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公理
第9卷
第4版
10.3390/公理9040123
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第条

广义流体流动模型的近似解ρ-拉普拉斯变换法和热平衡积分法

通过
穆罕默德·亚武兹
1,2,*和
Ndolane Sene公司
3,*
1
土耳其科尼亚42090年Necmettin Erbakan大学科学院数学和计算机科学系
2
英国康沃尔TR10埃克塞特大学工程、数学和物理科学学院数学系
三
塞内加尔达喀尔范恩，达喀尔安塔迪奥普大学，经济与发展科学学院，BP 5683，达喀尔范恩，数学与决策部门，Lmdan实验室（Laboratoire Lmdan，Départment de Mathématiques de la Décision，UniversityéCheikh Anta Diop de Dakar）
*
应向其发送信件的作者。
公理 2020，9(4), 123;https://doi.org/10.3390/axioms9040123
收到的提交文件：2020年7月29日/修订日期：2020年10月18日/接受日期：2020年10月21日/发布日期：2020年10月24日
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版本说明

摘要

:
本文研究不可压缩二级流体模型的求解。主要研究解的基本定性性质，以证明所提出模型的物理解释的充分性。我们使用Liouville-Caputo分数导数及其广义版本，在分析和研究中给出了更全面的物理结果。在这项工作中 ρ -拉普拉斯同伦变换法( ρ -LHTM）和热平衡积分法（HBIM）相结合，成功地求解了分数阶不可压缩二阶流体微分方程。确保对上述不可压缩二级流体模型进行数值模拟及其物理解释，以说明主要发现。还建议通过考虑阶数的影响，可以识别扩散物理分析中的差异，例如弹道扩散、超扩散和再扩散情况 ρ 和 φ .

1.简介

分数微积分是一个试图理解用非整数阶导数建模的真实世界现象的领域[1，2]，财务[三，4]、生物过程和流行病模型[5，6，7，8]科学与工程[9，10，11，12，13，14，15，16，17]目前存在着许多利用奇异核和非奇异核定义的分数阶算子。由于分数术语始于1695年莱布尼茨的问题，现有分数运算符的列表自然很长。对于奇异核，我们有Caputo算子[18]和Riemann-Liouville操作符[18]. 如果没有奇异核，我们有两种类型：带指数核的分数导数[19，20]和分数运算符，其具有Mittag–Leffler函数作为内核，称为Atangana–Baleanu运算符[21，22，23]. 我们还总结了现有的FD，它们是文献中最流行的。一些其他类型的可整合导数[24]，Hilfer推导[25]Erdélyi–Kober推导等。注意文献中存在先前引用的分数导数的离散形式；有关更多信息，请参阅以下调查[26，27].
在文献中，有一些与这些分数阶微分方程相关的研究。我们简要列举了其中一些。参考[28]提出了加热广义二级流体（HGSGF）瑞利-斯托克斯方程的离散化方法。参考[29]给出了分数算子描述的HGSGF的Stokes第一个问题的数值离散化。参考[30]提供了包含Riemann-Liouville导数的HGSGF的Stokes方程的离散化。有关HGSGF的更多信息，请参阅[1，31，32，33]. 此外，还有许多关于分数阶热方程的其他研究；也存在一些数值研究。参考[34]研究了分数阶背景下波动扩散问题的数值计算。参考[35]说明了分数阶导数扩散问题的数值方法。参考[36]提出了分数次反应亚扩散方程的高精度数值逼近。在[37]，作者考虑了关于Caputo–Fabrizio分数导数（CFFD）的热传导方程。在[38]，作者提出了一个反常扩散过程的分数次最优控制问题。我们通过下面的评论来结束文献综述。在文献中还可以找到分数阶扩散方程的解析解和数值离散化方面的许多其他工作[35，39，40].
在本文中，我们讨论扩散过程。我们主要研究用分数算子的推广构造的不可压二级流体模型的解。本文最重要的是所提出模型的部分方面。我们将广义分数算子应用于力学流体。我们的论文提供了分数分析在数学物理和力学流体中的应用。
本文的一个主要创新之处是提出了新的程序，该程序还可以给出纳米流体方程的半解析解。求解过程结合了热积分平衡法和同伦法（经典用于求解纳米流体方程的近似解）。在本文中，我们证明了当我们将这两种方法结合起来时，我们可以获得分数不可压缩二级流体模型的更精确的解。此外，获得的解的结构更有用，并且图形表示最直观。作为本文的另一个贡献，我们分析了当阶数为 ρ 已加入 ( 0 ， 1 ) 或外部 ( 0 ， 1 ) 换句话说，我们考虑了次扩散过程和超扩散过程。换句话说，订单的影响是什么 ρ 分数阶不可压缩二级流体模型解的行为？
在第2节，我们提供了本文中使用的分数阶导数。在第3节，我们提供并给出了用分数算子构造的模型表示。在第4节，我们给出了分数不可压缩二级流体模型的基本定性性质及其解。在第5节，我们描述了两种不同方法的组合求解方法，它们可以得到分数阶不可压缩二级流体模型的近似解。在第6节，我们提供了上述问题的解决方案。在第7节，我们通过图形表示说明了我们的主要结果，并讨论了顺序的影响 ρ 当我们修正分数阶时 φ 此外，最后，我们给出了我们在论文中指出的结论以及在第8节.

