An Optimal Biparametric Multipoint Family and Its Self-Acceleration with Memory for Solving Nonlinear Equations

Zheng, Quan; Zhao, Xin; Liu, Yufeng

doi:10.3390/a8041111

开放式访问第条

求解非线性方程的最优双参数多点族及其记忆自加速

通过

全正

^*,

赵欣（音译）

和

刘玉峰

华北工业大学科学院，北京100144

^*

应向其寄送信件的作者。

算法 2015,8(4), 1111-1120;https://doi.org/10.3390/a8041111

收到的提交文件：2015年10月8日/修订日期：2015年11月22日/接受日期：2015年11月24日/发布日期：2015年12月1日

（本文属于特刊求解非线性方程和系统的数值算法)

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摘要

:

本文利用直接牛顿插值构造了一类具有两参数最优收敛阶的Steffensen型方法。它满足了Kung和Traub提出的猜想(J.协会计算。数学。1974,21，634–651）基于米在没有记忆的情况下，每次迭代的求值都会达到最优的收敛阶

2^{米 - 1}

此外，通过对具有记忆的参数使用算术表达式，而不需要对函数进行额外的新求值，提出了一类Steffensen型超收敛方法。得到了它们的误差方程、渐近收敛常数和收敛阶。最后，在数值算例中与相关的根寻优方法进行了比较。

关键词：

非线性方程;牛顿法;斯特芬森方法;无导数;最优收敛;超收敛

1.简介

求解非线性方程

（f） (x个) = 0

是科学计算中的一个基本问题。除了牛顿法（NM），斯特芬森法（SM）：

{x个}_{n个 + 1} = {x个}_{n个} - \frac{{（f）}^{2} ({x个}_{n个})}{（f） ({x个}_{n个} + （f） ({x个}_{n个})) - （f） ({x个}_{n个})}, n个 = 0, 1, 2, \dots

(1)

也是处理此类问题的著名方法，因为它不需要导数并且保持二次收敛（参见[1]). 自1974年Kung和Traub推测基于米没有内存的求值具有最佳顺序

2^{米 - 1}

收敛（参见[2])NM和SM是最优排序方法。它们的效率指数为

\sqrt{2} = 1.4142

.

为了达到更高的收敛阶，在Traub的书中引入了SM（SASM）的自加速，如下所示（参见[三]):

{x个}_{n个 + 1} = {x个}_{n个} - \frac{γ_{n个} {（f）}^{2} ({x个}_{n个})}{（f） ({x个}_{n个} + γ_{n个} （f） ({x个}_{n个})) - （f） ({x个}_{n个})}

(2)

哪里

γ_{n个} = - \frac{γ_{n个 - 1} （f） ({x个}_{n个 - 1})}{（f） ({x个}_{n个 - 1} + γ_{n个 - 1} （f） ({x个}_{n个 - 1})) - （f） ({x个}_{n个 - 1})}

，它是通过使用内存递归获得的。SASM实现阶超收敛

1 + \sqrt{2} = 2.4142

。其效率指数为

\sqrt{1 + \sqrt{2}} = 1.5538

Zheng还介绍了Steffensen型方法的其他两种选择，等。，（请参见[4,5]):

γ_{n个} = - \frac{{x个}_{n个} - {x个}_{n个 - 1}}{（f） ({x个}_{n个}) - （f） ({x个}_{n个 - 1})}

和

γ_{n个} = \frac{{x个}_{n个} - {x个}_{n个 - 1}}{（f） ({x个}_{n个 - 1})}

。后者与上述表达式相同

γ_{n个}

对于SASM，但对于多步骤方法不同于上述方法。这些表达式

γ_{n个}

通过使用相同数量的（f）和以前一样。文献中讨论了Steffensen型方法的局部和半局部收敛性及其在非线性系统和非线性微分方程解中的应用（参见[1,5,6]).

此外，Díunić，Petković引入了广义双参数多点方法，如下所示（DPM，见[7]):

\{\begin{cases} 年_{k, 1} = 年_{k, 0} + γ_{k} （f） (年_{k, 0}), 年_{k, 0} = {x个}_{k}, \\ 年_{k, 2} = 年_{k, 0} - \frac{（f） (年_{k, 0})}{（f） [年_{k, 0}, 年_{k, 1}] + {第页}_{k} （f） (年_{k, 1})}, \\ 年_{k, j个} = 年_{k, j个 - 1} - \frac{（f） (年_{k, j个 - 1})}{{N个}_{j个 - 1}^{'} (年_{k, j个 - 1}; 年_{k, 0}, 年_{k, 1}, \dots, 年_{k, j个 - 1})}, j个 = 三, \dots, n个, \\ {x个}_{k + 1} = 年_{k, n个} - \frac{（f） (年_{k, n个})}{{N个}_{n个}^{'} (年_{k, n个}; 年_{k, 0}, 年_{k, 1}, \dots, 年_{k, n个})}, k = 0, 1, \dots, \end{cases}

(3)

哪里

γ_{k} = - \frac{1}{{N个}_{米}^{'} (年_{k, 0})}, {第页}_{k} = - \frac{{N个}_{米 + 1}^{''} (年_{k, 1})}{2 {N个}_{米 + 1}^{'} (年_{k, 1})}, (米 = 1, \dots, n个 + 1),

和

{N个}_{j个} (x个; 年_{k, 0}, 年_{k, 1}, \dots, 年_{k, j个}) (j个 = 2, \dots, n个)

是牛顿的插值多项式j个.

