Conformal Relativity versus Brans–Dicke and Superstring Theories

Blaschke, David B.; Dąbrowski, Mariusz P.

doi:10.3390/e14101978

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保角相对论与Brans——Dicke和超弦理论

通过

大卫·B·布拉斯科

^1,2和

Mariusz P.Dąbrowski先生

^3,4,*

¹

波兰弗罗茨瓦夫50-204弗罗茨瓦夫大学理论物理研究所

²

俄罗斯杜布那141980年联合核研究所波哥利乌波夫理论物理实验室

³

波兰什切钦威科波尔斯卡大学物理研究所，地址：15，70-451

⁴

哥白尼跨学科研究中心，波兰克拉科夫Sławkowska 17，31-016

^*

信件应寄给的作者。

熵 2012,14(10), 1978-1996;https://doi.org/10.3390/e14101978

收到的提交文件：2012年8月20日/修订日期：2012年9月23日/接受日期：2012年9月27日/出版日期：2012年10月18日

（本文属于特刊修正引力：从黑洞熵到当代宇宙学)

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摘要

:

我们展示了保角相对论如何与Brans–Dicke理论和低能效超弦理论相关。共形相对论或Hoyle–Narlikar理论对于度量的共形变换是不变的。我们证明了保角相对论作用等价于转换后的Brans–Dicke作用ω=−3/2（这是标准标量场和虚场之间的边界），与减少的（重力方向）低能有效超弦作用相对应，该作用对应于Brans–Dicke作用ω= −1. 我们表明，与ekpyrotic/循环模型一样，弦框架中共形宇宙学中的奇点转变发生在弱耦合区域。我们还发现了引力-速度作用的有趣的自对偶和对偶关系。

关键词：

共形相对论;Brans–Dicke理论;超弦理论

分类：

PACS系统98.80.Hw，04.20.Jb，04.50.+h，11.25.Mj

1.简介

众所周知，一些基本的物理方程，如麦克斯韦方程或无质量狄拉克方程，对于度量的保角变换是不变的[1]. 另一方面，爱因斯坦方程和无质量克莱因-戈登方程对于这些变换并不是不变的。然而，对这些包含度量场和标量场（标量传感器重力）的方程的修改可能具有共形不变性。这样的理论受到了一些新的关注，被称为共形相对论。它们并不完全是新的，因为它们已经被研究过了，它们的基本版本以霍伊尔-纳利卡尔理论的名义而闻名[2,3,4,5,6,7,8]. 然而，在[9,10]宇宙的几何演化被重新解释为在平坦宇宙中由标量场表示的质量演化，这是这些模型的一个有前途的方面。这个想法很有趣，它可以帮助解决宇宙中暗能量的问题[11,12,13,14,15]. 在另一种广义相对论的修正中，也发展出了类似的想法，称为“自我创造宇宙学”[16,17]它还解决了暗能量问题以及一系列其他宇宙学问题，包括先锋号宇宙飞船之谜[18].

在本文中，我们展示了共形相对论与其他替代引力理论（如Brans–Dicke理论）之间的联系[19]以及它们与统一规范重力理论超弦和M理论的重叠[20,21,22]. 事实上，Brans-Dicke理论（以狄拉克的大数假说为先驱[23])属于重力标量传感器理论的一大类[24]其性质也在超新星数据和密度扰动的背景下进行了研究[25,26].

在第2节我们讨论了共形不变性的基本性质，给出了共形相对论的场方程，并说明了它们在度量的共形变换下的行为。在第3节我们研究了共形相对论、Brans–Dicke理论和低能有效超弦理论之间的相互关系。在第4节我们在爱因斯坦和弦框架中给出了弗里德曼宇宙共形相对论的基本宇宙学解。在第5节我们对结果进行了总结。

本文应用了度量约定（-+++）的签名，以及Misner、Thorne和Wheeler表示的Riemann和Ricci张量约定（+++）[27]（与霍金和埃利斯的约定相同[28]).

2.保角相对论

假设我们有两个时空流形

M（M）, \tilde{M（M）}

使用指标

克_{μ ν}, {\tilde{克}}_{μ ν}

和相同的坐标

{x个}^{μ}

我们说这两个流形是保角的如果它们之间有以下联系保角变换:

\begin{matrix} {\tilde{克}}_{μ ν} & = & Ω^{2} (x个) 克_{μ ν} \end{matrix}

(1)

被称为共形因子的函数Ω必须是坐标的二次可微函数

{x个}^{μ}

并位于范围内

0 < Ω < \infty

保角变换缩小或拉伸由同一坐标系描述的两点之间的距离

{x个}^{μ}

关于流形

M（M）, \tilde{M（M）}

但它们保留了向量之间的角度（尤其是定义光锥的零向量），这导致流形的（全局）因果结构保持不变[28]. 如果我们取一个常数Ω，然后处理所谓的缩放变换[24]. 事实上，保角变换是本地化的缩放变换

Ω = Ω (x个)

。

另一方面坐标变换

{x个}^{μ} \to {\tilde{x个}}^{μ}

只需重新标记坐标，而不更改几何图形，它们完全是不同的从共形变换[7]. 这一点至关重要，因为保角变换会导致不同的物理学关于共形相关流形

M（M）, \tilde{M（M）}

[24]. 因为这通常与不同联轴器将物理场转化为重力，我们将讨论不同的框架在其中研究物理（另请参见[29]以获得稍微不同的视图）。

在天=4个时空维度，度量的行列式

克 = det（探测） 克_{μ ν}

转换为：

\begin{matrix} \sqrt{- \tilde{克}} & = & Ω^{4} \sqrt{- 克} \end{matrix}

(2)

从方程（1）可以明显看出，逆度量和时空间隔的以下关系成立：

\begin{matrix} {\tilde{克}}^{μ ν} & = & Ω^{- 2} 克^{μ ν} \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} d日 {\tilde{秒}}^{2} & = & Ω^{2} d日 秒^{2} \end{matrix}

(4)

最后，共形平面度的概念意味着：

\begin{matrix} {\tilde{克}}_{μ ν} Ω^{- 2} (x个) & = & 克_{μ ν} 选择 η_{μ ν} \end{matrix}

(5)

哪里

η_{μ ν}

是平的闵可夫斯基公制。

方程（1）对Christoffel连接系数的应用给出了[28]:

\begin{matrix} {\tilde{Γ}}_{μ ν}^{λ} & = & Γ_{μ ν}^{λ} + \frac{1}{Ω} (克_{μ}^{λ} Ω_{ν} + 克_{ν}^{λ} Ω_{, μ} - 克_{μ ν} 克^{λ κ} Ω_{, κ}) \end{matrix}

