 吨} (δ) = {\underset{̲}{μ}}^{秒} (δ)

□

证明 推论2。

让

{x个}^{L（左）} = 0

.然后，

\frac{{P（P）}^{H（H）} ({\tilde{年}}_{k个, 1}^{H（H）}, 0) - {P（P）}^{H（H）} ({\tilde{年}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）}, 0)}{{\tilde{年}}_{k个, 1}^{H（H）} - {\tilde{年}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）}} = \frac{- (1 - ρ) ({\tilde{第页}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）} - μ ({\tilde{第页}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}))}{μ {\tilde{年}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）}}

.作为z（z）接近零，因为

{\tilde{年}}_{k个, 1}^{H（H）} - {\tilde{年}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）}

收敛到零，我们有

{P（P）}_{1}^{H（H）} (年, 0) 年 = - \frac{λ + 第页}{λ} {P（P）}^{H（H）} (年, 0)

微分方程的解为

{P（P）}^{H（H）} (年, 0) = {c（c）}_{1} 年^{- \frac{λ + 第页}{λ}}

。自

{P（P）}^{H（H）} (\hat{b条}, 0) = {\bar{u个}}^{H（H）}

，我们有

{c（c）}_{1} = {\bar{u个}}^{H（H）} {\hat{b条}}^{\frac{λ + 第页}{λ}}

.然后，

{P（P）}^{H（H）} (年, 0) = {\bar{u个}}^{H（H）} {(\frac{\hat{b条}}{年})}^{\frac{λ + 第页}{λ}}

.作为z（z）接近零，我们有

{\dot{年}}_{1} = λ 年_{1} (1 - \frac{{\underset{̲}{u个}}^{H（H）}}{{\bar{u个}}^{H（H）}} {(\frac{\hat{b条}}{年})}^{- \frac{λ + 第页}{λ}})

自从

\frac{{\tilde{年}}_{k个, 1}^{H（H）} - {\tilde{年}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）}}{z（z）} = {\tilde{年}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）} \frac{{\tilde{第页}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}}{- z（z） ({\tilde{第页}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）} - {\underset{̲}{u个}}^{H（H）}) + \frac{z（z）}{μ} {\tilde{第页}}_{k个 - 1, 1}^{H（H）}}

。其他路径也遵循限制中的类似路径。 □

工具书类

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1	具体情况下 ${\bar{u个}}^{H（H）} = {\bar{u个}}^{L（左）}$ 和 ${\underset{̲}{u个}}^{H（H）} = {\underset{̲}{u个}}^{L（左）}$ hold是由[9].
2	如果不满足这个条件，垄断者就没有动机同时销售高质量和低质量的产品。
3	请参见[22]关于广义极大值定理。
4	如果 $吨 (0, 0)$ 是多值的，垄断者可以从中随机选择价格 $P（P） (吨 (0, 0))$ 。