本文的结构如下。在第2节利用牛顿法对函数进行直接牛顿插值，构造了一个比SASM多一个参数的二阶最优Steffensen型方法，建立了一个四阶最优Stefensen型法，推广了Ren-Wu-Bi方法（RWBM，参见[8])，推导了它们的误差方程和渐近收敛常数，并导出了一般最优Steffensen型族

2^{米 - 1}

没有记忆的命令。此外，在第3节通过记忆加速，我们得到了Steffensen型方法族，并通过记忆双重加速得到了超二阶和超四阶收敛的Steffensen-型方法。在第4节通过求解数值例子中的非线性方程，我们将所提出的族与NM、SM、SASM、RWBM和DPM进行了比较。最后，我们得出结论第5节.

2.无记忆最优阶Steffensen型族

让

{x个}_{n个}

是非线性方程单根的近似

（f） (x个) = 0

和

{z（z）}_{n个} = {x个}_{n个} + γ_{n个} （f） ({x个}_{n个})

通过一次直接牛顿插值多项式，使得

{N个}_{1} ({x个}_{n个}) = （f） ({x个}_{n个})

和

{N个}_{1} ({z（z）}_{n个}) = （f） ({z（z）}_{n个})

，我们有

{N个}_{1} (x个) = （f） ({x个}_{n个}) + （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (x个 - {x个}_{n个})

和

（f） (x个) \approx {N个}_{1} (x个)

，其中

{R（右）}_{1} (x个) = （f） (x个) - {N个}_{1} (x个) = （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, x个] (x个 - {x个}_{n个}) (x个 - {z（z）}_{n个})

.

所以，对一些人来说

μ_{n个} \approx （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, x个]

，我们有

{\tilde{N个}}_{2} (x个) = （f） ({x个}_{n个}) + （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (x个 - {x个}_{n个}) + μ_{n个} (x个 - {x个}_{n个}) (x个 - {z（z）}_{n个})

和

（f） (x个) \approx {\tilde{N个}}_{2} (x个)

，它是基于

（f） ({x个}_{n个})

和

（f） ({z（z）}_{n个})

，但是

（f） (x个) \approx {\tilde{N个}}_{2} (x个)

可能比

（f） (x个) \approx {N个}_{1} (x个)

通过添加一个高阶项。我们建议下一个近似值

{x个}_{n个 + 1}

的根

（f） (x个)

从牛顿迭代得到

{\tilde{N个}}_{2} (x个)

作为

{x个}_{n个 + 1} = {x个}_{n个} - \frac{{\tilde{N个}}_{2} ({x个}_{n个})}{{\tilde{N个}}_{2}^{'} ({x个}_{n个})} = {x个}_{n个} - \frac{（f） ({x个}_{n个})}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] + μ_{n个} ({x个}_{n个} - {z（z）}_{n个})}

然后，我们得到了一个最优的二阶Steffensen型方法：

{x个}_{n个 + 1} = {x个}_{n个} - \frac{（f） ({x个}_{n个})}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] + μ_{n个} ({x个}_{n个} - {z（z）}_{n个})}, n个 = 0, 1, 2, \dots

(4)

哪里

{z（z）}_{n个} = {x个}_{n个} + γ_{n个} （f） ({x个}_{n个})

,

{γ_{n个}}

和

{μ_{n个}}

是有界常数序列。此方法在以下情况下给出SM

γ_{n个} \equiv 1

和

μ_{n个} \equiv 0

.

类似地，获得了最优的四阶Steffensen型方法，如下所示：

\{\begin{matrix} 年_{n个} = {x个}_{n个} - \frac{（f） ({x个}_{n个})}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}, \\ {x个}_{n个 + 1} = 年_{n个} - \frac{（f） (年_{n个})}{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}] + （f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (年_{n个} - {x个}_{n个}) + α_{n个} (年_{n个} - {x个}_{n个}) (年_{n个} - {z（z）}_{n个})}, n个 = 0, 1, 2, \dots \end{matrix}

(5)

哪里

{z（z）}_{n个} = {x个}_{n个} + γ_{n个} （f） ({x个}_{n个})

,

{γ_{n个}}

和

{α_{n个}}

是有界常数序列。此方法在以下情况下给出RWBM

γ_{n个} \equiv 1

和

α_{n个} \equiv α

.

定理1。

让

（f） : 天 \to ℜ

是一个具有简单根的充分可微函数

一 \in 天

,

天 \subset ℜ

成为一个开放的群体，

{x个}_{0}

足够接近a，那么方法方程(4)和(5)分别至少为二阶和四阶，并满足误差方程：

{e（电子）}_{n个 + 1} = [(1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一)) {c（c）}_{2} - μ_{n个} γ_{n个}] {e（电子）}_{n个}^{2} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{三})

(6)

{e（电子）}_{n个 + 1} = {(1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一))}^{2} {c（c）}_{2} [{c（c）}_{2}^{2} - {c（c）}_{三} + \frac{α_{n个}}{{（f）}^{'} (一)}] {e（电子）}_{n个}^{4} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{5})

(7)

分别，其中

{c（c）}_{k} = \frac{{（f）}^{(k)} (一)}{k! {（f）}^{'} (一)}

,

{e（电子）}_{n个} = {x个}_{n个} - 一, n个 = 0, 1, 2, \dots

.

