随机系数自回归和随机单位根模型的检验

一种精确的分数向量计算方法

在这里，我们简要总结了Nagakura（2020年）.让年 _t吨 和 α _t吨 ，用于t吨 = 1, …,n个，成为v（v）×1观察和米×1个状态向量t吨分别是。Nagakura（2020年）考虑了线性高斯状态空间模型的以下一般形式：

哪里d日 _t吨 ,Z轴 _t吨 ,S公司 _t吨 ,c（c） _t吨 ,T型 _t吨 ,R（右） _t吨 、和问 _t吨 是v（v） × 1,v（v） × 米,v（v） × v（v）,米 × 1,米 × 米,米 × w个、和w个 × w个矩阵（以下我们将这些矩阵称为系统矩阵); 和 ε _t吨 和 η _t吨 是v（v）×1和w个×1个未观测误差向量。中的第一个和第二个方程式（A.1）被称为观测方程和状态方程分别是。假设系统矩阵的每个元素都是未知函数小时×1参数矢量 θ = [ θ 1 , … , θ 小时 ] ′ ∈ Θ ⊆ ℝ 小时 ，当时的功能形式t吨在时间之前就知道了t吨、和S公司 _t吨 和问 _t吨 在任何情况下都是半正定的 θ  ∈ Θ. 在高斯假设下 ε _t吨 和 η _秒 ，接头密度 年 n个 ≡ [ 年 n个 ′ , ⋯ 年 1 ′ ] ′ 也是高斯的。定义 年 t吨 ≡ ( 年 t吨 ′ , … , 年 1 ′ ) ′ .让 第页 ( 年 t吨 | 年 u个 ) 表示的条件pdf年 _t吨 有条件的年 _u个 .然后，L（左） _n个 ，逻辑相似性年 _n个 ，定义为 L（左） n个 ≡ ∑ t吨 = 1 n个 ℓ t吨 ，其中 ℓ t吨 ≡ 日志 第页 ( 年 t吨 | 年 t吨 − 1 ) 和 第页 ( 年 1 | 年 0 ) ≡ 第页 ( 年 1 ) 在高斯误差的假设下年 _t吨 有条件的年 _t吨−1也是高斯的。让 一 t吨 | u个 ≡ E类 ( α t吨 | 年 u个 ) 和 P（P） t吨 | u个 ≡  无功功率，无功功率  ( α t吨 | 年 u个 ) .然后，ℓ _t吨 由提供

哪里 v（v） t吨 = 年 t吨 − d日 t吨 − Z轴 t吨 一 t吨 | t吨 − 1 、和 F类 t吨 = Z轴 t吨 P（P） t吨 | t吨 − 1 Z轴 t吨 ′ + S公司 t吨 。人们可以计算一 _{t吨|t吨−1}和P（P） _{t吨|t吨−1}通过运行卡尔曼滤波器，该滤波器被给出为t吨 = 1, …,n个（例如，参见哈维（1989）):

哪里 L（左） t吨 ≡ T型 t吨 + 1 − J型 t吨 Z轴 t吨 和 J型 t吨 ≡ T型 t吨 + 1 P（P） t吨 | t吨 − 1 Z轴 t吨 ′ F类 t吨 − 1 ，具有初始条件 一 1 | 0 ≡ 一 0 和 P（P） 1 | 0 ≡ P（P） 0 。

在这里，我们介绍下面使用的一些符号。考虑一个米×k个矩阵 A类 ≡ [ 一 我 j个 ] ，每个元素都是小时× 1个矢量 θ ≡ [ θ 1 , … , θ 小时 ] ′ , θ ∈ Θ ⊆ ℝ 小时 .定义 G公司 θ ( A类 ) ≡ ∂ [ 血管内皮细胞  ( A类 ) ] ′ / ∂ θ 即 G公司 θ ( A类 ) 是一个小时×公里一阶偏导数矩阵一 _ij公司 ,我 = 1, …,米,j个 = 1, …,k个关于θ _第页 ,第页 = 1, …,小时。

