Reentrant Phase Transitions and van der Waals Behaviour for Hairy Black Holes

Hennigar, Robie A.; Mann, Robert B.

doi:10.3390/e17127862

开放式访问第条

毛状黑洞的重入相变和范德瓦尔斯行为

通过

罗比·A·亨尼加

^*和

罗伯特·B·曼

加拿大安大略省滑铁卢市滑铁卢大学物理与天文学系

^*

信件应寄给的作者。

熵 2015,17（12），8056-8072；https://doi.org/10.3390/e17127862

收到的提交文件：2015年10月12日/修订日期：2015年11月19日/接受日期：2015年11月25日/发布日期：2015年12月8日

（本文属于特刊黑洞热力学II)

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版本注释

摘要

:

我们研究了与五维标量场共形耦合的Einstein-Maxwell-∧理论的毛状AdS黑洞解的扩展相空间热力学。我们发现这些解在带电/不带电情况下以及带电情况下的重入相变中都表现出范德瓦尔斯行为。这是五维引力系统中第一个重入相变的例子，它不包括纯粹的引力高曲率修正。

关键词：

黑洞;热力学;标量字段

PACS系统：

04.50.-小时；04.70.戴；04.70.-秒

图形摘要

1.简介

四十多年来，黑洞热力学的研究一直是一个活跃的研究领域。特别令人感兴趣的是Anti-de Sitter（AdS）黑洞的热力学，它通过提出的规范/重力二元论，代表了强耦合共形场理论的全息二元论。对于它，热力学平衡很容易定义。

最近，人们对扩展相空间热力学这门学科产生了浓厚的兴趣，其中宇宙常数∧被视为热力学变量[1]类似于压力[2,三,4,5]. 在这个范例中，黑洞的质量被确定为时空的焓[6]这使得黑洞的热物理和简单的日常物质之间有了显著的对应关系[7]. 最初的工作表明，四维Reissner-Nordstrom AdS黑洞的临界行为与van der Waals液气系统之间存在完全的物理类比[8]. 后来的研究发现了六维双旋转Kerr-AdS黑洞的三相点、固/液/气相变的类似物和重入相变的例子[9,10,11]. 将这项工作扩展到更高曲率的引力理论，产生了更奇特的结果，例如多次重入相变和孤立的临界点[12,13,14]. 许多研究已经证实了对于广泛的黑洞解决方案的类似结果[15,16,17,18]而其他研究则使用了这个黑洞化学框架[7]发展诸如热力学启发的黑洞之类的想法[19,20,21]，熵不等式[22,23]以及全息热机的概念[24,25].

宇宙常数和热力学压力之间的建议关系是

P（P） = - \frac{Λ}{8 π} = \frac{(d日 - 1) (d日 - 2)}{16 π 我^{2}}

(1)

哪里d日是时空维度的数量。共轭量P（P）是热力学体积,V（V），其定义使黑洞热力学的扩展第一定律成立：

δ M（M） = T型 δ S公司 + \sum_{我} Ω_{我} δ {J型}_{我} + Φ δ 问 + V（V） δ P（P）

（2）

在这里M（M）是质量，T型是温度，S公司是熵，问是电荷，并且

{J型}_{我}

是黑洞的角动量。数量Φ和

Ω_{我}

是地平线的电势和角速度，它们是相对于无穷大测量的。欧拉标度参数可应用于第一定律，以导出Smarr公式，

\frac{d日 - 三}{d日 - 2} M（M） = T型 S公司 + \sum_{我} Ω_{我} {J型}_{我} + \frac{d日 - 三}{d日 - 2} Φ 问 - \frac{2}{d日 - 2} V（V） P（P）

（3）

这也是基于Komar公式的几何论证的结果[6].

在这里，我们开始首次探索爱因斯坦-麦克斯韦-∧理论在扩展相空间热力学背景下共形耦合到标量场的AdS毛状黑洞解。虽然对于在渐近平坦时空中与标量场理论共形耦合的四维广义相对论，已有成熟的无毛定理，但这种情况在渐近（局部）AdS空间中更为有趣，那里的共形修饰解早已存在[26]. 由于通过AdS/CFT对应，4维AdS黑洞周围标量场的凝聚提供了超导体的全息模型，因此AdS解决方案本身就很有趣[27,28]. 我们在这里考虑的5维理论最初是在[29,30,31,32]它的显著优点是，它是研究毛状黑洞相变的简单易行的模型，其中包括标量场在度量上的反向反应。

在下面的内容中，我们首先显式地编写[30]对于常量

(吨, 对)

超曲面是具有恒定正曲率、零曲率或负曲率的流形，用于计算热力学量。虽然在平面或双曲情况下没有得到令人感兴趣的结果，但我们表明，这些解表现出范德华行为，并且在球形情况下可以发生重入相变。这是在纯粹的高曲率引力理论之外的五维黑洞重入相变的第一个例子。在一个附录，我们讨论了该理论的负质量解（可以有多达四个视界），并讨论了它们的极值极限。

2.溶液和热力学

该理论的作用如下所示[30,31,32]，

我 = \frac{1}{κ} \int {d日}^{5} x个 \sqrt{- 克} (R（右） - 2 Λ - \frac{1}{4} {F类}^{2} + κ {L（左）}_{米} (ϕ, \nabla ϕ))

(4)

哪里

\begin{matrix} {L（左）}_{米} & = & {b条}_{0} ϕ^{15} + {b条}_{1} ϕ^{7} {S公司}_{μ ν}^{μ ν} + {b条}_{2} ϕ^{- 1} ({S公司}_{μ γ}^{μ γ} {S公司}_{ν δ}^{ν δ} \\ （5） & - 4 {S公司}_{μ γ}^{ν γ} {S公司}_{ν δ}^{μ δ} + {S公司}_{μ ν}^{γ δ} {S公司}^{ν μ}_{γ δ}) \end{matrix}