证明。

这个定理可以通过差分的定义和泰勒公式来证明，见[9]或定理2的证明。

通过连续牛顿插值多项式

米 + 1

点，我们可以导出最优值

2^{米}

此外，我们可以用一种更好的显式形式将其写成如下：

米 > 0

,

{x个}_{n个 + 1} = 年_{米}

为获得

n个 = 0, 1, \dots

，由

\{\begin{matrix} 年_{1} = 年_{0} - \frac{（f） (年_{0})}{（f） [年_{0}, 年_{- 1}]}, \\ 年_{2} = 年_{1} - \frac{（f） (年_{1})}{（f） [年_{1}, 年_{0}] + （f） [年_{1}, 年_{0}, 年_{- 1}] (年_{1} - 年_{0})}, \\ \dots \\ 年_{米} = 年_{米 - 1} - \frac{（f） (年_{米 - 1})}{（f） [年_{米 - 1}, 年_{米 - 2}] + \dots + （f） [年_{米 - 1}, \dots, 年_{- 1}] (年_{米 - 1} - 年_{米 - 2}) \dots (年_{米 - 1} - 年_{0}) + ν_{n个} (年_{米 - 1} - 年_{米 - 2}) \dots (年_{米 - 1} - 年_{- 1})} \end{matrix}

(8)

哪里

年_{- 1} = {x个}_{n个} + γ_{n个} （f） ({x个}_{n个})

,

年_{0} = {x个}_{n个}

,

{γ_{n个}}

和

{ν_{n个}}

是有界常数序列。什么时候？

ν_{n个} \equiv 0

，给出了中的一般最优Steffensen型族[9].

定理2。

让

（f） : 天 \to ℜ

是一个具有简单根的充分可微函数

一 \in 天

,

天 \subset ℜ

成为一个开放的群体，

{x个}_{0}

足够接近a，然后是族方程(8)与至少

2^{米}

并且满足误差方程：

{e（电子）}_{n个 + 1} = 天_{米} {e（电子）}_{n个}^{2^{米}} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{2^{米} + 1})

(9)

哪里

天_{1} = (1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一)) {c（c）}_{2} - ν_{n个} γ_{n个}, （f） o个 第页 米 = 1

和

天_{米} = 天_{米 - 1} [{c（c）}_{2} 天_{米 - 1} + {(- 1)}^{米 - 1} ({c（c）}_{米 + 1} - \frac{ν_{n个}}{{（f）}^{'} (一)}) 天_{米 - 2} \dots 天_{- 1}], （f） o个 第页 米 > 1

在这里

天_{- 1} = 1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一), 天_{0} = 1

,

天_{1} = (1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一)) {c（c）}_{2}

，

天_{米 - 1} = 天_{米 - 2} [{c（c）}_{2} 天_{米 - 2} + {(- 1)}^{米 - 2}

{c（c）}_{米} 天_{米 - 三} \dots 天_{- 1}]

,

{c（c）}_{米} = \frac{{（f）}^{(米)} (一)}{米! {（f）}^{'} (一)},

和

{e（电子）}_{n个} = {x个}_{n个} - 一

对于

n个 = 0, 1, \dots

证明。

我们通过归纳法证明了这个定理。对于

米 = 1

，该定理通过定理1有效。对于

米 > 1

，让

{d日}_{k} = 年_{k} - 一

,

k = - 1, 0, \dots, 米

，然后

{d日}_{- 1} = 天_{- 1} {e（电子）}_{n个} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{2})

,

{d日}_{0} = 天_{0} {e（电子）}_{n个}

,

{d日}_{1} = 天_{1} {e（电子）}_{n个}^{2} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{三})

, ⋯,

\begin{matrix} {d日}_{米 - 1} = 天_{米 - 1} {e（电子）}_{n个}^{2^{米 - 1}} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{2^{米 - 1} + 1}) \end{matrix}

并注意到

{d日}_{米 - 2} \dots {d日}_{- 1} = O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{1 + 1 + 2 + \dots + 2^{米 - 2}}) = O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{2^{米 - 1}})

，我们有

\begin{matrix} {d日}_{米} & = & {d日}_{米 - 1} \frac{（f） [年_{米 - 1}, 年_{米 - 2}, 一] {d日}_{米 - 2} + （f） [年_{米 - 1}, 年_{米 - 2}, 年_{米 - 三}] ({d日}_{米 - 1} - {d日}_{米 - 2}) + \dots + ν_{n个} ({d日}_{米 - 1} - {d日}_{米 - 2}) \dots ({d日}_{米 - 1} - {d日}_{- 1})}{（f） [年_{米 - 1}, 年_{米 - 2}] + \dots + （f） [年_{米 - 1}, \dots, 年_{- 1}] ({d日}_{米 - 1} - {d日}_{米 - 2}) \dots ({d日}_{米 - 1} - {d日}_{0}) + ν_{n个} ({d日}_{米 - 1} - {d日}_{米 - 2}) \dots ({d日}_{米 - 1} - {d日}_{- 1})} \\ = & {d日}_{米 - 1} \frac{（f） [年_{米 - 1}, 年_{米 - 2}, 年_{米 - 三}] {d日}_{米 - 1} - （f） [年_{米 - 1}, 年_{米 - 2}, 年_{米 - 三}, 一] {d日}_{米 - 2} {d日}_{米 - 三} + \dots + {(- 1)}^{米} ν_{n个} {d日}_{米 - 2} \dots {d日}_{- 1} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{2^{米 - 1} + 1})}{{（f）}^{'} (一) + O（运行） ({e（电子）}_{n个})} \\ = & {d日}_{米 - 1} \frac{（f） [年_{米 - 1}, 年_{米 - 2}, 年_{米 - 三}] {d日}_{米 - 1} + {(- 1)}^{米 - 1} (（f） [年_{米 - 1}, \dots, 年_{- 1}, 一] - ν_{n个}) {d日}_{米 - 2} \dots {d日}_{- 1} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{2^{米 - 1} + 1})}{{（f）}^{'} (一) + O（运行） ({e（电子）}_{n个})} \\ = & 天_{米 - 1} [{c（c）}_{2} 天_{米 - 1} + {(- 1)}^{米 - 1} ({c（c）}_{米 + 1} - \frac{ν_{n个}}{{（f）}^{'} (一)}) 天_{米 - 2} \dots 天_{- 1}] {e（电子）}_{n个}^{2^{米}} + O（运行） ({e（电子）}_{n个}^{2^{米} + 1}) \end{matrix}

