Paraconsistent Probabilities: Consistency, Contradictions and Bayes’ Theorem

Bueno-Soler, Juliana; Carnielli, Walter

doi:10.3390/e18090325

开放式访问第条

次一致概率：一致性、矛盾和贝叶斯定理

通过

朱利安娜·布埃诺·索勒

^1,†和

沃尔特·卡尼埃利

^2,*,†

¹

坎皮纳斯州立大学技术学院–UNICAMP，坎皮纳斯13484-332，巴西

²

巴西坎皮纳斯国立坎皮纳斯大学逻辑、认识论和科学史中心及哲学系，邮编：13083-859

^*

信件应寄给的作者。

熵 2016,18(9), 325;https://doi.org/10.3390/e18090325

收到的提交文件：2016年6月10日/修订日期：2016年8月9日/接受日期：2016年8月19日/发布日期：2016年9月7日

（本文属于特刊统计显著性与假设检验的逻辑)

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摘要

以下为：

本文介绍了构建基于形式不一致逻辑（LFI）的次一致概率理论的第一步。我们证明，LFI通过贝叶斯条件化定理的一个版本，对概率概念的扩展进行了非常自然的编码，该概念能够在矛盾情况下，利用条件概率和次一致更新的适当概念来表达复杂的概率推理。我们认为，LFI的支柱之一，不一致性和矛盾性概念之间的差异，在我们扩展的概率概念中起着核心作用。本文还回顾了概率论的一些重要历史观点和概念观点。

关键词：

次稠度;可能性;矛盾;一致性;形式不一致逻辑

报价很容易，但很可能是事实。
-戈特弗里德·威廉·莱布尼茨[1]

1.一致性与非冲突性

正如人们所公认的那样，次一致性是对逻辑系统的研究，这种逻辑系统具有否定性，因此并不是每一个形式上的矛盾第页和

\neg 第页

需要一切。换言之，次协调逻辑不受琐碎主义的影响，也就是说，矛盾不一定会使系统的演绎机制爆炸或变得琐碎。严格地说，即使是传统逻辑中不相关的矛盾，也迫使遵循这种逻辑的推理者从一对相互矛盾的语句中推导出任何东西

{α, \neg α}

，由于所谓的爆炸原理（PEx）：

α, \neg α, ⊢ β, 用于任意 β .

另一方面，准一致性逻辑学家通过使用更谨慎的推理方式，可以摆脱PEx的负担，并可以暂停调查矛盾的原因，而不是不明智地从中得出不必要的结果。

然而，常识认识到，有些矛盾可能是无法容忍的，这些矛盾会破坏推理行为（即导致琐碎化）。这等于承认并非所有矛盾都是等价的。形式不一致逻辑（LFI）是一个亚一致逻辑家族，旨在通过使用连接词来表达对象语言中的一致性（以及不一致性）概念

\circ

（阅读

\circ α

作为“α是一致的”）。

正如在[2]LFI可以被视为逻辑结果的理论，在性质上是认知的，它告诉我们如何在存在矛盾的情况下做出明智的推断。从纯粹的数学观点来看，LFI是经典逻辑的子系统，尽管它们扩展了经典逻辑的意义，即经典性可以在一致性存在的情况下恢复：包含一致句子的矛盾将导致爆炸性的琐碎。LFI中的一致性不被视为不矛盾自由的同义词（与理论一致性的传统概念一样T型，其中一致性意味着没有句子α这样的话

T型 ⊢ α

和

T型 ⊢ \neg α

其中⊢是T型). 通常的一致性概念，完全依赖于否定，对于某些数学目的来说也许足够了，但对于推理的整个过程来说，就如[3]. 然而，在LFI中，一致性和非传统性的概念并不一致，不一致性和矛盾性的概念也不相同。有关LFI的更多细节、概念动机和主要结果，请参考读者[4,5].

LFI的特点是，爆炸原则总体上无效，尽管该法律并未废除，但仅限于前后一致的句子。因此，除非矛盾指的是一致的东西，否则矛盾理论可能是非平凡的。

LFI的这些特征浓缩在以下定律中，该定律被称为“温和爆炸原理”（PGE）：

\circ α, α, \neg α ⊢ β, 对于每个 β, 虽然 α, \neg α ⊬ β 对一些人来说 β .

三十多年前，威廉姆斯·J·N[6]辩称将矛盾等同于矛盾是错误的。LFI完全形式化了这种直觉，从这个角度出发，可以用不同的假设构建一些逻辑系统，这些假设不仅编码经典推理，而且（以添加新原理为代价）收敛到经典逻辑。我们选择了一个具有足够原则的特定逻辑来处理我们的次一致概率测度，而没有混淆这样一个事实，即一些其他逻辑会产生次一致概率度量的特定（弱或强）概念。

2.词，一种形式不一致的逻辑

系统Ci公司是LFI层次结构的一员，具有一些使其合理接近经典逻辑的特性；以这种方式，定义一个广义的概率概念是合适的，它足够强大，可以具有有用的性质。考虑以下命题公理和规则：

定义 1

让Σ是一元连接词下封闭的命题签名

{\circ, \neg}

和在二元连接词下

{\to, \land, \lor}

.逻辑 Ci公司 （超过Σ)由以下希尔伯特演算定义：

公理模式

$Ax公司 1$: $α \to (β \to α)$
$Ax公司 2$: $(α \to β) \to ((α \to (β \to γ)) \to (α \to γ))$
$Ax公司 3$: $α \to (β \to (α \land β))$
$Ax公司 4$: $(α \land β) \to α$
$Ax公司 5$: $(α \land β) \to β$
$Ax公司 6$: $α \to (α \lor β)$
$Ax公司 7$: $β \to (α \lor β)$
$Ax公司 8$: $(α \to γ) \to ((β \to γ) \to ((α \lor β) \to γ))$
$Ax公司 9$: $α \lor (α \to β)$
$Ax公司 10$: $α \lor \neg α$
$Ax公司 11$: $\circ α \to (α \to (\neg α \to β))$
$Ax公司 12$: $\neg \neg α \to α$
$Ax公司 13$: $α \to \neg \neg α$
$Ax公司 14$: $\neg \circ α \to (α \land \neg α)$

推理规则

Modus Ponens（MP）：

\frac{α, α \to β}{β}

如中详细调查[7],Ci公司可以扩展到一阶逻辑QCi（质量控制指数）（在∑的方便扩展上）通过添加适当的公理和规则。

值得注意的是，公理

Ax公司 1

到

Ax公司 9

加上Modus PonensMP公司定义正命题经典逻辑的希尔伯特演算（参见[4])，因此，所有关于正逻辑的定律（如∧在∧上的分布等）都是有效的。

举例来说，说明析取上的合取分布的有用性质与经典逻辑中的一样好，这很有启发性（这并不奇怪，因为我们的次协调逻辑中包含了正经典逻辑）。然而，由于这些法律的有效性可能会引起一些疑问，我们提供了一个快速的证据。符号

⊢_{Ci公司}

代表可导性关系（当没有混淆的危险时，我们将把索引放入

⊢_{Ci公司}

为了简化符号）Ci公司，以及

α \equiv β

方法

α ⊢_{Ci公司} β

和

β ⊢_{Ci公司} α

以下为：

定理 1

分配连词和析取词：

1.: $α \land (β \lor γ) \equiv (α \land β) \lor (α \land γ)$
2.: $α \lor (β \land γ) \equiv (α \lor β) \land (α \lor γ)$

证明。

我们只是证明了第一项（第二项是类似的）。从右到左，公理

Ax公司 4

和

Ax公司 5

，加上

Ax公司 8

，很容易显示预期含义。从左到右，只需注意：

α, β ⊢_{Ci公司} (α \land β) \lor (α \land γ)

和：

α, γ ⊢_{Ci公司} (α \land β) \lor (α \land γ)

因此，通过

Ax公司 8

,

α, β \lor γ ⊢_{Ci公司} (α \land β) \lor (α \land γ)

因此：

α \land (β \lor γ) ⊢_{Ci公司} (α \land β) \lor (α \land γ) .