(6)

\begin{matrix} Γ_{μ ν}^{λ} & = & {\tilde{Γ}}_{μ ν}^{λ} - \frac{1}{Ω} ({\tilde{克}}_{μ}^{λ} Ω_{, ν} + {\tilde{克}}_{ν}^{λ} Ω_{, μ} - {\tilde{克}}_{μ ν} {\tilde{克}}^{λ κ} Ω_{, κ}) \end{matrix}

(7)

两个相关框架中的Ricci张量和Ricci标量

克_{μ ν}

和

{\tilde{克}}_{μ ν}

转换为：

\begin{matrix} {\tilde{R（右）}}_{μ ν} & = & {R（右）}_{μ ν} + Ω^{- 2} [4 Ω_{, μ} Ω_{, ν} - Ω_{, σ} Ω^{, σ} 克_{μ ν}] - Ω^{- 1} [2 Ω_{; μ ν} + ☐ Ω 克_{μ ν}] \end{matrix}

(8)

\begin{matrix} {R（右）}_{μ ν} & = & {\tilde{R（右）}}_{μ ν} - 3 Ω^{- 2} Ω_{, ρ} Ω^{, ρ} {\tilde{克}}_{μ ν} + Ω^{- 1} [2 Ω_{; μ ν} + {\tilde{克}}_{μ ν} \tilde{☐} Ω] \end{matrix}

(9)

\begin{matrix} \tilde{R（右）} & = & Ω^{- 2} [R（右） - 6 \frac{⏹ Ω}{Ω}] \end{matrix}

(10)

\begin{matrix} R（右） & = & Ω^{2} [\tilde{R（右）} + 6 \frac{\tilde{☐} Ω}{Ω} - 12 {\tilde{克}}^{μ ν} \frac{Ω_{, μ} Ω_{, ν}}{Ω}] \end{matrix}

(11)

根据方程式（1），相应的d'Alambertian算子变化如下：

\begin{matrix} \tilde{☐} ϕ & = & Ω^{- 2} (☐ ϕ + 2 克^{μ ν} \frac{Ω_{, μ}}{Ω} ϕ_{, ν}) \end{matrix}

(12)

\begin{matrix} ☐ ϕ & = & Ω^{- 2} (\tilde{☐} ϕ - 2 {\tilde{克}}^{μ ν} \frac{Ω_{, μ}}{Ω} ϕ_{, ν}) \end{matrix}

(13)

在这些公式中，d'Alembertian

\tilde{☐}

按照公制计算

{\tilde{克}}_{μ ν}

不同于☐ 它是关于保角重标度度量的

克_{μ ν}

。

共形变换的一个重要特征是，它们保留了Weyl共形曲率张量：

\begin{matrix} {C类}_{μ ν ρ σ} & = & {R（右）}_{μ ν ρ σ} + \frac{2}{天 - 2} (克_{μ [σ} {R（右）}_{ρ] ν} + 克_{ν [ρ} {R（右）}_{σ] μ}) + \frac{2}{(天 - 1) (天 - 2)} R（右） 克_{μ [ρ} 克_{σ] μ} \end{matrix}

(14)

我们有（注意，第一个索引被提升）：

\begin{matrix} {\tilde{C类}}_{ν ρ σ}^{μ} & = & {C类}_{ν ρ σ}^{μ} \end{matrix}

(15)

根据方程式（1）。几何量和物理量的全套保角变换都可以在[30,31]包括在高阶引力理论研究中有用的曲率不变量[32].

让我们提醒一下，广义相对论的真空爱因斯坦-希尔伯特作用是：

\begin{matrix} {S公司}_{E类 H（H）} & = & \frac{1}{2 κ^{2}} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} \tilde{R（右）} \end{matrix}

(16)

哪里

\begin{matrix} κ^{2} & = & 8 π G公司 \end{matrix}

（17）

应用保角变换方程（1）和方程（10）可以得出（我们假设

κ^{2} = 6

）：

\begin{matrix} {S公司}_{E类 H（H）} & = & \frac{1}{2} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} Ω^{2} (\frac{1}{6} R（右） - \frac{☐ Ω}{Ω}) \end{matrix}

(18)

这意味着，除了平凡类型的全局变换外，爱因斯坦-希尔伯特作用的真空部分在保角变换方程（1）下不是不变的

{\tilde{克}}_{μ ν} = 常数 。 \times 克_{μ ν}

。

然而，对爱因斯坦-希尔伯特作用方程（16）进行了修改，允许使用标量场

\tilde{Φ}

，其内容如下：

\begin{matrix} \tilde{S公司} & = & \frac{1}{2} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} \tilde{Φ} (\frac{1}{6} \tilde{R（右）} \tilde{Φ} - \tilde{☐} \tilde{Φ}) \end{matrix}

(19)

以及标量字段的适当重新定义：

\begin{matrix} \tilde{Φ} & = & Ω^{- 1} Φ \end{matrix}

(20)

实际上是保角不变的，因为保角变换作用具有相同的形式，即,

\begin{matrix} S公司 & = & \frac{1}{2} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} Φ (\frac{1}{6} R（右） Φ - ☐ Φ) \end{matrix}

(21)

现在，我们可以看到爱因斯坦-希尔伯特作用的原始形式可以从方程（19）（或者，如果我们假设：

\begin{matrix} κ^{2} & = & \frac{6}{{\tilde{Φ}}^{2}} = \frac{6}{φ_{0}^{2}} = 常数 \end{matrix}

(22)

作用方程（19）（或类似的方程（21））通常通过应用广义相对论中标量场的协变d’Alambertian的表达式以不同的形式表示：

\begin{matrix} \tilde{☐} \tilde{Φ} & = & \frac{1}{\sqrt{- \tilde{克}}} {\tilde{⏴}}_{μ} (\sqrt{- \tilde{克}} {\tilde{⏴}}^{μ} \tilde{Φ}) \end{matrix}

（23）

积分出边界项后，得出[24]:

\begin{matrix} \tilde{S公司} & = & \frac{1}{2} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} [\frac{1}{6} \tilde{R（右）} {\tilde{Φ}}^{2} + {\tilde{⏴}}_{μ} \tilde{Φ} {\tilde{⏴}}^{μ} \tilde{Φ}] \end{matrix}

(24)

第二项只是标量场的动力学项（参见[1,28]). 方程（24）也是保角不变的，因为公式（2）、（10）和（20）的应用以及边界项的适当积分给出了相同形式的方程：

\begin{matrix} S公司 & = & \frac{1}{2} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} [\frac{1}{6} R（右） Φ^{2} + ⏴_{μ} Φ ⏴^{μ} Φ] \end{matrix}

(25)

由于重力与标量场的非最小耦合类型

\tilde{Φ}

或方程式（24）和（25）中的Φ以及与Brans–Dicke理论的关系（参见第（3）节，我们说这些方程在Jordan框架[24,33].

