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应用科学
第10卷
第17版
10.3390/app10175952
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第条

具有分布偏差变元的奇阶时滞微分方程的振动性

通过
阿里·穆希卜
1,2,*,
塔贝特·阿卜杜勒贾瓦德
3,4,5,*,
奥萨马·莫阿兹
1和
Elmetwally M.埃拉巴斯
1
1
埃及曼苏拉35516，曼苏拉大学科学院数学系
2
也门Ibb大学Al-Nadirah教育学院数学系，Ibb邮政信箱70270
三
沙特阿拉伯利雅得苏丹王子大学数学与普通科学系，邮编：11586
4
中国医科大学医学研究部，台湾台中40402
5
台湾台中40402亚洲大学计算机科学与信息工程系
*
应向其发送信件的作者。
申请。科学。 2020,10(17), 5952;https://doi.org/10.3390/app10175952
收到的提交文件：2020年6月28日/修订日期：2020年8月25日/接受日期：2020年8月26日/发布日期：2020年8月27日
（本文属于特刊动力系统、网络数学和工程建模优化方法)
版本注释

摘要

:
在这项工作中，建立了一类具有分布偏差变元的奇阶时滞微分方程的渐近性态和振动性的新判据。我们的方法基本上是基于使用迭代技术对所研究方程的正解建立更精确的估计。此外，迭代技术允许我们测试振荡，即使相关结果无法应用。通过建立新的比较定理，将n阶方程与一个或多个一阶时滞微分方程进行比较，得到了所研究方程所有解振动的新条件。为了说明我们的结果的重要性，我们提供了两个示例。