2.分数导数的基本定义及其推广

在本节中，我们回顾了Tomovski等人最近在文献中提出的分数分析的基本定义和特征及其广义形式[41]、塞内和斯利瓦斯塔瓦[42]贾拉德和阿卜杜勒贾瓦德[43，44]和Jarad等人[45]. 我们首先定义了Riemann和Liouville提出的所谓分数积分。让 克 ( t吨 ) 是具有连续导数的严格增函数 克 ′ 关于区间 ( 一 ， b条 ) .的左Riemann-Liouville分数积分（f）关于函数克订单的 φ ， ℜ φ > 0 由定义
我 克 φ （f） ( t吨 ) = 1 Γ ( φ ) ∫ 0 t吨 克 ( t吨 ) − 克 ( λ ) φ − 1 （f） ( λ ) 克 ′ ( λ ) d日 λ .
很明显，当 克 ( t吨 ) = t吨 ，方程式(1)是经典的黎曼-刘维尔分数积分。使用函数 （f） : [ 0 ， ∞ [ ⟶ R（右） ，我们定义了阶积分 φ 函数的（f）从0开始，如下构造[46]
我 φ （f） ( t吨 ) = 我 φ ， 1 （f） ( t吨 ) = 1 Γ ( φ ) ∫ 0 t吨 t吨 − λ φ − 1 （f） ( λ ) d日 λ ，
哪里 Γ ( . ) 表示Euler Gamma函数 t吨 > 0 ， 和 0 < φ < 1 .
年作者在文献中介绍的广义形式[41，43，44，45]如下所述。从定义的函数 （f） : [ 0 ， ∞ [ ⟶ R（右） ，并采取 克 ( t吨 ) = t吨 ρ ρ 在方程式中(1)我们得到了广义阶积分的一个特例 φ ， ρ > 0 属于（f）从0开始，格式如下
我 φ ， ρ （f） ( t吨 ) = 1 Γ ( φ ) ∫ 0 t吨 t吨 ρ − λ ρ ρ φ − 1 （f） ( λ ) d日 λ λ 1 − ρ .
我们使用上述定义定义了经典形式和广义形式的Riemann-Liouville分数算子（f）关于函数克订单的 φ ， ℜ φ > 0 由定义
D类 克 φ ， ρ （f） ( t吨 ) = 1 克 ′ ( t吨 ) d日 d日 t吨 Γ ( 1 − φ ) ∫ 0 t吨 克 ( t吨 ) − 克 ( λ ) − φ （f） ( λ ) 克 ′ ( λ ) d日 λ .
很容易注意到，当 克 ( t吨 ) = t吨 ，方程式(4)是经典的Riemann-Liouville分数导数。通过使用 （f） : [ 0 ， ∞ [ ⟶ R（右） ，我们定义了Riemann-Liouville顺序运算符 φ ，从0开始，格式如下
D类 φ （f） ( t吨 ) = 1 Γ ( 1 − φ ) d日 d日 t吨 ∫ 0 t吨 t吨 − λ − φ （f） ( λ ) d日 λ .
年作者在文献中介绍的广义形式[41，43，44，45]如下所述。从定义的函数 （f） : [ 0 ， ∞ [ ⟶ R（右） ，并采取 克 ( t吨 ) = t吨 ρ ρ 在方程式中(4)我们得到了广义Riemann-Liouville阶导数的一个特例 φ ， ρ > 0 属于（f）从0开始，如下表所示。
D类 φ ， ρ （f） ( t吨 ) = 1 Γ ( 1 − φ ) t吨 1 − ρ d日 d日 t吨 ∫ 0 t吨 t吨 ρ − λ ρ ρ − φ （f） ( λ ) d日 λ λ 1 − ρ .
以同样的方式（f）关于函数克订单的 φ ， ℜ φ > 0 由定义
克 D类 C类 φ ， ρ （f） ( t吨 ) = D类 克 φ ， ρ （f） ( 秒 ) − ∑ k个 = 0 n个 − 1 （f） [ k个 ] 一 + k个 ! 克 ( 秒 ) − 克 ( 0 ) k个 ( t吨 ) .
很容易注意到，当 克 ( t吨 ) = t吨 ，方程式(7)给出了经典的Liouville-Caputo分数导数
D类 C类 φ （f） ( t吨 ) = 1 Γ ( 1 − φ ) ∫ 0 t吨 t吨 − λ − φ （f） ′ ( λ ) d日 λ .
从定义的函数 （f） : [ 0 ， ∞ [ ⟶ R（右） ，并采取 克 ( t吨 ) = t吨 ρ ρ 在方程式中(7)我们得到了广义Liouville-Caputo阶导数的一个特例 φ ， ρ > 0 属于（f）从0开始，格式如下：