保角不变作用（19）和（21）是通过变分原理推导运动方程的基础。由此产生的运动方程也是保角不变的。标量场的运动方程

\tilde{Φ}

和Φ是保角不变量：

\begin{matrix} (\tilde{☐} - \frac{1}{6} \tilde{R（右）}) \tilde{Φ} = Ω^{- 3} (☐ - \frac{1}{6} R（右）) Φ & = & 0 \end{matrix}

(26)

它们具有Klein–Gordon方程的结构，质量项被曲率项取代[5]. 共形不变量爱因斯坦方程由

\tilde{S公司}

关于公制

{\tilde{克}}_{μ ν}

并读作：

\begin{matrix} ({\tilde{R（右）}}_{μ ν} - \frac{1}{2} {\tilde{克}}_{μ ν} \tilde{R（右）}) \frac{1}{6} {\tilde{Φ}}^{2} + \frac{1}{6} [4 {\tilde{Φ}}_{, μ} {\tilde{Φ}}_{, ν} - {\tilde{克}}_{μ ν} {\tilde{Φ}}_{, α} {\tilde{Φ}}^{, α}] + \frac{1}{3} [{\tilde{克}}_{μ ν} \tilde{Φ} \tilde{☐} \tilde{Φ} - \tilde{Φ} {\tilde{Φ}}_{\tilde{;} μ ν}] & = & 0 \end{matrix}

(27)

为了证明场方程（27）的共形不变性，需要知道标量场的双协变导数的共形变换规则，即,

\begin{matrix} {\tilde{Φ}}_{\tilde{;} μ ν} & = & {\tilde{Φ}}_{, μ ν} - {\tilde{Γ}}_{μ ν}^{ρ} {\tilde{Φ}}_{, ρ} = - Ω^{- 2} Φ Ω_{; μ ν} + Ω^{- 1} Φ_{; μ ν} + 4 Ω^{- 3} Φ Ω_{, μ} Ω_{, ν} \\ - & 2 Ω^{- 2} (Φ_{, μ} Ω_{, ν} + Ω_{, μ} Φ_{, ν}) - Ω^{- 3} Φ 克_{μ ν} Ω_{, ρ} Ω^{, ρ} + Ω^{- 2} 克_{μ ν} Φ_{, ρ} Ω^{, ρ} \end{matrix}

（28）

和

\begin{matrix} Φ_{; μ ν} & = & \tilde{Φ} Ω_{; μ ν} + Ω Φ_{; μ ν} + \frac{2}{Ω} \tilde{Φ} Ω_{, μ} Ω_{, ν} + 2 (Ω_{, μ} {\tilde{Φ}}_{, ν} + {\tilde{Φ}}_{, μ} Ω_{, ν}) - \frac{1}{Ω} \tilde{Φ} {\tilde{克}}_{μ ν} Ω_{ρ} Ω^{ρ} - \frac{1}{Ω} {\tilde{克}}_{μ ν} {\tilde{Φ}}_{, ρ} Ω^{, ρ} = 0 \end{matrix}

(29)

(

\tilde{;}

是指关于

{\tilde{克}}_{μ ν}

).

将等式（8）、（10）、（20）和（28）插入到（27）中可以得到相同的结果共形不变量场方程的形式为：

\begin{matrix} ({R（右）}_{μ ν} - \frac{1}{2} 克_{μ ν} R（右）) \frac{1}{6} Φ^{2} + \frac{1}{6} [4 Φ_{, μ} Φ_{, ν} - 克_{μ ν} Φ_{, α} Φ^{, α}] + \frac{1}{3} [克_{μ ν} Φ ☐ Φ - Φ Φ_{; μ ν}] & = & 0 \end{matrix}

(30)

这些与霍伊尔-纳利卡尔理论中的场方程完全相同[7]. 注意，标量场运动方程（26）可以通过适当压缩方程（27）和（30）获得，因此它们不是独立的，也不提供任何附加信息[34].

另一点是，方程（27）或（30）显然可以直接给出真空爱因斯坦场方程

\tilde{Φ} = φ_{0} = \sqrt{6} / κ = \sqrt{6 / 8 π G公司} =

常数。（参见方程式（22））。对于具有相同值的场方程（30），显然也是如此

Φ = φ_{0} = \sqrt{6} / κ = \sqrt{6 / 8 π G公司}

=常数。然而，这个极限仅限于Ricci曲率消失的情况R（右）=0或

\tilde{R（右）} = 0

（因此只允许平顶Minkowski空间极限），这可以从标量场运动方程（26）中看出。

事件的承认部分：

\begin{matrix} {S公司}_{物质} & = & \frac{1}{2} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} {L（左）}_{物质} \end{matrix}

(31)

在作用（21）中，利用物质能量动量张量：

\begin{matrix} 吨^{μ ν} & = & \frac{2}{\sqrt{- 克}} \frac{⏴}{⏴ 克_{μ ν}} (\sqrt{- 克} {L（左）}_{物质}) \end{matrix}

(32)

允许将场方程（30）推广为：

\begin{matrix} ({R（右）}_{μ ν} - \frac{1}{2} 克_{μ ν} R（右）) \frac{1}{6} Φ^{2} + \frac{1}{6} [4 Φ_{, μ} Φ_{, ν} - 克_{μ ν} Φ_{, α} Φ^{, α}] + \frac{1}{3} [克_{μ ν} Φ ☐ Φ - Φ Φ_{; μ ν}] & = & 吨_{μ ν} \end{matrix}

(33)

收缩后的方程式（33）给出了修正的场方程式（26）：

\begin{matrix} (☐ - \frac{1}{6} R（右）) Φ & = & \frac{吨}{Φ} \end{matrix}

(34)

请注意

Φ = ϕ_{0} = \sqrt{6 / 8 π G公司}

方程（33）中给出了爱因斯坦场方程

吨 = - (1 / 6) R（右） Φ^{2}

。

在共形框架中，我们添加了物质项：

\begin{matrix} {\tilde{S公司}}_{物质} & = & \frac{1}{2} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} Ω^{- 4} {\tilde{L（左）}}_{物质} \end{matrix}

(35)