3.带记忆的Steffensen型超收敛族

方程分母中添加的高阶项(4)和(5)至少到目前为止没有什么不良影响。此外，通过调整这些高阶项的系数，即，仅使用旧求值的几个算术运算（f）为了表示参数，最优二阶和四阶方法的渐近收敛常数可以分别趋于零，并且获得的超收敛方法可以分别超过SASM和RWBM。例如：

超二阶方法：迭代方程(4)带有

μ_{n个} = \frac{1 + γ_{n个} （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}{γ_{n个} （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]} （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]

(10)

超四阶方法：迭代方程(5)带有

α_{n个} = （f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}

(11)

定理3。

让

（f） : 天 \to ℜ

是一个具有简单根的充分可微函数

一 \in 天

,

天 \subset ℜ

成为一个开放的群体，

{x个}_{0}

足够接近a，然后使用方法方程式(10)和(11)满足以下误差方程：

{e（电子）}_{n个 + 1} = - (1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一)) [{c（c）}_{三} {e（电子）}_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个}^{2} + O（运行） ({e（电子）}_{n个 - 1}^{2} {e（电子）}_{n个}^{2})]

(12)

{e（电子）}_{n个 + 1} = {(1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一))}^{2} [{c（c）}_{2} {c（c）}_{4} {e（电子）}_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个}^{4} + O（运行） ({e（电子）}_{n个 - 1}^{2} {e（电子）}_{n个}^{4})]

(13)

哪里

{c（c）}_{k} = \frac{{（f）}^{(k)} (一)}{k! {（f）}^{'} (一)}

,

{e（电子）}_{n个} = {x个}_{n个} - 一, n个 = 0, 1, 2, \dots

,并至少实现阶收敛

1 + \sqrt{2}

和

2 + \sqrt{5}

分别是。

证明。

通过差分的定义和泰勒公式，我们还得到

\begin{matrix} （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] & = & \frac{{（f）}^{''} (一)}{2} + \frac{{（f）}^{'''} (一)}{6} {e（电子）}_{n个 - 1} + O（运行） ({e（电子）}_{n个 - 1}^{2}), \\ （f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] & = & \frac{{（f）}^{'''} (一)}{6} + \frac{{（f）}^{(4)} (一)}{4!} {e（电子）}_{n个 - 1} + O（运行） ({({e（电子）}_{n个 - 1})}^{2}) \end{matrix}

方程式(12)遵循方程式(6)由

\begin{matrix} μ_{n个} & = & \frac{1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一)}{γ_{n个} {（f）}^{'} (一)} (\frac{{（f）}^{''} (一)}{2!} + \frac{{（f）}^{'''} (一)}{三!} {e（电子）}_{n个 - 1} + O（运行） ({e（电子）}_{n个 - 1}^{2})) \end{matrix}

订单

1 + \sqrt{2} \approx 2.4142

通过求解得到正根

秒^{2} - 2 秒 - 1 = 0

.

方程式(13)遵循方程式(7)由

\begin{matrix} α_{n个} & = & {（f）}^{'} (一) [{c（c）}_{三} - {c（c）}_{2}^{2} + {c（c）}_{4} {e（电子）}_{n个 - 1} + O（运行） ({e（电子）}_{n个 - 1}^{2})] \end{matrix}

订单

2 + \sqrt{5} \approx 4.2361

通过求解得到正根

秒^{2} - 4 秒 - 1 = 0

.

一般来说，我们有超级

2^{米}

四阶Steffensen型族：迭代方程(8)带有

ν_{n个} = （f） [年_{米 - 2}, 年_{米 - 1}] ({\tilde{c（c）}}_{米 + 1} + {(- 1)}^{米 - 1} \frac{{\bar{c（c）}}_{2} {\bar{天}}_{米 - 1}}{{\bar{天}}_{- 1} \dots {\bar{天}}_{米 - 2}})

(14)

哪里

{\bar{天}}_{- 1} = 1 + γ_{n个} （f） [年_{米 - 2}, 年_{米 - 1}], {\bar{天}}_{0} = 1

,

{\bar{天}}_{1} = (1 + γ_{n个} （f） [年_{米 - 2}, 年_{米 - 1}]) {\bar{c（c）}}_{2}

, ⋯,

{\bar{天}}_{米 - 1} = {\bar{天}}_{米 - 2} [{\bar{c（c）}}_{2} {\bar{天}}_{米 - 2} + {(- 1)}^{米 - 2} {\bar{c（c）}}_{米} {\bar{天}}_{米 - 三} \dots {\bar{天}}_{- 1}]

,

{\bar{c（c）}}_{米} = \frac{（f） [年_{- 1}, \dots, 年_{米 - 1}]}{（f） [年_{米 - 2}, 年_{米 - 1}]}

和

{\tilde{c（c）}}_{米 + 1} = \frac{（f） [{x个}_{n个 - 1}, 年_{- 1}, \dots, 年_{米 - 1}]}{（f） [年_{米 - 2}, 年_{米 - 1}]}

.