D类 C类 φ ， ρ （f） ( t吨 ) = 1 Γ ( 1 − φ ) ∫ 0 t吨 t吨 ρ − λ ρ ρ − φ γ （f） ( λ ) d日 λ λ 1 − ρ .
备注 1
方程式中给出的这些广义形式(6)和(9)可由方程给出的经典Riemann-Liouville导数导出(5)以及方程给出的Liouville-Caputo分数导数(8)分别通过适当地改变变量、参数和函数表示法。换句话说， D类 φ ， 1 （f） ( t吨 ) = D类 φ （f） ( t吨 ) 和 D类 C类 φ ， 1 （f） ( t吨 ) = D类 C类 φ （f） ( t吨 ) .
在下文中，我们回顾了 ρ -拉普拉斯变换( ρ -LT）实值函数和 ρ -Liouville-Caputo算子的LT，我们在整个论文的研究中都考虑了它。这个 ρ -实值函数的拉普拉斯变换 （f） : 0 ， ∞ → R（右） 由描述
L（左） ρ （f） ( t吨 ) ( 秒 ) = ∫ 0 ∞ e（电子） − 秒 t吨 ρ ρ （f） ( t吨 ) d日 t吨 t吨 1 − ρ ， ρ > 0 ，
所有人都在哪里秒值积分有效。
定理 1
让函数 （f） t吨 连续且指数级 e（电子） c（c） t吨 ρ ρ 这样的话 γ （f） ( t吨 ) 在每个有限区间上是分段连续的 0 ， T型 . 然后的ρ-拉普拉斯变换 γ （f） ( t吨 ) 存在于 秒 > c（c） 和
L（左） ρ γ （f） ( t吨 ) ( 秒 ) = 秒 L（左） ρ （f） ( t吨 ) − （f） ( 0 ) ，
哪里 ρ > 0 和 γ = t吨 1 − ρ d日 d日 t吨 .
证明。 
证据可以在[43]. □
这个 ρ -Liouville-Caputo顺序运算符的LT 0 < φ < 1 由定义[43]结论3.3为：
L（左） ρ 0 D类 C类 φ ， ρ （f） ( t吨 ) ( 秒 ) = 秒 φ L（左） ρ （f） ( t吨 ) − ∑ k个 = 0 n个 − 1 秒 − k个 − 1 γ k个 （f） ( 0 ) ， 秒 > c（c） ，
哪里 φ > 0 ， （f） ∈ A类 C类 γ n个 0 ， 一 是上的绝对连续函数的空间 0 ， 一 对于任何 一 > 0 和 γ k个 （f） ， k个 = 0 ， 1 ， … ， n个 是 ρ -指数级 e（电子） c（c） t吨 ρ ρ .
然后可以给出以下备注：
备注 2
拉普拉斯变换的ρ广义变分是通过适当改变变量、指数和函数符号，从经典拉普拉斯转换本身导出的。
The main relationship between the ρ -LT和经典拉普拉斯变换由下式给出[44]根据定理3.2。
L（左） 克 （f） ( t吨 ) ( 秒 ) = L（左） （f） 克 − 1 ( t吨 + 克 ( 一 ) ) ( 秒 ) .
哪里 （f） ， 克 : 一 ， ∞ → R（右） 实值函数是这样的吗 克 t吨 是连续的，并且 克 ′ ( t吨 ) > 0 在 0 ， ∞ 这样的广义拉普拉斯变换（f）存在，并且 ρ > 0 。我们现在给出以下特定关系，我们将在计算中使用
L（左） ρ t吨 对 ( 秒 ) = ρ 对 ρ Γ 1 + 对 ρ 秒 1 + 对 ρ ， 对 ∈ R（右） ， 秒 > 0 .
备注 三。
由于通常的拉普拉斯变换（1-Laplace）是求解经典分数阶Riemann-Liouville和Liouville–Caputo导数的工具，我们使用ρ-Laplace变换在Riemann-Liouville和Liouville–Caputo型分数广义算子的框架下求解不可压缩二阶流体模型。这证实了这些分数广义算子可以用来产生具有记忆效应的更一般类型的分数导数。因此，引入新的任意阶局部导数并通过分形过程使用它们来产生不同核的新型分数阶导数一直是人们感兴趣的问题[42].
带有参数的Mittag-Lefler函数 φ 和 ζ 用以下总和表示
E类 φ ， ζ χ = ∑ ξ = 0 ∞ χ ξ Γ ( φ ξ + ζ ) ，
哪里 φ > 0 ， ζ ∈ R（右） 和 χ ∈ C类 注意，该系列的收敛是由假设引起的 φ > 0 ， 和 ζ > 0 .
Mittag-Lefler近似将用于表示获得的分数不可压缩二级流体的近似解。