☐

如中所述[4]，逻辑Ci公司不能用有限矩阵进行语义表征，但可以用赋值来表征

{0, 1}

（也称为二元估价）：

定义 2

让

L（左）

是以下句子的集合 Ci公司.A函数

v（v） 以下为： L（左） \to {0, 1}

是对的估价 Ci公司 如果满足以下条款：

（Bival1）: $v（v） (α \land β) = 1 ⟺ v（v） (α) = 1 一 n个 d日 v（v） (β) = 1$
（比瓦尔2）: $v（v） (α \lor β) = 1 ⟺ v（v） (α) = 1 o（o）第页 v（v） (β) = 1$
（比瓦尔3）: $v（v） (α \to β) = 1 ⟺ v（v） (α) = 0 o（o）第页 v（v） (β) = 1$
（比瓦尔4）: $v（v） (α) = 0 ⟹ v（v） (\neg α) = 1$
（比瓦尔5）: $v（v） (\circ α) = 1 ⟹ v（v） (α) = 0 o（o）第页 v（v） (\neg α) = 0$
（比瓦尔6）: $v（v） (\neg \neg α) = 1 ⟺ v（v） (α) = 1$
（比瓦尔7）: $v（v） (\neg \circ α) = 1 ⟹ v（v） (α) = 1 一 n个 d日 v（v） (\neg α) = 1$

二值化的语义结果关系Ci公司定义如下：

Γ ⊧_{Ci公司} φ

iff，对于每个估价v（v）对于Ci公司，如果

v（v） (γ) = 1

对于每个

γ \in Γ

，然后

v（v） (φ) = 1

.

定理 2

完整性定理：

对于每一组句子

Γ \cup {φ} \subseteq L（左）

,

Γ ⊢_{Ci公司} φ 我 （f） 一 n个 d日 o（o） n个 我 年 我 （f） Γ ⊧_{Ci公司} φ

.

证明。

请参见[4]作为证据。⏹

如所示[4]，可以在中定义强（经典）否定Ci公司作为

\sim_{β} α = α \to ⊥_{β}

，其中

⊥_{β} = (β \land (\neg β \land \circ β))

是底部公式（即：

⊥_{β} ⊢_{Ci公司} ψ

对于每个ψ)对于任何句子β为了简化事务β将被选中，并且在中省略下标

Ş_{β}

和

\sim_{β}

从现在开始。

定理三。

强否定的性质：

强否定～满足以下属性 Ci公司 以下为：

1.: $⊢_{Ci公司} \sim α \to (α \to ψ)$ 对于每个α和ψ
2.: $⊢_{Ci公司} α \lor \sim α$
3.: $⊢_{Ci公司} α \to \sim \sim α$ 和 $⊢ \sim \sim α \to α$
4.: 如果 $(Γ ⊢_{Ci公司} α \to γ)$ 和 $(Δ ⊢_{Ci公司} \sim α \to γ)$ ,然后 $(Γ, Δ ⊢_{Ci公司} γ)$
5.: $⊢_{Ci公司} (α \to β) \to (\sim β \to \sim α)$ 等等 $α \to β ⊢_{Ci公司} \sim β \to \sim α$
6.: $⊢_{Ci公司} (\sim α \to \sim β) \to (β \to α)$ ,所以， $\sim α \to \sim β ⊢ β \to α$
7.: $⊢ (α \to \sim β) \to (β \to \sim α)$
8.: $⊢ (φ \to (α \to β)) \to (φ \to (\sim β \to \sim α))$
9.: $⊢ (φ \to (\sim α \to \sim β)) \to (φ \to (β \to α))$
10.: $⊢ (φ \to (α \to \sim β)) \to (φ \to (β \to \sim α))$
11.: $\sim α \to β ⊢ \sim β \to α$
12.: $⊢ \sim (α \to β) \to (α \land \sim β)$
13.: $⊢ ⊥ \to α$

证明。

详细证明见[4]. ☐

此外，几个元定理，例如演绎元定理，可以在Ci公司.

现在，通过定义“α不一致

• α

: =

\neg \circ α

，公理

Ax公司 12

和

Ax公司 13

（允许添加和消除双重否定）表达了“α当且仅当不一致时才不一致'。当然，根据双重否定的定义和相同的公理，它也适用于“α当且仅当不一致时才是不一致的”。

中的一些其他相关结果Ci公司保持如下。

定理 4

稠度特性：

1.: $\circ α ⊢ \neg (α \land \neg α)$ ,但反过来不成立
2.: $\circ α ⊢ \neg (\neg α \land α)$ ,但反过来不成立
3.: $⊢ \circ \circ α$
4.: $⊢ \circ • α$
5.: $⊢ \neg • \circ α$
6.: $⊢ \neg • • α$
7.: $⊢ \circ α \lor α$
8.: $⊢ \circ α \lor \neg α$
9.: $⊢ \circ α \lor α \land \neg α$
10.: $α ⊢ α \land (β \lor \neg β)$
11.: $α \land (β \lor \neg β) ⊢ α$

证明。

同样，详细的证据可以在[4]. ☐

定理 5

以下是中的底部颗粒 Ci公司 以下为：

1.: $α \land \neg α \land \circ α ⊢ β$ ,对于任何β
2.: $\circ α \land • α ⊢ β$ ,对于任何β
3.: $\circ α \land \neg \circ α ⊢ β$ ,对于任何β
4.: $• α \land \neg • α ⊢ β$ ,对于任何β

证明。

我们再次请读者参考[4]为了证明。 ☐

3.一致性、不一致性和次一致概率

如前一节所述（参见[2]对于细节），这里考虑的一致性的形式概念不一定依赖于否定。事实上，LFI的逻辑机制表明，一致性可以被视为一个原始概念，其含义可以被认为是通过非逻辑手段“最终确定为真（或假）”，具体取决于主题。从这个意义上说，一致性是一个独立于模型理论和证明理论方法的概念，更接近于规律性的概念，或与变化相反的东西（关于这个观点的详细阐述，请参阅[8]).

然而，正如F.Ramsey（参见[9])他认为信度应该满足概率公理，并辩称这与一致性或连贯性的概念有关。这样，一致性的概念（至少在置信度方面）可以被视为概率公理的满足。

本文旨在研究逻辑和概率之间的深层关系，强调一种新的方法来定义概率的次协调理论。以前的方法是在[10]，其中讨论了基于四值次协调逻辑的次协调贝叶斯主义的变体。还有一个更早的尝试已被简要概述[11]. 一个完全不同的观点被接受了[12]其中，概率语义是针对一对多值次协调逻辑给出的。非经典逻辑与概率之间的联系并不局限于次协调逻辑；参见，例如[13]对于无限值逻辑的情况，特别是[14]以获得更广阔、更哲学的视角。

概率函数通常定义为σ-给定宇宙集合Ω的子集代数，但直接为目标语言中的句子定义概率函数也是很自然的。我们将它们分别称为集合上的概率和句子上的概率（参见第5节).