具有

\begin{matrix} {\tilde{吨}}^{μ ν} & = & \frac{2}{\sqrt{- \tilde{克}}} \frac{⏴}{⏴ {\tilde{克}}_{μ ν}} (\sqrt{- \tilde{克}} Ω^{- 4} {\tilde{L（左）}}_{物质}) \end{matrix}

(36)

借助方程式（1-3）进行的一些操作表明：

\begin{matrix} {\tilde{吨}}^{μ ν} & = & Ω^{- 6} 吨^{μ ν} \end{matrix}

(37)

\begin{matrix} \tilde{吨} & = & Ω^{- 4} 吨 \end{matrix}

(38)

方程（35）的引入使共形不变场方程（21）为：

\begin{matrix} ({\tilde{R（右）}}_{μ ν} - \frac{1}{2} {\tilde{克}}_{μ ν} \tilde{R（右）}) \frac{1}{6} {\tilde{Φ}}^{2} + \frac{1}{6} [4 {\tilde{Φ}}_{, μ} {\tilde{Φ}}_{, ν} - {\tilde{克}}_{μ ν} {\tilde{Φ}}_{, α} {\tilde{Φ}}^{, α}] + \frac{1}{3} [{\tilde{克}}_{μ ν} \tilde{Φ} ⏹ \tilde{Φ} - \tilde{Φ} {\tilde{Φ}}_{; μ ν}] & = & {\tilde{吨}}_{μ ν} \end{matrix}

(39)

收缩后得出修正方程（26）：

\begin{matrix} (\tilde{☐} - \frac{1}{6} \tilde{R（右）}) \tilde{Φ} & = & \frac{\tilde{吨}}{\tilde{Φ}} \end{matrix}

(40)

再次注意

\tilde{Φ} = {\tilde{ϕ}}_{0} = \sqrt{6 / 8 π G公司}

在方程（39）中，给出了爱因斯坦场方程，提供了

\tilde{吨} = - (1 / 6) \tilde{R（右）} \tilde{Φ^{2}}

然而，正如我们稍后将看到的追踪能量动量张量必须为零为了在共形框架中保持能量动量。

让我们把理想流体作为四速引力源

{u个}^{μ}

(

{u个}_{μ} {u个}^{μ} = - 1

)，能量密度ϱ和压力

第页

,即,

\begin{matrix} 吨^{μ ν} & = & (ϱ + 第页) {u个}^{μ} {u个}^{ν} + 第页 克^{μ ν} \end{matrix}

(41)

并将其转换为共形相关帧：

\begin{matrix} {\tilde{吨}}^{μ ν} & = & (\tilde{ϱ} + \tilde{第页}) {\tilde{u个}}^{μ} {\tilde{u个}}^{ν} + \tilde{第页} {\tilde{克}}^{μ ν} \end{matrix}

(42)

哪里

\begin{matrix} {\tilde{u个}}^{μ} & = & \frac{d日 {x个}^{μ}}{d日 \tilde{秒}} = \frac{1}{Ω} \frac{d日 {x个}^{μ}}{d日 秒} = Ω^{- 1} {u个}^{μ} \end{matrix}

(43)

很容易注意到，在第一个框架中实施守恒定律：

\begin{matrix} 吨_{; ν}^{μ ν} = 0 \end{matrix}

(44)

在共形相关框架中给出：

\begin{matrix} {\tilde{吨}}_{\tilde{;} ν}^{μ ν} & = & - \frac{Ω^{, μ}}{Ω} \tilde{吨} \end{matrix}

(45)

从方程（45）可以看出，共形变换的能量动量张量只有在其轨迹消失时才是守恒的(

\tilde{吨} = 0

) [33,35]. 例如，对于正压流体：

\begin{matrix} 第页 & = & (γ - 1) ϱ γ = 常数 。, \end{matrix}

(46)

它只因辐射而消失

第页 = (1 / 3) ϱ

这意味着只有光子可能遵循等效原理，而其他类型的物质则不是这样，因为等式（45）中的非消失轨迹处理的是物质过程的创造（与[16,17]它具有相同的场方程（39）和（45），但方程（40）仅对消失曲率标量相同

\tilde{R（右）}

).

保形不变理论的一个更普遍的例子是Weyl保形引力[36]:

{S公司}_{W公司} = - \frac{γ}{4 κ^{2}} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} {C类}_{μ ν ρ λ} {C类}^{μ ν ρ λ} = - \frac{γ}{2 κ^{2}} \int {d日}^{4} x个 [{R（右）}_{μ ν} {R（右）}^{μ ν} - \frac{1}{3} {R（右）}^{2}]

(47)

哪里γ是一个无量纲常数，并且

{C类}_{μ ν ρ λ}

是方程（14）中给出的Weyl张量。如果其中包括标量场和爱因斯坦-希尔伯特作用，则保角不变的韦尔项将起到量子校正的作用[37],即,

{S公司}_{R（右） W公司} = \frac{1}{2 κ^{2}} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} R（右） - \frac{1}{2} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} [⏴_{μ} S公司 ⏴^{μ} S公司 + 2 V（V） (S公司)] - \frac{γ}{4 κ^{2}} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} {C类}_{μ ν ρ λ} {C类}^{μ ν ρ λ}

(48)

哪里S公司是一个标量字段。场方程为：

{G公司}_{μ ν} - γ {B类}_{μ ν} = κ^{2} 吨_{μ ν}

(49)

具有

{G公司}_{μ ν}

作为爱因斯坦张量，

吨_{μ ν}

标量场的能量动量张量S公司和巴赫张量

{B类}_{μ ν}

定义为：

{B类}_{μ ν} 选择 2 {C类}_{μ ρ ν σ}^{; ρ; σ} + {G公司}^{ρ σ} {C类}_{μ ρ ν σ}

(50)

共形不变量四阶Weyl引力，包括标量场S公司，向量场

{A类}_{μ}

张量场ψ，由动作给出[38]:

\begin{matrix} {S公司}_{R（右） W公司 S公司} & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} [- α {C类}_{μ ν ρ λ} {C类}^{μ ν ρ λ} - \frac{1}{2} ⏴_{μ} S公司 ⏴^{μ} S公司 - \frac{1}{12} {S公司}^{2} R（右） - λ {S公司}^{4} \\ - & \frac{1}{4} {F类}_{μ ν} {F类}^{μ ν} + \frac{我}{2} \bar{ψ} γ^{μ} ψ_{; μ} - \frac{我}{2} \bar{ψ_{; μ}} γ^{μ} ψ + e（电子） \bar{ψ} γ^{μ} {A类}_{μ} ψ - 小时 S公司 \bar{ψ} ψ] \end{matrix}