3.模型演示和工作项目

在这一部分中，我们结合了两种获得FDE解的有用方法。在我们的研究中，我们提出了ISGF模型的近似解，该模型包含由方程表示的左广义分数算子
D类 C类 φ ， ρ u个 = 1 + η D类 C类 φ ， ρ ∂ 2 u个 ∂ x 2 + G公司 第页 θ ，
P（P） 第页 D类 t吨 φ ， ρ θ = ∂ 2 θ ∂ x 2 ，
其中条件为 t吨 = 0 是
u个 ( x ， 0 ) = θ ( x ， 0 ) = 0 ，
此外，函数u个表示流体的速度 θ 表示流体的温度。此外，这些函数满足以下关系
u个 ( 0 ， t吨 ) = （f） 小时 ( t吨 ) 罪 w个 t吨 ， 和 θ ( 0 ， t吨 ) = 1 .
在上面的方程式中， G公司 第页 = υ 克 β T型 ( T型 w个 − T型 ∞ ) （f） 三 表示Grashof数， P（P） 第页 = q个 C类 对 k个 表示Prandtl编号小时表示Heaviside函数。（f）表示具有速度尺寸的常数， C类 对 表示恒压下的热容，k个表示导热系数和q个恒定密度。 υ 表示流体的运动学，克表示重力加速度， β T型 表示热膨胀的体积数， T型 w个 表示板温度和 T型 ∞ 表示板的环境流体温度[47]. 我们这个问题的主要重要性是由两个方程组成。第一个方程用于纳米流体，第二个方程是分数扩散方程。分数扩散方程(12)表示第一个问题方程式的外部输入(11). 控制方程(11)和(12)建立了二级流体在垂直板上振荡时的传热模型。有关更多信息和模型的图形描述，请参见[47]. 此外， η = α 1 （f） 2 μ υ 是一个常量，其中 α 1 是二级参数，并且 μ 是扩散项。方程所示模型的解(11)和(12)可以用许多方法来近似：同伦微扰方法和同伦分析方法。方程式(12)是一个热方程，可以考虑多种方法来确定其解析解或近似解。我们可以使用傅里叶正弦变换、傅里叶变换、积分平衡法和许多其他方法。我们在本文中的动机是为方程式所示模型提供更精确的解(11)和(12)首先解方程(11)利用同伦摄动法和HBIM给出方程的更精确近似解(12). 订单的影响 ρ 将进行分析。

4.解的基本定性性质

在本节中，我们考虑Banach草图（BS），以提供条件来获得用左广义分数导数构造的不可压缩SGF的定性性质。
定理 2
方程描述的分数阶微分方程的解(11)存在。
证明。 
我们从所提出的模型的第一个方程开始。我们考虑了以下功能。
Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) = ∂ 2 u个 ∂ x 2 + η D类 t吨 φ ， ρ ∂ 2 u个 ∂ x 2 + G公司 第页 θ ( x ， t吨 ) .
让我们证明一下 Θ 为Lipschitz且连续（L-C）。为了简化起见，我们使用了经典规范。通过考虑三角不等式并取方程两侧的范数(15)，我们得到
Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) − Θ ( v（v） ， x ， t吨 ， θ ) ≤ ∂ 2 u个 ∂ x 2 − ∂ 2 v（v） ∂ x 2 + η D类 t吨 φ ， ρ ∂ 2 u个 ∂ x 2 − ∂ 2 v（v） ∂ x 2 .
让我们假设u个是Lipschitz并且是连续的。当我们考虑第二项为null时，经过计算得到以下表达式
Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) − Θ ( v（v） ， x ， t吨 ， θ ) ≤ ∂ 2 u个 ∂ x 2 − ∂ 2 v（v） ∂ x 2 + η D类 t吨 φ ， ρ ∂ 2 u个 ∂ x 2 − ∂ 2 v（v） ∂ x 2 ≤ 一 u个 − v（v） + 一 η D类 t吨 φ ， ρ u个 − v（v） ≤ 一 u个 − v（v） ，
哪里一是一个常量。根据条件 u个 ( x ， 0 ) = 0 ，我们提供如下Picard运算符（PsO）
M（M） u个 ( x ， t吨 ) = 我 φ ， ρ Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) ，
哪里 M（M） u个 : 小时 → 小时 和小时是一个紧集。操作员M（M）在继续推理之前，应该先确定界限。我们回忆起欧几里德范数，我们有一个表达式
M（M） u个 ( x ， t吨 ) − u个 ( x ， 0 ) = 我 φ ， ρ Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) ≤ 我 φ ， ρ Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) ≤ Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) 我 φ ， ρ ( 1 ) .