虽然从布尔代数的表示定理来看，这两种方法在经典逻辑中是等价的，但对于基于其他逻辑的概率来说，情况并非如此，因为对于非经典逻辑来说，代数亲属关系可能会丢失，或者更不直接。此外，在代数术语中，集合理论设置中的概率函数需要满足可数可加性，但由于命题语言是紧凑的，对于句子上的概率，它只需要有限可加性。

我们对次一致概率的第一个定义将直接与句子的概率有关，其主要目的是强调概率推理背后新的、更谨慎的逻辑的作用，以及逻辑机器对相应版本的贝叶斯规则的影响。在第5节然而，将提出并讨论次一致概率空间的概念（关于集合上的概率）。

定义三。

语言的概率函数

L（左）

逻辑的 L（左）,或a L（左）-概率函数，是一个函数

P（P） 以下为： L（左） \mapsto R（右）

满足以下条件，其中

⊢_{L（左）}

表示的句法可导关系 L（左）以下为：

1.: 非负性： $0 \leq P（P） (φ) \leq 1$ 为所有人 $φ \in L（左）$
2.: 重言式：如果 $⊢_{L（左）} φ$ ,然后 $P（P） (φ) = 1$
3.: 抗自体免疫：如果 $φ ⊢_{L（左）}$ ,然后 $P（P） (φ) = 0$
4.: 比较：如果 $ψ ⊢_{L（左）} φ$ ,然后 $P（P） (ψ) \leq P（P） (φ)$
5.: 有限可加性： $P（P） (φ \lor ψ) = P（P） (φ) + P（P） (ψ) - P（P） (φ \land ψ)$

应该注意的是，同样的元公理，适当地

⊢_{L（左）}

对于L（左）经典的、直觉的或非一致的可导关系（在本例中，

⊢_{Ci公司}

)分别定义了经典概率测度、直觉概率测度和概率概率测度。直觉案例在[15]. 这清楚地表明，概率的概念可以被视为完全依赖于逻辑，而选择基本逻辑是一个有趣和方便的问题。然而，一旦做出选择，后果将截然不同，我们将在下文中进行说明。

两个事件α和β如果

P（P） (α \land β) = P（P） (α) \cdot P（P） (β)

。两个事件可以独立于一个概率测度，而依赖于另一个概率度量。

这些公理的一些直接后果如下：

定理 6

的规律性 L（左）-概率度量。

1.: 如果φ是 L（左）,然后 $P（P） (φ) = 0$ .
2.: 如果φ和ψ在逻辑上等价于 L（左） 在这个意义上 $φ ⊢ ψ$ 和 $ψ ⊢ φ$ ,然后 $P（P） (ψ) = P（P） (φ)$ .

证明。

（1）即时性，针对上述反自体公理进行比较；（2）立即，鉴于上述公理比较。 ☐

根据定理6，

P（P） (α \land \neg α \land \circ α) = 0

,

P（P） (\circ α \land • α) = 0

,

P（P） (\circ α \land \neg \circ α) = 0

和

P（P） (• α \land \neg • α) = 0

，对于任何概率函数P（P）.

两句话α和β如果

α, β ⊢ φ

，对于任何φ（或同等，如果

α \land β

充当底部粒子）。以下是一些简单的计算规则：

定理 7

的计算规则 Ci公司-概率度量。

设P为a Ci公司-概率测度；然后：

1.: $P（P） (α \lor β) = P（P） (α) + P（P） (β)$ ,如果α和β在逻辑上不兼容。
2.: $P（P） (\circ α) = 2 - (P（P） (α) + P（P） (\neg α))$
3.: $P（P） (α \land \neg α) = P（P） (α) + P（P） (\neg α) - 1$
4.: $P（P） (\sim α) = 1 - P（P） (α)$
5.: $P（P） (\neg \circ α) = 1 - P（P） (\circ α)$

证明。

只有第（1）项和第（2）项将被证明（其余为常规）：（1）：由于α和β在逻辑上不兼容，

α \land β

作为底部粒子，结果是定理6和有限可加性的直接结果；（2）：在句子中使用有限可加性

\circ α \lor (α \land \neg α)

和

\circ α \land (α \land \neg α)

. ☐

概率有时被视为广义真值。这样，在经典情况下，所谓的概率语义学可以被认为是对双值的扩展

v（v） 以下为： L（左） \mapsto {0, 1}

概率函数在实单位区间上的经典命题逻辑

[0, 1]

相反，二值化可以被视为退化概率函数；从这个意义上讲，经典逻辑是概率逻辑的一个特例。下面我们展示了一个类似的属性Ci公司对于上述定义的次一致概率概念。

概率语义学旨在解释逻辑系统（即逻辑蕴涵），而不求助于真值条件。这样，它就不同于标准的真值语义：概率语义更通用，尽管在经典情况下两者是等价的。所发生的是，每种语义都以自己的方式表达逻辑真理和逻辑结果，我们在本节中展示了，令人惊讶的是，这两种不同语义之间的等价性对于基于Ci公司.