1.简介

在这项工作中，我们研究了形式为分布偏差变元的奇阶时滞微分方程的渐近性和振动性
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' + ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 如果 x个 ψ ξ , 秒 d日 秒 = 0 ,
哪里 n个 ∈ Z轴 + 很奇怪。此外，我们假设以下条件：
（i）
第页 ∈ C类 1 ξ 0 , ∞ , 0 , ∞ , 第页 ' ξ ≥ 0 , α 是奇数正整数与
μ 0 , 0 ξ , ξ 0 : = ∫ ξ 0 ξ 第页 − 1 / α 秒 d日 秒 → ∞ 作为 ξ → ∞ ;
（ii）
ψ , ρ ∈ C类 ξ 0 , ∞ × 一 , b条 , R（右） , ρ ξ , 秒 ≥ 0 , ψ ξ , 秒 ≤ ξ 对于 ξ ≥ ξ 0 和 秒 ∈ 一 , b条 , ψ 具有非负偏导数 林 ξ → ∞ ψ ξ , 秒 = ∞ ;
（iii）
如果 ∈ C类 R（右） , R（右） , 如果 ξ , x个 ≥ ϱ x个 α 对于 x个 ≠ 0 和 ϱ 是一个正常数。
功能x个被称为方程的解(1)如果存在 ξ x个 ≥ ξ 0 这样的话 x个 ∈ C类 n个 − 1 ξ x个 , ∞ , R（右） , 第页 ξ x个 n个 − 1 α ∈ C类 1 ξ x个 , ∞ , R（右） 并满足方程式(1)，对于所有人 ξ ∈ ξ x个 , ∞ 。我们的讨论仅限于这些解决方案x个方程式的(1)满足要求的 啜饮 x个 ξ : ξ 1 ≤ ξ 0 > 0 对于每个 ξ 1 ∈ ξ x个 , ∞ .这样的解决方案x个称为非振荡，如果x个最终是积极的还是消极的；否则，x个据说是振荡的。如果方程的每个解(1)是振荡的，那么方程(1)称为振荡。
各类中立型和时滞微分方程解的振荡行为性质引起了人们的极大兴趣，在自然科学、技术和工程的应用问题中经常会遇到，参见[1,2]. 最近，人们注意到许多研究人员和论文对研究不同类别的线性和非线性微分方程的定性性质越来越感兴趣，参见[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14].
据作者所知，与偶数阶微分方程相比，对奇阶微分方程振荡行为的研究和检验受到的关注较少，参见[15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25].
Vidhyaa等人[26]研究了三阶中立型微分方程所有解的振动性
ψ ξ 小时 ξ z（z） ' ξ ' α ' + 如果 ξ 年 α ξ = 0 , ξ ≥ ξ 0 ,
哪里 z（z） ξ = 年 ξ + 第页 ξ 年 σ ξ .
李和罗戈夫琴科[27]研究一类奇阶时滞微分方程解的渐近性
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' + 第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α + ρ ξ x个 α τ ξ = 0 ,
哪里 ξ ≥ ξ 0 > 0 和 n个 ≥ 三 是一个奇数自然数。
巴库利科娃和祖里娜[18]采用Riccati变换检验高阶微分方程解的渐近性和振动性
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' + ρ ξ x个 α τ ξ = 0 ,
哪里 τ ξ > ξ 和n个很奇怪。
基于迭代技术的使用，我们首先对方程的增减正解建立了一个更精确的估计(1). 通过与一阶时滞方程进行比较，我们得到了方程所有解的振动性(1)在容易的应用条件下。
在下面，我们给出了一些有用的引理，这些引理将在整个结果中使用。
引理 1
（引理2.2.3英寸[三])如果 F类 ∈ C类 n个 ξ 0 , ∞ , 0 , ∞ , F类 n个 − 1 ξ F类 n个 ξ ≤ 0 对于 ξ ≥ ξ F类 ≥ ξ 0 和 林 ξ → ∞ F类 ξ ≠ 0 , 那么存在一个 ξ δ ∈ ξ F类 , ∞ 这样的话
F类 ξ ≥ δ n个 − 1 ! ξ n个 − 1 F类 n个 − 1 ξ .
对于每个 δ ∈ 0 , 1 和 ξ ∈ ξ δ , ∞ .
引理 2
（引理2 in[18])如果x是方程的正解(1)，然后是所有导数 x个 k个 ξ , 1 ≤ k个 ≤ n个 − 1 , 具有恒定的符号， 第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α 是非递增的，x满足任一条件
x个 ' ξ > 0 , x个 ″ ξ > 0 , x个 n个 − 1 ξ > 0 , x个 n个 ξ < 0
或
− 1 米 x个 米 > 0 , 米 = 1 , 2 , … , n个 .
接下来，我们提供以下符号以帮助我们轻松显示结果：
ρ k个 u个 : = ϱ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 η k个 α ψ u个 , 秒 d日 秒 ,
此外，我们表示了方程的所有正解集(1)带有属性“方程式”(2)或方程式(三)由 X（X） 我 + 或 X（X） D类 + 分别为。
备注 1
假设所有的泛函不等式和性质，包括增、减、正等，最终成立，也就是说，它们满足所有ξ足够大的条件。

