Local Fractional Homotopy Perturbation Method for Solving Non-Homogeneous Heat Conduction Equations in Fractal Domains

Zhang, Yu; Cattani, Carlo; Yang, Xiao-Jun

doi:10.3390/e17106753

开放式访问第条

求解分形域非均匀导热方程的局部分数同伦摄动方法

通过

张宇

¹，

卡洛·卡塔尼

²

和

杨晓军

^3,*

¹

华北水利电力大学数学与信息科学学院，郑州450000

²

意大利维特博La Tuscia大学工程学院（DEIM），邮编：01100

^三

中国矿业大学数学与力学系，徐州221008

^*

应向其寄送信件的作者。

熵 2015，17(10), 6753-6764;https://doi.org/10.3390/e17106753

收到的提交文件：2015年5月27日/修订日期：2015年8月16日/接受时间：2015年9月23日/发布日期：2015年10月5日

（本文属于特刊观测的动力学方程和因果结构)

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版本说明

摘要

:

本文利用局部分数次同伦摄动法求解非齐次热传导方程。该算子被认为是局部分数阶微分算子。给出了非齐次和齐次热传导方程的比较结果。所得结果表明，均匀介质中分形温度场的导热行为是不可微的。

关键词：

同伦摄动法；热传导方程；局部分数导数；分形

1.简介

热力学中的熵被认为是热力学系统的状态函数。考虑了硬粒子气体中一维热传导的熵产[1]. 热传导问题中的最大熵产生和最小熵产生在[2，三]. 一维传导中的熵产生在[4].

最近，分数阶微积分的熵产生[5，6，7，8，9，10]在中建议[11]. 分数扩散方程中的熵产生是在[12，13]. 分数阶动力系统的熵分析在[14]. 然而，上述熵过程是可微的。均匀介质中分形温度场的热传导可能存在不可微熵产[15]. 特别是分形域中的非均匀热传导方程（NHEC）如下所示[16]:

\frac{\partial^{ε} Φ (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{2 ε} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} = {如果}_{ε} (μ) ， τ > 0 ， μ \in R（右） ， 0 < ε < 1 ，

(1)

以初始条件为准

Φ (μ ， 0) = {小时}_{ε} (μ) ，

(2)

哪里

{如果}_{ε} (μ)

是热生成速率，时间和空间算子被考虑为局部分数微分算子（LFDO）的意义。该算子用于描述不可微方程，如拉普拉斯方程[16]，扩散[17]，振荡器[18]，热量[16，19]，Boussinesq公司[20]，波浪[16，21]、汉堡[22]和抛物型福克-普朗克[23]在Cantor集合上定义。通过局部分数时间和空间导数算子的扩散问题与经典扩散问题的比较在[24]. 利用局部分数阶拉普拉斯算子讨论了局部分数阶时间导数和空间导数算子下的分形热传导方程[25]. 有关积分变换和流体力学的更多应用，请参见[26，27，28].

最近，作者在[29]，用于求解涉及Cantor集的波动方程。He构造的同伦摄动法[30]，用于传热[31]，水波理论[32]和扩散问题[33]. 在这份手稿中，我们将实现在分形域中求解NHCE的技术。本文的结构如下。在第2节，我们介绍了LFDO的基本理论，并将其应用于康托集上定义的特殊函数。在第3节分析了局部分数同伦摄动方法。NHCE的不可微解（NSs）如所示第4节.英寸第5节讨论了NHCE与均匀热传导方程（HHCE）的比较。最后，第6节致力于结论。

2.LFDO

在本节中，我们介绍了LFDO的基本理论[16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29].

的LFDO

Θ (μ)

属于ε订单(

0 < ε \leq 1)

由定义

\frac{\partial^{ε} Θ (μ)}{\partial μ^{ε}} |_{μ = μ_{0}} = \underset{μ \to μ_{0}}{林} \frac{Δ^{ε} (Θ (μ) - Θ (μ_{0}))}{{(μ - μ_{0})}^{ε}} ，

(3)

哪里

Δ^{ε} (Θ (μ) - Θ (μ_{0})) ≅ Γ (1 + ε) Δ (Θ (μ) - Θ (μ_{0}))

.

