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第条

广义Banach空间上的牛顿型方法及其在分式微积分中的应用

通过
乔治·阿纳斯塔西奥
1和
Ioannis K.Argyros公司
2,*
1
美国田纳西州孟菲斯市孟菲斯大学数学科学系，邮编38152
2
卡梅隆大学数学科学系，美国俄克拉何马州劳顿73505
*
应向其寄送信件的作者。
算法 2015，8(4), 832-849;https://doi.org/10.3390/a8040832
收到的提交文件：2015年6月23日/修订日期：2015年9月13日/接受日期：2015年9月29日/发布日期：2015年10月9日
（本文属于特刊求解非线性方程和系统的数值算法)
版本说明

摘要

:
我们在广义Banach空间上研究Newton型方法的半局部收敛性，以逼近算子的局部唯一零点。早期的研究要求所涉及的算子是Fréchet可微的。在本研究中，我们假设算子只是连续的。通过这种方式，我们扩展了牛顿型方法的适用性，将分数微积分和其他领域的问题包括在内。此外，在相同或较弱的条件下，我们获得了较弱的充分收敛准则，所涉及距离的更紧误差界，以及关于解的位置的至少同样精确的信息。在某些特殊情况下，旧的收敛准则无法应用，但新的准则可以应用于定位算子的零点。一些应用包括涉及Riemann-Liouville分数积分和Caputo分数导数的分数微积分。分数微积分在许多应用科学中的应用非常重要。

1.简介

我们给出了Newton型方法在广义Banach空间集上的半局部收敛性分析，以逼近算子的零点。广义范数被定义为从线性空间到部分阶Banach空间的算子（将在第2节). 早期研究，如[1，2，三，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16]因为牛顿方法表明，与实范数理论相比，可以获得更精确的收敛性分析。然而，主要的假设是所涉及的算子是Fréchet可微的。这个假设限制了牛顿方法的适用性。在本研究中，我们只假设算子的连续性。这可能会扩大这些方法的适用性。我们的方法允许在分数微积分和其他领域扩展牛顿型方法（参见第4节)之前不可能（因为算子必须是Fréchet可微的）。此外，与前面提到的使用牛顿方法的研究相比，我们获得了以下优势：
（i） 较弱的充分半局部收敛准则。
（ii）在所涉及的距离上有更严格的误差界限。
（iii）关于零点位置的至少准确信息。
此外，我们还表明，即使我们的牛顿型方法简化为牛顿方法，优势（ii）也是可能的。
此外，优势（i）–（iii）是在相同或更少的计算成本下获得的。
注意Adly最近的优雅作品等。, [1]牛顿方法也被推广到求解包含和集值逼近的其他重要方向。在经典的Banach空间设置中，虽然这些依赖于非光滑分析和度量正则性的结果在局部和半局部收敛情况下没有提供足够的收敛准则，但如我们在本研究中使用的那样，可以使用Lipschitz型常数进行验证。此外，没有给出所涉及距离的可计算误差界，也没有讨论解的唯一性或位置。
论文的其余部分组织如下。第2节包含广义Banach空间的基本概念以及不等式和不动点的辅助结果。在第3节我们给出了Newton型方法的半局部收敛性分析。最后，在第4节和第5节，我们给出了一些特殊的例子，并与早期的结果进行了良好的比较，以及在包括分数微积分在内的一些领域中的应用。