2.不存在递增正解

在本节中，我们得到了奇阶时滞微分方程正解增加的不存在性准则(1).
引理 3
假设 x个 ∈ X（X） 我 + .然后，
x个 ψ ξ , 秒 ≥ η k个 ψ ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 ,
哪里
η 0 ξ : = δ 0 n个 − 1 ! ξ n个 − 1
和
η k个 + 1 ξ : = δ k个 第页 1 / α ξ n个 − 2 ! ∫ ξ 1 ξ υ n个 − 2 1 第页 υ 经验 ∫ υ ξ ρ k个 u个 第页 u个 d日 u个 1 / α d日 υ ,
为所有人 δ k个 ∈ 0 , 1 和 k个 = 0 , 1 , … .
证明。 
假设 x个 ∈ X（X） 我 + 。然后，存在一个 ξ 1 ≥ ξ 0 这样的话 x个 ξ > 0 和 x个 ψ ξ , 秒 > 0 为所有人 ξ ≥ ξ 1 现在，我们将使用归纳法证明方程(4). 对于 k个 = 0 ，使用引理1，我们得到
x个 ψ ξ , 秒 ≥ δ 0 n个 − 1 ! ψ n个 − 1 ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 ≥ η 0 ψ ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 .
接下来，我们假设 x个 ψ ξ , 秒 ≥ η k个 ψ ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 , 对于 k个 > 1 .然后
x个 α ψ ξ , 秒 ≥ η k个 α ψ ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 α
或者等效地，
如果 x个 ψ ξ , 秒 ≥ ϱ η k个 α ψ ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 α .
组合方程式(1)和(5)，我们得到
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' ≤ − ϱ ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 η k个 α ψ ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 α d日 秒 .
自 x个 n个 < 0 和 ψ ξ , 一 < ξ ，我们有
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' ≤ − ϱ x个 n个 − 1 ξ α ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 η k个 α ψ ξ , 秒 d日 秒 .
如果我们设置 w个 : = 第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ，然后(6)减少到
w个 ' ξ ≤ − ϱ 第页 ξ w个 ξ ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 η k个 α ψ ξ , 秒 d日 秒 .
通过使用Grönwall不等式，我们得到
w个 υ ≥ w个 ξ 经验 ∫ υ ξ ρ k个 第页 u个 d日 u个 ,
因此
x个 n个 − 1 υ ≥ 第页 1 / α ξ x个 n个 − 1 ξ 1 第页 υ 经验 ∫ υ ξ ρ k个 第页 u个 d日 u个 1 / α .
使用引理1 F类 : = x个 ' > 0 ，我们得出结论
x个 ' ξ ≥ δ k个 ξ n个 − 2 n个 − 2 ! x个 n个 − 1 ξ , 对于 全部的 δ k个 ∈ 0 , 1 .
正在集成(8)来自 ξ 1 到 ξ , 和使用(7)，我们发现
x个 ξ ≥ δ k个 n个 − 2 ! ∫ ξ 1 ξ υ n个 − 2 x个 n个 − 1 υ d日 υ ≥ x个 n个 − 1 ξ δ k个 第页 1 / α ξ n个 − 2 ! ∫ ξ 1 ξ υ n个 − 2 1 第页 υ 经验 ∫ υ ξ ρ k个 第页 u个 d日 u个 1 / α d日 υ ≥ η k个 + 1 ξ x个 n个 − 1 ξ ,
或同等标准，
x个 ψ ξ , 秒 ≥ η k个 + 1 ψ ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 .
证据是完整的。 □
定理 1
假设 η k个 如引理3所定义。如果，对于某些人 δ k个 ∈ 0 , 1 还有一些 k个 ∈ N个 ，延迟微分方程
w个 ' ξ + ρ k个 u个 第页 ψ ξ , 一 w个 ψ ξ , 一 = 0
是振荡的，那么 X（X） 我 + 为空。
证明。 
假设相反 x个 ∈ X（X） 我 + 。然后，存在一个 ξ 1 ≥ ξ 0 这样的话 x个 ξ > 0 和 x个 ψ ξ , 秒 > 0 为所有人 ξ ≥ ξ 1 .在引理3的证明中，我们得出(6). 自 ψ ξ , 秒 在以下方面没有下降秒，我们明白了 ψ ξ , 秒 ≥ ψ ξ , 一 对于 秒 ∈ 一 , b条 .然后(6)成为
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' ≤ − ϱ x个 n个 − 1 ψ ξ , 一 α ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 η k个 α ψ ξ , 秒 d日 秒 .
如果我们设置 w个 : = 第页 x个 n个 − 1 α > 0 ，然后(10)成为
w个 ' ξ + ρ k个 ξ 第页 ψ ξ , 一 w个 ψ ξ , 一 ≤ 0 .
因此，最后一个不等式有一个正解。在中使用定理1[10]，我们看到了(9)也有积极的解决办法，这是一个矛盾。证据是完整的。 □
推论 1
假设 η k个 如引理3所定义。如果，对于某些人 δ k个 ∈ 0 , 1 还有一些 k个 ∈ N个 ,
林 inf公司 ξ → ∞ ∫ ψ ξ , 一 ξ ρ k个 u个 第页 ψ u个 , 一 d日 u个 > 1 e（电子） ,
然后 X（X） 我 + 为空。
证明。 
将一个众所周知的准则定理2应用于[13]一阶时滞微分方程(9)为了振荡，我们立即得到了判据(11). □
例子 1
考虑三阶微分方程
x个 ‴ + ∫ ϵ 1 ρ 0 ξ 三 x个 ϵ ξ d日 ξ = 0 ,
哪里 ξ ≥ 1 , α = 1 , n个 = 三 , 第页 = 1 , ρ ξ , 秒 = ρ 0 / ξ 三 , ρ 0 > 0 , 一 = ϵ , b条 = 1 , ψ ξ , 秒 = ϵ ξ 和 ϵ ∈ 0 , 2 / 三 .然后，我们明白了
η 0 ξ : = δ 0 2 ϵ 2 ξ 2 .
很容易验证该条件(11)带有 k个 = 0 减少到
ϱ ρ 0 δ 0 ϵ 2 1 − ϵ 自然对数 1 ϵ > 2 e（电子） .
从推论1可以看出 X（X） 我 + 为空，如果(13)满足。