定义

⊩_{P（P）}

作为一种概率语义关系，其含义是

Γ ⊩_{P（P）} φ

每个概率函数的当且仅当P（P），如果

P（P） (ψ) = 1

对于每个

ψ \in Γ

，然后

P（P） (φ) = 1

可以看出Ci公司在这种概率语义方面是（强烈）合理和完整的：

定理 8

的完整性 Ci公司 关于概率语义：

Γ ⊢ φ

当且仅当

Γ ⊩_{P（P）} φ

证明。

从左到右的方向直接遵循概率公理，即重言式和比较，再加上Ci公司证据。对于从右向左的方向，请注意，如果

Γ ⊩_{P（P）} φ

尤其是概率函数

{P（P）}_{2}

，因此

{P（P）}_{2} 以下为： L（左） \mapsto {0, 1}

。那么，通过引用定理2，可以证明映射

{P（P）}_{2}

满足定义2的二价的所有条件：

（比瓦尔1）: ${P（P）}_{2} (α \land β) = 1 ⟺ {P（P）}_{2} (α) = 1 和 {P（P）}_{2} (β) = 1$
如果 ${P（P）}_{2} (α \land β) = 1$ ，自 ${P（P）}_{2} (α \land β) \leq {P（P）}_{2} (α)$ 和 ${P（P）}_{2} (α \land β) \leq {P（P）}_{2} (β)$ 通过比较（定义3），然后 ${P（P）}_{2} (α) = 1 和 {P（P）}_{2} (β) = 1$ .
另一方面，如果 ${P（P）}_{2} (α) = 1 和 {P（P）}_{2} (β) = 1$ ，相比之下 ${P（P）}_{2} (α) \leq {P（P）}_{2} (α \lor β)$ ，然后 ${P（P）}_{2} (α \lor β) = 1$ ，结果是有限可加性，即。， $P（P） (α \land β) = P（P） (α) + P（P） (β) - P（P） (α \lor β) = 1$ .
（比瓦尔2）: ${P（P）}_{2} (α \lor β) = 1 ⟺ {P（P）}_{2} (α) = 1 或 {P（P）}_{2} (β) = 1$
与前一项类似，经必要修改。
（比瓦尔3）: ${P（P）}_{2} (α \to β) = 1 ⟺ {P（P）}_{2} (α) = 0 或 {P（P）}_{2} (β) = 1$
通过有限可加性 ${P（P）}_{2} (α \lor (α \to β)) + {P（P）}_{2} (α \land (α \to β)) = {P（P）}_{2} (α) + {P（P）}_{2} (α \to β)$ .自 $⊢ α \lor (α \to β)$ ，重言式意味着 ${P（P）}_{2} (α \lor (α \to β)) = 1$ 因此，作为 ${P（P）}_{2} (α \land (α \to β)) \leq {P（P）}_{2} (β)$ , ${P（P）}_{2} (β) \geq {P（P）}_{2} (α) + {P（P）}_{2} (α \to β) - 1$ .
现在，假设 ${P（P）}_{2} (α \to β) = 1$ ; 那么，要么 ${P（P）}_{2} (α) = 0$ 或者，如果 ${P（P）}_{2} (α) = 1$ ，然后 ${P（P）}_{2} (β) = 1$ .
反过来，假设 ${P（P）}_{2} (α) = 0$ 或 ${P（P）}_{2} (β) = 1$ .自
${P（P）}_{2} (α \lor (α \to β)) + {P（P）}_{2} (α \land (α \to β)) = 1 + {P（P）}_{2} (α \land (α \to β)) = {P（P）}_{2} (α) + {P（P）}_{2} (α \to β),$ 如果 ${P（P）}_{2} (α) = 0$ ，然后 ${P（P）}_{2} (α \to β) \neq 0$ ，因此 ${P（P）}_{2} (α \to β) = 1$ .
如果 ${P（P）}_{2} (β) = 1$ ，自 $β ⊢ (α \to β)$ ，紧接着 ${P（P）}_{2} (α \to β) = 1$ .
（比瓦尔4）: ${P（P）}_{2} (α) = 0 ⟹ {P（P）}_{2} (\neg α) = 1$
假设 ${P（P）}_{2} (α) = 0$ .如果 ${P（P）}_{2} (\neg α) = 0$ 然后根据定理7第（3）项，可以得出如下结论 ${P（P）}_{2} (α \land \neg α) = - 1$ ，荒谬。
（比瓦尔5）: ${P（P）}_{2} (\circ α) = 1 ⟹ {P（P）}_{2} (α) = 0 或 {P（P）}_{2} (\neg α) = 0$ .
假设 ${P（P）}_{2} (\circ α) = 1$ .如果 ${P（P）}_{2} (α) = 1 和 {P（P）}_{2} (\neg α) = 1$ 则定理7第（2）项导致荒谬。
（比瓦尔6）: ${P（P）}_{2} (\neg \neg α) = 1 ⟺ {P（P）}_{2} (α) = 1$ .
此项直接遵循公理 $Ax公司 12$ 和 $Ax公司 13$ 和重言式。
（比瓦尔7）: ${P（P）}_{2} (\neg \circ α) = 1 ⟹ {P（P）}_{2} (α) = 1 和 {P（P）}_{2} (\neg α) = 1$ .
假设 ${P（P）}_{2} (\neg \circ α) = 1$ .根据定理7，第（5）项， ${P（P）}_{2} (\circ α) = 0$ 因此，根据相同的定理7，第（2）项， ${P（P）}_{2} (\circ α) = 0 = 2 - ({P（P）}_{2} (α) + {P（P）}_{2} (\neg α)$ 因此 ${P（P）}_{2} (α) = 1 和 {P（P）}_{2} (\neg α) = 1$ .

☐

概率语义学可以被视为真值语义学的替代品，其目的是用概率函数解释语义概念，例如真值和结果。已在中显示[16]可以提供标准逻辑的语义（关于可靠性和完整性），而不需要任何模型理论或证明理论概念。这个想法后来在年得到了推广[17]证明了概率语义可以被赋予经典命题逻辑的任何扩展。然而，定理8有些令人惊讶，因为逻辑Ci公司它不是经典命题逻辑的延伸，恰恰相反：虽然它的语言是经典逻辑语言的演绎延伸，但它是一种收缩。我们的（次一致）概率语义Ci公司因此，即使在经典逻辑的收缩情况下，也可以用非标准概率函数来替代真值语义。

4.条件概率与次一致更新

在次协调逻辑中，概率最有趣的用法可能是帮助所谓的贝叶斯认识论或哲学中信念程度的形式化表示。众所周知的贝叶斯规则允许人们在获取新信息时更新概率，在次一致情况下，即使这些新信息涉及某种程度的矛盾。

像往常一样，我们定义了α鉴于β对于

P（P） (β) \neq 0

作为：

P（P） (α / β) = \begin{matrix} P（P） (α \land β) \\ \bar{P（P） (β)} \end{matrix}

传统的条件化贝叶斯定理说

P（P） (β) \neq 0

以下为：

P（P） (α / β) = \begin{matrix} P（P） (β / α) \cdot P（P） (α) \\ \bar{P（P） (β)} \end{matrix}

像往常一样，

P（P） (α)

这里表示先验概率，即α之前β已观察到。

P（P） (α / β)

表示后验概率，即α之后β观察到。

P（P） (β / α)

是观察的可能性或概率β鉴于α，以及

P（P） (β)

称为边际似然或“模型证据”。

我们现在可以建立贝叶斯定理的准一致版本，如[18]，通过使边际似然

P（P） (β)

根据以下方面进行分析

P（P） (α)

,

P（P） (\neg α)

和

P（P） (α \land \neg α)

什么时候

P（P） (α \land \neg α) \neq 0

.

在这一点上，我们可以很方便地展示经典全概率定理的一个简单而关键的推广：

定理 9

全次一致概率定理：

P（P） (β) = P（P） (β \land α) + P（P） (β \land \neg α) - P（P） (β \land α \land \neg α)

证明。

自

⊢_{Ci公司} α \lor \neg α

，然后

β ⊢_{Ci公司} (β \land (α \lor \neg α)

，并且清楚地（由

Ax公司 4

)

β \land (α \lor \neg α) ⊢_{Ci公司} β

; 因此，根据定理6：

P（P） (β) = P（P） (β \land (α \lor \neg α)) .

因此，

P（P） (β) = P（P） (β \land (α \lor \neg α)) = P（P） ((β \land α) \lor (β \land \neg α)) .

另一方面，根据重言式公理（定义3）：

P（P） ((β \land α) \lor (β \land \neg α)) + P（P） ((β \land α) \land (β \land \neg α)) = P（P） (β \land α) + P（P） (β \land \neg α)

因此：

P（P） (β) + P（P） ((β \land α) \land (β \land \neg α)) = P（P） (β \land α) + P（P） (β \land \neg α)

自：

P（P） ((β \land α) \land (β \land \neg α)) = P（P） (β \land α \land \neg α)

因此：

P（P） (β) = P（P） (β \land α) + P（P） (β \land \neg α) - P（P） (β \land α \land \neg α) .