具有

{b条}_{0}, {b条}_{1}

和

{b条}_{2}

方程的耦合常数(4)，在变换下是保角不变的

克_{μ ν} \to Ω^{2} 克_{μ ν}

,

ϕ \to Ω^{- 1 / 三} ϕ

，以及

\begin{matrix} {S公司}_{μ ν}^{γ δ} & = & ϕ^{2} {R（右）}_{μ ν}^{γ δ} - 12 δ_{[μ}^{[γ} δ_{ν]}^{δ]} \nabla_{ρ} ϕ \nabla^{ρ} ϕ \\ (6) & - 48 ϕ δ_{[μ}^{[γ} \nabla_{ν]} \nabla^{δ]} ϕ + 18 δ_{[μ}^{[γ} \nabla_{ν]} ϕ \nabla^{δ]} ϕ \end{matrix}

注意，在重缩放下

φ^{三} = ϕ^{2 / (d日 - 2)}

理论可以（在维度上d日)以cannonically normalized的形式投射，例如，在下面给出的动作中耦合到Ricci标量

φ^{2} R（右）

[31].

方程的五维解(4)由给定

d日 秒^{2} = - （f） d日 吨^{2} + \frac{d日 对^{2}}{（f）} + 对^{2} d日 Ω_{(k个) 三}^{2}

(7)

哪里

（f） = k个 - \frac{米}{对^{2}} - \frac{q个}{对^{三}} + \frac{{e（电子）}^{2}}{对^{4}} + \frac{对^{2}}{我^{2}}

(8)

和

d日 Ω_{(k个) 三}^{2}

是恒定正曲率、零曲率或负曲率的三维曲面上的线元素(

k个 = 1, 0

或

- 1

）。在这里e（电子）代表电荷，米溶液的质量参数，以及q个是根据标量场的耦合常数给出的

q个 = \frac{64 π}{5} ε k个 {b条}_{1} {(\frac{- 18 k个 {b条}_{1}}{5 {b条}_{0}})}^{三 / 2}

(9)

具有ε获取价值观

ε = - 1, 0, 1

。因此，精确指定标量字段的耦合常数并不能唯一确定q个出现在溶液中；相反q个是取值的离散参数

q个 = 0, \pm | q个 |

为了满足场方程，标量耦合常数必须服从约束

10 {b条}_{0} {b条}_{2} = 9 {b条}_{1}^{2}

(10)

另请注意，对于平面解，即,

k个 = 0

，我们有

q个 = 0

换句话说，在平面情况下，没有头发。因此，在下面我们将只考虑

k个 = \pm 1

案例。

头发参数q个它不是与某些对称性相对应的守恒电荷，只要标量场耦合常数是动态的，它就会发生变化。在这里，在发展第一定律和Smarr关系时，我们将考虑所有耦合都是动态的。特别是这意味着我们将考虑q个是一个连续的实参数。麦克斯韦势由，

{A类}_{吨} = \frac{\sqrt{三} e（电子）}{对^{2}}

(11)

场强按标准方式计算：

{F类}_{μ ν} = \partial_{μ} {A类}_{ν} - \partial_{ν} {A类}_{μ}

，而标量字段配置由（for

k个 = \pm 1

),

ϕ (对) = \frac{n个}{对^{1 / 三}}, n个 = ε {(- \frac{18 k个}{5} \frac{{b条}_{1}}{{b条}_{0}})}^{1 / 6}

(12)

注意公制方程(7)允许零质量和负质量解决方案

k个 = \pm 1

对于

q个 > 0

。这些阴性肿块溶液在[30,32]. 在本文的正文中，我们只考虑正质量黑洞，并对这些更奇异的可能性在附录.

该溶液的许多热力学性质在[30]对于以下情况

k个 = 1

。这里我们将计算进行了概括，包括

k个 = - 1

案例。热力学量由，

\begin{matrix} M（M） & = & \frac{三 ω_{三 (k个)}}{16 π} 米, 问 = - \frac{ω_{三 (k个)} \sqrt{三}}{16 π} e（电子）, S公司 = ω_{三 (k个)} (\frac{对_{+}^{三}}{4} - \frac{5}{8} q个) \\ (13) & T型 & = & \frac{1}{π 我^{2} 对_{+}^{4}} [- \frac{{e（电子）}^{2} 我^{2}}{2 对_{+}} + \frac{q个 我^{2}}{4} + \frac{k个 我^{2} 对_{+}^{三}}{2} + 对_{+}^{5}] \end{matrix}

哪里

ω_{三 (k个)}

是带有线元素的紧凑三维流形的体积

d日 Ω_{(k个) 三}^{2}

.质量，M（M）和电荷，问，计算单位为[30]使用Regge-Teitelboim方法，我们对一般情况得出了相同的结果k个。通过要求欧氏截面中不存在圆锥奇点来计算温度。我们验证了熵在以下情况下不变

k个 = - 1

通过计算Wald熵[33]. 请注意，对于的正值q个，熵可以为负。在我们的研究中，我们将把负熵黑洞视为非物理黑洞。

上述热力学量满足扩展的第一定律，

d日 M（M） = T型 d日 S公司 + V（V） d日 P（P） + Φ d日 问 + K（K） d日 q个

(14)

前提是

\begin{matrix} (15) & V（V） & = & \frac{ω_{三 (k个)}}{4} 对_{+}^{4}, Φ = - \frac{2 \sqrt{三}}{对_{+}^{2}} e（电子） \\ K（K） & = & \frac{ω_{三 (k个)}}{32 我^{2} 对_{+}^{5}} (20 对_{+}^{6} + 2 对_{+}^{4} 我^{2} (5 k个 - 三) + 5 我^{2} q个 对_{+} - 10 {e（电子）}^{2} 我^{2}) \end{matrix}

Smarr公式与缩放一致

2 M（M） = 三 T型 S公司 - 2 V（V） P（P） + 2 Φ 问 + 三 q个 K（K）

(16)

也很满意。

为了确定状态方程，我们只需求解温度与压力的关系式。我们将特定体积确定为

v（v） = 4 对_{+} / 三

这两种方法都是为了使热力学量具有正确的物理尺寸，并且为了方便将此表达式与现有文献中的热力学体积相比较。在许多情况下，比体积可以理解为热力学体积与系统自由度的比值，

\tilde{v（v）} = V（V） / N个

其中，对于区域的黑洞A类,

N个 = \frac{1}{4} \frac{d日 - 2}{d日 - 1} \frac{A类}{ℓ_{P（P）}^{2}}

(17)

和

ℓ_{P（P）}

是普朗克长度(囊性纤维变性。脚注5[11]). 然而，在某些情况下，如目前的情况，这个公式并不合适。（其他情况包括旋转黑洞和曲率更高的引力黑洞。）熵不再仅仅是地平线面积的四分之一，因此A类不代表系统中的自由度。通过替换修改定义A类具有S公司在这里也不合适，因为那样的话，比体积和热力学体积就不会以自然的方式联系起来。由于这些原因，我们在表格中使用了特定的体积

v（v） = 4 对_{+} / 三

，这与中的维度参数一致[15].