2.广义Banach空间

我们提出了一些标准概念，这些概念在下文中是必需的，以使本文尽可能完备。有关广义Banach空间的更多详细信息，请参阅[5，6，7，14]以及其中的参考文献。
定义2.1。 广义Banach空间是三元组 x ， E类 ， · 这样的话
（i） X是上的线性空间 R（右） C类 .
（ii） E类 = E类 ， K（K） ， · 是部分有序的Banach空间，即。，
（ii） 1 ) E类 ， · 是一个真正的巴拿赫空间，
（ii） 2 )E部分由闭凸锥K排序，
（iii） 三 )规范 · K上是单调的。
（iii）经营者 · : X（X） → K（K） 满足
x = 0 ⇔ x = 0 ， θ x = θ x ，
x + 年 ≤ x + 年 对于每个 x ， 年 ∈ X（X） ， θ ∈ R（右） ( C类 ) .
（iv）X是关于诱导范数的Banach空间 · 我 : = · · · .
备注2.2。 操作员 · 称为广义范数。鉴于（iii）和（ii） 三 ), · 我 是一种真正的规范。在本文的其余部分中，所有拓扑概念都将根据这个范数来理解。
让 L（左） X（X） j个 ， Y（Y） 代表空间j个-线性对称有界算子 X（X） j个 到Y（Y），其中X（X）和Y（Y）是Banach空间。对于 X（X） ， Y（Y） 部分订购的 L（左） + X（X） j个 ， Y（Y） 代表单调算子的子集P（P）这样的话
0 ≤ 一 我 ≤ b条 我 ⇒ P（P） 一 1 ， . . . ， 一 j个 ≤ P（P） b条 1 ， . . . ， b条 j个 .
定义2.3。 运算符的边界集 问 ∈ L（左） X（X） ， X（X） 关于广义Banach空间 X（X） ， E类 ， · 定义为：
B类 问 : = P（P） ∈ L（左） + E类 ， E类 ， 问 x ≤ P（P） x （f） o（o） 第页 e（电子） 一 c（c） 小时 x ∈ X（X） .
让 D类 ⊂ X（X） 和 T型 : D类 → D类 做一名操作员。如果 x 0 ∈ D类 顺序 { x n个 } 由提供
x n个 + 1 : = T型 x n个 = T型 n个 + 1 x 0
定义明确。我们在收敛的情况下写作
T型 ∞ x 0 : = 林 T型 n个 x 0 = 林 n个 → ∞ x n个 .
我们需要不等式的一些辅助结果。
引理2.4。 
让 E类 ， K（K） ， · 是部分有序的Banach空间， ξ ∈ K（K） 和 M（M） ， N个 ∈ L（左） + E类 ， E类 .
（i） 假设存在 第页 ∈ K（K） 这样的话
R（右） 第页 : = M（M） + N个 第页 + ξ ≤ 第页
和
M（M） + N个 k个 第页 → 0 作为 k个 → ∞ .
然后， b条 : = R（右） ∞ 0 定义明确，满足等式 t吨 = R（右） t吨 并且比不等式的任何解都小 R（右） 秒 ≤ 秒 .
（ii）假设存在 q个 ∈ K（K） 和 θ ∈ 0 ， 1 这样的话 R（右） q个 ≤ θ q个 ，那么就存在 第页 ≤ q个 满足（i）。
证明。 
（i） 定义序列 { b条 n个 } 通过 b条 n个 = R（右） n个 0 然后，我们通过Equantion（2.5）得出 b条 1 = R（右） 0 = ξ ≤ 第页 ⇒ b条 1 ≤ 第页 。假设 b条 k个 ≤ 第页 对于每个 k个 = 1 ， 2 ， . . . ， n个 然后，根据Equantion（2.5）和归纳假设 b条 n个 + 1 = R（右） n个 + 1 0 = R（右） R（右） n个 0 = R（右） b条 n个 = M（M） + N个 b条 n个 + ξ ≤ M（M） + N个 第页 + ξ ≤ 第页 ⇒ b条 n个 + 1 ≤ 第页 因此，顺序 { b条 n个 } 上边界为第页.设置 P（P） n个 = b条 n个 + 1 负极 b条 n个 .我们将证明这一点
P（P） n个 ≤ M（M） + N个 n个 第页 对于 每个 n个 = 1 ， 2 ， . . .
根据定义，我们有 P（P） n个 和Equantion（2.6）
P（P） 1 = R（右） 2 0 负极 R（右） 0 = R（右） R（右） 0 负极 R（右） 0
= R（右） ξ 负极 R（右） 0 = ∫ 0 1 R（右） ′ t吨 ξ ξ d日 t吨 ≤ ∫ 0 1 R（右） ′ ξ ξ d日 t吨
≤ ∫ 0 1 R（右） ′ 第页 第页 d日 t吨 ≤ M（M） + N个 第页 ，
其中显示了Equantion（2.7） n个 = 1 假设Equantion（2.7）对 k个 = 1 ， 2 ， . . . ， n个 然后，我们依次通过Equation（2.6）和归纳假设
P（P） k个 + 1 = R（右） k个 + 2 0 负极 R（右） k个 + 1 0 = R（右） k个 + 1 R（右） 0 负极 R（右） k个 + 1 0 =
R（右） k个 + 1 ξ 负极 R（右） k个 + 1 0 = R（右） R（右） k个 ξ 负极 R（右） R（右） k个 0 =
∫ 0 1 R（右） ′ R（右） k个 0 + t吨 R（右） k个 ξ 负极 R（右） k个 0 R（右） k个 ξ 负极 R（右） k个 0 d日 t吨 ≤
R（右） ′ R（右） k个 ξ R（右） k个 ξ 负极 R（右） k个 0 = R（右） ′ R（右） k个 ξ R（右） k个 + 1 0 负极 R（右） k个 0 ≤
R（右） ′ 第页 R（右） k个 + 1 0 负极 R（右） k个 0 ≤ M（M） + N个 M（M） + N个 k个 第页 = M（M） + N个 k个 + 1 第页
从而完成Equantion（2.7）的归纳。由此可见 { b条 n个 } 是Banach空间中的一个完整序列，因此它收敛于b条。请注意 R（右） b条 = R（右） 林 n个 → ∞ R（右） n个 0 = 林 n个 → ∞ R（右） n个 + 1 0 = b条 ⇒ b条求解方程 R（右） t吨 = t吨 .我们有 b条 n个 ≤ 第页 ⇒ b条 ≤ 第页 ，其中第页是的解决方案 R（右） 第页 ≤ 第页 因此，b条小于的任何解决方案 R（右） 秒 ≤ 秒 .
（ii）确定顺序 { 五 n个 } ， { w个 n个 } 通过 五 0 = 0 ， 五 n个 + 1 = R（右） 五 n个 ， w个 0 = q个 ， w个 n个 + 1 = R（右） w个 n个 .那么，我们有了
0 ≤ 五 n个 ≤ 五 n个 + 1 ≤ w个 n个 + 1 ≤ w个 n个 ≤ q个 w个 n个 负极 五 n个 ≤ θ n个 q个 负极 五 n个
和顺序 { 五 n个 } 上边界为q个因此，它收敛于一些第页具有 第页 ≤ q个 我们还通过Equantion（2.8）得出 w个 n个 负极 五 n个 → 0 作为 n个 → ∞ ⇒ w个 n个 → 第页 作为 n个 → ∞ . ☐
我们还需要辅助结果来计算不动点问题的解。
引理2.5。 
让 X（X） ， E类 ， K（K） ， · ， · 是广义Banach空间，并且 P（P） ∈ B类 问 势不可挡 问 ∈ L（左） X（X） ， X（X） .假设存在 年 ∈ X（X） 和 q个 ∈ K（K） 这样的话
P（P） q个 + 年 ≤ q个 一 n个 d日 P（P） k个 q个 → 0 一 秒 k个 → ∞
然后， z（z） = T型 ∞ 0 ， T型 x : = 问 x + 年 定义明确并满足： z（z） = 问 z（z） + 年 和 z（z） ≤ P（P） z（z） + 年 ≤ q个 此外，z（z）是子空间中的唯一解 x ∈ X（X） | ∃ θ ∈ R（右） : x ≤ θ q个 .
证据可以在[14，引理3.2]。