(51)

哪里α,小时和λ是无量纲常数；

γ^{μ}

是Dirac矩阵。

3.与Brans的关系——Dicke和低能效超弦理论

由于承认非最小耦合标量场，共形相对论表明它与其他一些重力标量传感器理论密切相关，如Brans–Dicke理论和简化的低能效超弦理论。众所周知，Brans–Dicke理论（BD）[19]基于乔丹的想法[33]和马赫数[39]. 根据他们的说法，基本粒子的惯性质量不是基本常数，而是粒子与宇宙其他部分相互作用的结果，宇宙其他部分由宇宙场表示[35]. 在物理术语中，它可以通过引力“常数”来表示G公司与标量字段的平均值有关

Φ_{B类 天}

这不是常数。由于一些关于协变场方程的简单形式、宇宙的大小和平均质量密度的估计，标量场的期望值

Φ_{B类 天}

规范化，例如

〈 Φ_{B类 天} 〉 ≃ 1 / G公司

这些假设导致Brans和Dicke替换G公司通过标量场的逆

1 / Φ_{B类 天}

并包含标量场的额外能量动量张量。

由此产生的Brans–Dicke动作如下[7]:

\begin{matrix} {S公司}_{B类 天} & = & \frac{1}{16 π} \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} [Φ_{B类 天} R（右） - \frac{ω}{Φ_{B类 天}} ⏴_{μ} Φ_{B类 天} ⏴^{μ} Φ_{B类 天}] + {S公司}_{米} \end{matrix}

(52)

哪里ω是Brans–Dicke参数。

改变作用（52）（包括拉格朗日物质），可以得到Brans–Dicke理论的场方程的形式：

\begin{matrix} (53) & ☐ Φ_{B类 天} & = & \frac{8 π 吨}{3 + 2 ω} \\ {R（右）}_{μ ν} - \frac{1}{2} 克_{μ ν} R（右） & = & \frac{8 π}{Φ_{B类 天}} 吨_{μ ν} + \frac{ω}{Φ_{B类 天}^{2}} (Φ_{B类 天, μ} Φ_{B类 天, ν} - \frac{1}{2} 克_{μ ν} Φ_{B类 天, ρ} Φ^{B类 天, ρ}) \\ (54) & + \frac{1}{Φ_{B类 天}} (Φ_{B类 天; μ ν} - 克_{μ ν} ☐ Φ_{B类 天}) \end{matrix}

独立地，物质能量动量张量的守恒定律：

\begin{matrix} 吨_{; ν}^{μ ν} & = & 0 \end{matrix}

(55)

可能会被强加[35].

事实上，方程（53）是通过减去从作用（52）中获得的Brans–Dicke场的运动方程得到的：

\begin{matrix} 2 Φ_{B类 天} ☐ Φ_{B类 天} - Φ_{B类 天, ρ} Φ^{B类 天, ρ} + \frac{R（右）}{ω} Φ_{B类 天}^{2} & = & 0 \end{matrix}

(56)

以及收缩方程和收缩方程（54）。恢复方程（53）–（54）的爱因斯坦极限

ω \to \infty

[35].

为了将共形相对论与Brans–Dicke理论联系起来，我们在Jordan框架中引用共形不变作用（24）和（25），并定义：

\begin{matrix} \frac{1}{12} Φ^{2} & = & {e（电子）}^{- ϕ} \end{matrix}

(57)

\begin{matrix} \frac{1}{12} {\tilde{Φ}}^{2} & = & {e（电子）}^{- \tilde{ϕ}} \end{matrix}

(58)

它以以下形式给出了这些操作：

\begin{matrix} S公司 & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} {e（电子）}^{- ϕ} [\frac{1}{6} R（右） + \frac{3}{2} ⏴_{μ} ϕ ⏴^{μ} ϕ] \end{matrix}

(59)

\begin{matrix} \tilde{S公司} & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} {e（电子）}^{- \tilde{ϕ}} [\frac{1}{6} \tilde{R（右）} + \frac{3}{2} {\tilde{⏴}}_{μ} \tilde{ϕ} {\tilde{⏴}}^{μ} \tilde{ϕ}] \end{matrix}

(60)

然而，这些行动是Brans–Dicke行动的特殊情况，一旦定义了以下内容，就可以实现：

\begin{matrix} Φ_{B类 天} & = & {e（电子）}^{- ϕ} \end{matrix}

(61)

在方程式（52）中加上

16 π = 1

式（52）如下：

\begin{matrix} S公司 & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} {e（电子）}^{- ϕ} [R（右） - ω ⏴_{μ} ϕ ⏴^{μ} ϕ] \end{matrix}

(62)

这样，只要Brans–Dicke参数为：

\begin{matrix} ω & = & - \frac{3}{2} \end{matrix}

(63)

另一方面，如果有人服用：

\begin{matrix} ω & = & - 1 \end{matrix}

(64)

在方程（62）中，可以得到谱中只有引力子和膨胀子的低能有效超弦作用[21,22,40]:

\begin{matrix} S公司 & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} {e（电子）}^{- ϕ} [R（右） + ⏴_{μ} ϕ ⏴^{μ} ϕ] \end{matrix}

(65)

事实上，动作（62）在一个特殊的框架中代表了Brans–Dicke理论，这个框架被称为字符串框架这是因为在超弦理论中耦合常数

克_{秒}

与膨胀系数的真空期望值有关[21,22]:

\begin{matrix} 克_{秒} \propto {e（电子）}^{ϕ / 2} \end{matrix}

(66)

现在，由方程（62）相对于膨胀子的变化得到的场方程ϕ和引力子

克_{μ ν}

分别为[41]:

\begin{matrix} (67) & R（右） + ω ⏴_{μ} ϕ ⏴^{μ} ϕ - 2 ω ☐ ϕ & = & 0 \\ (68) & {R（右）}_{μ ν} - \frac{1}{2} 克_{μ ν} R（右） & = & 8 π {e（电子）}^{ϕ} 吨_{μ ν} + (ω + 1) ⏴_{μ} ϕ ⏴_{ν} ϕ - (\frac{ω}{2} + 1) 克_{μ ν} ⏴_{ρ} ϕ ⏴^{ρ} ϕ + 克_{μ ν} ☐ ϕ - ϕ_{; μ ν} \end{matrix}

遵循与Brans–Dicke场方程相同的轨迹，现在我们可以将方程（68）收缩，并使用方程（67）在字符串框架中得到与（53）类似的方程，即,

\begin{matrix} ⏴_{ρ} ϕ ⏴^{ρ} ϕ - ☐ ϕ & = & \frac{8 π}{2 ω + 3} {e（电子）}^{ϕ} 吨 \end{matrix}