当然，我们在使用比体积时必须小心，因为某些量在有意义的情况下取决于体积的选择，例如积分等面积定律的结果[34]. 然而，在我们这里进行的分析中，不会出现这样的问题，我们的结果与明确使用热力学体积得到的结果在质量上没有差别。撇开这些评论不谈，我们发现状态方程是

P（P） = \frac{T型}{v（v）} - \frac{2 k个}{三 π {v（v）}^{2}} + \frac{512}{243} \frac{{e（电子）}^{2}}{π {v（v）}^{6}} - \frac{64}{81} \frac{q个}{π {v（v）}^{5}}

（18）

我们系统的吉布斯自由能由下式给出

\begin{matrix} G公司 & = & M（M） - T型 S公司 \\ = & ω_{三 (k个)} [\frac{9 k个 {v（v）}^{2}}{256 π} - \frac{27 {v（v）}^{4} P（P）}{1024} + \frac{40 {q个}^{2}}{81 π {v（v）}^{4}} \\ + (\frac{5 P（P） v（v）}{8} + \frac{5 k个 - 4}{12 π v（v）}) q个 + (\frac{5}{9 π {v（v）}^{2}} - \frac{320 q个}{243 π {v（v）}^{5}}) {e（电子）}^{2}] \end{matrix}

(19)

我们现在准备探索这些多毛黑洞溶液的相结构。

3.关键行为

在这里，我们有兴趣研究这些解决方案的关键性和阶段结构。我们首先注意到，在本案中

q个 = 0

该解简化为5维Reisner-Nordstrom-AdS黑洞解，该解在[15]. 因此，我们将只关注非零的情况q个，特别感兴趣的是看这个“毛茸茸的”参数是否会导致热力学行为发生任何重大变化。我们用以下两个小节来探索球形黑洞的热力学行为

k个 = 1

和双曲黑洞

k个 = - 1

然后，我们专门研究临界点处熵为零的情况。

3.1. 球形的

3.1.1. 未充电案例

我们从研究这些黑洞在没有麦克斯韦场的情况下的行为开始，即,

e（电子） = 0

我们发现状态方程允许一个临界点

q个 < 0

具有临界值

\begin{matrix} {T型}_{c（c）} & = & - \frac{三}{20} \frac{{(- 5 q个)}^{2 / 三}}{π q个}, {v（v）}_{c（c）} = \frac{4}{三} {(- 5 q个)}^{1 / 三} \\ (20) & {P（P）}_{c（c）} & = & \frac{9}{200 π} {(- \frac{\sqrt{5}}{q个})}^{2 / 三} \end{matrix}

临界值的比率为

\frac{{P（P）}_{c（c）} {v（v）}_{c（c）}}{{T型}_{c（c）}} = \frac{2}{5}

(21)

这与5维RN-AdS溶液和范德瓦尔斯流体都不同。根据参数展开临界点的状态方程

ω = v（v） / {v（v）}_{c（c）} - 1

和

τ = T型 / {T型}_{c（c）} - 1

我们发现，

\frac{P（P）}{{P（P）}_{c（c）}} = 1 + \frac{5}{2} τ - \frac{5}{2} ω τ - \frac{5}{三} ω^{三} + O（运行） (τ ω^{2}, ω^{4})

(22)

因此，从中的分析[15]我们得出结论，临界点由标准平均场理论指数表征，

α = 0, β = \frac{1}{2}, γ = 1, δ = 三

(23)

未充电情况下的临界行为如所示图1针对具体情况

q个 = - 1

，突出了

q个 < 0

案例。最左边的图说明了吉布斯自由能的典型行为

P（P） < {P（P）}_{c（c）}

吉布斯能量显示出与一级相变相关的特征燕尾形状。中心图显示了代表性

P（P） - v（v）

曲线，其中

T型 < {T型}_{c（c）}

我们看到范德瓦尔斯振荡。最右边的图显示了中的共存图

(P（P）, T型)