3.半局部收敛

让 X（X） ， E类 ， K（K） ， · ， · 和Y（Y）是广义Banach空间， D类 ⊂ X（X） 开放子集， G公司 : D类 → Y（Y） 连续运算符和 A类 · : D类 → L（左） X（X） ， Y（Y） .零运算符G公司由牛顿型方法从一点开始确定 x 0 ∈ D类 。结果显示给操作员 如果 = J型 G公司 ，其中 J型 ∈ L（左） Y（Y） ， X（X） 。迭代元素通过不动点问题确定：
x n个 + 1 = x n个 + 年 n个 ， A类 x n个 年 n个 + 如果 x n个 = 0 ⇔ 年 n个 = T型 年 n个 = 我 负极 A类 x n个 年 n个 负极 如果 x n个
让 U型 x 0 ， 第页 代表由定义的球
U型 x 0 ， 第页 = x ∈ X（X） : x 负极 x 0 ≤ 第页
对一些人来说 第页 ∈ K（K） .
接下来，我们使用前面的符号给出了Newton型方法方程（3.1）的半局部收敛性分析。
定理3.1。 
让 如果 : D类 ⊂ X（X） ， A类 · : D类 → L（左） X（X） ， Y（Y） 和 x 0 ∈ D类 如前所述。假设：
（H） 1 )存在操作员 M（M） ∈ B类 我 负极 A类 x 对于每个 x ∈ D类 .
（H） 2 )存在操作员 N个 ∈ L（左） + E类 ， E类 每个人都满意 x ， 年 ∈ D类
如果 年 负极 如果 x 负极 A类 x 年 负极 x ≤ N个 年 负极 x
（H） 三 )存在解决方案 第页 ∈ K（K） 属于
R（右） 0 t吨 : = M（M） + N个 t吨 + 如果 x 0 ≤ t吨
（H） 4 ) U型 x 0 ， 第页 ⊆ D类 .
（H） 5 ) M（M） + N个 k个 第页 → 0 作为 k个 → ∞ .
然后，保持以下状态：
（C） 1 )序列 { x n个 } 由定义
x n个 + 1 = x n个 + T型 n个 ∞ 0 ， T型 n个 年 : = 我 负极 A类 x n个 年 负极 如果 x n个
定义明确，保持不变 U型 x 0 ， 第页 对于每个 n个 = 0 ， 1 ， 2 ， . . . 并收敛到算子F的唯一零点 U型 x 0 ， 第页 .
（C） 2 )空序列给出了先验界 { 第页 n个 } 由定义 第页 0 : = 第页 以及每个 n个 = 1 ， 2 ， . . .
第页 n个 = P（P） n个 ∞ 0 ， P（P） n个 t吨 = M（M） t吨 + N个 第页 n个 负极 1
（C） 三 )序列给出了后验界 { 秒 n个 } 由定义
秒 n个 = R（右） n个 ∞ 0 ， R（右） n个 t吨 = M（M） + N个 t吨 + N个 一 n个 负极 1
b条 n个 : = x n个 负极 x 0 ≤ 第页 负极 第页 n个 ≤ 第页
哪里
一 n个 负极 1 = x n个 负极 x n个 负极 1 （f） o（o） 第页 e（电子） 一 c（c） 小时 n个 = 1 ， 2 ， . . .
证明。 
让我们定义每个 n个 ∈ N个 声明：
（I） n个 ) x n个 ∈ X（X） 和 第页 n个 ∈ K（K） 定义明确且令人满意
第页 n个 + 一 n个 负极 1 ≤ 第页 n个 负极 1
我们用归纳法来表示（I n个 ). 声明（I 1 )是真的：根据引理2.4，（H 三 )和（H 5 )，存在 q个 ≤ 第页 这样：
M（M） q个 + 如果 x 0 = q个 和 M（M） k个 q个 ≤ M（M） k个 第页 → 0 作为 k个 → ∞ .
因此，根据引理2.5 x 1 定义明确，我们有 一 0 ≤ q个 然后，我们得到估计值
P（P） 1 第页 负极 q个 = M（M） 第页 负极 q个 + N个 第页 0
≤ M（M） 第页 负极 M（M） q个 + N个 第页 = R（右） 0 第页 负极 q个
≤ R（右） 0 第页 负极 q个 = 第页 负极 q个
根据引理2.4 第页 1 定义明确
第页 1 + 一 0 ≤ 第页 负极 q个 + q个 = 第页 = 第页 0
假设（我 j个 )每个都是正确的 j个 = 1 ， 2 ， . . . ， n个 .我们需要证明 x n个 + 1 并获得一个界限q个对于 一 n个 。要实现这一点，请注意：
M（M） 第页 n个 + N个 第页 n个 负极 1 负极 第页 n个 = M（M） 第页 n个 + N个 第页 n个 负极 1 负极 N个 第页 n个 = P（P） n个 第页 n个 负极 N个 第页 n个 ≤ 第页 n个
然后，从引理2.4可以看出存在 q个 ≤ 第页 n个 这样的话
q个 = M（M） q个 + N个 第页 n个 负极 1 负极 第页 n个 和 M（M） + N个 k个 q个 → 0 ， 作为 k个 → ∞
由（I） j个 )由此可见
b条 n个 = x n个 负极 x 0 ≤ ∑ j个 = 0 n个 负极 1 一 j个 ≤ ∑ j个 = 0 n个 负极 1 第页 j个 负极 第页 j个 + 1 = 第页 负极 第页 n个 ≤ 第页 .
因此， x n个 ∈ U型 x 0 ， 第页 ⊂ D类 和（H 1 )M（M）一定是 我 负极 A类 x n个
我们可以通过（H 2 )那个
如果 x n个 = 如果 x n个 负极 如果 x n个 负极 1 负极 A类 x n个 负极 1 x n个 负极 x n个 负极 1
≤ N个 一 n个 负极 1 ≤ N个 第页 n个 负极 1 负极 第页 n个
由方程式（3.3）和（3.4）可知
M（M） q个 + 如果 x n个 ≤ q个
根据引理2.5， x n个 + 1 定义明确 一 n个 ≤ q个 ≤ 第页 n个 .鉴于 第页 n个 + 1 我们有这个
P（P） n个 + 1 第页 n个 负极 q个 = P（P） n个 第页 n个 负极 q个 = 第页 n个 负极 q个
从而通过引理2.4， 第页 n个 + 1 定义明确
第页 n个 + 1 + 一 n个 ≤ 第页 n个 负极 q个 + q个 = 第页 n个
这证明了（我 n个 + 1 ). （I）的归纳法 n个 )已完成。让 米 ≥ n个 ，然后我们依次得到
x 米 + 1 负极 x n个 ≤ ∑ j个 = n个 米 一 j个 ≤ ∑ j个 = n个 米 第页 j个 负极 第页 j个 + 1 = 第页 n个 负极 第页 米 + 1 ≤ 第页 n个
此外，我们归纳得出了估计值
第页 n个 + 1 = P（P） n个 + 1 第页 n个 + 1 ≤ P（P） n个 + 1 第页 n个 ≤ M（M） + N个 第页 n个 ≤ . . . ≤ M（M） + N个 n个 + 1 第页
它来自（H 5 )那个 { 第页 n个 } 为空序列。因此， { x n个 } 是Banach空间中的完整序列X（X）通过方程（3.5），因此它收敛到 x * ∈ X（X） 。通过让 米 → ∞ 在方程（3.5）中，我们推断 x * ∈ U型 x n个 ， 第页 n个 此外，方程式（3.4）表明 x * 是的零如果因此，（C 1 )和（C 2 )都被证明了。
根据估计
R（右） n个 第页 n个 ≤ P（P） n个 第页 n个 ≤ 第页 n个
（C）的先验界 三 )由引理2.4明确定义。那就是， 秒 n个 通常小于 第页 n个 .满足定理3.1的条件 x n个 更换 x 0 .（C）不等式的一个解法 2 )由提供 秒 n个 -见方程式（3.4）。从方程（3.5）可以看出，定理3.1的条件很容易验证。然后，它由（C 1 )那个 x * ∈ U型 x n个 ， 秒 n个 ，这证明了（C 三 ). ☐
总的来说，后验估计是有意义的。然后，条件（H 5 )可以通过以下方式避免：
提议3.2。 
假设：条件（H 1 )定理3.1是正确的。
（H） 三 ′ )存在 秒 ∈ K（K） ， θ ∈ 0 ， 1 这样的话
R（右） 0 秒 = M（M） + N个 秒 + 如果 x 0 ≤ θ 秒
（H） 4 ′ ) U型 x 0 ， 秒 ⊂ D类 .
然后，存在 第页 ≤ 秒 满足定理3.1的条件。此外，零 x * 属于如果在中是唯一的 U型 x 0 ， 秒 .
备注3.3。 （i） 注意，通过引理2.4 R（右） n个 ∞ 0 是的最小解 R（右） n个 秒 ≤ 秒 因此，此不等式的任何解决方案都会产生 R（右） n个 ∞ 0 类似的不等式出现在（H 2 )和（H 2 ′ ).
（ii）定理3.1的弱假设并不意味着 A类 x n个 负极 1 .实际上 T型 n个 ∞ 0 作为一个线性方程的解是没有问题的，而计算费用昂贵或一般不可能计算 A类 x n个 负极 1 不需要。
（iii）我们可以使用以下结果计算后验估计。证据可以在[14，引理4.2]通过简单地交换R（右）.
引理3.4。 
假设满足定理3.1的条件。如果 秒 ∈ K（K） 是的解决方案 R（右） n个 秒 ≤ 秒 ，然后 q个 : = 秒 负极 一 n个 ∈ K（K） 并解决 R（右） n个 + 1 q个 ≤ q个 。此解决方案可以通过以下方式进行改进 R（右） n个 + 1 k个 q个 ≤ q个 对于每个 k个 = 1 ， 2 ， . . . .