使用以下假设 Θ x ， t吨 ， θ 以为界b条和 t吨 ≤ T型 ，我们有不平等
M（M） u个 ( x ， t吨 ) − u个 ( x ， 0 ) ≤ ρ 1 − φ Γ ( φ ) T型 ρ ρ φ b条 .
方程式(17)证明了PsO是有界的。让我们证明这个算符现在是收缩的，或者我们将提供一个条件，在这个条件下，PsO是收缩的。应用经典范数，我们得到以下不等式
M（M） u个 ( x ， t吨 ) − M（M） v（v） ( x ， t吨 ) = 我 φ ， ρ Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) − Θ ( v（v） ， x ， t吨 ， θ ) ≤ Θ ( u个 ， x ， t吨 ， θ ) − Θ ( v（v） ， x ， t吨 ， θ ) 我 φ ， ρ ( 1 ) .
利用以下事实 Θ 为L-C（方程式(16))，我们得到以下关系
M（M） u个 ( x ， t吨 ) − M（M） v（v） ( x ， t吨 ) ≤ ρ 1 − φ Γ ( φ + 1 ) T型 ρ ρ φ 一 u个 − v（v） .
如果提供以下关系，则PsO为收缩
ρ 1 − φ Γ ( φ + 1 ) T型 ρ ρ φ < 1 一 .
我们通过考虑巴拿赫定理来结束证明。因此，我们证明了方程解的定性性质(11). 总之，我们现在可以给出方程的半解析解(11)因为得到精确解的问题是明确的。□
定理 三。
方程描述的分数阶微分方程的解(12)是独一无二的。
证明。 
对于热量方程(12)，我们重复相同的步骤。我们考虑以下功能
Σ ( θ ， x ， t吨 ) = ∂ 2 θ ∂ x 2 .
让我们证明一下 Σ 为Lipschitz且连续，常数为c（c）为了简化，我们使用经典规范。考虑三角不等式并取方程的范数(18)，我们得到
Σ ( θ ， x ， t吨 ) − Σ ( θ ′ ， x ， t吨 ) ≤ ∂ 2 θ ∂ x 2 − ∂ 2 θ ′ ∂ x 2 .
让我们假设一下 θ Lipschitz是连续的吗c（c）是一个常量，因此以下关系成立
Σ ( θ ， x ， t吨 ) − Σ ( θ ′ ， x ， t吨 ) ≤ ∂ 2 θ ∂ x 2 − ∂ 2 θ ′ ∂ x 2 ≤ c（c） θ − θ ′ .
从初始条件 θ ( x ， 0 ) = 0 ，我们将Picard运算符定义如下
N个 θ ( x ， t吨 ) = 我 φ ， ρ Σ ( θ ， x ， t吨 ) ，
哪里 N个 θ : 小时 → 小时 和小时是巴纳赫空间。操作员N个在继续推理之前，应该先确定界限。我们回忆起经典规范；我们有以下表达式
N个 θ ( x ， t吨 ) − θ ( x ， 0 ) = 我 φ ， ρ Σ ( θ ， x ， t吨 ) ≤ 我 φ ， ρ Σ ( θ ， x ， t吨 ) ≤ Σ ( θ ， x ， t吨 ) 我 φ ， ρ ( 1 ) .
通过使用以下假设 Σ ( θ ， x ， t吨 ) 以为界d日和 t吨 ≤ T型 ，我们得到以下不等式
N个 θ ( x ， t吨 ) − θ ( x ， 0 ) ≤ ρ 1 − φ Γ ( φ ) T型 ρ ρ φ d日 .
方程式(19)证明了PsO是有界的。我们证明了这个算子现在是一个收缩算子，或者我们将提供一个条件，在这个条件下PsO是一个压缩算子。如果我们应用范数，我们得到以下不等式
N个 θ ( x ， t吨 ) − N个 θ ′ ( x ， t吨 ) = 我 φ ， ρ Σ ( θ ， x ， t吨 ) − Σ ( θ ′ ， x ， t吨 ) ≤ 我 φ ， ρ Σ ( θ ， x ， t吨 ) − Σ ( θ ′ ， x ， t吨 ) ≤ Σ ( θ ， x ， t吨 ) − Σ ( θ ′ ， x ， t吨 ) 我 φ ， ρ ( 1 ) .
使用 Σ ( θ ， x ， t吨 ) 是Lipschitz和连续的，我们得到以下联系
N个 θ ( x ， t吨 ) − N个 θ ′ ( x ， t吨 ) ≤ ρ 1 − φ Γ ( φ + 1 ) T型 ρ ρ φ c（c） θ − θ ′ .
如果确保以下关系，则PsO为收缩
ρ 1 − φ Γ ( φ + 1 ) T型 ρ ρ φ < 1 c（c） .
最后，这表明方程中给出的不可压缩二级流体模型的解(11)和(12)是独一无二的。□
总之，我们现在可以给出方程的近似解(12)因为得到精确解的问题是明确的。