3.不存在递减正解

在本节中，我们获得了奇阶时滞微分方程正解递减的不存在性准则(1).
引理 4
假设 x个 ∈ X（X） D类 + .然后，
x个 u个 ≥ 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） μ 我 , n个 − 2 v（v） , u个 ,
哪里
μ 我 , k个 + 1 v（v） , u个 : = ∫ u个 v（v） μ 我 , k个 v（v） , 秒 d日 秒
和
μ 我 + 1 , 0 v（v） , u个 : = ∫ u个 v（v） 1 第页 υ 经验 ∫ υ v（v） ϱ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 μ 我 , n个 − 2 α u个 , ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 1 / α d日 υ ,
对于 k个 = 0 , 1 , … , n个 − 三 , 和 我 = 0 , 1 , 2 , … .
证明。 
假设 x个 ∈ X（X） D类 + 。然后，存在一个 ξ 1 ≥ ξ 0 这样的话 x个 ξ > 0 和 x个 ψ ξ , 秒 > 0 为所有人 ξ ≥ ξ 1 现在，我们用归纳法证明(14). 对于 我 = 0 ，自 第页 ( x个 n个 − 1 ) ' ≤ 0 , 我们得到
− x个 n个 − 2 u个 ≥ x个 n个 − 2 v（v） − x个 n个 − 2 u个 = ∫ u个 v（v） 1 第页 1 / α 秒 第页 1 / α 秒 x个 n个 − 1 秒 d日 秒 ≥ 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） μ 0 , 0 v（v） , u个 .
正在集成(15)来自u个到 v（v） ，我们有
− x个 n个 − 三 u个 ≤ x个 n个 − 三 v（v） − x个 n个 − 三 u个 = 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） μ 0 , 1 v（v） , u个 .
正在集成(16) n个 − 三 时间从u个到v（v），我们得出结论
x个 u个 ≥ 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） μ 0 , n个 − 2 v（v） , u个 .
接下来，我们假设 x个 u个 ≥ 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） μ 我 , n个 − 2 v（v） , u个 ，用于 我 > 1 因此，我们获得
x个 ψ ξ , 秒 ≥ 第页 1 / α ξ x个 n个 − 1 ξ μ 我 , n个 − 2 ξ , ψ ξ , 秒
等等
如果 x个 ψ ξ , 秒 ≥ ϱ 第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α μ 我 , n个 − 2 α ξ , ψ ξ , 秒 .
组合方程式(1)和(17)，我们获得
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' + ϱ ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α μ 我 , n个 − 2 α ξ , ψ ξ , 秒 d日 秒 ≤ 0
或同等标准，
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' + ϱ 第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 μ 我 , n个 − 2 α ξ , ψ ξ , 秒 d日 秒 ≤ 0 .
如果我们设置 Φ : = 第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ，那么(19)减少到
Φ ' ξ + ϱ Φ ξ ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 μ 我 , n个 − 2 α ξ , ψ ξ , 秒 d日 秒 ≤ 0 .
利用Grönwall不等式，我们得到
Φ υ ≥ Φ v（v） 经验 ∫ υ v（v） ϱ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 μ 我 , n个 − 2 α u个 , ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 .
因此，
x个 n个 − 1 υ ≥ 1 第页 υ 经验 ∫ υ v（v） ϱ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 μ 我 , n个 − 2 α u个 , ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 1 / α × 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） .
将此不等式与u个到v（v）和通过使用(15)，我们有
− x个 n个 − 2 u个 ≥ ∫ u个 v（v） 1 第页 υ 经验 ∫ υ v（v） ϱ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 μ 我 , n个 − 2 α u个 , ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 1 / α d日 υ × 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） ≥ 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） μ 我 + 1 , 0 v（v） , u个 .
积分前面的不等式 n个 − 2 时间从u个到v（v），我们得出结论
x个 u个 ≥ 第页 1 / α v（v） x个 n个 − 1 v（v） μ 我 + 1 , n个 − 2 v（v） , u个 .
因此，证明是完整的。 □
定理 2
假设 μ 我 , k个 如引理4所定义。如果，对于某些人 我 ∈ N个 ,