4.特殊情况和应用

应用4.1。 早期研究中获得的结果，如[5，6，7，14]要求操作员如果(即。，G公司)是Fréchet可微的。这种假设限制了早期结果的适用性。在本研究中，我们只要求如果是一个连续运算符。因此，我们将Newton类型方法的适用性扩展到了仅连续的运算符类。此外，正如我们接下来将要展示的那样，通过专业化如果成为Fréchet可微算子(即。， 如果 ′ x n个 = A类 x n个 )，我们的定理3.1改进了早期的结果。实际上，首先请注意，方程（3.1）定义的牛顿型方法简化为牛顿法：
x n个 + 1 = x n个 + 年 n个 ， 如果 ′ x n个 年 n个 + 如果 x n个 = 0 ⇔ 年 n个 = T型 n个 年 n个 = 我 负极 如果 ′ x n个 年 n个 负极 如果 x n个
接下来，我们从[14]以及我们定理3.1的专门化，以便我们可以比较它们。
引理4.2。 
让 如果 : D类 → X（X） 是Fréchet可微算子 x 0 ∈ D类 .假设以下条件成立：
( 小时 ¯ 1 )存在操作员 M（M） 0 ∈ B类 我 负极 如果 ′ x 0 .
( 小时 ¯ 2 )存在操作员 N个 1 ∈ L（左） + E类 2 ， E类 满足
x ， 年 ∈ D类 ， z（z） ∈ X（X） : 如果 ′ x 负极 如果 ′ 年 z（z） ≤ 2 N个 1 x 负极 年 ， z（z）
( 小时 ¯ 三 )存在解决方案 c（c） ∈ K（K） 关于不平等
R（右） 0 ¯ c（c） : = M（M） 0 c（c） + N个 1 c（c） 2 + 如果 x 0 ≤ c（c）
( 小时 ¯ 4 ) U型 x 0 ， c（c） ⊆ D类 .
( 小时 ¯ 5 ) M（M） 0 + 2 N个 1 c（c） k个 c（c） → 0 作为 k个 → ∞ .
然后，保持以下状态
( C类 ¯ 1 )序列 { x n个 } 由方程（4.1）生成，定义明确，收敛到如果在里面 U型 x 0 ， c（c） .
( C类 ¯ 2 )空序列给出了先验界 { c（c） n个 } 由定义
c（c） 0 = c（c） ， c（c） n个 : = P（P） ¯ n个 ∞ 0 ， P（P） ¯ n个 t吨 : = M（M） 0 t吨 + 2 N个 1 c（c） 负极 c（c） n个 负极 1 t吨 + N个 1 c（c） n个 负极 1 2
( C类 ¯ 三 )序列给出了后验界 { d日 n个 } 由定义
d日 n个 = R（右） ¯ n个 ∞ 0 ， R（右） ¯ n个 t吨 : = M（M） 0 t吨 + 2 N个 1 b条 n个 t吨 + N个 1 t吨 2 + N个 1 一 n个 负极 1 2
where序列 { 一 n个 } 和 { b条 n个 } 如前所述。
引理4.3。 
让 如果 : D类 → X（X） 是Fréchet可微算子 x 0 ∈ D类 .假设以下条件成立：
( 小时 ˜ 1 )存在操作员 M（M） 1 ∈ B类 我 负极 如果 ′ x 对于每个 x ∈ D类 .
( 小时 ˜ 2 )存在操作员 N个 2 ∈ L（左） + E类 ， E类 每个人都满意 x ， 年 ∈ D类
如果 年 负极 如果 x 负极 如果 ′ x 年 负极 x ≤ N个 2 年 负极 x
( 小时 ˜ 三 )存在解决方案 第页 ˜ ∈ K（K） 属于
R（右） ˜ 0 t吨 : = M（M） 1 + N个 2 t吨 + 如果 x 0 ≤ t吨
( 小时 ˜ 4 ) U型 x 0 ， 第页 ˜ ⊆ D类 .
( 小时 ˜ 5 ) M（M） 1 + N个 2 k个 第页 ˜ → 0 作为 k个 → ∞ .
然后，保持以下状态：
( C类 ˜ 1 )序列 { x n个 } 由方程（4.1）生成，定义明确，收敛到如果在里面 U型 x o（o） ， 第页 ˜ .
( C类 ˜ 2 )先验界由下式给出 第页 ˜ 0 = 第页 ˜ ， 第页 ˜ n个 : = P（P） ˜ n个 ∞ 0 ， P（P） ˜ n个 t吨 = M（M） 1 t吨 + N个 2 第页 ˜ n个 负极 1 .
( C类 ˜ 三 )序列给出了后验界 { 秒 ˜ n个 } 由定义 秒 ˜ n个 : = R（右） ˜ n个 ∞ 0 ， R（右） ˜ n个 t吨 = M（M） 1 + N个 2 t吨 + N个 2 一 n个 负极 1 .
我们现在可以比较前面的两个定理。注意我们可以写
如果 年 负极 如果 x 负极 如果 ′ x 年 负极 x = ∫ 0 1 如果 ′ x + θ 年 负极 x 负极 如果 ′ x 年 负极 x d日 t吨
然后，它从( 小时 ¯ 2 ), ( 小时 ˜ 2 )以及之前的估计
N个 2 ≤ N个 1 对 ， 对于 每个 对 ∈ X（X）
一般保持不变。特别是，我们有
N个 2 ≤ N个 1 c（c）