空间。黑线标志着边界，它将两个截然不同的阶段——这里是大小黑洞。共存线从原点开始，终止于临界点，在此图中用绿点标记。这是范德瓦尔斯的标准行为。

图1。未起诉案件：范德瓦尔斯行为：

k个 = 1, q个 = - 1

. (左侧)G公司与。 T型图中显示红、黑、蓝线

P（P） < {P（P）}_{c（c）}

,

P（P） = {P（P）}_{c（c）}

和

P（P） > {P（P）}_{c（c）}

分别是。在临界压力以下，我们观察到典型的燕尾行为；(居中)P（P）与。 v（v）显示红色、黑色和蓝色线条的绘图

T型 < {T型}_{c（c）}

,

T型 = {T型}_{c（c）}

和

T型 > {T型}_{c（c）}

分别是。对于

T型 < {T型}_{c（c）}

我们观察到范德瓦尔型振荡；(赖特)P（P）与。 T型共存图。在这里，我们观察到标准的范德瓦尔斯行为，共存线从原点开始，到临界点结束（此处显示为绿点）。

图1。未起诉案件：范德瓦尔斯行为：

k个 = 1, q个 = - 1

. (左侧)G公司与。 T型图中显示红、黑、蓝线

P（P） < {P（P）}_{c（c）}

,

P（P） = {P（P）}_{c（c）}

和

P（P） > {P（P）}_{c（c）}

分别是。在临界压力以下，我们观察到典型的燕尾行为；(居中)P（P）与。 v（v）显示红色、黑色和蓝色线条的绘图

T型 < {T型}_{c（c）}

,

T型 = {T型}_{c（c）}

和

T型 > {T型}_{c（c）}

分别是。对于

T型 < {T型}_{c（c）}

我们观察到范德瓦尔型振荡；(赖特)P（P）与。 T型共存图。在这里，我们观察到标准的范德瓦尔斯行为，共存线从原点开始，到临界点结束（此处显示为绿点）。

如上所述，当

q个 \geq 0

然而，我们仍然必须明确考虑这种情况，因为熵的正性考虑可能导致零级相变。这种类型的跃迁是在先前关注高曲率重力的研究中发现的[12,13]其中，强制熵为正导致吉布斯自由能不连续，迫使系统从一个最小分支“跳跃”到另一个。对于正极q个我们发现吉布斯自由能呈现出一个尖点，当增强熵的正性时引入了不连续性，它们总是出现在上分支中，如所示图2因此，在

q个 > 0

在不带电的情况下，情况不会导致有趣的行为。

图2。无电荷情况：吉布斯自由能：

k个 = 1

,

q个 = 1

.代表G公司与。 T型绘图

P（P） = 0.05

和

q个 = 1

红线代表吉布斯能量的物理分支，而虚线黑线对应负熵黑洞。吉布斯自由能显示出一个尖点，由于增强了熵的正性，其上分支终止于有限温度。在低于尖端的温度下，不存在黑洞溶液。

图2。无电荷情况：吉布斯自由能：

k个 = 1

,

q个 = 1

.代表G公司与。 T型绘图

P（P） = 0.05

和

q个 = 1

红线代表吉布斯能量的物理分支，而虚线黑线对应负熵黑洞。吉布斯自由能显示出一个尖点，由于增强了熵的正性，其上分支终止于有限温度。在低于尖端的温度下，不存在黑洞溶液。

3.1.2. 被控案件

在本节中，我们将分析扩展到包括非零电荷参数，e（电子）从分析的角度来看，这使分析变得复杂，因为临界点的表达式不再采用简单的形式。我们在适当的地方进行数值计算。

什么时候？

q个 < 0

任何值都存在一个临界点e（电子）此外，在这种情况下，熵的正性基本满足。这里没有出现新功能图1足以描述游戏中的物理-没有本质上的区别。我们观察到吉布斯自由能具有典型燕尾行为的一阶相变

P（P） - v（v）

和

P（P） - T型

这些图显示了范德瓦尔斯的标准行为。临界点由平均场理论指数表征。

对于

q个 > 0

状态方程承认一个拐点，但这个拐点是否是物理临界点取决于熵条件的积极性。为了说明这一点，请考虑图3，它绘制出正临界点的数量q个该图清楚地表明，对于某些

(q个, e（电子）)

对于对应于负熵黑洞的参数值，出现潜在的临界点的组合。事实上，我们可以从这个图中了解到，对于给定的电荷e（电子），将有一些阈值

{q个}_{0}

这样所有人

q个 > {q个}_{0}

对于负熵解，临界点出现。通过进行与上一节相同的分析，我们证实了临界点的特征是平均场论指数。

图3。被控案件：q个-e（电子）参数空间：

k个 = 1

。区域的绘图q个-e（电子）显示物理临界点数量的空间。蓝色圆点表示物理临界点为正

({v（v）}_{c（c）}, {T型}_{c（c）}, {P（P）}_{c（c）})

正熵。绿点表示非物理临界点：临界值为正，但在潜在临界点处熵为负。实心黑线映射出了以下公式给出的零熵边界

q个 \approx 1.3375 {e（电子）}^{三 / 2}

。对于此值q个，临界点对应于零熵黑洞。

图3。被控案件：q个-e（电子）参数空间：

k个 = 1

。区域的绘图q个-e（电子）显示物理临界点数量的空间。蓝色圆点表示物理临界点为正

({v（v）}_{c（c）}, {T型}_{c（c）}, {P（P）}_{c（c）})

正熵。绿点表示非物理临界点：临界值为正，但在潜在临界点处熵为负。实心黑线映射出了以下公式给出的零熵边界

q个 \approx 1.3375 {e（电子）}^{三 / 2}

。对于此值q个，临界点对应于零熵黑洞。

在以下地区

(q个, e（电子）)

在临界点为非物理点的空间中，我们发现吉布斯自由能的尖点在性质上与图2。我们在这些区域没有发现任何类型的相变。

为了理解临界点为物理点时这些溶液的热力学行为，我们讨论了

q个 = e（电子） = 1

案例，提供了具有代表性的分析。在这种情况下，加强熵条件的正性要求我们在某些参数区域将吉布斯自由能视为非物理的。与不带电的情况相反，这导致了新的有趣的行为：除了标准的范德瓦尔斯行为外，我们还观察到了小压力范围内的重入相变实例。这些相变最初是在尼古丁/水混合物中观察到的，之所以被称为相变，是因为一个热力学参数的单调变化导致两个或多个相变之后，最终状态与初始状态在宏观上相同[35].