林 啜饮 ξ → ∞ ϱ ∫ ψ ξ , b条 ξ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 μ 我 , n个 − 2 α ψ ξ , 秒 , ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 > 1 ,
然后 X（X） D类 + 为空。
证明。 
假设相反 x个 ∈ X（X） D类 + 。然后，存在一个 ξ 1 ≥ ξ 0 这样的话 x个 ξ > 0 和 x个 ψ ξ , 秒 > 0 为所有人 ξ ≥ ξ 1 从引理4可以得出(14)持有。积分方程(1)来自 ψ ξ , b条 到 ξ ，我们获得
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α − 第页 ψ ξ , b条 x个 n个 − 1 ψ ξ , b条 α = − ∫ ψ ξ , b条 ξ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 如果 x个 ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 .
从定义 如果 , 我们发现
第页 ψ ξ , b条 x个 n个 − 1 ψ ξ , b条 α ≥ ∫ ψ ξ , b条 ξ ϱ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 x个 α ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 .
使用(14)带有 u个 = ψ u个 , 秒 和 v（v） = ψ ξ , 秒 ，我们明白了
x个 ψ u个 , 秒 ≥ 第页 1 / α ψ ξ , 秒 x个 n个 − 1 ψ ξ , 秒 μ 我 , n个 − 2 ψ ξ , 秒 , ψ u个 , 秒 ,
其中包含(22)，给出
ϱ ∫ ψ ξ , b条 ξ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 μ 我 , n个 − 2 α ψ ξ , 秒 , ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 ≤ 1 ,
矛盾。因此，证明是完整的。 □
定理 3
假设 μ 我 , k个 如引理4所定义。如果存在函数 Ψ ∈ C类 ξ 0 , ∞ , 0 , ∞ 这样的话 Ψ ξ < ξ , ψ ξ , 秒 < Ψ ξ 和延迟微分方程
ϖ ' ξ + ϱ ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 μ 我 , n个 − 2 α Ψ ξ , ψ ξ , 秒 d日 秒 ϖ Ψ ξ = 0
对某些人来说是振荡的 我 ∈ N个 ，然后 X（X） D类 + 为空。
证明。 
假设相反 x个 ∈ X（X） D类 + 。然后，存在一个 ξ 1 ≥ ξ 0 这样的话 x个 ξ > 0 和 x个 ψ ξ , 秒 > 0 为所有人 ξ ≥ ξ 1 从引理4可以得出(14)持有。使用(14)带有 u个 = ψ ξ , 秒 和 v（v） = Ψ ξ ，我们明白了
x个 ψ ξ , 秒 ≥ 第页 1 / α Ψ ξ x个 n个 − 1 Ψ ξ μ 我 , n个 − 2 Ψ ξ , ψ ξ , 秒 .
因此，根据方程式(1)，我们获得
第页 ξ x个 n个 − 1 ξ α ' + ϱ 第页 Ψ ξ x个 n个 − 1 Ψ ξ α ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 μ 我 , n个 − 2 α Ψ ξ , ψ ξ , 秒 d日 秒 ≤ 0 .
如果我们设置 ϖ : = 第页 x个 n个 − 1 α ，然后(24)成为
ϖ ' ξ + ϱ ∫ 一 b条 ρ ξ , 秒 μ 我 , n个 − 2 α Ψ ξ , ψ ξ , 秒 d日 秒 ϖ Ψ ξ ≤ 0 .
因此，最后一个不等式有一个正解。在中使用定理1[10]，我们看到了(23)也有积极的解决办法，这是一个矛盾。证据是完整的。 □
推论 2
假设 μ 我 , k个 如引理4所定义。如果存在函数 Ψ ∈ C类 ξ 0 , ∞ , 0 , ∞ 这样的话 Ψ ξ < ξ , ψ ξ , 秒 < Ψ ξ 和
林 inf公司 ξ → ∞ ∫ Ψ ξ ξ ϱ ∫ 一 b条 ρ u个 , 秒 μ 我 , n个 − 2 α Ψ u个 , ψ u个 , 秒 d日 秒 d日 u个 > 1 e（电子） .
然后 X（X） D类 + 为空。
证明。 
将一个众所周知的准则定理2应用于[13]一阶时滞微分方程(23)为了振荡，我们立即得到了判据(25). □
例子 2
考虑三阶微分方程(12). 然后，我们看到了
μ 0 , 0 v（v） , u个 = v（v） − u个 , μ 0 , 1 v（v） , u个 = 1 2 v（v） − u个 2 ,
μ 1 , 0 v（v） , u个 = ϱ ρ 0 1 − ϵ 三 2 v（v） 自然对数 v（v） u个
和
μ 1 , 1 v（v） , u个 = ϱ ρ 0 1 − ϵ 三 2 v（v） v（v） − u个 1 + 自然对数 v（v） u个 .
因此，通过选择 k个 = 0 , 我 = 1 和 Ψ ξ : = 三 2 ϵ ξ ，条件(25)减少到
三 ϱ 2 ρ 0 2 ϵ 2 1 − ϵ 4 1 2 − 自然对数 三 2 自然对数 2 三 ϵ > 4 e（电子） .
从推论2中，我们看到 X（X） D类 + 如果条件为空(26)满足。
定理 4
假设 η k个 和 μ 我 , k个 分别在引理3和4中定义。如果存在函数 Ψ ∈ C类 ξ 0 , ∞ , 0 , ∞ 这样的话 Ψ ξ < ξ 和 ψ ξ , 秒 < Ψ ξ ，对于一些 δ k个 ∈ 0 , 1 还有一些 k个 , 我 ∈ N个 和延迟微分方程(9)和(23)是振荡的，那么，方程的每一个解(1)是振荡的。
推论 3
假设 η k个 和 μ 我 , k个 分别在引理3和4中定义。然后，方程的每个解(1)如果满足以下条件之一，则为振荡：
（a） 
方程式(11)和(21)
（b） 
方程式(11)和(25)
对一些人来说 δ k个 ∈ 0 , 1 还有一些 k个 , 我 ∈ N个 .
备注 2
从示例1和2中的结果中，我们注意到(11)和(25)减少到(13)和(26). 因此，利用推论3-（b），我们得出结论：(12)是振荡的，如果(13)和(26)保持。