此外，我们依次通过( 小时 ¯ 1 ), ( 小时 ¯ 2 )和( 小时 ¯ 5 )那个
1 负极 如果 ′ x ≤ 我 负极 如果 ′ x 0 + 如果 ′ x 0 负极 如果 ′ x ≤ M（M） 0 + 2 N个 1 x 负极 x 0 ≤ M（M） 0 + 2 N个 1 c（c）
因此，通过( 小时 ˜ 1 )和方程（4.3），我们得到
M（M） 1 ≤ M（M） 0 + 2 N个 1 c（c）
一般保持不变。
然后，根据方程式（4.2）、（4.4）和( 小时 ¯ ), ( 小时 ˜ )假设我们推断
R（右） ¯ 0 c（c） ≤ c（c） ⇒ R（右） ˜ 0 第页 ˜ ≤ 第页 ˜
M（M） 0 + 2 N个 1 c（c） k个 c（c） → 0 ⇒ M（M） 1 + N个 2 k个 第页 ˜ → 0
但不一定相反，除非等式（4.2）和（4.4）中成立；
第页 ˜ ≤ c（c）
第页 ˜ n个 ≤ c（c） n个
和
秒 ˜ n个 ≤ d日 n个
还要注意，如果严格不等式在方程（4.2）或（4.4）中成立，则严格不等式在方程式（4.8）或（4.9）中成立。
估计值（4.5）-（4.9）证明了我们的方法相对于本研究引言中所述的早期研究的优势。
接下来，我们证明了中定理2.1的结果[14],即。在相同的假设下，可以通过注意到( 小时 ¯ 2 ).
( 小时 ¯ 2 0 )存在操作员 N个 0 ∈ L（左） + E类 2 ， E类 满足 x ∈ D类 ， z（z） ∈ X（X） ，
如果 ′ x 负极 如果 ′ x 0 z（z） ≤ 2 N个 0 x 负极 x 0 ， z（z）
此外，
N个 0 ≤ N个 1
一般持有，以及 N个 1 N个 0 可以任意大[4，5，6，7].
值得注意的是( 小时 ¯ 2 0 )不是一个额外的假设( 小时 ¯ 2 )，因为在实际中 N个 1 需要计算 N个 0 作为一种特殊情况。现在使用( 小时 ¯ 2 0 )和( 小时 ¯ 1 )我们明白了
我 负极 如果 ′ x ≤ 我 负极 如果 ′ x 0 + 如果 ′ x 0 负极 如果 ′ x ≤ M（M） 0 + 2 N个 0 x 负极 x 0
因此， M（M） 0 + 2 N个 0 b条 n个 ， M（M） 0 + 2 N个 0 c（c） 负极 c（c） n个 可以用作的边界 我 负极 如果 ′ x n个 而不是 M（M） 0 + 2 N个 1 b条 n个 ， M（M） 0 + 2 N个 1 c（c） 负极 c（c） n个 分别是。
还要注意的是
M（M） 0 + 2 N个 0 b条 n个 ≤ M（M） 0 + 2 N个 1 b条 n个
和
M（M） 0 + 2 N个 0 c（c） 负极 c（c） n个 ≤ M（M） 0 + 2 N个 1 c（c） 负极 c（c） n个
然后，随着上述更改，并遵循中定理2.1的证明[14]，我们得出以下改进：
引理4.4。 
假设定理4.2的条件成立，但 N个 1 替换为最大为 N个 0 然后，得出结论( C类 ¯ 1 )–( C类 ¯ 三 ),
c（c） ¯ n个 ≤ c（c） n个
和
d日 ¯ n个 ≤ d日 n个
其中序列 { c（c） ¯ n个 } ， { d日 ¯ n个 } 由定义
c（c） ¯ 0 = c（c） ， c（c） ¯ n个 = P（P） ¯ ¯ n个 ∞ 0 ， P（P） ¯ ¯ n个 t吨 = M（M） 0 t吨 + 2 N个 0 c（c） 负极 c（c） n个 负极 1 t吨 + N个 1 c（c） n个 负极 1 2
d日 ¯ n个 = R（右） ¯ ¯ n个 ∞ 0 ， R（右） ¯ ¯ n个 ∞ t吨 = M（M） 0 t吨 + 2 N个 0 b条 n个 t吨 + N个 1 t吨 2 + N个 1 一 n个 负极 1 2
备注4.5。 请注意，估计方程（4.13）和方程（4.14），然后使用方程（4.11）和（4.12）进行简单的归纳论证。此外，严格不等式适用于方程（4.13）（对于 n个 ≥ 1 )式（4.14）中（对于 n个 > 1 )如果严格不等式在方程（4.11）或（4.12）中成立。因此，在相同的假设下，我们再次获得了更好的先验界和后验界( 小时 ¯ ).
条件 ( 小时 ¯ 5 ) 自 N个 0 ≤ N个 1 .事实证明这种情况 ( 小时 ¯ 三 ) 可以减弱和序列 { c（c） n个 } 和 { d日 n个 } 可以用更精确的序列替换，如下所示：定义运算符 问 0 ， 问 1 ， 问 2 ， 小时 1 ， 小时 2 在D类通过
( 小时 ¯ ¯ 三 ) 问 0 ( t吨 ) = M（M） 0 t吨 + 如果 ( x 0 )
假设存在解决方案 μ 0 ∈ K（K） 关于不平等
问 0 ( μ 0 ) ≤ μ 0
存在解决方案 μ 1 ∈ K（K） 具有 μ 1 ≤ μ 0 关于不平等