(69)

请注意

吨 = 0

在方程（69）中（超弦宇宙学的膨胀-颗粒理论就是这种情况），我们得到了

☐ ϕ = ⏴_{ρ} ϕ ⏴^{ρ} ϕ

，它精确地给出了预大带宽场方程的形式，如[41]具有任意值ω另一方面，限制

ω \to - \frac{3}{2}

方程（69）是奇异的，除非我们追踪能量动量张量

吨 = 0

。

事实上，它可以通过将方程（61）应用到方程（53）中得到，因为：

\begin{matrix} ☐ Φ_{B类 天} & = & {e（电子）}^{- ϕ} (⏴_{ρ} ϕ ⏴^{ρ} ϕ - ☐ ϕ) \end{matrix}

(70)

有趣的是，Ricci标量可以从方程（67）–（68）计算为：

\begin{matrix} {R（右）}_{μ ν} & = & 8 π {e（电子）}^{ϕ} 吨_{μ ν} - ϕ_{; μ ν} + (ω + 1) (⏴_{μ} ϕ ⏴_{ν} ϕ - 克_{μ ν} ⏴_{ρ} ϕ ⏴^{ρ} ϕ + 克_{μ ν} ☐ ϕ) \end{matrix}

(71)

以及低能效超弦理论

ω = - 1

它的所有条款都消失了。然而，保角相对论并非如此

ω = - (3 / 2)

对于这个表达式并不是那么简单，当然从方程（69）可以看出吨在这个极限下，能量动量张量必须为零。

在超弦理论（无物质场）的背景下，人们通常从两个方程开始寻找精确的解[42,43,44]:

\begin{matrix} （72） & R（右） + ω ⏴_{μ} ϕ ⏴^{μ} ϕ - 2 ω ☐ ϕ & = & 0 \\ (73) & {R（右）}_{μ ν} + ϕ_{; μ ν} - (ω + 1) (⏴_{μ} ϕ ⏴_{ν} ϕ - 克_{μ ν} ⏴_{ρ} ϕ ⏴^{ρ} ϕ + 克_{μ ν} ☐ ϕ) & = & 0 \end{matrix}

在下一节中，我们将尝试使用这些方程来表示宇宙学解。

现在我们来谈一个重要的问题。即，取极限

ω = - 3 / 2

Brans–Dicke场方程（53）是奇异的，除非我们假设物质的能量动量张量的轨迹消失关键是，事实上，共形相对论场方程（34）不是方程（33）的独立方程，就像Brans–Dicke理论中的情况一样，而是方程（33！然后，它可能会建议，为了从共形相对论中获得Brans–Dicke理论的适当极限，还应该假设在Brans–Decke理论中，物质的能量-动量的轨迹应该消失。正如我们已经提到的，完美流体的能量动量的消失需要它的辐射状态方程。

现在让我们来讨论框架问题。不同的帧由耦合特性标量场（dilaton）与引力的关系。到目前为止，我们讨论过的所有三种情况（共形相对论、Brans–Dicke、超弦）都与我们有关非最小值标量场与重力的耦合。对于Brans，我们称之为DickeJordan框架对于超弦，我们称之为字符串框架对于共形相对论，我们也将其称为Jordan框架尽管我们处理了两个共形相关框架中的非最小耦合（共形不变性）。

然而，对于所有这三种理论，人们通常对以下问题感兴趣：爱因斯坦框架，定义为标量字段所在的帧最低限度地与重力耦合。

现在让我们从作用方程（62）开始，它允许参数的任意值ω。很容易显示[40,42,43]在选择保角因子的情况下：

\begin{matrix} Ω & = & {e（电子）}^{- \frac{ϕ}{2}} \end{matrix}

(74)

动作（62）转换为：

\begin{matrix} \tilde{S公司} & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} [\tilde{R（右）} - (ω + \frac{3}{2}) {\tilde{⏴}}_{μ} ϕ {\tilde{⏴}}^{μ} ϕ] \end{matrix}

(75)

哪个用于

ω = - 3 / 2

精确地给出了爱因斯坦-希尔伯特作用，而不考虑拉格朗日量：

\begin{matrix} \tilde{S公司} & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} \tilde{R（右）} \end{matrix}

(76)

然而，对于低能效理论

ω = - 1

这不是爱因斯坦-希尔伯特作用，而是爱因斯坦引力与非零标量场的最小耦合ϕ注意，根据等式（57），保角相对论中定义的Φ场的关系式（74）为：

\begin{matrix} Ω & = & {e（电子）}^{- \frac{ϕ}{2}} = \frac{Φ}{\sqrt{12}} \end{matrix}

(77)

或者基本上，

\tilde{Φ} =

常数。在已经提到的方程（20）中，给出了共形相对论的爱因斯坦极限。这意味着爱因斯坦框架的选择是独特的在共形相对论中，需要一个常数

\tilde{Φ}

。

由方程式（75）得出的适当场方程为：

\begin{matrix} (78) & {\tilde{R（右）}}_{μ ν} - \frac{1}{2} {\tilde{克}}_{μ ν} \tilde{R（右）} & = & {\tilde{吨}}_{μ ν} 选择 (ω + \frac{3}{2}) [2 {\tilde{⏴}}_{μ} ϕ {\tilde{⏴}}_{ν} ϕ - 克_{μ ν} {\tilde{⏴}}_{ρ} ϕ {\tilde{⏴}}^{ρ} ϕ] \\ (79) & (ω + \frac{3}{2}) \tilde{☐} ϕ & = & 0 \end{matrix}

从方程式（78）和（79）可以看出

ω = - 3 / 2

正是标准标量场和虚场（负动能）之间的边界，在不断变化的宇宙中，虚场是膨胀最小值所必需的[45]并模拟幻影场[46]这违反了弱能量条件

\tilde{ρ} + \tilde{第页} < 0

。在计算能量动量张量并用标量场表示能量密度和压力后，很容易看出这一点，即,

\begin{matrix} \tilde{ρ} & = & (ω + \frac{3}{2}) {\dot{ϕ}}^{2} \end{matrix}

(80)

\begin{matrix} \tilde{第页} & = & (ω + \frac{3}{2}) {\dot{ϕ}}^{2} \end{matrix}

(81)