导致这种行为的吉布斯自由能的结构如图4图中的每个曲线对应不同的压力值，从左到右，从

P（P） = 0.031

在最左边的图中，结束于

P（P） = 0.032

在最右边。在每个图中，在一定温度以下，吉布斯自由能的一个分支（最接近水平的分支）由于正熵条件而是非物理的。随着压强的增加，这个分支变得更接近并最终相交于吉布斯能量的最小分支。当这个相交发生时，对于一个狭窄的压强窗口，我们有一个重入相变，如下图所示

P（P） = 0.0313

.由中心图描述的系统，具有初始温度

吨_{c（c）} < T型 < 吨_{0}

（其中

吨_{c（c）}

是吉布斯能量尖端的温度）是一个大黑洞。如果温度升高到

吨_{0}

它在热力学上有利于系统经历零级相变并跃迁到较低的分支，对应于一个小黑洞。如果温度进一步升高到

吨_{1}

，该系统将经历一个一级相变回到一个大黑洞。这是一个重入相变，因为热力学上的首选态通过单调地升高温度从大到小，然后再从大到大的转变。

图4。再入相变：吉布斯自由能：

k个 = 1

,

e（电子） = q个 = 1

这些图显示了

P（P） = 0.031, 0.0313

和

0.032

(左边到正确的). 由于熵约束的积极性，一条支路在低于特定温度时变得不物理，这取决于图中的压力，如黑色虚线所示。对于某一压力窗口，我们可以看到中心图所示的行为。这种结构导致了一个重入相变，因为温度的单调变化导致了零级大/小黑洞相变

吨_{0}

，然后是一阶小/大黑洞跃迁

吨_{1}

.

图4。再入相变：吉布斯自由能：

k个 = 1

,

e（电子） = q个 = 1

这些图显示了

P（P） = 0.031, 0.0313

和

0.032

(左边到正确的). 由于熵约束的积极性，一条支路在低于特定温度时变得不物理，这取决于图中的压力，如黑色虚线所示。对于某一压力窗口，我们可以看到中心图所示的行为。这种结构导致了一个重入相变，因为温度的单调变化导致了零级大/小黑洞相变

吨_{0}

，然后是一阶小/大黑洞跃迁

吨_{1}

.

如最右边的图所示，在一定压力以上，吉布斯能量的分支因熵条件而终止，当温度低于吉布斯能量有一个尖点的温度时。当这种情况发生时，不再存在重入相变，因为系统永远不必“跳跃”到最小分支。对于高于此阈值但小于临界压力的压力，我们只观察到一级相变。

这种情况在图5，它显示了

q个 = e（电子） = 1

案例。这里，零级相变用红线标记，而黑线对应一级相变。我们看到，一阶相变开始于虚三相点，在虚三相点处，对于相同的物理参数，零阶/一阶相变发生，并以典型的范德瓦尔斯方式终止于临界点。在这些图中蓝线的左边，黑洞具有负熵。

我们在这里对具体案例所作的分析

q个 = e（电子） = 1

同样适用于任何

(q个, e（电子）)

蓝色区域的组合图3然而，当一个人靠近零熵边界时（图3)，观察到相变的压力范围显著缩小。例如，当

q个 = 1.33

和

e（电子） = 1

，观察到相变的压力范围的宽度约为

2 \times 10^{- 5}

（用于

e（电子） = 1

，零熵情况发生在

q个 \approx 1.3375

). 我们将在后面的部分中明确处理零熵情况。

图5。再入相变：共存图：

k个 = 1

,

e（电子） = q个 = 1

. (左侧)

P（P） - T型

显示零级和一级相变的共存曲线（分别为红色和黑色曲线）。蓝线左边的黑洞具有负熵，因此我们认为它们是非物理的；(赖特)左图的放大副本突出显示了小范围压力下大/小/大黑洞重入相变的存在。

图5。再入相变：共存图：

k个 = 1

,

e（电子） = q个 = 1

. (左侧)

P（P） - T型

显示零级和一级相变的共存曲线（分别为红色和黑色曲线）。蓝线左边的黑洞具有负熵，因此我们认为它们是非物理的；(赖特)左图的放大副本突出显示了小范围压力下大/小/大黑洞重入相变的存在。

3.2. 双曲线

现在我们继续考虑双曲线情况（其中

k个 = - 1

). 因为

k个 = - 1

音量

ω_{三 (k个)}

（常数的面积

(对, 吨)

节）可以是无限的，人们可能会认为（某些）热力学量是不确定的。对于这种困境，有两种可能的解决方案：（1）可以将双曲面紧致化

θ - ϕ

产生拓扑黑洞的扇区，该黑洞的体积是有限的[36]; 或者（2）可以考虑“热力学密度”，

{x个}_{我}

其中外部量

{X（X）}_{我}

已计算

{x个}_{我} = {X（X）}_{我} / ω_{三 (k个)}

任何一种都允许定义明确的第一定律和Smarr关系。

不带电的案例是无趣的：无论q个没有正面的物理临界点

({v（v）}_{c（c）}, {T型}_{c（c）}, {P（P）}_{c（c）})

因此，我们直接转到非零电荷的情况e（电子）.

案例中没有关键点

q个 < 0

。通过考虑状态方程可以很容易地看出这一点，我们在这里针对具体的

q个 < 0

:

{P（P）}_{q个 < 0} = \frac{T型}{v（v）} + \frac{2}{三 π {v（v）}^{2}} + \frac{512}{243} \frac{{e（电子）}^{2}}{π {v（v）}^{6}} + \frac{64}{81} \frac{| q个 |}{π {v（v）}^{5}}

(24)

注意状态方程中的每一项都对压强有积极的贡献。这意味着临界点的条件，

\frac{\partial P（P）}{\partial v（v）} = 0, \frac{\partial^{2} P（P）}{\partial {v（v）}^{2}} = 0

(25)

无法满足参数的实际值。值得注意的是

\partial^{2} P（P） / \partial {v（v）}^{2}

将为正，因此状态方程没有拐点。此外，根本不存在相变。吉布斯自由能只有一个物理分支，熵的正性通常得到满足，由于这个约束，没有发生零级相变。

这个案子

q个 > 0

更复杂，但没有显著差异。自q个如果为正，则状态方程将有一个负贡献，从而允许临界点的可能性。然而，对于给定的固定

q个 > 0

，有个阈值e（电子）由提供，

{e（电子）}_{吨}^{\pm} = \pm \frac{{(50 {q个}^{2})}^{\frac{1}{三}}}{8}

(26)