问 1 ( t吨 ) ≤ t吨
哪里
问 1 ( t吨 ) : = M（M） 0 t吨 + 2 N个 0 ( μ 0 负极 t吨 ) t吨 + N个 0 μ 0 2
存在解决方案 μ 2 = μ ∈ K（K） 具有 μ ≤ μ 1 这样的话
问 2 ( t吨 ) ≤ t吨
哪里
问 2 ( t吨 ) = M（M） 0 t吨 + 2 N个 0 ( μ 负极 t吨 ) t吨 + N个 1 μ 1 2
此外，在上定义运算符D类通过
小时 1 ( t吨 ) = M（M） 0 t吨 ， 小时 2 ( t吨 ) = 问 1 ( t吨 )
小时 n个 ( t吨 ) = M（M） 0 t吨 + 2 N个 0 ( μ 负极 μ n个 负极 1 ) t吨 + N个 1 μ n个 负极 1 2 ， n个 = 三 ， 4 ， …
和
问 n个 ( t吨 ) = M（M） 0 t吨 + 2 N个 0 b条 n个 t吨 + N个 1 t吨 2 + N个 1 一 n个 负极 1
此外，定义序列 { c（c） ¯ ¯ n个 } 和 { d日 ¯ ¯ n个 } 通过
c（c） ¯ ¯ n个 = 小时 n个 ∞ ( 0 ) 和 d日 ¯ ¯ n个 : = 问 n个 ∞ ( 0 )
然后，在这种情况下对定理4.2进行证明，得出：
定理4.6。 
假设满足定理4.2的条件，但满足c， ( 小时 ¯ 三 ) 负极 ( 小时 ¯ 5 ) 替换为μ， ( 小时 ¯ 三 ) ，
( 小时 ¯ ¯ 4 ) U型 ( x 0 ， μ ) ⊆ D类
( 小时 ¯ ¯ 5 ) ( M（M） 0 + N个 0 μ ) k个 μ → 0 作为 k个 → ∞ 分别是。
然后，定理4.2的结论适用于序列 { c（c） ¯ ¯ n个 } 和 { d日 ¯ ¯ n个 } 更换 { c（c） n个 } 和 { d日 n个 } 分别是。此外，我们还有
c（c） ¯ ¯ n个 ≤ c（c） ¯ n个 ≤ c（c） n个
d日 ¯ ¯ n个 ≤ d日 ¯ n个 ≤ d日 n个
和
μ ≤ c（c）
显然，新的误差范围更精确：关于解决方案位置的信息 x * 至少是精确的和足够的收敛标准 ( 小时 ¯ ¯ 三 ) 和 ( 小时 ¯ ¯ 5 ) 弱于 ( 小时 ¯ 三 ) 和 ( 小时 ¯ 5 ) 分别是。
示例4.7。 这个j个-维度空间 R（右） j个 是广义Banach空间的经典例子。广义范数由分量绝对值定义。然后，作为有序Banach空间，我们设置 E类 = R（右） j个 组件式排序，例如最大范数。线性算子（矩阵）的界由具有绝对值的相应矩阵给出。同样，我们可以定义“N个“操作员。
让 E类 = R（右） 也就是说，我们考虑范数表示为的实赋范空间的情况 · 让我们看看定理3.1和定理4.4的条件是什么样子的。
定理4.8。 
( 小时 1 ) 我 负极 A类 x ≤ M（M） 对一些人来说 M（M） ≥ 0 .
( 小时 2 ) 如果 年 负极 如果 x 负极 A类 x 年 负极 x ≤ N个 年 负极 x 对一些人来说 N个 ≥ 0 .
( 小时 三 ) M（M） + N个 ≤ 1 ，
第页 = 如果 x 0 1 负极 M（M） + N个
( 小时 4 ) U型 x 0 ， 第页 ⊆ D类 .
( 小时 5 ) M（M） + N个 k个 第页 → 0 作为 k个 → ∞ ，其中第页由方程式（4.15）给出。
然后，定理3.1的结论成立。
定理4.9。 
( 小时 ¯ 1 ) 我 负极 如果 ′ x 0 ≤ M（M） 0 对一些人来说 M（M） 0 ∈ [ 0 ， 1 ) .
( 小时 ¯ 2 ) 如果 ′ x 负极 如果 ′ x 0 ≤ 2 N个 0 x 负极 x 0 ，
如果 ′ x 负极 如果 ′ 年 ≤ 2 N个 1 x 负极 年 ，对于一些 N个 0 ≥ 0 和 N个 1 > 0 .
( 小时 ¯ 三 )
4 N个 1 如果 x 0 ≤ 1 负极 M（M） 0 2
c（c） = 1 负极 M（M） 0 负极 1 负极 M（M） 0 2 负极 4 N个 1 如果 x 0 2 N个 1
( 小时 ¯ 4 ) U型 x 0 ， c（c） ⊆ D类 .
( 小时 ¯ 5 ) M（M） 0 + 2 N个 0 c（c） k个 c（c） → 0 作为 k个 → ∞ ，其中c（c）由方程式（4.17）定义。
然后，定理4.4的结论成立。
备注4.10。 条件（4.16）是牛顿-康托洛维奇型假设，与牛顿型方法相关，它是一个充分的半局部收敛假设。特别是，如果 如果 ′ x 0 = 我 ，然后 M（M） 0 = 0 方程（4.16）简化为以简单明了著称的牛顿-康托洛维奇假设
4 N个 1 如果 x 0 ≤ 1
出现在牛顿方法研究中[1，2，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，16].