现在，假设 G公司 θ ( d日 t吨 ) , G公司 θ ( Z轴 t吨 ) , G公司 θ ( S公司 t吨 ) , G公司 θ ( c（c） 秒 ) , G公司 θ ( T型 秒 ) , G公司 θ ( R（右） 秒 ) , G公司 θ ( 问 秒 ) , G公司 θ ( 一 0 ) ( = G公司 θ ( 一 1 | 0 ) ) 、和 G公司 θ ( P（P） 0 ) ( = G公司 θ ( P（P） 1 | 0 ) ) 对于t吨 = 1, …,n个和 秒 = 2 , … , n个 + 1 存在并且在某一点上是有限的 θ 。Nagakura（2020年）导出一个递归计算公式 G公司 θ ( ℓ t吨 ) 对于t吨 = 1, …,n个，由给出

和

哪里 w个 t吨 ≡ F类 t吨 − 1 v（v） t吨 , 一 t吨 | t吨 ≡ 一 t吨 | t吨 − 1 + P（P） t吨 | t吨 − 1 Z轴 t吨 ′ w个 t吨 、和 M（M） t吨 ≡ w个 t吨 w个 t吨 ′ − F类 t吨 − 1 , N个 第页 = ( 我 第页 2 + K（K） 第页 ) / 2 、和K（K） _第页 是独一无二的第页 ² × 第页 ²矩阵表示为 K（K） 第页 = ∑ 我 = 1 第页 ∑ 我 = 1 第页 ( E类 我 , j个 ⊗ E类 我 , j个 ′ ) ，其中 E类 我 , j个 = 电子 我 ( 第页 ) 电子 j个 ( 秒 ) ′ 、和 电子 我 ( 一 ) 是一×1向量，其我-th元素为1，所有其他元素为0。^[6]然后，在此点评估的得分向量如下所示 秒 n个 ≡ G公司 θ ( L（左） n个 ) = ∑ t吨 = 1 n个 G公司 θ ( ℓ t吨 ) 。

与现有方法相比，该公式具有两个优点。首先，它可以同时计算得分向量的所有分量，而大多数现有方法设计为在一次通过公式时只计算得分向量中的一个分量，除了Nagakura（2013）其次，该公式既不假设系统矩阵具有时不变性，也不假设S公司 _t吨 和 R（右） t吨 问 t吨 R（右） t吨 ′ ，与现有方法不同。

当系统矩阵都是时不变的和状态向量时 α _t吨 是静止的，^[7] 一 ₀和P（P） ₀通常设置为的平稳平均向量和协方差矩阵 α _t吨 即：

然后，Nagakura（2020年）也表明

请注意（A.5）–（A.7）不需要假设时间不变的系统矩阵，而（A.9）和（A.10）仅当系统矩阵为时不变且初始条件设置为（A.8）。

重矩阵化RCA模型的B-ML估计

我们对中给出的模型进行了重新编程(1)作为

假设年 ₀ = 0. 在此参数化下，log-likelihood函数如下所示

求解一阶条件， ∂ L（左） / ∂ d日 = 0 和 ∂ L（左） / ∂ σ ϵ 2 = 0 ，关于d日和 σ ϵ 2 ，我们有

替换（B.2）进入之内（B.1）忽略与估计无关的项，我们得到了κ以下为：

从中我们可以很容易地得到κ, κ ˜ n个 ，作为最大化的价值 L（左） n个 c（c） ( κ ) 。我们还可以计算ML估计值d日和 σ ϵ 2 从 d日 ˜ n个 = d日 n个 ( κ ˜ n个 ) 和 σ ˜ ϵ , n个 2 = σ ϵ , n个 2 ( κ ˜ n个 ) 然后 σ ξ 2 表示为 σ ˜ ξ , n个 2 = κ ˜ n个 σ ˜ ϵ , n个 2 。