这样无论何时

| e（电子） | > | {e（电子）}_{吨}^{\pm} |

临界温度是负的，临界点在这个阈值以上是非物理的。除了要求

{T型}_{c（c）} > 0

，用于

q个 > 0

我们还必须意识到熵条件的积极性。我们可以研究满足可能临界点的熵的符号

| e（电子） | < | {e（电子）}_{吨}^{\pm} |

首先计算临界体积

| e（电子） | = | {e（电子）}_{吨}^{\pm} |

结果是一个复杂的根式表达式，约为，

{v（v）}_{c（c）}^{{e（电子）}_{吨}} \approx 0.9408 {q个}^{1 / 三}

（27）

熵依次近似为，

\frac{{S公司}_{c（c）}^{{e（电子）}_{吨}}}{ω_{三 (k个)}} = \frac{27}{256} {({v（v）}_{c（c）}^{{e（电子）}_{吨}})}^{三} - \frac{5}{8} q个 \approx - 0.5469 q个

(28)

也就是说，因为

q个 > 0

，熵在此处始终为负

{T型}_{c（c）}

等于零。此外，因为

| e（电子） | < | {e（电子）}_{吨}^{\pm} |

我们有

{v（v）}_{c（c）} < {v（v）}_{c（c）}^{{e（电子）}_{吨}}

然后我们有

{S公司}_{c（c）} < {S公司}_{c（c）}^{{e（电子）}_{吨}}

，因此，以

{e（电子）}_{吨}^{\pm}

由于正熵的考虑，它们是非物理的。这些论点的结论是，对于双曲线情况

q个 > 0

，没有物理临界点。在这种情况下，我们既没有观察到零级相变，也没有观察到一级相变。

3.3. 零熵黑洞

hairy参数的存在q个在熵中，意味着黑洞有可能在有限的情况下具有零熵或负熵

对_{+}

这里我们考虑一种特殊情况，即临界点处的熵等于零。这种情况的有趣之处在于，在零熵的情况下，这些黑洞没有自由度。

为了保证临界点的熵为零，我们实施了约束，

q个 = \frac{27}{160} {v（v）}_{c（c）}^{三}

(29)

要获得以下关系q个和e（电子）表达式可以通过分析得到，但过于复杂，不值得引用；近似结果是，

q个 \approx {1.3375 | e（电子） |}^{三 / 2}

(30)

由上面的表达式绘制的线对应于中的实心黑线图3如该节所述，在该阈值以下，我们可以看到类似于中所示的相结构图4和图5但随着阈值的接近，压力范围不断缩小。为了研究实际达到阈值的极限会发生什么，我们首先根据参数展开关于临界点的状态方程

ω = v（v） / {v（v）}_{c（c）} - 1

和

τ = T型 / {T型}_{c（c）} - 1

，屈服

ρ = \frac{P（P）}{{P（P）}_{c（c）}} - 1 = A类 (e（电子）) τ - B类 (e（电子）) ω τ - C类 (e（电子）) ω^{三} + O（运行） (τ ω^{2}, ω^{4})

(31)

哪里

A类 (e（电子）)

通过

C类 (e（电子）)

表示复杂e（电子）-正相关系数。下面我们不写这个e（电子）依赖性是明确的，但读者应该知道它是存在的。例如，对于特定情况

e（电子） = 1

我们有

A类 = 9 / 4

,

B类 = 9 / 4

和

C类 = 5 / 2

。我们将讨论当临界点的熵为零时，不存在相变，所以首先让我们非常清楚我们论点的逻辑。

一般来说，当吉布斯自由能的一个分支用其自然变量表示时，就会发生相变T型和P（P）在热力学上变得比另一种更受青睐。要用吉布斯自由能的自然变量来表示它，可以将状态方程颠倒，从而得到v（v）作为的函数T型和P（P）由于状态方程通常是某种程度的多项式n个在里面v（v），有n个独立分支机构v（v）因此n个吉布斯自由能的分支v（v）制造完成。为了使吉布斯自由能具有物理意义v（v）必须具有物理感知能力（例如。，v（v）必须是正的，并且必须对应于具有非负熵的黑洞）。特别是，这意味着观察相变的一个必要条件是吉布斯自由能至少存在两个物理分支，或者等价地，存在两个v（v）这里我们将证明，如果临界点的熵为零，那么对于v（v），因此该系统将不会经历相变。

我们可以反转方程(31)获得以下三个表达式ω,

\begin{matrix} ω_{1} & = & \frac{12^{1 / 三}}{6 C类} [\frac{R（右） {(ρ, τ)}^{2} - B类 C类 12^{1 / 三} τ}{R（右） (ρ, τ)}], \\ ω_{2} & = & \frac{\sqrt{三} 12^{1 / 三}}{12 C类} [\frac{12^{1 / 三} B类 C类 τ - R（右） {(ρ, τ)}^{2}}{\sqrt{三} R（右） (ρ, τ)} \\ + \frac{12^{1 / 三} B类 C类 τ + R（右） {(ρ, τ)}^{2}}{R（右） (ρ, τ)} 我], \\ (32) & ω_{三} & = & ω_{2}^{*} \end{matrix}

哪里

R（右） (ρ, τ) = {[9 A类 {C类}^{2} τ - 9 ρ + \sqrt{三} {C类}^{2} \sqrt{\frac{27 {(A类 τ - ρ)}^{2} + 4 {B类}^{三} τ^{三}}{C类}}]}^{1 / 三}

(33)

确保至少有两种解决方案ω真的能解决这个问题

12^{1 / 三} B类 C类 τ + R（右） {(ρ, τ)}^{2} = 0

(34)

它给出了

ρ = A类 τ - \frac{{(- 12^{1 / 三} B类 C类 τ)}^{三 / 2}}{9 {C类}^{2}}

(35)

其中，对于

τ < 0

，允许我们研究临界点附近系统的行为

T型 < {T型}_{c（c）}

和

P（P） < {P（P）}_{c（c）}

。使用此为ω的赠品，

\begin{matrix} ω_{1} & = & \frac{2}{三} \sqrt{\frac{- 三 B类 τ}{C类}} \\ (36) & ω_{2} & = & ω_{三} = - \frac{1}{三} \sqrt{\frac{- 三 B类 τ}{C类}} \end{matrix}