5.建议解决方法说明

5.1. 热平衡积分法（HBIM）

在本小节中，我们简要介绍了用于获得第二个方程解的方法。该方法存在于文献中，并在不同的研究中提供，如[1，48]. 根据HBIM方法，我们假设解被视为以下形式
θ ( x ， t吨 ) = 1 − x δ n个 .
哪里n个表示指数，并将固定为 n个 = 2 然而，正如我们稍后将讨论的，存在获得指数的近似值的技术n个由迈尔斯和米切尔提出[49]. 研究中使用的技术提供了一个物理概念。主要论点是积分热量方程(12)0到深度之间 δ 。这就是
P（P） 第页 ∫ 0 δ D类 t吨 φ ， ρ θ ( x ， t吨 ) d日 x = ∫ 0 δ ∂ 2 θ ( x ， t吨 ) ∂ x 2 d日 x .
下一步是替换方程式(20)到方程式中(21)，并使用求解方程 ρ -所得方程的拉普拉斯。目标是获得深度的形式 δ .热量的解决方案(12)通过替换 δ 转化为方程式(20).

5.2. ρ -同伦扰动拉普拉斯变换

在本小节中，我们定义了 ρ -拉普拉斯同伦变换法( ρ -LHTM）解决中提到的问题第3节该方法结合了经典同伦技术和 ρ -拉普拉斯变换，由Sene和Fall首先提出[50]. 考虑广义分数意义下的以下PDE：
D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) = 1 + η D类 C类 φ ， ρ ∂ 2 u个 ( x ， t吨 ) ∂ x 2 + G公司 第页 θ ( x ， t吨 ) ，
Dirichlet初始和边界条件由
u个 ( x ， 0 ) = 0 ，
和
u个 ( 0 ， t吨 ) = （f） 小时 ( t吨 ) 罪 w个 t吨 ，
哪里 D类 C类 φ ， ρ 显示了广义Caputo分数运算符（GCFO）。方程式中规定的其他变量(22)与中定义的相同第3节.使用 ρ -拉普拉斯变换，我们将 L（左） ρ { u个 ( x ， t吨 ) } = U型 ( x ， 秒 ) 然后将同伦应用于方程(22)我们导出了GCFO的同伦。取方程两侧的LT(22)，收益率
U型 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) x x } + 1 秒 φ L（左） ρ { G公司 第页 θ ( x ， t吨 ) } + 1 秒 u个 ( x ， 0 ) .
我们假设
U型 ( x ， 秒 ) = ∑ 米 = 0 ∞ z（z） 米 U型 米 ( x ， 秒 ) ，
然后替换方程式(26)到方程式中(25)应用同伦步骤，我们得到
∑ 米 = 0 ∞ z（z） 米 U型 米 ( x ， 秒 ) = z（z） 1 秒 φ L（左） ρ ∑ 米 = 0 ∞ z（z） 米 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) 米 x x + 1 秒 φ L（左） ρ { G公司 第页 θ ( x ， t吨 ) } + 1 秒 u个 ( x ， 0 ) ，
哪里 u个 ( x ， t吨 ) 米 x x 是米表达式的第次迭代 u个 ( x ， t吨 ) x x . 如果我们比较z（z），我们为广义Caputo分数算子生成同伦，如下所示：
z（z） 0 : U型 0 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { G公司 第页 θ ( x ， t吨 ) } + 1 秒 u个 ( x ， 0 ) ， z（z） 1 : U型 1 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) 0 x x } ， z（z） 2 : U型 2 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) 1 x x } ， ⋮ z（z） n个 + 1 : U型 n个 + 1 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) n个 x x } .
然后方程的对应解(22)由提供
u个 ( x ， t吨 ) = L（左） ρ − 1 ∑ 米 = 0 ∞ U型 米 ( x ， 秒 ) .