LFDO的属性如下[16]:

（a）: ${D类}^{(ε)} [Φ (μ) \pm Θ (μ)] = {D类}^{(ε)} Φ (μ) \pm {D类}^{(ε)} Θ (μ)$ ，
（b）: ${D类}^{(ε)} [Φ (μ) Θ (μ)] = [{D类}^{(ε)} Φ (μ)] Θ (μ) + Φ (μ) [{D类}^{(ε)} Θ (μ)]$ ，
（c）: ${D类}^{(ε)} [Φ (μ) / Θ (μ)] = \{[{D类}^{(ε)} Φ (μ)] Θ (μ) - Φ (μ) [{D类}^{(ε)} Θ (μ)]\} / Θ^{2} (μ)$ ，提供 $Θ (μ) \neq 0$ .

定义在分形集上的不可微函数（NDFS）的局部分数微分算子（LFDO）的基本操作如下所示表1.

表1。定义在分形集上的不可微函数的局部分数微分算子（LFDO）的基本运算。

**表1。**定义在分形集上的不可微函数的局部分数微分算子（LFDO）的基本运算。
$Φ (μ)$	${D类}^{(ε)} Φ (μ)$	康托集上定义的特殊函数
C类	0
$μ^{k个 ε} / Γ (1 + k个 ε)$	$μ^{(k个 - 1) ε} / Γ (1 + (k个 - 1) ε)$
${E类}_{ε} (μ^{ε})$	${E类}_{ε} (μ^{ε})$	${E类}_{ε} (μ^{ε}) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{μ^{k个 ε}}{Γ (1 + k个 ε)}$
${E类}_{ε} (- μ^{ε})$	$- {E类}_{ε} (- μ^{ε})$
$罪_{ε} (μ^{ε})$	${余弦}_{ε} (μ^{ε})$	$罪_{ε} (μ^{ε}) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} {\frac{{(- 1)}^{k个} μ^{(2 k个 + 1) ε}}{Γ (1 + (2 k个 + 1) ε)}}_{，}$ ${余弦}_{ε} (μ^{ε}) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k个} μ^{2 k个 ε}}{Γ (1 + 2 k个 ε)}$
${余弦}_{ε} (μ^{ε})$	$- 罪_{ε} (μ^{ε})$

3.方法分析

在本节中，局部分数同伦摄动法[29]将如下所示。

NHCE写在表格中

{L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) = 0 ，

(4)

哪里

{L（左）}_{α}

是LFDO。

一个凸的不可微同伦

{\hat{小时}}_{ε} (Φ ， θ ， ε)

其结构如下：

{\hat{小时}}_{ε} (Φ ， θ ， ε) = Λ_{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε})) + θ^{ε} {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) ， θ \in [0 ， 1] ，

(5)

哪里

Λ_{ε} = {(1 - θ)}^{ε}

和

Φ_{0} = Φ_{0}^{ε}

是方程式的初始近似值(5).

设置

{\hat{小时}}_{ε} (Φ ， θ ， ε) = 0

，我们显然有

{\hat{小时}}_{ε} (Φ ， 0 ， ε) = {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) ，

(6)

{\hat{小时}}_{ε} (Φ ， 1 ， ε) = {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) .

(7)

在不可微同构的结构中，不可微变形是

{L（左）}_{ε} (Φ) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0})

不可微同伦是

{L（左）}_{ε} (Φ)

.

借助于不可微级数[17],

Φ^{ε}

可以表示为

Φ^{ε} = \sum_{j个 = 0}^{n个} {θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε}}_{.}

(8)

利用方程式(5)和(8)，我们获得

{\hat{小时}}_{ε} (Φ ， θ ， ε) = Λ_{ε} ({L（左）}_{ε} (\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε})) + θ^{ε} {L（左）}_{ε} (\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε}) ，

(9)

哪里

Λ_{ε} = {(1 - θ)}^{ε}

.