定理4。

让

（f） : 天 \to ℜ

是一个具有简单根的充分可微函数

一 \in 天

,

天 \subset ℜ

成为一个开放的群体，

{x个}_{0}

足够接近a，然后是族方程(14)是超级的

2^{米}

四阶收敛，并满足以下误差方程：

{e（电子）}_{n个 + 1} = {(- 1)}^{米} 天_{米 - 1} \dots 天_{- 1} {c（c）}_{米 + 2} {e（电子）}_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个}^{2^{米}} + O（运行） ({e（电子）}_{n个 - 1}^{2} {e（电子）}_{n个}^{2^{米}}), 米 > 1

(15)

哪里

天_{- 1} = 1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一), 天_{0} = 1

,

天_{1} = (1 + γ_{n个} {（f）}^{'} (一)) {c（c）}_{2}

, ⋯,

天_{米 - 1} = 天_{米 - 2} [{c（c）}_{2} 天_{米 - 2} + {(- 1)}^{米 - 2}

{c（c）}_{米} 天_{米 - 三} \dots 天_{- 1}]

,

{c（c）}_{米} = \frac{{（f）}^{(米)} (一)}{米! {（f）}^{'} (一)},

和

{e（电子）}_{n个} = {x个}_{n个} - 一

对于

n个 = 0, 1, \dots

.

证明。

自

\begin{matrix} ν_{n个} & = & （f） [年_{米 - 2}, 年_{米 - 1}] ({\tilde{c（c）}}_{米 + 1} + {(- 1)}^{米 - 1} \frac{{\bar{c（c）}}_{2} {\bar{天}}_{米 - 1}}{{\bar{天}}_{- 1} \dots {\bar{天}}_{米 - 2}}) \\ = & {（f）}^{'} (一) ({c（c）}_{米 + 1} + {(- 1)}^{米 - 1} \frac{{c（c）}_{2} 天_{米 - 1}}{天_{- 1} \dots 天_{米 - 2}} + {c（c）}_{米 + 2} {e（电子）}_{n个 - 1}) + O（运行） ({e（电子）}_{n个 - 1}^{2}) \end{matrix}

我们得到方程(15)根据定理2

天_{米} = 天_{米 - 1} [{c（c）}_{2} 天_{米 - 1} + {(- 1)}^{米 - 1} ({c（c）}_{米 + 1} - \frac{ν_{n个}}{{（f）}^{'} (一)}) 天_{米 - 2} \dots 天_{- 1}], （f） o个 第页 米 > 1

此外，我们提出了两种双加速Steffensen型方法：

\begin{matrix} \begin{matrix} 计算方程（10） γ_{n个} = - \frac{1}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} \end{matrix} \end{matrix}

(16)

\begin{matrix} \begin{matrix} 计算方程（11） γ_{n个} = - \frac{1}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} \end{matrix} \end{matrix}

（17）

定理5。

让

（f） : 天 \to ℜ

是一个具有简单根的充分可微函数

一 \in 天

,

天 \subset ℜ

成为一个开放的群体，

{x个}_{0}

足够接近a，则双加速Steffensen型方法方程(16)和(17)分别实现了三阶和4.74483阶收敛。

证明。

表示

{e（电子）}_{n个}^{z（z）} : = {z（z）}_{n个} - 一

和

{e（电子）}_{n个} : = {x个}_{n个} - 一

，如果

{z（z）}_{n个}

收敛到一带订单

第页 > 1

并满足误差方程

{e（电子）}_{n个}^{z（z）} = C_{n个} {e（电子）}_{n个}^{第页} + o个 ({e（电子）}_{n个}^{第页})

哪里

C_{n个}

趋于渐近收敛常数C，如果

{x个}_{n个}

收敛到一带订单

第页 > 2

并满足误差方程

{e（电子）}_{n个 + 1} = 天_{n个} {e（电子）}_{n个}^{第页} + o个 ({e（电子）}_{n个}^{第页})

哪里

天_{n个}

趋于渐近收敛常数天，然后

{e（电子）}_{n个}^{z（z）} = C_{n个} {(天_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页})}^{第页} + o个 ({e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 第页}) = C_{n个} 天_{n个 - 1}^{第页} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 第页} + o个 ({e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 第页}),

{e（电子）}_{n个 + 1} = 天_{n个} {(天_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页})}^{第页} + o个 ({e（电子）}_{n个 - 1}^{{第页}^{2}}) = 天_{n个} 天_{n个 - 1}^{第页} {e（电子）}_{n个 - 1}^{{第页}^{2}} + o个 ({e（电子）}_{n个 - 1}^{{第页}^{2}})

根据泰勒公式(10)和(16)，我们也有

\begin{matrix} {e（电子）}_{n个}^{z（z）} & = & {e（电子）}_{n个} - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} \\ = & \frac{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} {e（电子）}_{n个 - 1}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} = {c（c）}_{2} C_{n个 - 1} 天_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 + 第页} + o个 ({e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 + 第页}) \end{matrix}