6.程序解决方案

在这一部分中，我们给出了由方程中定义的左GDD描述的不可压缩流体的解(12). 我们通过求解方程所描述的分数热方程来开始解析(12). 我们使用HBIM，其中包括使用本文中表示的穿透深度来表示热方程的相似变量 δ 此技术是将热扩散方程从0积分到深度 δ .我们假设方程的建议解(12)表示为
θ ( x ， t吨 ) = 1 − x δ n个 .
它遵循以下标识
P（P） 第页 ∫ 0 δ D类 C类 φ ， ρ θ ( x ， t吨 ) d日 x = ∫ 0 δ ∂ 2 θ ( x ， t吨 ) ∂ x 2 d日 x ， P（P） 第页 D类 C类 φ ， ρ ∫ 0 δ θ ( x ， t吨 ) d日 x = n个 δ ， P（P） 第页 n个 + 1 D类 C类 φ ， ρ δ = n个 δ ， P（P） 第页 D类 C类 φ ， ρ δ = n个 ( n个 + 1 ) δ .
考虑区间内的积分 0 ， δ ，我们得出以下关系
P（P） 第页 ∫ 0 δ D类 C类 φ ， ρ δ d日 x = ∫ 0 δ n个 ( n个 + 1 ) δ d日 x ， P（P） 第页 D类 C类 φ ， ρ δ 2 = 2 n个 ( n个 + 1 ) .
在剩下的论文中 P（P） 第页 = 1 和 （f） = 1 ， 因为在目前的研究中，它对所考虑模型的动力学的影响未被考虑。方程两侧的LT(31)，我们得到了与条件的关系 δ ( 0 ) = 0 ，
秒 φ δ ¯ 2 ( 秒 ) = 2 n个 ( n个 + 1 ) 秒 ， δ ¯ 2 ( 秒 ) = 2 n个 ( n个 + 1 ) 秒 1 + φ .
反演方程(32)，我们有近似等效值
δ 2 ( t吨 ) = 2 n个 ( n个 + 1 ) Γ 1 + φ t吨 ρ ρ φ ， δ ( t吨 ) = 2 n个 ( n个 + 1 ) Γ 1 + φ t吨 ρ ρ φ / 2 .
因此，使用方程式(29)，热量方程的近似解(12)可以用以下表达式形成
θ ( x ， t吨 ) = 1 − x 2 n个 ( n个 + 1 ) Γ 1 + φ t吨 ρ ρ φ / 2 n个 .
对于热扩散方程，我们有一个抛物线方程；因此，在本研究中，我们规定了指数 n个 = 2 文献中存在许多关于扩散方程和分数阶扩散方程指数选择的讨论。在这种情况下，迈尔斯[51]为获得指数提供了一种很好的方法n个通过最小化扩散方程的剩余项。然而，在许多情况下，我们选择 n个 = 2 ，以获得更准确的轮廓。在我们的研究中，方程的近似解(12)被澄清为
θ ( x ， t吨 ) = 1 − x 2 三 Γ 1 + φ t吨 ρ ρ φ / 2 2 .
我们方法的重要性在于物理建议。我们的方法给出了分数阶扩散方程相似变量的估计。那就是
x 2 三 Γ 1 + φ t吨 ρ ρ φ / 2 .
我们方法的另一个重要之处是，它提出了扩散过程性质的分类。对于分类，我们使用平方穿透深度
δ 2 ( t吨 ) = 2 n个 ( n个 + 1 ) Γ 1 + φ t吨 ρ ρ φ .
这里我们简单地进行分类。一些细节将在即将发表的论文中给出。注意何时 φ = ρ = 1 ，我们有一个正常扩散。什么时候？ φ < 1 ρ ，我们有一个亚扩散过程。什么时候？ φ > 1 ρ ，扩散为超扩散。此外，当 φ = 1 ρ ，我们有一个弹道扩散。方程的解(12)可以用以下形式表示
θ ( x ， t吨 ) = 1 − 2 如果 φ − 1 / 2 t吨 ρ ρ − φ / 2 x + 如果 φ − 1 t吨 ρ ρ − φ x 2 ，
哪里 如果 φ = 12 Γ 1 + φ 因此，第一个方程(11)，将使用 ρ -LHTM。现在考虑方程中获得的解(36)我们的目的是通过中解释的同伦技术来求解第5.2节下面的方程式
D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) = 1 + η D类 C类 φ ， ρ ∂ 2 u个 ∂ x 2 + 1 − 2 如果 φ − 1 / 2 t吨 ρ ρ − φ / 2 x + 如果 φ − 1 t吨 ρ ρ − φ x 2 .
为此，我们将同伦步骤应用于最后一个方程。那么我们有
z（z） 0 : U型 0 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ 1 − 2 如果 φ − 1 / 2 t吨 ρ ρ − φ / 2 x + 如果 φ − 1 t吨 ρ ρ − φ x 2 ， z（z） 1 : U型 1 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ 1 + η D类 C类 φ ， ρ 2 . 12 − 1 / ρ Γ ( 1 − φ ) ρ ρ − 1 − φ Γ ( φ + 1 ) 1 / ρ ， z（z） 2 : U型 2 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) 1 x x } = 0 ， ⋮ z（z） n个 + 1 : U型 n个 + 1 ( x ， 秒 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) n个 x x } } = 0 .
从最后一个同宗并取逆 ρ -我们可以得到每个条款的LT：
u个 0 ( x ， t吨 ) = − 三 − 1 2 ρ x ρ − φ 2 Γ 1 − φ 2 ρ ρ − 1 − φ 2 1 Γ ( φ + 1 ) 1 / ρ t吨 φ ρ 2 Γ φ 2 + 1 + 12 − 1 / ρ x 2 Γ ( 1 − φ ) ρ ρ − 1 − φ Γ ( φ + 1 ) 1 / ρ + ρ − φ t吨 φ ρ Γ ( φ + 1 ) ， u个 1 ( x ， t吨 ) = 2 1 − 2 ρ 三 − 1 / ρ ρ − φ Γ ( 1 − φ ) ρ ρ − 1 − φ Γ ( φ + 1 ) 1 / ρ t吨 φ ρ Γ ( φ + 1 ) ， u个 2 ( x ， t吨 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) 1 x x } = 0 ， ⋮ u个 n个 + 1 ( x ， t吨 ) = 1 秒 φ L（左） ρ { 1 + η D类 C类 φ ， ρ u个 ( x ， t吨 ) n个 x x } = 0 .
然后通过下式给出不可压缩流体方程的解
u个 ( x ， t吨 ) = − 三 − 1 2 ρ x ρ φ / 2 Γ φ 2 + 1 Γ 1 − φ 2 ρ ρ − 1 − φ 2 1 Γ ( φ + 1 ) 1 / ρ t吨 − 1 2 ( φ ρ ) + 12 − 1 / ρ x 2 Γ ( 1 − φ ) ρ ρ − 1 − φ Γ ( φ + 1 ) 1 / ρ + ρ − φ t吨 φ ρ Γ ( φ + 1 ) ， + 2 1 − 2 ρ 三 − 1 / ρ ρ − φ Γ ( 1 − φ ) ρ ρ − 1 − φ Γ ( φ + 1 ) 1 / ρ t吨 φ ρ Γ ( φ + 1 ) .