5.分数微积分的应用

我们前面介绍的半局部收敛牛顿型通用方法（见定理4.8）适用于以下两种分数设置，前提是满足以下不等式：
1 负极 A类 x ∞ ≤ γ 0 ∈ 0 ， 1
和
如果 年 负极 如果 x 负极 A类 x 年 负极 x ≤ γ 1 年 负极 x
哪里 γ 0 ， γ 1 ∈ 0 ， 1 ; 此外
γ = γ 0 + γ 1 ∈ 0 ， 1
为所有人 x ， 年 ∈ 一 * ， b条 .
这里我们考虑 一 < 一 * < b条 .
具体功能 A类 x ， 如果 x 接下来将进行描述。
（一） 让 α > 0 和 （f） ∈ L（左） ∞ 一 ， b条 Riemann–Liouville积分([8]，第13页）由
J型 一 α （f） x = 1 Γ α ∫ 一 x x 负极 t吨 α 负极 1 （f） t吨 d日 t吨 ， x ∈ 一 ， b条
然后
J型 一 α （f） x ≤ 1 Γ α ∫ 一 x x 负极 t吨 α 负极 1 （f） t吨 d日 t吨
≤ 1 Γ α ∫ 一 x x 负极 t吨 α 负极 1 d日 t吨 （f） ∞ = 1 Γ α x 负极 一 α α （f） ∞
= x 负极 一 α Γ α + 1 （f） ∞ = ξ 1
很明显
J型 一 α （f） 一 = 0 .
ξ 1 ≤ b条 负极 一 α Γ α + 1 （f） ∞
那就是
J型 一 α （f） ∞ ， 一 ， b条 ≤ b条 负极 一 α Γ α + 1 （f） ∞ < ∞
即。， J型 一 α 是有界线性算子。
由[三]，第388页，我们明白了 J型 一 α （f） 是一个连续函数 一 ， b条 尤其是在 一 * ， b条 因此存在 x 1 ， x 2 ∈ 一 * ， b条 这样的话
J型 一 α （f） x 1 = 最小值 J型 一 α （f） x
J型 一 α （f） x 2 = 最大值 J型 一 α （f） x ， x ∈ 一 * ， b条
我们假设
J型 一 α （f） x 1 > 0
因此
J型 一 α （f） ∞ ， 一 * ， b条 = J型 一 α （f） x 2 > 0
给你
J型 x = 米 x ， 米 ≠ 0
因此，方程式
J型 （f） x = 0 ， x ∈ 一 * ， b条
有与方程式相同的解
如果 x : = J型 （f） x 2 J型 一 α （f） x 2 = 0 ， x ∈ 一 * ， b条
请注意
J型 一 α （f） 2 J型 一 α （f） x 2 x = J型 一 α （f） x 2 J型 一 α （f） x 2 ≤ 1 2 < 1 ， x ∈ 一 * ， b条
呼叫
A类 x : = J型 一 α （f） x 2 J型 一 α （f） x 2 ， ∀ x ∈ 一 * ， b条
我们注意到
0 < J型 一 α （f） x 1 2 J型 一 α （f） x 2 ≤ A类 x ≤ 1 2 ， ∀ x ∈ 一 * ， b条
因此满足第一个条件（5.1）
1 负极 A类 x = 1 负极 A类 x ≤ 1 负极 J型 一 α （f） x 1 2 J型 一 α （f） x 2 = : γ 0 ， ∀ x ∈ 一 * ， b条
很明显 γ 0 ∈ 0 ， 1 .
接下来我们假设 如果 x 是收缩，即。，
如果 x 负极 如果 年 ≤ λ x 负极 年 ; 全部的 x ， 年 ∈ 一 * ， b条
和 0 < λ < 1 2 .
相当于我们有
J型 （f） x 负极 J型 （f） 年 ≤ 2 λ J型 一 α （f） x 2 x 负极 年 ， 全部的 x ， 年 ∈ 一 * ， b条
我们观察到
如果 年 负极 如果 x 负极 A类 x 年 负极 x ≤ 如果 年 负极 如果 x + A类 x 年 负极 x ≤
λ 年 负极 x + A类 x 年 负极 x = λ + A类 x 年 负极 x = : ψ 1 ， ∀ x ， 年 ∈ 一 * ， b条
我们有这个
J型 一 α （f） x ≤ b条 负极 一 α Γ α + 1 （f） ∞ < ∞ ， ∀ x ∈ 一 * ， b条
因此
A类 x = J型 一 α （f） x 2 J型 一 α （f） x 2 ≤ b条 负极 一 α （f） ∞ 2 Γ α + 1 J型 一 α （f） x 2 < ∞ ， ∀ x ∈ 一 * ， b条
因此，我们得到
ψ 1 ≤ λ + b条 负极 一 一 （f） ∞ 2 Γ α + 1 J型 一 α （f） x 2 年 负极 x ， ∀ x ， 年 ∈ 一 * ， b条
呼叫
0 < γ 1 : = λ + b条 负极 一 一 （f） ∞ 2 Γ α + 1 J型 一 α （f） x 2
选择 b条 负极 一 足够小，我们可以 γ 1 ∈ 0 ， 1 ，满足等式（5.2）。
接下来我们打电话，我们需要它
0 < γ : = γ 0 + γ 1 = 1 负极 J型 一 α （f） x 1 2 J型 一 α （f） x 2 + λ + b条 负极 一 一 （f） ∞ 2 Γ α + 1 J型 一 α （f） x 2 < 1
等效地，
λ + b条 负极 一 一 （f） ∞ 2 Γ α + 1 J型 一 α （f） x 2 < J型 一 α （f） x 1 2 J型 一 α （f） x 2
等效地，
2 λ J型 一 α （f） x 2 + b条 负极 一 一 （f） ∞ Γ α + 1 < J型 一 α （f） x 1 ，
对于小型λ， b条 负极 一 。这就是 γ ∈ 0 ， 1 ，满足方程（5.3）。因此，我们的数值方法收敛并求解方程（5.13）。
（二） 让我们再来一次 一 < 一 * < b条 ， α > 0 ， 米 = α ( · 天花板功能）， α ∉ N个 ， G公司 ∈ C类 米 负极 1 一 ， b条 ， 0 ≠ G公司 米 ∈ L（左） ∞ 一 ， b条 这里我们考虑Caputo分数导数（参见[三]第270页），