和

\begin{matrix} {e（电子）}_{n个 + 1} & = & {e（电子）}_{n个} - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] + (1 - \frac{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}) （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]}} \\ = & {e（电子）}_{n个} \frac{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] ({z（z）}_{n个} - 一) + (\frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}) （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个}}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] + (\frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}) （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个}} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{2} \frac{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] (1 - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]}) + (\frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}) （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] + (\frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}) （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个}} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{2} \frac{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}] - （f） [{x个}_{n个}, 一]) + （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, 一] (（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] - （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}])}{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}^{2} （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}] + (（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] - （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]) （f） [{x个}_{n个}, 一] （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个}} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{2} \frac{(（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] - （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, 一]) （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}] + (（f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] - （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一]) （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, 一]}{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}^{2} （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}] + (（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] - （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]) （f） [{x个}_{n个}, 一] （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个}} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{2} \frac{(（f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}^{z（z）} - （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个 - 1}^{z（z）}) （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}] + （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个 - 1}^{z（z）}}{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}^{2} （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}] + (（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] - （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]) （f） [{x个}_{n个}, 一] （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个}} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{2} \frac{（f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}] {e（电子）}_{n个}^{z（z）} - （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, 一] （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {({e（电子）}_{n个 - 1}^{z（z）})}^{2}}{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]}^{2} （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}] + (（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] - （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}]) （f） [{x个}_{n个}, 一] （f） [{z（z）}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个}} \\ = & - {c（c）}_{2} {c（c）}_{三} C_{n个 - 1}^{2} 天_{n个 - 1}^{2} {e（电子）}_{n个 - 1}^{2 第页 + 2 第页} + o个 ({e（电子）}_{n个 - 1}^{2 第页 + 2 第页}) . \end{matrix}

比较的指数

{e（电子）}_{n个 - 1}

在两个表达式中

{e（电子）}_{n个}^{z（z）}

和的两个表达式

{e（电子）}_{n个 + 1}

在以下系统中，我们分别有两个方程：

\{\begin{matrix} 第页 第页 = 第页 + 第页, \\ {第页}^{2} = 2 第页 + 2 第页 \end{matrix}

从其非平凡的解决方案

第页 = \frac{三}{2}

和

第页 = 三

，我们证明了(16)实现了三阶收敛。

对于方程式(11)和(17)，我们有

\begin{matrix} {e（电子）}_{n个}^{z（z）} & = & {e（电子）}_{n个} - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} = \frac{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个 - 1}]} {e（电子）}_{n个 - 1}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} = {c（c）}_{2} C_{n个 - 1} 天_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 + 第页} + o个 ({e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 + 第页}), \\ {e（电子）}_{n个}^{年} & = & {e（电子）}_{n个} - \frac{（f） [{x个}_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]} = \frac{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]} {e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} = {c（c）}_{2}^{2} C_{n个 - 1} 天_{n个 - 1}^{2} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 + 2 第页} + o个 ({e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 + 2 第页}) \end{matrix}

和

\begin{matrix} {e（电子）}_{n个 + 1} & = & {e（电子）}_{n个}^{年} - \frac{（f） [年_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}^{年}}{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}] + （f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (年_{n个} - {x个}_{n个}) + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) (年_{n个} - {x个}_{n个}) (年_{n个} - {z（z）}_{n个})} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{年} \frac{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个} + （f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (年_{n个} - {x个}_{n个}) + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) (年_{n个} - {x个}_{n个}) (年_{n个} - {z（z）}_{n个})}{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}] + （f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (年_{n个} - {x个}_{n个}) + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) (年_{n个} - {x个}_{n个}) (年_{n个} - {z（z）}_{n个})} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{年} \frac{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] {e（电子）}_{n个}^{年} - （f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) ({e（电子）}_{n个}^{年} - {e（电子）}_{n个}) ({e（电子）}_{n个}^{年} - {e（电子）}_{n个}^{z（z）})}{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}] + （f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (年_{n个} - {x个}_{n个}) + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) (年_{n个} - {x个}_{n个}) (年_{n个} - {z（z）}_{n个})} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{年} \frac{(\frac{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一]}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}]} - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) {e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - （f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一]) {e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} + o个 ({e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} {e（电子）}_{n个 - 1})}{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}] + （f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (年_{n个} - {x个}_{n个}) + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) (年_{n个} - {x个}_{n个}) (年_{n个} - {z（z）}_{n个})} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{年} \frac{\frac{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 一] （f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}] - （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}])}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]} {e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} + （f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} {e（电子）}_{n个 - 1} + o个 ({e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} {e（电子）}_{n个 - 1})}{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}] + （f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (年_{n个} - {x个}_{n个}) + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) (年_{n个} - {x个}_{n个}) (年_{n个} - {z（z）}_{n个})} \\ = & {e（电子）}_{n个}^{年} \frac{\frac{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}, {z（z）}_{n个}] ({e（电子）}_{n个}^{年} - {e（电子）}_{n个}^{z（z）}) - （f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}, 一] （f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}] {e（电子）}_{n个}^{年})}{（f） [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] （f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]} {e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} + （f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}, 一] {e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} {e（电子）}_{n个 - 1} + o个 ({e（电子）}_{n个}^{z（z）} {e（电子）}_{n个} {e（电子）}_{n个 - 1})}{（f） [年_{n个}, {x个}_{n个}] + （f） [年_{n个}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}] (年_{n个} - {x个}_{n个}) + (（f） [{x个}_{n个 - 1}, {x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}] - \frac{（f） {[{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}, 年_{n个}]}^{2}}{（f） [{x个}_{n个}, 年_{n个}]}) (年_{n个} - {x个}_{n个}) (年_{n个} - {z（z）}_{n个})} \\ = & {c（c）}_{2}^{2} C_{n个 - 1} 天_{n个 - 1}^{2} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 + 2 第页} {c（c）}_{4} {c（c）}_{2} C_{n个 - 1} 天_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页 + 第页} 天_{n个 - 1} {e（电子）}_{n个 - 1}^{第页} {e（电子）}_{n个 - 1} = {c（c）}_{2}^{三} {c（c）}_{4} C_{n个 - 1}^{2} 天_{n个 - 1}^{4} {e（电子）}_{n个 - 1}^{2 第页 + 4 第页 + 1} \end{matrix}