注释

ω_{2}

和

ω_{三}

消极意味着

v（v） < {v（v）}_{c（c）}

对于那些分支，而

ω_{1} > 0

方法

v（v） > {v（v）}_{c（c）}

用于该分支。

接下来考虑根据ω和约束方程(29)

{S公司}_{我} = \frac{27 π^{2} {v（v）}_{c（c）}^{三}}{128} ({(ω_{我} + 1)}^{三} - 1)

(37)

自从

ω_{2} = ω_{三} < 0

，我们有

{S公司}_{2} = {S公司}_{三} < 0

所以这些分支是非物质的。因此，在零熵出现临界点的情况下，吉布斯自由能只有一个物理分支，因此不可能发生相变。从本质上讲，如果临界点的熵为零，那么吉布斯自由能的所有分支的熵都小于零

T型 < {T型}_{c（c）}

（由于上述结果假设

τ < 0

). 这个结果与我们的热力学直觉很吻合，因为我们不会期望一个自由度为零的系统会经历相变这样的过程。令人欣慰的是，这种形式主义产生了这种结果。

4.结论

我们研究了与五维标量场共形耦合的Einstein-Maxwell-∧理论的毛状AdS黑洞解的扩展相空间热力学。我们考虑了球面、平面和双曲线地平线拓扑。在平面情况下，黑洞没有毛发，因此没有有趣的新结果。在双曲线情况下，对熵和临界值的物理约束会消除整个参数空间，从而不会产生有趣的相结构。

球壳产生了有趣的结果。这些系统显示了范德瓦尔斯在带电和不带电情况下的行为。在零熵极限（非零情况下发生

对_{+}

对于阳性q个)，所有关键行为停止。在带电情况下，要求熵为正导致我们为这些解找到了重入相变的例子。这是五维引力系统中的第一个重入相变例子，它在纯引力扇区中不涉及更高的曲率修正。

致谢

加拿大自然科学和工程研究委员会通过其发现和PGS计划，部分支持了这项研究。

作者贡献

这项工作由Robie A.Hennigar和Robert B.Mann共同完成。两位作者均已阅读并批准了最终手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录：质量为零或负的黑洞

如论文正文所述，度量方程(7)允许的零质量和负质量解

k个 = \pm 1

对于

q个 > 0

。这些阴性肿块溶液在[30,32]，因此没有对其进行详细研究。然而，负质量黑洞的概念并不新鲜：负质量黑洞

k个 = - 1

一段时间以来，人们都知道它是爱因斯坦-AdS引力的解，它可以由负能量密度的物质坍缩而形成[37,38]. 基于这些原因，这个话题值得在这里进行更多的讨论。

首先我们考虑球壳(即,

k个 = + 1

)如果我们找到了

q个 > 0

，可能存在无质量黑洞或负质量黑洞。对于消失的电荷，提供了一个单一的视界

q个 > 0

.何时

e（电子） \neq 0

，对于给定

米_{0} \leq 0

，最小值为

{q个}_{0}

存在地平线所需的条件

{q个}_{0} = \frac{2 ({e（电子）}^{2} 我^{2} - 2 对_{0}^{6} - 我^{2} 对_{0}^{4})}{我^{2} 对_{0}}

（A1）

哪里

对_{0}

求解方程

米_{0} = \frac{5 对_{0}^{6} + 三 我^{2} 对_{0}^{4} - {e（电子）}^{2} 我^{2}}{对_{0}^{2} 我^{2}}

（A2）

对于

q个 > {q个}_{0}

该解决方案具有内部/外部地平线结构，而对于

q个 < {q个}_{0}

该解描述了一个裸露的奇点。什么时候？

q个 = {q个}_{0}

，两个视界重合，解是极值的。

在

k个 = + 1

这种情况下，负质量黑洞也具有负熵。用事件视界半径表示，质量参数为

米 = \frac{对_{+}^{6} + 我^{2} (k个 对_{+}^{4} + {e（电子）}^{2} - q个 对_{+})}{对_{+}^{2} 我^{2}}

（A3）

当该表达式的分子小于零时，会产生负质量解。反转表达式

秒 = S公司 / ω_{三 (k个)}

对于

对_{+}

，负质量黑洞的条件变为

\begin{matrix} 0 & > & \frac{5 我^{2} {(20 q个 + 32 秒)}^{1 / 三}}{4} [(k个 - \frac{2}{5}) q个 + \frac{8 k个}{5} 秒] \\ （A4） & + \frac{25}{4} {(q个 + \frac{8}{5} 秒)}^{2} + {e（电子）}^{2} 我^{2} \end{matrix}

其中，对于

k个 = + 1

，只能满足于

秒 < 0

自从

q个 > 0

因此，在球面情况下，包含这些负质量解对我们的分析没有进一步的帮助，因为我们在整个工作中都强调了熵的正性。

双曲线情况下的情况更有趣(即,

k个 = - 1

). 我们从研究负质量解开始，其中

e（电子） = 0

。在这种情况下，没有必要q个严格为正的黑洞解具有负质量。对于

0 > 米_{0} > - 我^{2} / 4

.将有黑洞解决方案

q个 < 0

假如

q个 > {q个}_{0}

，其中

{q个}_{0} = \frac{2 对_{0}^{三}}{我^{2}} (我^{2} - 2 对_{0}^{2})

（A5）

具有

对_{0}^{2} = \frac{1}{10} (我 \sqrt{9 我^{2} + 20 米_{0}} + 三 我^{2})

（A6）

只要

0 > q个 > {q个}_{0}

黑洞呈现出内/外视界结构，当两个视界重合时

q个 = {q个}_{0}

对应于一个极端黑洞。对于

q个 < {q个}_{0}

这里有一个赤裸裸的奇点。

什么时候？

q个 > 0

负质量黑洞在较小的参数范围内可以有多达三个不同的视界。发生这种情况的原因

0 \geq 米 \geq - 9 我^{2} / 20

，对于给定的

米_{0}

在此间隔内发生

{q个}_{-} \leq q个 \leq {q个}_{+}

具有

{q个}_{\pm}^{2} = \frac{2 对_{0_{\pm}}^{三}}{我^{2}} (我^{2} - 2 对_{0_{\pm}}^{2})