☐

定理 10

准一致贝叶斯条件化规则（PBCR）：如果

P（P） (α \land \neg α) \neq 0

,然后：

P（P） (α / β) = \frac{P（P） (β / α) \cdot P（P） (α)}{P（P） (β / α) \cdot P（P） (α) + P（P） (β / \neg α) \cdot P（P） (\neg α) - P（P） (β / α \land \neg α) \cdot P（P） (α \land \neg α)}

证明。

首先注意到

P（P） (α \land \neg α) \neq 0

意味着

P（P） (α) \neq 0

和

P（P） (\neg α) \neq 0

鉴于定义3和

Ax公司 4

，因此商的定义很好。假设我们有两个相互矛盾的假设，α和

\neg α

，并希望根据证据β计算α的概率。由于条件概率的定义给出了：

P（P） (α / β) = \frac{P（P） (β / α) \cdot P（P） (α)}{P（P） (β)}

仍需计算边际似然

P（P） (β)

取决于

P（P） (α)

和

P（P） (\neg α)

。紧接着是定理9，将每个项分别除以，

P（P） (α)

,

P（P） (\neg α)

和

P（P） (α \land \neg α)

（不为零）。 ☐

很明显，这条规则概括了经典条件化规则，因为如果

P（P） (α \land \neg α) = 0

或者如果α是一致的：实际上，在最后一种情况下，

P（P） (β \land \circ α) = P（P） (β \land \circ α \land α) + P（P） (β \land \circ α \land \neg α)

自从

P（P） (\circ α \land α \land \neg α) = 0

.

作为口号，我们可以将PBCR概括为：“后验概率与似然乘先验概率成正比，与按其组成分析的边际似然成反比”。然而，通过结合条件概率、矛盾性、一致性和不一致性的概念，可以制定其他类型的条件化规则。

例子 1

例如，假设一种非法药物的兴奋剂检测在经常使用该药物的情况下准确率为98%（即，它产生了阳性结果，显示“兴奋剂”，在受试者经常使用该药物的情况下概率为0.98），对于非药物使用者，准确率为90%（即，结果为阴性，显示“无兴奋剂”，在受试者从未使用过药物或不经常使用药物的情况下，概率为0.9）。

此外，假设：（i）已知所有运动员总人口的10%经常使用这种药物；（ii）所有运动员中95%的人不经常使用或从未使用过该药物；以及（iii）测试结果为阳性，显示“兴奋剂”，整个人群的概率为0.11，与受试者无关。

让我们用以下缩写来记忆：

D：药物检测宣布个人“兴奋剂”（阳性）的事件；
C：药物检测宣布个人“无兴奋剂”（阴性）的事件；
A：受试者经常使用药物的事件；
$\neg 一个$ 以下为：受试者不经常使用药物或从未使用过药物。

我们知道

P（P） (一个) = 0.1

和

P（P） (\neg 一个) = 0.95

.然而，情况与事件A和

\neg 一个

,因为他们并不排斥。因此，通过有限可加性，

P（P） (一个 \lor \neg 一个) = 1 = (P（P） (一个) + P（P） (\neg 一个)) - P（P） (一个 \land \neg 一个)

因此，

P（P） (一个 \land \neg 一个) = (P（P） (一个) + P（P） (\neg 一个)) - 1 = 0.05

.

此外，如问题中所述，

P（P） (D类 / 一个) = 0.98

,

P（P） (C类 / \neg 一个) = 0.9

和

P（P） (D类) = 0.11

.测试结果没有不一致性，因为事件D（“掺杂”）和事件C（“无掺杂”）相互排斥。因此，

P（P） (D类 / \neg 一个) = 1 - P（P） (C类 / \neg 一个) = 0.1

和

P（P） (C类 / 一个) = 1 - P（P） (D类 / 一个) = 0.02

.

假设有人接受了测试，结果呈阳性（“兴奋剂”）。受试者经常使用这种非法药物的概率是多少

P（P） (一个 / D类)

?

通过应用次一致贝叶斯规则以下为：

P（P） (一个 / D类) = \frac{P（P） (D类 / 一个) \cdot P（P） (一个)}{P（P） (D类 / 一个) \cdot P（P） (一个) + P（P） (D类 / \neg 一个) \cdot P（P） (\neg 一个) - P（P） (D类 / 一个 \land \neg 一个) \cdot P（P） (一个 \land \neg 一个)}

自从

P（P） (一个 \land \neg 一个) \neq 0

.

所有值都是已知的，但以下值除外

P（P） (D类 / 一个 \land \neg 一个)

.自：

P（P） (D类 / 一个 \land \neg 一个) = \begin{matrix} P（P） (D类 \land 一个 \land \neg 一个) \\ \bar{P（P） (一个 \land \neg 一个)} \end{matrix}

还有待计算

P（P） (D类 \land 一个 \land \neg 一个)

.从定理9可以直接得出

P（P） (D类 \land 一个 \land \neg 一个) = P（P） (D类 \land 一个) + P（P） (D类 \land \neg 一个) - P（P） (D类) = P（P） (D类 / 一个) . P（P） (一个) + P（P） (D类 / \neg 一个) . P（P） (\neg 一个) - P（P） (D类) = 0.083

.因此，通过插入所有值，可以得出以下结论

P（P） (一个 / D类) = 35.5 %

.

概率

P（P） (\neg 一个 / D类)

根据非一致性贝叶斯规则进行类比计算，受试者从未使用过该药物或只是偶尔使用该药物，这一比例为34.4%。

如下所示，该示例表明，与传统条件化相比，次一致贝叶斯条件化规则对测试参数更敏感。下表将非一致性结果与通过尝试消除与事件相关的矛盾而获得的结果进行了比较一个（受试者经常使用药物的事件）和

\neg 一个

（受试者不经常使用或从未使用过该药物），即试图使其“经典”。这两个表涉及两种测试：可靠性较低的测试，有10%的假阳性(表1)和更可靠的测试，2%的假阳性(表2).

自一个和

\neg 一个

因此，我们可能会认为，通过根据三种假设场景消除重叠，从而审查价值，这是一个令人担忧的场景，通过降低

\neg 一个

5%；通过降低一个5%；以及一个谨慎的方案，将盈余平均分配给一个和

\neg 一个

并计算概率

P（P） (一个 / D类)

受试者经常使用这种非法药物。

然而，使用非一致性概率，人们可以得到关于这个不太可靠的测试的较低值，即：，

P（P） (一个 / D类) = 35.5 %

倾向于“快乐”的假设情景，即更少的人使用药物。

在第二个更可靠的测试中，通过通过次一致概率直接计算结果，可以获得更高的值，即

P（P） (一个 / D类) = 79 %

倾向于“谨慎”的假设情景。

价值观

P（P） (D类 / 一个)

和

P（P） (C类 / \neg 一个)

分别称为敏感性和特异性，正似然比定义为

秒 e（电子） n个 秒 我 吨 我 v（v） 我 吨 年 / 1 - 秒 第页 e（电子） c（c） 我 （f） 我 c（c） 我 吨 年

（类似地，负似然比定义为

1 - 秒 e（电子） n个 秒 我 吨 我 v（v） 我 吨 年 / 秒 第页 e（电子） c（c） 我 （f） 我 c（c） 我 吨 年

。为准一致概率定义这样的度量将有助于评估其含义，但这种方法不是本文的意图。

这些简单的例子表明了对贝叶斯次一致更新的以下解释：当测试不太可靠时，次一致概率倾向于谨慎乐观：值往往反映最有利的结果。另一方面，随着测试变得更加可靠，次一致概率倾向于谨慎的现实主义，即倾向于对不良结果的更现实的期望。尽管如此，测试在所有情况下都是谨慎的。

这样的数值结果与次协调逻辑的哲学特征密切相关，它自然支持对矛盾的谨慎推理：当你发现矛盾时，最好仔细分析其原因，而不是冒着把婴儿和洗澡水一起扔出去的风险。

值得注意的是，显然，我们上面的比较似乎是徒劳的。因为，正如粗心的读者所想，标准概率合并技术将直接应用于定义信念函数一致性（如[19]（并以多种方式进一步扩展），但正如在[20]由Dempster–Shafer理论的创始人之一提出，他反对全球共识方法，支持直接重新评估有助于信念函数的证据。