比较的指数

{e（电子）}_{n个 - 1}

在两个表达式中

{e（电子）}_{n个}^{z（z）}

和的两个表达式

{e（电子）}_{n个 + 1}

在以下系统中，我们分别有两个方程：

\{\begin{matrix} 第页 第页 = 第页 + 第页, \\ {第页}^{2} = 2 第页 + 4 第页 + 1 \end{matrix}

从其非平凡的解决方案

第页 = 4.74483

和

第页 = 1.26704

，我们证明了(17)实现了4.74483阶收敛。

4.数值示例

通过求解以下示例中的一些非线性方程，将所提出的族与NM、SM、SASM、RWBM和DPM进行了比较。我们计算方程式(4)带有

γ_{n个} \equiv 1

和

μ_{n个} \equiv 1

，方程式(5)带有

γ_{n个} \equiv 1

和

α_{n个} \equiv 0

或

γ_{n个} \equiv 1

和

α_{n个} \equiv 1

，方程式(16)带有

γ_{n个} \equiv 1

和

μ_{0} = 0

，方程式(17)带有

γ_{n个} \equiv 1

和

α_{0} = 0

，方程式(16)带有

γ_{0} = 1

和

μ_{0} = 0

、和方程式(17)带有

γ_{0} = 1

和

α_{0} = 0

.DPM1（1）表示为无内存的一步DPM，其中

γ_{n个} \equiv 1

和

{第页}_{n个} \equiv 1

; DPM1（2）表示为带内存的一步DPM，其中

γ_{n个} \equiv 1

和

{第页}_{0} = 1

DPM1（3）表示为带内存的一步DPM，其中

γ_{0} = 1

和

{第页}_{0} = 1

DPM2（1）、DPM2。收敛的计算顺序定义为：

COC公司 = \frac{日志 (| {e（电子）}_{n个} | / | {e（电子）}_{n个 - 1} |)}{日志 (| {e（电子）}_{n个 - 1} | / | {e（电子）}_{n个 - 2} |)}

示例1。中的数值结果表1与定理中的理论误差方程和渐近收敛常数一致。

表1。

（f） (x个) = {x个}^{2} - {e（电子）}^{- x个} - 三 x个 + 1, 一 = 0, {x个}_{0} = 0.2

.

**表1。** $（f） (x个) = {x个}^{2} - {e（电子）}^{- x个} - 三 x个 + 1, 一 = 0, {x个}_{0} = 0.2$ .
方法	n个	1	2	三	4	5
NM公司	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.12618e-1号机组	0.39224e-4个	0.38462e-9	0.36982e-19	0.34192e-39
	COC公司	1.71685	2.08950	1.99746	2	2
性虐待	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.90483e-2号	0.20376e-4号	0.10379e-9号	0.26931e-20号	0.18132e-41号
	COC公司	1.92349	1.96916	1.99926	2	2
SASM公司	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.10005e-1	0.27820电子-5	0.42758e-14号	0.31858e-35	0.27123e-86号
	COC公司	1.86107	2.73351	2.47855	2.39725	2.41719
DPM1（1）	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.35098e-1美元	0.89701e-3号机组	0.60310e-6	0.27280e-12	0.55816e-25
	COC公司	1.08123	2.10714	1.99216	1.9999	2
DPM1（2）	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.35098e-1美元	0.17051e-4	0.85716e-12	0.1044e-29号	0.77854e-73号
	COC公司	1.08123	4.38445	2.2027	2.45446	2.40742
DPM1（3）	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.11379	0.58486e-4个	0.45402e-15	0.14730e-44号	0.49933e-136号
	COC公司	0.350412	13.4287	3.07383	3.01572	3.0001
方程式(4)	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.90483e-2	0.83467e-4个	0.69659e-8个	0.48524e-16	0.23546e-32号
	COC公司	1.92349	1.51366	2.00414	1.99999	2
方程式(16)	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.90483e-2号	0.12295e-5号	0.11371e-14	0.13249e-36号	0.16634e-89
	COC公司	1.92349	2.87612	2.33626	2.42792	2.41188
方程式(16)	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.90483e-2号	0.49807e-7号	0.69167e-23号	0.2069e-70	0.55353e-213号
	COC公司	1.92349	3.9118	3.01513	2.99697	3
DPM2（1）	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.19766电子-3	0.1919e-15	0.15768e-64号	0.48294e-260	0.42497e-1042
	COC公司	4.29934	4.0663	3.99998	4	4
DPM2（2）	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.19766e-3号	0.37718e-18	0.16139e-85号	0.64139e-393号	0.34726e-1795
	COC公司	4.29934	4.89812	4.57687	4.56296	4.56169
DPM2（3）	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.19766电子-3	0.61235e-21	0.17871e-109	0.18862e-556	0.37821e-2814
	COC公司	4.29934	5.82639	5.05656	5.04859	5.04881
RWBM公司	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.47770e-4个	0.18986e-18	0.47372e-76	0.18361e-306	0.41433e-1228
（方程式(5), $γ_{n个} = 1, α_{n个} \equiv 0$ )	COC公司	5.18173	3.97604	4	4	4
RWBM公司	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.11363e-3	0.14757e-16	1995年4月至68日	0.27538e-274	0.50918e-1099
（方程式(5), $γ_{n个} = 1, α_{n个} \equiv 1$ )	COC公司	4.64333	3.97050	4	4	4
方程式(17)	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.47770e-4个	0.52156e-20号	0.1841e-87	0.31207电子-373	0.90942e-1584
	COC公司	5.18173	4.40707	4.22584	4.23664	4.23604
方程式(17)	$\| {e（电子）}_{n个} \|$	0.47770e-4个	0.8438e-23	0.29043e-111	0.32054e-531	0.86331e-2524
	COC公司	5.18172	5.17772	4.71725	4.74726	4.7447