扩大

{L（左）}_{ε} (Φ^{ε})

到局部分数Taylor级数，我们有

\begin{matrix} {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) & = & {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) + \frac{{d日}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}))}{d日 Φ^{ε}} \frac{{(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个} Φ_{j个} - Φ_{0})}^{ε}}{Γ (1 + ε)} + O（运行） ({(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个} Φ_{j个} - Φ_{0})}^{ε}) \\ (10) & = & {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) + \frac{{d日}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}))}{d日 Φ^{ε}} \frac{(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε} - Φ_{0}^{ε})}{Γ (1 + ε)} + O（运行） ({(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个} Φ_{j个} - Φ_{0})}^{ε}) . \end{matrix}

这样的话

\begin{matrix} {\hat{小时}}_{ε} (Φ ， θ ， ε) \\ = {(1 - θ)}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε})) + θ^{ε} {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) \\ (11) & = {(1 - θ)}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) + \frac{{d日}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}))}{d日 Φ^{ε}} \frac{(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε} - Φ_{0}^{ε})}{Γ (1 + ε)} + O（运行） ({(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个} Φ_{j个} - Φ_{0})}^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε})) \\ + θ^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) + \frac{{d日}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}))}{d日 Φ^{ε}} \frac{(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε} - Φ_{0}^{ε})}{Γ (1 + ε)} + O（运行） ({(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个} Φ_{j个} - Φ_{0})}^{ε})) ， \end{matrix}

减少到

\begin{matrix} {\hat{小时}}_{ε} (Φ ， 0 ， ε) & = & {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) \\ = & {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) + \frac{{d日}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}))}{d日 Φ^{ε}} \frac{(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε} - Φ_{0}^{ε})}{Γ (1 + ε)} + O（运行） ({(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个} Φ_{j个} - Φ_{0})}^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) \\ (12) & = & 0 \end{matrix}

和

\begin{matrix} {\hat{小时}}_{ε} (Φ ， 1 ， ε) & = & Λ_{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε})) + θ^{ε} {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) \\ = & θ^{ε} {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) \\ （13） & = & θ^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) + \frac{{d日}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}))}{d日 Φ^{ε}} \frac{(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε} - Φ_{0}^{ε})}{Γ (1 + ε)} + O（运行） ({(\sum_{j个 = 0}^{n个} θ^{j个} Φ_{j个} - Φ_{0})}^{ε})) . \end{matrix}

采用方程式(12)和(13)，我们获得

θ^{0 ε} : {L（左）}_{ε} (Φ^{ε}) - {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) = 0 ，

(14)

θ^{1 ε} : {L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}) + \frac{{d日}^{ε} ({L（左）}_{ε} (Φ_{0}^{ε}))}{d日 Φ^{ε}} \frac{Φ_{1}^{ε}}{Γ (1 + ε)} = 0 .

(15)

这里，方程(15)是LFDO的牛顿方法，它是收敛的。

拿

θ \to 1

，近似解的形式为

Φ^{ε} = \underset{θ \to 1}{林} \sum_{j个 = 0}^{\infty} θ^{j个 ε} Φ_{j个}^{ε} = \sum_{j个 = 0}^{\infty} Φ_{j个}^{ε} .

(16)

4.关于NHCE的解决方案

在本节中，将讨论NHCE的NSs。

让我们考虑以下具有不可微类型发热的NHCE

\frac{\partial^{ε} Φ (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{2 ε} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} = {E类}_{ε} (μ^{ε}) ， τ > 0 ， μ \in R（右） ，

(17)

以初始条件为准

Φ (μ ， 0) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) .