除了关于是否可以直接计算信念函数的一致性的争论之外，如何从概率论的角度理解信念一点也不明显。正如J.Y.Halpern和R.Fagin在[21]，第3页：

如果我们将信念视为广义概率，那么更新信仰，但不是结合他们。如果我们将信念视为证据的代表，那么将它们结合起来是有意义的，但不能更新它们。这表明，只有当我们将信念视为证据的表征时，组合规则才是合适的

当然，由概率函数定义的信念函数是广义概率，我们与Halpern和Fagin等一致，因为更新信念而不是组合信念是有意义的。

虽然第一个例子只是一个基于良好的次一致逻辑的稳健概率演算可以做什么的提示性示例，但可以方便地回忆一下，当假阳性结果比真阳性测试更有可能时，假阳性本身可以被视为矛盾的；当人群中某种疾病（例如疾病）的发病率低于假阳性率的概率时，就会发生这种情况。在这种情况下，传统的贝叶斯条件化规则已经包含了一种机制，可以合理地处理某些类型的矛盾数据，而不会陷入琐碎化。的确，在[22]次一致性范式被用作评估传统的完全贝叶斯显著性检验（FBST）值对先验密度或参考密度变化的敏感性的工具。该论文认为，这种直观的不一致性度量可以在次一致逻辑和双态结构的背景下变得严格。我们的意图是不同的，因为我们从逻辑-种族一致的方法开始，但原则上，这两种观点可以结合起来。

此外，在[23]定义了定罪量度和损失函数，旨在用于评估财务运营策略。因此，在这种信念度量上定义了分类树学习算法，其优点是输出更谨慎的决策。我们对贝叶斯更新过程的概括可以用于类似的应用，这并不令人难以置信，但这是一个有待进一步研究的主题。

5.次一致概率空间

正如历史上公认的那样（参见，例如[24])17世纪，欧洲出现了两个主要的相互竞争的概率学派，导致了不同的统计推断和估计方法，即频率学家（基于大数定律，关注随机机会定律）和认识论（指信任或合理程度的信仰，在某种程度上与现代贝叶斯主义有关）。然而，也存在第二种竞争，以逻辑概率理论（当代，凯恩斯/卡纳普）与概率测量理论方法（科尔莫戈洛夫）为代表。这对两党传统并非毫无关联，但没有人确切知道这一切与逻辑和概率之间的辩论有何关联（见下文）。

关于句子概率的提法由来已久，它来自戈特弗里德·莱布尼茨（1646-1716）、雅各布斯·伯努利（1654-1705）、约翰·海因里希·兰伯特（1728-1777）、伯纳德·博尔扎诺（1781-1848）、奥古斯塔斯·德摩根（1806-1871）和乔治·布尔（1815-1864），以及19世纪和20世纪的约翰·维恩（1834-1923），休·麦克科尔（1837-1909）、查尔斯·皮尔斯（1839-1887）、汉斯·赖森巴赫（1891-1953）、约翰·凯恩斯（1883-1946）和鲁道夫·卡纳普（1891-1970），只为了保留一些著名的名字。

另一方面，对集合上的概率的引用是最近才出现的。科尔莫戈罗夫在他1933年的经典德文书中介绍，翻译为[25]他称之为“概率的基本理论”，如今被数学家、统计学家和工程师广泛使用，并与测量理论相联系。句子上的概率在哲学家和逻辑学家中更为常见。

或者，概率可以基于博弈论而不是度量理论，如[26]将概率视为两个参与者之间的完美信息博弈。所谓的连续性公理，被认为没有很好的动机，在[26]. 按投入方式[27]:

概率的可数可加性一直存在争议。介绍它的埃米尔·博雷尔和确认它在测量理论概率中作用的安德烈·科尔莫戈洛夫对此都持矛盾态度。他们认为没有概念上的理由要求概率是可数相加的。从数学上来说，假设它们是方便的。正如Kolmogorov在他的格兰贝格里夫，可数可加性对经验经验没有意义，经验经验总是有限的，但它在数学上是有用的。我们可以通过指出无穷大在应用数学中不是作为表示而是作为简化来阐述科尔莫戈洛夫的解释。

集合上的概率（更恰当地称为概率函数）将概率直接分配给集合。虽然事件、陈述或谓词在许多情况下可以表示为集合，但这两种解释并不相同，尽管它们在经典场景中本质上是等价的[28]回顾波普尔反对概率论对集合的布尔代数的依赖性，并在这种批评的激励下提出了他的绝对概率概念。

在次协调范式下，句子上的概率和集合上的概率之间的等价性远远不明显，如果我们不能从次协调的角度提供类似的方法，我们的建议就不完整。

定义 4

次一致概率空间是一种结构

〈 Ω, Σ, Π, {P（P）}_{μ} 〉

哪里：

1.

Ω样本空间是由所有可能的结果组成的吗

2.

Σ \subseteq ℘ (Ω)

是一组事件，例如Σ是一个

σ^{⋆}

-代数，即：

（a）

∅

\in Σ

,

Ω \in Σ

和

Π \in Σ

;

（b）

Σ在∧、∏和可数联合下闭合；

（c）

Σ在以下两个二进制操作下关闭：

我.: ${X（X）}^{⋆} 以下为： Σ \mapsto Σ$ ,这样的话 $\bar{X（X）} \subseteq {X（X）}^{⋆}$ ,哪里 $\bar{X（X）}$ 是通常的补语.
ii（ii）.: $◯ X（X）以下为： Σ \mapsto Σ$ ,这样的话 $◯ X（X） \cap {X（X）}^{⋆} = \bar{X（X）}$

（d）

Π是所有一致结果的集合；

3.

地图

{P（P）}_{μ} 以下为： Σ \mapsto [0, 1]

是满足以下条件的概率测度：

（a）: ${P（P）}_{μ} (Ω) = 1$ 和 ${P（P）}_{μ}$ (∅) = 0
（b）: 如果 ${S公司}_{1}, \dots {S公司}_{n个} \in Σ$ 是成对不相交的，那么 ${P（P）}_{μ} (⋃_{我 = 1}^{\infty} {S公司}_{我}) = \sum_{我 = 1}^{\infty} {P（P）}_{μ} ({S公司}_{我})$

将概率解释分配给逻辑系统的意义在于，将概率视为附属于逻辑语句而不是直接附属于事件是多么合理。这种二元性给一些人带来了困惑，因为统计学家和工程师可能会发现逻辑的这一段令人困惑或不必要，他们更喜欢直接处理事件（在这种情况下，随机变量的概念至关重要）。另一方面，哲学家和逻辑学家可能会发现，将概率附加于陈述而不是事件是很自然的（在这种情况下，结果关系的概念至关重要）。

（经典）概率空间只是次协调概率空间〈Ω，∑，P（P）〉其中∏为空，操作

◯ X（X） 以下为： Σ \mapsto Σ

是∑上的恒等式（因此

{X（X）}^{⋆} = \bar{X（X）}

).