这也意味着，在形式上，由于Brans–Dicke参数的特殊选择，能量密度和压力消失ω不一定是由于爱因斯坦框架中标量场的消失。

显然，对于保角因子的更一般的选择，使作用（62）不变，可以理解为选择方程（20）的适当推广：

\begin{matrix} Ω & = & \frac{{e（电子）}^{- \frac{ϕ}{2}}}{{e（电子）}^{- \frac{\tilde{ϕ}}{2}}} = \frac{Φ}{\tilde{Φ}} \end{matrix}

（82）

这就是共形相对论中标量场的共形不变变换（20）。将方程（82）应用于方程（62）后，显示了其保角不变性，即,

\begin{matrix} \tilde{S公司} & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} {e（电子）}^{- \tilde{ϕ}} [\tilde{R（右）} + \frac{3}{2} ⏴_{μ} \tilde{ϕ} ⏴^{μ} \tilde{ϕ}] \end{matrix}

(83)

事实上，它适用于ω！注意保角不变性导致自对偶变换[40]从标量场之间的超弦理论可知，它使动作保持不变，读作：

\begin{matrix} \tilde{Φ} \to Φ \end{matrix}

(84)

或

\begin{matrix} \tilde{ϕ} \to ϕ \end{matrix}

(85)

或

\begin{matrix} Ω \to \frac{1}{Ω} \end{matrix}

(86)

获得动作（59）共形不变性的一种稍有不同的方法是以下共形变换[40,47]:

\begin{matrix} Ω & = & {e（电子）}^{- ϕ} \end{matrix}

(87)

这就形成了：

\begin{matrix} S公司 & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} {e（电子）}^{ϕ} [\tilde{R（右）} + \frac{3}{2} ⏴_{μ} ϕ ⏴^{μ} ϕ] \end{matrix}

(88)

如果我们替换：

\begin{matrix} ϕ \to - \tilde{ϕ} \end{matrix}

(89)

它给出了：

\begin{matrix} S公司 & = & \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- \tilde{克}} {e（电子）}^{- \tilde{ϕ}} [\tilde{R（右）} + \frac{3}{2} ⏴_{μ} \tilde{ϕ} ⏴^{μ} \tilde{ϕ}] \end{matrix}

(90)

这是超弦理论中对偶对称性的另一个例子，它可能将弱耦合区与各种超弦作用的强耦合区联系起来[47].

值得一提的是，度量-膨胀模型的类对偶对称性的一个有趣示例：

\begin{matrix} S公司 = \int {d日}^{4} x个 \sqrt{- 克} [A类 (ϕ) 克^{一 b条} ⏴_{一} ϕ ⏴_{b条} ϕ + B类 (ϕ) R（右） + C类 (ϕ)] \end{matrix}

(91)

哪里

A类 (ϕ)

,

B类 (ϕ)

、和

C类 (ϕ)

是dilaton的功能，在[48,49,50]，包括一些概括[51].

4.爱因斯坦和弦框架中的共形宇宙学

我们在方程（1）中给出的两个共形相关框架中讨论了弗里德曼宇宙学，即,

\begin{matrix} d日 {\tilde{秒}}^{2} & = & - d日 {\tilde{吨}}^{2} + {\tilde{一}}^{2} (\frac{d日 {第页}^{2}}{1 - k个 {第页}^{2}} + {第页}^{2} d日 θ^{2} + 罪^{2} θ d日 ϕ^{2}) \end{matrix}

（92）

\begin{matrix} d日 秒^{2} & = & - d日 吨^{2} + 一^{2} (\frac{d日 {第页}^{2}}{1 - k个 {第页}^{2}} + {第页}^{2} d日 θ^{2} + 罪^{2} θ d日 ϕ^{2}) \end{matrix}

(93)

从方程（1）、（92）和（93）中可以很容易地看出，时间坐标和比例因子由[26,41,43]:

\begin{matrix} d日 \tilde{吨} & = & Ω d日 吨 \end{matrix}

(94)

\begin{matrix} \tilde{一} & = & Ω 一 \end{matrix}

(95)

其中，对于完全共形不变性，必须应用共形因子方程（20）的定义。然而，在研究爱因斯坦极限的情况下，我们必须取标量场的一个常数，以便保角因子具有方程（74）给出的形式。这需要将方程（94）和（95）替换为：

\begin{matrix} d日 \tilde{吨} & = & {e（电子）}^{- \frac{ϕ}{2}} d日 吨 \end{matrix}

(96)

\begin{matrix} \tilde{一} & = & {e（电子）}^{- \frac{ϕ}{2}} 一 \end{matrix}

(97)

其中带波浪号的量在爱因斯坦框架中，而不带波浪号则在字符串框架中。事实上，变换（94）和（96）是坐标变换，而不是保角变换，因此它们对两个帧中的时间测量/尺度差异负责。例如，历史上这些尺度被称为原子尺度和宇宙学尺度[7,23].

在爱因斯坦框架中应用弗里德曼度量方程（93），方程（78）和（79）给出：

\begin{matrix} (98) & (ω + \frac{3}{2}) [\ddot{ϕ} + 3 \frac{\dot{\tilde{一}}}{\tilde{一}} \dot{ϕ}] & = & 0 \\ (99) & 3 \frac{{\dot{\tilde{一}}}^{2} + k个}{{\tilde{一}}^{2}} & = & (ω + \frac{3}{2}) {\dot{ϕ}}^{2} \\ (100) & - 2 \frac{\ddot{\tilde{一}}}{\tilde{一}} - \frac{{\dot{\tilde{一}}}^{2} + k个}{{\tilde{一}}^{2}} & = & (ω + \frac{3}{2}) {\dot{ϕ}}^{2} \end{matrix}

任意参数值的方程（98）–（100）的解

ω \neq 3 / 2

和k个=0表示为：

\begin{matrix} (101) & \tilde{一} & = & ∣ \tilde{吨} ∣^{\frac{1}{3}} \\ (102) & ϕ & = & ϕ_{0} + \frac{1}{\sqrt{3 (ω + \frac{3}{2})}} 自然对数 ∣ \tilde{吨} ∣ \end{matrix}

另一方面，从方程式（98）–（100）可以清楚地看出，对于

ω = - 3 / 2

和k个=0，唯一解决方案给出：

\begin{matrix} \dot{\tilde{一}} & = & 0 \end{matrix}

(103)

这只是一个平坦的闵可夫斯基宇宙。如果我们假设k个≠0，那么我们从方程（99）中得出：

\begin{matrix} \tilde{一} & = & \sqrt{- k个} \tilde{吨} + {\tilde{吨}}_{0} \end{matrix}

(104)

只允许用于k个=−1，此解决方案代表Milne宇宙[7]（其中自

\ddot{\tilde{一}} = 0

). 然而，它与闵可夫斯基时空的关系需要坐标变换，坐标变换涉及两个时间尺度——动力学尺度和原子尺度[7]这可能是宇宙红移效应的原因。另一方面k个=+1只有在宇宙常数被承认的情况下才有可能——同样，静态爱因斯坦模型中的宇宙红移是不同时间尺度的结果[7].