(18)

我们可以用以下形式构造不可微同伦：

\frac{\partial^{ε} Φ (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = θ^{ε} (\frac{\partial^{2 ε} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} + {E类}_{ε} (μ^{ε}) - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}}) ，

（19）

具有不可微项的解序列如下：

Φ = \sum_{j个 = 0}^{\infty} θ^{j个 ε} Φ_{j个} .

(20)

提交方程式(18)和(20)到方程式中(19)，我们有

\begin{matrix} \frac{\partial^{ε}}{\partial τ^{ε}} [\sum_{j个 = 0}^{\infty} θ^{j个 ε} Φ_{j个} (μ ， τ)] - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = θ^{ε} (\frac{\partial^{2 ε}}{\partial μ^{2 ε}} [\sum_{j个 = 0}^{\infty} θ^{j个 ε} Φ_{j个} (μ ， τ)] + {E类}_{ε} (μ^{ε}) - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}}) \end{matrix}

(21)

这样的话

θ^{0 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = 0 ， Φ_{0} (μ ， 0) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) ，

(22)

θ^{1 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{1} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = \frac{\partial^{2 ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} + {E类}_{ε} (μ^{ε}) - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} ， Φ_{1} (μ ， 0) = 0 ，

(23)

θ^{2 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{2} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = \frac{\partial^{2 ε} Φ_{1} (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} ， Φ_{2} (μ ， 0) = 0 ，

(24)

θ^{三 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{三} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = \frac{\partial^{2 ε} Φ_{2} (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} ， Φ_{三} (μ ， 0) = 0 ，

(25)

θ^{4 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{4} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = \frac{\partial^{2 ε} Φ_{三} (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} ， Φ_{4} (μ ， 0) = 0

(26)

等等。

解决上述系统，我们提出

Φ_{0} (μ ， τ) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) ，

(27)

Φ_{1} (μ ， τ) = \frac{2 τ^{ε}}{Γ (1 + ε)} {E类}_{ε} (μ^{ε}) ，

(28)

Φ_{2} (μ ， τ) = \frac{2 τ^{2 ε}}{Γ (1 + 2 ε)} {E类}_{ε} (μ^{ε}) ，

(29)

Φ_{三} (μ ， τ) = \frac{2 τ^{三 ε}}{Γ (1 + 三 ε)} {E类}_{ε} (μ^{ε}) ，

(30)

Φ_{4} (μ ， τ) = \frac{2 τ^{4 ε}}{Γ (1 + 4 ε)} {E类}_{ε} (μ^{ε})

(31)

等等。

何时

θ \to 1

，来自方程式(20)我们获得

\begin{matrix} Φ (μ ， τ) & = & \sum_{j个 = 0}^{\infty} Φ_{j个} (μ ， τ) \\ (32) & = & 2 {E类}_{ε} (μ^{ε}) (\frac{τ^{ε}}{Γ (1 + ε)} + \frac{τ^{2 ε}}{Γ (1 + 2 ε)} + \frac{τ^{三 ε}}{Γ (1 + 三 ε)} + \frac{τ^{4 ε}}{Γ (1 + 4 ε)} + . . .) + {E类}_{ε} (μ^{ε}) . \end{matrix}

使用方程式(32)，我们以闭合形式获得NS

Φ (μ ， τ) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) (2 \sum_{j个 = 0}^{\infty} \frac{τ^{j个 ε}}{Γ (1 + j个 ε)} - 1) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) (2 {E类}_{ε} (τ^{ε}) - 1)

(33)

以及相应的分形维数图

ε = 自然对数 2 / 自然对数 三

如所示图1.

图1。非齐次热传导方程（NHCE）的解

ε = 自然对数 2 / 自然对数 三

.

图1。非齐次热传导方程（NHCE）的解

ε = 自然对数 2 / 自然对数 三

.

我们考虑以下带有不可微型散热器的NHCE

\frac{\partial^{ε} Φ (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{2 ε} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} = - {余弦}_{ε} (μ^{ε}) ， τ > 0 ， μ \in R（右） ，

(34)

以初始条件为准

Φ (μ ， 0) = 罪_{ε} (μ^{ε}) .