7.图形和讨论

在这一部分中，我们有超扩散、弹道扩散和亚扩散情况的图形表示。此外，我们还讨论了本研究中获得的解的结果。
我们首先描述和分析分数阶扩散方程（FDE）的解(12)，已在方程式中表示(33). 我们做出以下假设 t吨 = 0.3 和 φ = 1 ，我们根据状态变量描述了解决方案x扩散过程。在图1，我们演示了不同阶数的FDE解 ρ ≤ 1 .我们观察到解大大减少，并收敛于用这些值获得的法向扩散( φ = 1 = ρ ) 什么时候下订单 ρ 增加到1。我们注意到订单 ρ 对扩散过程有显著影响。通常，它会对扩散过程产生延迟影响。物理上，这些行为由分数热方程产生的亚扩散过程解释，当 ρ ≤ 1 .
在图2，我们给出了不同阶数的热方程的解 ρ 满足条件 ρ ≥ 1 。我们注意到，解随着状态变量的变化而减少x.根据彼此分析解的行为，我们观察到当阶数增加并满足条件时 ρ ≥ 1 ; 所有曲线也都增加并收敛到正态扩散。箭头在图2表示这些观察结果。超扩散过程解释了我们修复时解的行为 φ 和 ρ ≥ 1 。在这里我们注意到订单 ρ 产生加速冲击。
我们修复 x = 0.3 和 φ = 1 ，我们根据时间描述解决方案t吨扩散过程。与之前的情况相反，我们得到了相反的行为。我们注意到，在特定时间后，所有曲线都会增加并收敛到无穷大。请参阅中的示例图3请注意订单的效果 ρ 与之前的分析相同：减速和加速效应。
在图4，图5和图6，我们分别指出了超扩散、弹道扩散和亚扩散情况下的解。这些提到的图形表示是通过使用定义为 ρ -拉普拉斯-仿射摄动变换方法及其在方程中的给出(39). 该方法在求解分数阶ISGF方程的解析解时具有很高的影响和精度。因为，在查看解决方案时，人们可以理解，通过只使用前两次迭代，就可以提供解决方案。此问题不需要发生截断错误。这种情况可能用于解决某些线性问题，也可能因问题的性质而有所不同[52].
在图4，我们得到了超扩散型过程，当 φ < 1 ρ 。在这个图形表示中，我们 φ = 0.8 和 ρ = 三 .英寸图5，我们得到了弹道式扩散过程，当 φ = 1 ρ 现在我们有 φ = 0.9 和 ρ = 10 / 9 .英寸图6，我们将其视为亚扩散型过程，当 φ > 1 ρ 。对于此代表，我们采取 φ = 0.95 和 ρ = 0.5 .
在图7，我们可以看到扩散参数的影响 ρ 当 φ = 0.99 和 t吨 = 0.3 很明显，当 ρ 值增加，扩散过程接近正常扩散。
在图8，我们在方程式中表示问题的解决方案(11)对于分数参数和扩散项的不同值。结论是，分数参数和扩散项都接近于单位，过程指定为正常扩散情况。

8.结束语

在本研究中，研究了分数阶算子及其广义形式所描述的FDD的存在唯一性，给出了不可压缩二级流体的近似解。这个 ρ -将拉普拉斯同伦摄动变换方法与HBIM相结合，提出了一种求解二级流体模型的新方法。总之，我们的方法很有用，可以考虑用于二级流体模型，因为获得的解也收敛。它们也接近精确解。我们表示了构成本文研究的二级模型的方程的解。我们指出了所考虑模型的物理方面。我们注意到订单 ρ 在扩散过程中具有延迟或加速影响。给出了主要结果的数值模拟和解释。根据数值计算，我们指出流体温度的行为对流体速度的行为有重要影响。换句话说，分数热方程中的扩散过程类型在分数速度方程中产生相同的扩散过程。本文的另一个结果与指数有关 n个 = 2 对于热平衡积分法。指数 n个 = 2 本文考虑的指数可以根据迈尔斯方法在今后的工作中进行修正。未来的研究方向是找到指数的最佳值n个对于本文所考虑的二级模型的半解析解，使用Myers方法。

作者贡献

概念化，M.Y.和N.S。；方法，N.S。；调查，M.Y.和N.S。；书面原稿编制，M.Y.和N.S。；写作审查和编辑，M.Y.和N.S。；可视化、M.Y.和N.S.所有作者都阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

M.Yavuz得到了土耳其科学技术研究理事会（TUBITAK）的支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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公理09 00123 g001 550
图1。方程的求解(12)的 θ 与x什么时候 φ = 1 和 ρ ≤ 1 .
图1。方程的求解(12)的 θ 与x什么时候 φ = 1 和 ρ ≤ 1 .
公理09 00123 g001
公理09 00123 g002 550
图2。方程的求解(12)何时 φ = 1 和 ρ ≥ 1 .
图2。方程的求解(12)何时 φ = 1 和 ρ ≥ 1 .
轴颈09 00123 g002
轴颈09 00123 g003 550
图3。方程的求解(12)的 θ 与t吨什么时候 φ = 1 和 ρ ≤ 1 .
图3。方程的求解(12)的 θ 与t吨什么时候 φ = 1 和 ρ ≤ 1 .
公理09 00123 g003
公理09 00123 g004 550
图4。不可压缩二级流体动力学的超扩散情况。
图4。不可压缩二级流体动力学的超扩散情况。
公理09 00123 g004
公理09 00123 g005 550
图5。不可压缩二级流体动力学的弹道扩散情况。
图5。不可压缩二级流体动力学的弹道扩散情况。
轴颈09 00123 g005
公理09 00123 g006 550
图6。不可压缩二级流体动力学的亚扩散情况。
图6。不可压缩二级流体动力学的亚扩散情况。
公理09 00123 g006
公理09 00123 g007 550
图7。方程的求解(11)何时 φ = 0.99 和 t吨 = 0.3 .
图7。方程的求解(11)何时 φ = 0.99 和 t吨 = 0.3 .
公理09 00123 g007
公理09 00123 g008 550
图8。方程的求解(11)对于各种值 φ 和 ρ .
图8。方程的求解(11)对于各种值 φ 和 ρ .
公理09 00123 g008
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分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

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