（A7）

哪里

对_{0_{\pm}}^{2} = \frac{1}{10} (三 我^{2} \pm 我 \sqrt{9 我^{2} + 20 米_{0}})

（A8）

在这个范围之外，解决方案只有一个范围。

有三个视界，有许多有趣的可能性。例如，可以考虑三个不同的“极值极限”，对应于内层和中间层合并的时间(

q个 = {q个}_{+}

)，外层和中间层合并(

q个 = {q个}_{-}

)，或者当所有三个层位合并时(

q个 = {q个}_{-} = {q个}_{+}

). 让我们明确考虑第三种情况的几何形状。

视界的三重重合对应于度量函数的三重根，具有特定参数，

米 = - \frac{9}{20} 我^{2} q个 = \frac{三 \sqrt{30}}{125} 我^{三} 对_{+} = \frac{\sqrt{30}}{10} 我

（A9）

在这个极限下的解实际上在视界上没有曲率奇点：Kretschmann标量由下式给出

K（K） = \frac{400}{三 我^{4}}

（A10）

为了研究近水平几何，我们展开

（f） (对) \approx \frac{1}{6} {（f）}^{'''} (对_{+}) {(对 - 对_{+})}^{三}

（A11）

给出公制的欧几里德部分(

吨 \to 我 τ

),

d日 秒^{2} \approx \frac{16}{9 {({（f）}^{'''} (对_{+}))}^{2} {R（右）}^{6}} d日 τ^{2} + d日 {R（右）}^{2} + 对^{2} (R（右）) d日 Σ_{三}^{2}

（A12）

哪里

d日 {R（右）}^{2} = \frac{6 d日 对^{2}}{{（f）}^{'''} (对_{+}) {(对 - 对_{+})}^{三}}

（A13）

我们对大的R（右）极限（对应于

对 \to 对_{+}

). 上

(τ, R（右）)

Ricci标量表示，

R（右） = - \frac{24}{{R（右）}^{2}}

（A14）

这是一个非恒定负曲率空间，在

R（右） = 0

，对应于

(对 - 对_{+}) \to \infty

.在我们的扩张中（f）在上面，我们假设我们正在观察接近事件视界的度量。显然，

(对 - 对_{+}) \to \infty

违反了这个假设，这意味着曲率奇异性不是时空的物理病理。

通过将视界附近的度量函数写为

（f） (对) \approx \frac{1}{6} {（f）}^{'''} (对_{+}) {(对 - 对_{+})}^{三} = 一 {(对 - 对_{+})}^{三}

（A15）

所以我们可以写欧几里得

(吨, 对)

截面为，

d日 秒^{2} = 一 {(对 (\tilde{对}) - 对_{+})}^{三} [d日 吨^{2} + d日 {\tilde{对}}^{2}]

（A16）

具有

d日 {\tilde{对}}^{2} = \frac{d日 对^{2}}{一^{2} {(对 - 对_{+})}^{6}}

（A17）

正在转换为

ρ = {e（电子）}^{β \tilde{对}}, τ = β 吨

（A18）

公制读数

d日 秒^{2} = \frac{一 {(对 (ρ) - 对_{+})}^{三}}{β^{2} ρ^{2}} [ρ^{2} d日 τ^{2} + d日 ρ^{2}]

（A19）

然而，因为这里我们有

\tilde{对} = \frac{1}{2 一 {(对 - 对_{+})}^{2}}

（A20）

ρ在

对 = 对_{+}

这意味着无论怎样β如果选择，则共形因子在地平线上不可能是规则的，因此不存在圆锥奇异性的问题。

由于不存在圆锥奇异性的问题，所以用欧几里德方法推导温度是失败的。然而，我们可以计算地平线上的表面重力，发现它是

κ = \frac{{（f）}^{'} (对_{+})}{2}

（A21）

由于我们正在考虑（f），导数在地平线处消失，表面重力为

κ = 0

因此，这些极端黑洞的温度为零。

在非零电荷的情况下，情况非常相似，但现在可能有多达四个视界。像不带电的情况一样，我们可以考虑这些视界的各种组合重合的极限。电荷的包含导致了一个足够复杂的多项式，很难以有意义的方式表达存在一定数量层位的范围。因此，我们将重点放在四个视界重合时的解上，并检查其几何结构。

如果四个视界重合，

米 = - \frac{三}{5} 我^{2}, q个 = \frac{16 \sqrt{5}}{125} 我^{三}

e（电子） = \pm \frac{我^{2}}{5}, 对_{+} = \frac{我}{\sqrt{5}}

（A22）

在这种情况下，Kretschmann标量由，

K（K） = 300 / 我^{4}

显然处处表现良好。对于这个解决方案，度量函数可以在视界附近展开为

（f） (对) \approx \frac{{（f）}^{(4)} (对_{+})}{4!} {(对 - 对_{+})}^{4} = \frac{50}{我^{4}} {(对 - 对_{+})}^{4}

（A23）

欧几里德学派(

吨, 对)

然后可以将度量的部分写为

d日 秒^{2} \approx \frac{50 {(对 - 对_{+})}^{4}}{我^{4} β^{2} ρ^{2}} [ρ^{2} d日 τ^{2} + d日 ρ^{2}]

（A24）

哪里

ρ = 经验 (\frac{β 我^{4}}{50 {(对 - 对_{+})}^{三}}), τ = 我 β 吨

（A25）

和以前一样，ρ在地平线上有一个本质的奇点，所以共形因子在那里不可能是正则的，也不存在圆锥奇点。由方程式（A21）给出的表面重力消失，温度为零。

正如我们所看到的，双曲负质量黑洞展现了丰富而有趣的结构，最多有四个视界。虽然负质量解确实没有给正文中的热力学考虑添加任何新内容（因为球形的具有负熵，并且我们之前已经证明双曲黑洞没有有趣的相行为），但这些奇异的可能性呈现出新的有趣行为。更好地理解这些黑洞几何学的因果结构是值得的。

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分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

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