(35)

不可微同伦的定义如下：

\frac{\partial^{ε} Φ (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = θ^{ε} (\frac{\partial^{2 ε} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} - {余弦}_{ε} (μ^{ε}) - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}}) .

（36）

具有不可微项的解序列的形式如下：

Φ = \sum_{j个 = 0}^{\infty} θ^{j个 ε} Φ_{j个} .

(37)

提交方程式(18)和(20)到方程式中(19)，我们获得

\begin{matrix} \frac{\partial^{ε}}{\partial τ^{ε}} [\sum_{j个 = 0}^{\infty} θ^{j个 ε} Φ_{j个} (μ ， τ)] - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = θ^{ε} (\frac{\partial^{2 ε}}{\partial μ^{2 ε}} [\sum_{j个 = 0}^{\infty} θ^{j个 ε} Φ_{j个} (μ ， τ)] - {余弦}_{ε} (μ^{ε}) - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}}) . \end{matrix}

(38)

由于方程式(38)，我们可以构造一组局部分数阶偏微分方程

θ^{0 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = 0 ， Φ_{0} (μ ， 0) = 罪_{ε} (μ^{ε}) ，

(39)

θ^{1 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{1} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = \frac{\partial^{2 ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} - {余弦}_{ε} (μ^{ε}) - \frac{\partial^{ε} Φ_{0} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} ， Φ_{1} (μ ， 0) = 0 ，

(40)

θ^{2 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{2} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = \frac{\partial^{2 ε} Φ_{1} (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} ， Φ_{2} (μ ， 0) = 0 ，

(41)

θ^{三 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{三} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = \frac{\partial^{2 ε} Φ_{2} (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} ， Φ_{三} (μ ， 0) = 0 ，

(42)

θ^{4 ε} : \frac{\partial^{ε} Φ_{4} (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} = \frac{\partial^{2 ε} Φ_{三} (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} ， Φ_{4} (μ ， 0) = 0

(43)

等等。

解决上述系统，我们获得

Φ_{0} (μ ， τ) = 罪_{ε} (μ^{ε}) ，

(44)

Φ_{1} (μ ， τ) = - \frac{τ^{ε}}{Γ (1 + ε)} [罪_{ε} (μ^{ε}) + {余弦}_{ε} (μ^{ε})] ，

(45)

Φ_{2} (μ ， τ) = \frac{τ^{2 ε}}{Γ (1 + 2 ε)} [罪_{ε} (μ^{ε}) + {余弦}_{ε} (μ^{ε})] ，

(46)

Φ_{三} (μ ， τ) = - \frac{τ^{三 ε}}{Γ (1 + 三 ε)} [罪_{ε} (μ^{ε}) + {余弦}_{ε} (μ^{ε})] ，

(47)

Φ_{4} (μ ， τ) = \frac{τ^{4 ε}}{Γ (1 + 4 ε)} [罪_{ε} (μ^{ε}) + {余弦}_{ε} (μ^{ε})]

(48)

等等。

何时

θ \to 1

，借助方程式(37)，我们有

\begin{matrix} Φ (μ ， τ) & = & \sum_{j个 = 0}^{\infty} Φ_{j个} (μ ， τ) \\ (49) & = & 罪_{ε} (μ^{ε}) + (\sum_{j个 = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{j个} τ^{j个 ε}}{Γ (1 + j个 ε)}) [罪_{ε} (μ^{ε}) + {余弦}_{ε} (μ^{ε})] . \end{matrix}

根据方程式(49)，我们有封闭形式的NS

\begin{matrix} Φ (μ ， τ) & = & \sum_{j个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{j个} τ^{j个 ε}}{Γ (1 + j个 ε)} [罪_{ε} (μ^{ε}) + {余弦}_{ε} (μ^{ε})] - {余弦}_{ε} (μ^{ε}) \\ (50) & = & {E类}_{ε} (- τ^{ε}) [罪_{ε} (μ^{ε}) + {余弦}_{ε} (μ^{ε})] - {余弦}_{ε} (μ^{ε}) . \end{matrix}

以及相应的具有分形维数的图

ε = 自然对数 2 / 自然对数 三

如所示图2.