在经典情况下，可以定义事件概率和句子概率（在有限可加性的情况下）之间的明确联系，以便两种情况下的信息概率度量相同。对于需要无限可加性的情况，需要无限命题语言或一阶逻辑（见[29]，第401-404页）。对于De Finneti（参见[30])与Borel和Kolmogorov一样，无穷可加性只是一个数学上的便利问题，并没有严格地用概率的概念来证明：

它的成功在很大程度上归功于数学上的便利，使概率演算仅仅是现代测量理论的一种翻译。[……]没有人对可数可加性给出真正的理由（而不仅仅是将其视为有限可加性的“自然延伸”）。

在∑是闭的且是有限并的情况下

σ^{⋆}

-代数被称为σ-代数。

在经典情况下，事件概率和句子概率之间的联系是通过Lindenbaum代数的代数运算得到的，它表明句子上的概率测度是事件概率测度的个别情况。该论点本质上如下：用其语言表示一组经典的二值化L（左）作为

V（V） 一 我

，并指定给每个句子

φ \in L（左）

的子集

V（V） 一 我

，由定义

[[φ]] = {v（v） \in V（V） 一 我 | v（v） (φ) = 1}

.

可以归纳证明：

$[[φ \lor ψ]] = [[φ]] \cup [[ψ]]$ ;
$[[φ \land ψ]] = [[φ]] \cap [[ψ]]$ ;
$[[\neg φ]] = V（V）一我 - [[φ]]$ .

因此，宇宙

一个 = {[[φ]] \in ℘ (V（V） 一 我) | φ \in L（左）}

获取σ-代数结构。现在，给定任何概率分布

P（P） 以下为： L（左） \mapsto [0, 1]

如定义3所示，定义了集合上的概率测度

{P（P）}_{μ} 以下为： 一个 \mapsto [0, 1]

，如定义4所示，由

{P（P）}_{μ} ([[φ]]) = P（P） (φ)

，对于任何

φ \in L（左）

.很明显

{P（P）}_{μ}

根据定理6第（2）项定义明确。

在有限概率空间的情况下，可以很容易地确定逆概率

〈 Ω, {P（P）}_{μ} 〉

表示某个随机实验的结果

Ω = {ω_{1}, \dots, ω_{n个}}

（比如，掷骰子）。在这种情况下，可以通过设置原子变量来定义相应的概率逻辑

α_{1}, \dots, α_{n个}

，其中

α_{我}

意味着

ω_{我}

是实验的结果，句子

ρ_{我} = \neg α_{1} \land \dots \land \neg α_{我 - 1} \land α_{我} \land \neg α_{我 + 1} \land \dots \land \neg α_{n个}

，这么说

ω_{我}

独立发生，并定义

{P（P）}_{L（左）} (ρ_{我}) = P（P） ({ω_{我}})

对于

我 = 1, \dots, n个

和

{P（P）}_{L（左）} (λ) = 0

对于这些原子变量中的任何其他句子。很容易看出这一点

〈 L（左）, {P（P）}_{L（左）} 〉

是一个命题概率模型。对于经典案例，可以在[31]，第4.7章。结构给出了次一致概率空间的具体示例：

例子 2

〈 Ω, Σ, Π, {P（P）}_{μ} 〉

哪里：

1.

Ω是任意集合（代表所有可能的结果）

2.

Σ \subseteq ℘ (Ω)

是所有事件的集合，因此Σ是σ-代数，即：

（a）

∅

\in Σ

,

Ω \in Σ

和

Π \in Σ

;

（b）

Σ在∧和∏下是闭合的；

（c）

Σ在二进制操作下关闭：

我.: ${X（X）}^{⋆} = \bar{X（X）} \cup \bar{Π}$
ii（ii）.: $◯ X（X） = Π$

在这种情况下，∏表示一致的事件（从逻辑角度来看Ci公司). 什么时候？

Π = Σ

这种次协调概率空间是一个经典的概率空间。结构

〈 Ω, Σ, Π 〉

是亚一致集代数的一个特殊情况，如[32]，其中的结果（尤其是定理4和5）可以被修改，以给出事件的次协调概率和句子的概率概念之间的精确联系Ci公司逻辑（同样，在有限可加性的情况下）。

这种结构对数理统计很有意义，它允许以应用程序熟悉的方式处理次一致概率分布。

“次一致概率逻辑”和“次一致可能性空间”之间的主要区别在于，前者关注通过有效推理传递概率，而后者关注集合的度量、概率的分布及其结果，允许人们处理随机变量、期望、中心极限定理等。当然，与经典情况一样，哲学问题涉及概率逻辑，而不是空间。

如我们所见，概率空间和概率逻辑在经典情况下（至少在有限情况下）形成了等价的视图，类似的证明也适用于我们的次一致概率逻辑和次一致概率空间Ci公司). 然而，在涉及随机变量、测度理论和类似主题的更复杂处理方向上对次一致概率空间进行深入研究超出了本文的范围。

6.讨论：从次协调概率到次协调可能性

可能性理论是一种不确定性理论，用于人工智能、非单调推理、信念修正和类似领域，在信息不完全的情况下表达不确定性知识。它被视为一种不精确的概率理论，有时被视为概率的推广，有时被认为是它的竞争对手（例如[33]). 可能性理论使用一对对偶集函数（可能性和必然性测度），而不是仅使用一个测度，这与概率不同。

作为用不确定信息建模和推理的形式主义，可能性理论也与Dempster–Shafer证据理论相联系（参见[34]). 概率、可能性和其他信条计算是具有不同动机的替代形式，有时，为了更好地解决某些问题，组合不同的信条度量可能很重要，如[35].

通过定义可能性和必要性函数（如[36]尤其是在[37]，其中支持度的概念被研究为信念度的推广），模拟LFI上的次一致概率度量。对于次协调可能性理论的含义和应用，以及它与次协调概率之间的相互关系的深入研究，将推迟到进一步的工作中。

7.总结、意见和结论

我们回顾了关于次一致性的一些基本观点，将形式不一致逻辑描述为一种具有一致性概念的次一致逻辑，以及一种没有琐碎的否定。这意味着通过否定表达的矛盾并不一定会轻视潜在的后果关系，尽管一致的矛盾确实会爆发。然后，我们定义了一个概率度量，用于此类逻辑之一，即系统Ci公司从一致性的基本概念中获益，并尝试向次一致贝叶斯更新迈出第一步。

统计学中最重要的主题之一是如何确保可靠的不确定性推断。如果我们同意这一点，概率的概念及其与逻辑的联系至关重要。当然，也可以提出一种基于次协调模态的模态次协调概率方法（参见[38])，遵循[39]但这需要等待更好的动机。

我们如何解释次一致概率？一种可能的观点是，将准一致概率解释为理性主体对事件的信任程度，以这种程度尊重以下原则：必要的事件（例如，重言式）得到最大程度；不可能发生的事件（例如，底部粒子）的程度最低；概率尊重逻辑结果；并且保证了有限可加性（即合取和析取保留其经典解释）。最后一个条件似乎不太明显，但荷兰人的书中的论点为保持有限可加性提供了一条合理的途径，至少在经典案例中是这样。一本荷兰书是一系列赌注，经纪人认为这是公平的，但从长远来看，这保证了经纪人的损失。De Finetti于年证明[40]一本荷兰书可以针对一个信度不尊重有限可加概率的代理进行构建。

J.B.巴黎[41]证明了标准荷兰书定理（他的定理5）的推广适用于几个非经典逻辑，其中包括超相容逻辑，其中合取和析取的含义满足定义3中有限可加性子句。这种概括包含了我们基于逻辑的次一致概率概念Ci公司以及基于其他几种LFI的准一致概率理论。最近，它被显示在[42]荷兰书的论点可以进一步扩展到MV-代数的领域，为不精确概率提供了连贯性的逻辑表征。

应该考虑到我们的基本逻辑Ci公司以显著的方式扩大了经典场景：例如，即使不可能的事件被理性主体归为零度，这类事件也不一定不可能发生，矛盾也不是不可能发生的事件（尽管如上所述，一致的矛盾是不可能的）。

三个多世纪以来，逻辑和概率之间的关系有多密切一直是一个有争议的问题。例如，F.Ramsey认为[9]概率论是逻辑学的一个分支，在这一理论中，我们找到了莱布尼茨的回声，以及他对专门研究法理学问题的“新型逻辑”的辩护。莱布尼茨认为数学计算可以帮助确立法律立场，但他缺乏相关的组合工具。Boole还提出了一种基于逻辑演算的概率演算，该逻辑演算是在他的书的前面部分发展起来的思想法则所有这些导致了一种传统，即将概率视为二值逻辑的推广，正如R.Jeffrey在[43].