4.结论

通过在本工作中应用迭代方法，我们对方程的正解的增减建立了更清晰的估计(1). 利用比较原理，我们获得了新的振荡标准，可用于测试振荡，即使之前已知的标准无法适用。
当可能应用幂、指数和Mittag–Leffler定律的某些分数导数时，记忆效应也可能非局部出现。因此，将本文的结果推广到分数阶时滞微分方程是很有意思的，参见[28,29,30,31,32].

作者贡献

形式分析：A.M.和T.A。；调查：上午和下午。；监督：O.M.和E.M.E。；书面原稿：A.M.和T.A.：书面审查和编辑：T.A.、O.M.和E.M.E.作者声称在本文中做出了同等重要的贡献。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

作者感谢审稿人的有用评论，这导致了论文内容的改进。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

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样品可用性：化合物样品。。。。。。可从作者处获得。

分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

Muhib A、Abdeljawad T、Moaaz O、Elabbasy EM。具有分布偏差变元的奇阶时滞微分方程的振动性。应用科学. 2020; 10(17):5952.https://doi.org/10.3390/app10175952

芝加哥/图拉宾风格

Muhib、Ali、Thabet Abdeljawad、Osama Moaaz和Elmetwally M.Elabbasy。2020年，“具有分布偏差变元的奇阶时滞微分方程的振动性”应用科学10，17号：5952。https://doi.org/10.3390/app10175952

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