D类 * 一 α G公司 x = 1 Γ 米 负极 α ∫ 一 x x 负极 t吨 米 负极 α 负极 1 G公司 米 t吨 d日 t吨
由[三]第388页， D类 * 一 α G公司 是一个连续函数 一 ， b条 尤其是连续 一 * ， b条 。请注意[4]第358页，我们有 D类 * 一 α G公司 一 = 0 .
因此存在 x 1 ， x 2 ∈ 一 * ， b条 这样的话 D类 * 一 α G公司 x 1 = 最小值 D类 * 一 α G公司 x 、和 D类 * 一 α G公司 x 2 = 最大值 D类 * 一 α G公司 x ，用于 x ∈ 一 * ， b条 .
我们假设
D类 * 一 α G公司 x 1 > 0
(即。， D类 * 一 α G公司 x > 0 , ∀ x ∈ 一 * ， b条 ).
此外
D类 * 一 α G公司 ∞ ， 一 * ， b条 = D类 * 一 α G公司 x 2
给你
J型 x = 米 x ， 米 ≠ 0
方程式
J型 G公司 x = 0 ， x ∈ 一 * ， b条
与方程式具有相同的解集
如果 x : = J型 G公司 x 2 D类 * 一 α G公司 x 2 = 0 ， x ∈ 一 * ， b条
请注意
D类 * 一 α G公司 x 2 D类 * 一 α G公司 x 2 = D类 * 一 α G公司 x 2 D类 * 一 α G公司 x 2 ≤ 1 2 < 1 ， ∀ x ∈ 一 * ， b条
我们打电话给
A类 x : = D类 * 一 α G公司 x 2 D类 * 一 α G公司 x 2 ， ∀ x ∈ 一 * ， b条
我们注意到
0 < D类 * 一 α G公司 x 1 2 D类 * 一 α G公司 x 2 ≤ A类 x ≤ 1 2
因此满足第一个条件（5.1）
1 负极 A类 x = 1 负极 A类 x ≤ 1 负极 D类 * 一 α G公司 x 1 2 D类 * 一 α G公司 x 2 = : γ 0 ， ∀ x ∈ 一 * ， b条
很明显 γ 0 ∈ 0 ， 1 .
接下来我们假设 如果 x 收缩结束了吗 一 * ， b条 ，即。，
如果 x 负极 如果 年 ≤ λ x 负极 年 ; ∀ x ， 年 ∈ 一 * ， b条 ，
和 0 < λ < 1 2 .
相当于我们有
J型 G公司 x 负极 J型 G公司 年 ≤ 2 λ D类 * 一 α G公司 x 2 x 负极 年 ， ∀ x ， 年 ∈ 一 * ， b条 .
我们观察到
如果 年 负极 如果 x 负极 A类 x 年 负极 x ≤ 如果 年 负极 如果 x + A类 x 年 负极 x ≤
λ 年 负极 x + A类 x 年 负极 x = λ + A类 x 年 负极 x = : ξ 2 ， ∀ x ， 年 ∈ 一 * ， b条
我们观察到
D类 * 一 α G公司 x ≤ 1 Γ 米 负极 α ∫ 一 x x 负极 t吨 米 负极 α 负极 1 G公司 米 t吨 d日 t吨
≤ 1 Γ 米 负极 α ∫ 一 x x 负极 t吨 米 负极 α 负极 1 d日 t吨 G公司 米 ∞ = 1 Γ 米 负极 α x 负极 一 米 负极 α 米 负极 α G公司 米 ∞
= 1 Γ 米 负极 α + 1 x 负极 一 米 负极 α G公司 米 ∞ ≤ b条 负极 一 米 负极 α Γ 米 负极 α + 1 G公司 米 ∞
那就是
D类 * 一 α G公司 x ≤ b条 负极 一 米 负极 α Γ 米 负极 α + 1 G公司 米 ∞ < ∞ ， ∀ x ∈ 一 ， b条
因此，∀ x ∈ 一 * ， b条 我们明白了
A类 x = D类 * 一 α G公司 x 2 D类 * 一 α G公司 x 2 ≤ b条 负极 一 米 负极 α 2 Γ 米 负极 α + 1 G公司 米 ∞ D类 * 一 α G公司 x 2 < ∞
因此，我们观察到
ξ 2 ≤ λ + b条 负极 一 米 负极 α 2 Γ 米 负极 α + 1 G公司 米 ∞ D类 * 一 α G公司 x 2 年 负极 x ， ∀ x ， 年 ∈ 一 * ， b条
呼叫
0 < γ 1 : = λ + b条 负极 一 米 负极 α 2 Γ 米 负极 α + 1 G公司 米 ∞ D类 * 一 α G公司 x 2
选择 b条 负极 一 我们能做的足够小 γ 1 ∈ 0 ， 1 因此满足方程（5.2）。
接下来我们打电话并需要
0 < γ : = γ 0 + γ 1 = 1 负极 D类 * 一 α G公司 x 1 2 D类 * 一 α G公司 x 2 + λ + b条 负极 一 米 负极 α 2 Γ 米 负极 α + 1 G公司 米 ∞ D类 * 一 α G公司 x 2 < 1 ，
我们发现，
λ + b条 负极 一 米 负极 α 2 Γ 米 负极 α + 1 G公司 米 ∞ D类 * 一 α G公司 x 2 < D类 * 一 α G公司 x 1 2 D类 * 一 α G公司 x 2
等效地，
2 λ D类 * 一 α G公司 x 2 + b条 负极 一 米 负极 α Γ 米 负极 α + 1 G公司 米 ∞ < D类 * 一 α G公司 x 1
对于小型λ， b条 负极 一 .
那就是 γ ∈ 0 ， 1 ，满足等式（5.3）。因此，方程（5.33）可以用我们提出的数值方法求解。

6.结论

我们对Newton型方法在弱收敛准则下的收敛性进行了分析，该准则在分数阶微积分应用的早期研究中较弱。

致谢

我们想对所有评论员对本文的建设性批评表示感谢。

作者贡献

两位作者的贡献相似。作者们共同开发了这份手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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