也许关于逻辑和概率之间关系的两个最相关的问题是：（i）概率定律是否应归类为逻辑定律；以及（ii）如何结合逻辑和概率来完善推理。概率的解释一直是一个备受争议的问题。如果我们将结果关系视为保持概率而非真理的程度（如标准逻辑），那么我们就得到了一种将概率视为逻辑一部分的解释。我们不打算在本文中讨论这个棘手的问题。这里我们关心的是，逻辑和概率可以独立于所选的解释，以数学和哲学上合理的方式结合起来。

在这方面，考虑到概率论在各个方面不同于经典逻辑，次协调逻辑也不同于经典立场，并且两者都能容忍矛盾、不精确等，它们的结合提供了一种新的令人兴奋的推理范式。

J·R·G·威廉姆斯在年指出了非经典逻辑中与概率有关的一些具体问题[14]:

研究非经典概率的公理化是一项开放的任务。Mundici，我们可以推广巴黎的结果吗等。，并获得更一般的意义，即哪组公理足以描述对真理值的期望？这里的一个主要障碍是对可加性原则（P3）及其变体的呼吁，这是唯一一个从本质上关注特定连接词行为的原则。有没有一种方法可以根据句子之间的逻辑关系而不是这样的硬约束来捕获其内容？

我们的公理学并没有遇到这样的问题，它自然地推广了可加性原理。Williams还警告（第17页），在某些情况下，条件概率的泛化并不能保证

P（P） (α | α) = 1

再次强调，这在我们的环境中不是问题，但另一个可能的问题来源是

P（P） (α \lor β) = P（P） (α) + P（P） (β)

应适用于所有逻辑不兼容的α和β例如，在我们的定理7中进行了处理。

关于非经典概率的公理化，一些其他LFI是与概率相关的自然候选者。其中最有前途的是三值次协调逻辑LFI1型（请参见[44])它相对于经典逻辑而言是最大的（因此，在某种意义上更接近于经典逻辑），具有某些形式的德摩根定律，并且最重要的是，它是可代数化的。这项任务超出了本文的范围，将推迟到未来的工作中。

德菲内蒂挑衅性地[30])他说概率不存在，这意味着概率只是主观地存在于个体的头脑中，莱布尼茨肯定会同意。对德芬蒂来说，概率不需要作为外部世界的一种属性存在，因此，它是一个纯粹的认识概念。从这个意义上说，附属于形式不一致逻辑的次一致概率可以被视为个体心理矛盾下信念持续性的度量，并且具有与证据概念紧密联系的认识论根源，如[2].

许多论据认为，信任应该符合概率演算，但由于代理当然可以持有相互矛盾的信任，而不会失去理想理性的地位（希望不受荷兰书中的论证影响），因此其合理性应该与次一致概率演算一致。在我们看来，我们手头的东西是一个很有希望的工具，可以扩大概率的概念。

致谢

我们感谢Julio Stern、Amilcar Sernadas、Paulo Mateus、Josep M.Font以及在巴黎IHPST历史与科学技术研究所、巴塞罗那大学和里斯本IST-Instituto Superior Técnico不同场合举办的研究研讨会的与会者提出的批评，建议和鼓励。两位作者都感谢巴西FAPESP-圣保罗研究基金会LogCons 2010/51038-0专题项目的支持，第二位作者感谢巴西国家科学技术发展委员会（CNPq）的研究拨款。

作者贡献

两位作者对这项工作的理论方面以及数值实验的概念和设计及其解释都做出了同样的贡献。两位作者均已阅读并批准了最终手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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表1。不太可靠的测试。

**表1。**可靠性较低的测试。
报警场景	谨慎的场景	快乐情景
$P（P） (一个) = 10 %$	$P（P） (一个) = 7.5 %$	$P（P） (一个) = 5 %$
$P（P） (\neg 一个) = 90 %$	$P（P） (\neg 一个) = 92.5 %$	$P（P） (\neg 一个) = 95 %$
$P（P） (D类 / 一个) = 98 %$	$P（P） (D类 / 一个) = 98 %$	$P（P） (D类 / 一个) = 98 %$
$P（P） (D类 / \neg 一个) = 10 %$	$P（P） (D类 / \neg 一个) = 10 %$	$P（P） (D类 / \neg 一个) = 10 %$
结果	结果	结果
$P（P） (一个 / D类) = 52 %$	$P（P） (一个 / D类) = 44 %$	$P（P） (一个 / D类) = 34 %$

表2。可靠性较低的测试。

**表2。**可靠性较低的测试。
报警场景	谨慎的场景	快乐情景
$P（P） (一个) = 10 %$	$P（P） (一个) = 7.5 %$	$P（P） (一个) = 5 %$
$P（P） (\neg 一个) = 90 %$	$P（P） (\neg 一个) = 92.5 %$	$P（P） (\neg 一个) = 95 %$
$P（P） (D类 / 一个) = 98 %$	$P（P） (D类 / 一个) = 98 %$	$P（P） (D类 / 一个) = 98 %$
$P（P） (D类 / \neg 一个) = 2 %$	$P（P） (D类 / \neg 一个) = 2 %$	$P（P） (D类 / \neg 一个) = 2 %$
结果	结果	结果
$P（P） (一个 / D类) = 84 %$	$P（P） (一个 / D类) = 80 %$	$P（P） (一个 / D类) = 72 %$

分享和引用

MDPI和ACS样式

Bueno-Soler，J。；卡尼埃利，W。次一致概率：一致性、矛盾和贝叶斯定理。熵 2016,18, 325.https://doi.org/10.3390/e18090325

AMA风格

Bueno-Soler J，Carnielli W。次一致概率：一致性、矛盾和贝叶斯定理。熵. 2016; 18（9）：325。https://doi.org/10.3390/e18090325

芝加哥/图拉宾风格

Bueno-Soler、Juliana和Walter Carnielli。2016年，“准一致概率：一致性、矛盾性和贝叶斯定理”熵18，编号9:325。https://doi.org/10.3390/e18090325

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。查看更多详细信息在这里.

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次一致概率：一致性、矛盾和贝叶斯定理

摘要

1.一致性与非冲突性

2.词，一种形式不一致的逻辑

3.一致性、不一致性和次一致概率

4.条件概率与次一致更新

5.次一致概率空间

6.讨论：从次协调概率到次协调可能性

7.总结、意见和结论

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