图2。非齐次热传导方程（NHCE）的解

ε = 自然对数 2 / 自然对数 三

.

图2。具有不可微型散热器的非齐次热传导方程（NHCE）的解

ε = 自然对数 2 / 自然对数 三

.

5.讨论

为了展示这项新技术，我们将讨论NHCE和HHCE之间的比较。

局部分数扩散方程[29])在分形域中

\frac{\partial^{ε} Φ (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{2 ε} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} = 0

(51)

已考虑。方程的初值条件（IVC）(51)如下所示[29]:

Φ (μ ， 0) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) .

(52)

HHCE的相应NS如下所示[29]:

Φ (μ ， τ) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) {E类}_{ε} (τ^{ε}) .

(53)

由于上述原因，NHCE和HHCE与NSs的比较结果如下所示表2.

表2。HHCE和NHCE的比较结果。

**表2。**HHCE和NHCE的比较结果。
	产品开发工程师	国家标准
HHCE公司	$\frac{\partial^{ε} Φ (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{2 ε} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} = 0$	$Φ (μ ， τ) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) {E类}_{ε} (τ^{ε})$
NHCE公司	$\frac{\partial^{ε} Φ (μ ， τ)}{\partial τ^{ε}} - \frac{\partial^{2 ε} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2 ε}} = {E类}_{ε} (μ^{ε})$	$Φ (μ ， τ) = {E类}_{ε} (μ^{ε}) (2 {E类}_{ε} (τ^{ε}) - 1)$
IVC公司	$Φ (μ ， 0) = {E类}_{ε} (μ^{ε})$	$Φ (μ ， 0) = {E类}_{ε} (μ^{ε})$

具有初始值条件（IVC）的NHCE和HHCE的比较结果如所示图3.

图3。齐次热传导方程（HHCE）和非齐次热传播方程（NHCE）的不可微解。

将分形维数从

自然对数 2 / 自然对数 三

1，我们在表格中有对话式NHCE

\frac{\partial Φ (μ ， τ)}{\partial τ} - \frac{\partial^{2} Φ (μ ， τ)}{\partial μ^{2}} = 经验 (μ)

(54)

具有初始条件

Φ (μ ， 0) = 经验 {(μ)}_{，}

(55)

相应的解决方案如下：

Φ (μ ， τ) = 经验 (μ) (2 经验 (τ) - 1) .

(56)

HHCE与LFDO和会话微分算子（CDO）之间的比较如所示图4.

图4。不同算符内均匀热传导方程（HHCE）之间的比较。

图4。不同算子中均匀热传导方程（HHCE）之间的比较。

6.结论

在我们的工作中，我们利用局部分数同伦摄动方法，借助局部分数时间导数和空间导数来实现NHEC。给出了NHEC的NS及其在具有分形维数的Cantor集上定义的特殊函数的图表

ε = 自然对数 2 / 自然对数 三

显示了。还讨论了NHCE和HHCE的比较结果。结果表明了该技术在求解局部分数阶微分方程方面的有效性。

作者贡献

所有作者共同完成了手稿。所有作者都已阅读并批准了最终稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

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AMA风格

张勇，卡塔尼C，杨晓杰。求解分形域中非均匀热传导方程的局部分数同伦摄动方法。熵. 2015; 17(10):6753-6764.https://doi.org/10.3390/e17106753

芝加哥/图拉宾风格

张瑜、卡洛·卡塔尼和杨晓军。2015.“解分形域中非均匀热传导方程的局部分数同伦摄动方法”熵17，编号10:6753-6764。https://doi.org/10.3390/e17106753

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求解分形域非均匀导热方程的局部分数同伦摄动方法

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