示例2。Steffensen方法（SASM）方程自加速的数值结果(16)和(17)，DPM1（3），方程式(16)和(17)和DPM2（3）在表2对于以下非线性函数：

\begin{matrix} {（f）}_{1} (x个) & = & \frac{1}{2} ({e（电子）}^{x个 - 2} - 1), 一 = 2, {x个}_{0} = 2.5, \\ {（f）}_{2} (x个) & = & {e（电子）}^{{x个}^{2}} + 罪 x个 - 1, 一 = 0, {x个}_{0} = 0.25 \\ {（f）}_{三} (x个) & = & {e（电子）}^{- {x个}^{2} + x个 + 2} - 1, 一 = - 1, {x个}_{0} = - 0.85, \\ {（f）}_{4} (x个) & = & {e（电子）}^{- x个} - 阿卡坦 x个 - 1, 一 = 0, {x个}_{0} = 0.2 \end{matrix}

表2。的数值结果

{（f）}_{我} (x个), 我 = 1, 2, 三, 4

.

**表2。**的数值结果 ${（f）}_{我} (x个), 我 = 1, 2, 三, 4$ .
	SASM公司	方程式(16)	方程式(16)	DPM1（3）	方程式(17)	方程式(17)	DPM2（3）
$（f） 1 : \| {e（电子）}_{4} \|$	0.245e-40	0.784e-14岁	0.107e-28	0.164e-23	0.101e-195号	0.727e-273	0.426e-231
可口可乐	2.41353	2.45350	3.00734	2.98211	4.23599	4.74517	5.04588
$（f） 2 : \| {e（电子）}_{4} \|$	0.396e-44	0.194e-17	0.177e-35	0.304e-29号	0.524e-176	0.148e-254	0.188e-283
COC公司	2.41316	2.32334	3.01791	2.94762	4.23567	4.74606	5.04155
$（f）三 : \| {e（电子）}_{4} \|$	0.380至49	0.346e-14	0.300至38	0.172e-32号	0.168至168	0.689e-258	0.618e-265
COC公司	2.41295	2.51251	3.16594	3.12621	4.23622	4.74895	5.04542
$（f） 4 : \| {e（电子）}_{4} \|$	0.344电子-86	0.696e-37	0.112e-70	0.326e-60	0.111e-399	0.115e-560	0.437e-555
COC公司	2.41721	2.43146	3.00078	2.99954	4.24283	4.7598	5.04856

5.结论

在本文中，一般最优

2^{米 - 1}

通过对函数的直接牛顿插值多项式进行牛顿迭代，构造了具有两个参数的四阶Steffensen型族，并通过使用其中一个参数的表达式来推导相应的加速Steffensen型族，该表达式具有记忆，但没有对函数进行额外的新评估。在理论分析和数值算例中，提出的无记忆族和有记忆族只使用米评估（f）以实现最佳

2^{米 - 1}

收敛阶与超

2^{米 - 1}

分别求解非线性函数的简单根的收敛阶。通过与NM、SM、SASM、RWBM、DPM的比较，验证了它们的渐近收敛常数和收敛阶。提出的方法的优点是可以有效地在科学和工程计算中提供高精度的根。

双参数Steffensen型族方程(8)不仅是双参数多点寻根族方程的替代方案(三)来自[7]，也带来了方法方程式(16)和(17)分别对SM和RWBM进行双重加速。此外，当第二个参数

ν_{n个} \equiv 0

，族方程(8)给出了中的单参数Steffensen类型族[9]. 此外，该单参数Steffensen型族在[10]通过自校正参数

γ_{n个}

带内存。此外，具有记忆的一步Steffensen方法是从方程中推导出来的(4)英寸[11,12]和一种与方程不同的具有记忆的通用多步Steffensen方法(三)和(8)在中提出[13].

致谢

国家自然科学基金（No.11471019）部分资助。

作者贡献

所有作者共同努力开发了本手稿，相应的作者在理论分析和数值示例中发挥了主要作用。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

MDPI和ACS样式

郑琦。；X.赵。；刘，Y。求解非线性方程组的最优双参数多点族及其记忆自加速。算法 2015,8, 1111-1120.https://doi.org/10.3390/a8041111

AMA风格

郑Q，赵X，刘Y。求解非线性方程的最优双参数多点族及其记忆自加速。算法. 2015; 8(4):1111-1120.https://doi.org/10.3390/a8041111

芝加哥/图拉宾风格

郑、泉、赵欣和刘玉凤。2015.“用于求解非线性方程的最优双参数多点族及其记忆自加速”算法8，编号4:1111-1120。https://doi.org/10.3390/a8041111

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求解非线性方程的最优双参数多点族及其记忆自加速

摘要

1.简介

2.无记忆最优阶Steffensen型族

3.带记忆的Steffensen型超收敛族

4.数值示例

5.结论

致谢

作者贡献

利益冲突

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