在字符串框架中，我们使用Friedmann度量方程（92），将其应用到方程（72）和（73）中，用于参数的任意值ω，给出了以下方程组：

\begin{matrix} (105) & \dot{ϕ} - 3 \frac{\dot{一}}{一} & = & \frac{\ddot{ϕ}}{\dot{ϕ}} \\ (106) & - 3 \frac{{\dot{一}}^{2} + k个}{一^{2}} & = & - (\frac{ω}{2} + 1) {\dot{ϕ}}^{2} + \ddot{ϕ} \\ (107) & - 2 \frac{\ddot{一}}{一} - \frac{{\dot{一}}^{2} + k个}{一^{2}} & = & \frac{ω}{2} {\dot{ϕ}}^{2} + \frac{\dot{一}}{一} \dot{ϕ} \end{matrix}

这些方程（105）–（107）给出了以下解[52]:

\begin{matrix} (108) & 一 (吨) & = & ∣ 吨 ∣^{\frac{3 (ω + 1) \pm \sqrt{3 (2 ω + 3)}}{3 (3 ω + 4)}} \\ （109） & ϕ (吨) & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{3 (2 ω + 3)}}{3 ω + 4} 自然对数 ∣ 吨 ∣ \end{matrix}

其中，在前big-bang/ekpyrotic场景下，也允许负时间的解决方案。从方程（110）和（111）可以首先找到ω= −1 [21]这本书非常有名：

\begin{matrix} (110) & 一 (吨) & = & ∣ 吨 ∣^{\pm \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ (111) & ϕ (吨) & = & (\pm \sqrt{3} - 1) 自然对数 ∣ 吨 ∣ \end{matrix}

然而，共形相对论解

ω = - \frac{3}{2}

是：

\begin{matrix} (112) & 一 (吨) & = & ∣ 吨 ∣ \\ (113) & ϕ (吨) & = & 2 自然对数 ∣ 吨 ∣ \end{matrix}

并表明它们不允许两个分支“+”和“−”，因此它们似乎不允许比例因子二元性[53,54]:

\begin{matrix} 一 (吨) & \to & \frac{1}{一 (- 吨)}, ϕ \to ϕ - 6 自然对数 一 \end{matrix}

(114)

这是弦对偶对称性的宇宙学结果[20]. 然而，与必须在大爆炸奇点处正则化的预大带解（110）和（111）不同，因为曲率和弦耦合方程（66）都在那里发散，解（112）和（113）不会导致弦理论意义上的强耦合奇点，因为：

\begin{matrix} 克_{秒} & = & {e（电子）}^{\frac{ϕ}{2}} = ∣ 吨 ∣ \end{matrix}

(115)

并且经常用于吨= 0. 这与ekpyrotic/循环宇宙场景有一个有趣的类比，实际上，通过大爆炸奇点的转变发生在弱耦合区域[55,56,57,58]. 请注意，从方程式（96）和（97）可以得到：

\begin{matrix} \tilde{吨} & = & {\tilde{吨}}_{0} + 自然对数 吨 \end{matrix}

(116)

根据方程式（112）得出：

\begin{matrix} \tilde{一} & = & 1 \end{matrix}

(117)

这与我们在方程（103）中得到的结果一致，并反映了这样一个事实，即在爱因斯坦的框架中，膨胀平坦Friedmann度量的极限是Minkowski宇宙。

5.讨论

我们已经证明，共形相对论（霍伊尔-纳利卡理论）和简化（重力-离心）低能效超弦理论到布兰斯-狄克理论之间存在简单的关系。这种关系表明，前者是从Brans–Dicke理论中恢复过来的ω=−3/2，如果服用，则后者会被回收ω= −1. 这可以研究共形相对论的精确宇宙学解及其吸引Brans–Dicke理论研究充分的特性，特别是低能效超弦有效理论的特性。

事实上，Brans–Dicke参数ω=−3/2给出了标准标量场和重影（负动能）之间的边界，这是在变化的常数宇宙学中具有膨胀最小值所必需的[45]并模拟幻影场[46]这违反了弱能量条件ρ+第页< 0.

保角变换的能量动量张量只有在其轨迹消失时才在保角相对论中守恒。在正压流体的情况下，它只因辐射而消失。这意味着只有光子可能遵循等效原理，而其他类型的物质则不是这样，因为对于非消失轨迹，我们处理的是物质的生成过程。我们比较了共形相对论与自创宇宙学[16,17]，它具有相同的场方程，只要我们处理消失曲率标量的宇宙学模型。

我们已经在爱因斯坦（最小耦合）和弦（非最小耦合）框架中给出了保角相对论的基本宇宙学解。平坦共形宇宙学解的爱因斯坦极限是唯一的，它是平坦的闵可夫斯基空间，这需要标量场/质量演化而不是尺度因子演化来解释宇宙学红移。一个有趣的观察结果是，就像在ekpyrotic/循环模型中一样，弦框架中共形宇宙学中的奇点可能在弱耦合区发生转变。

关于某些PPN（参数化后牛顿）参数的消失，还可以提出一些其他有趣的观点[27]在考虑中的理论中。在共形相对论中，似乎只有其中之一(β₁)消失，而对于超弦有效理论，其中两个消失(γ和β₄).

尽管共形不变量引力理论的一般性受到限制，但它似乎仍然很有吸引力，例如在弯曲空间量子场论中唯一选择真空的问题上[1]. 毫无疑问，共形不变量理论的研究在超弦和M理论的背景下是有用的（参见，例如[47,59,60]).

致谢

MPD感谢国家科学中心（编号：N202 3269 40）的支持。

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MDPI和ACS样式

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AMA风格

Blaschke DB，Dąbrowski议员。保角相对论与Brans——Dicke和超弦理论。熵. 2012; 14(10):1978-1996.https://doi.org/10.3390/e14101978

芝加哥/图拉宾风格

Blaschke、David B.和Mariusz P.Dąbrowski。2012.“共形相对论与Brans——Dicke和超弦理论”熵14，第10期：1978年至1996年。https://doi.org/10.3390/e14101978

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保角相对论与Brans——Dicke和超弦理论

摘要

1.简介

2.保角相对论

3.与Brans的关系——Dicke和低能效超弦理论

4.爱因斯坦和弦框架中的共形宇宙学

5.讨论

致谢

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