Estimation of long memory in volatility using wavelets

Lucie Kraicová; Jozef Baruník

doi:10.1515/snde-2016-0101

发布人：德古意特出版社 2017年4月6日

基于小波的波动长记忆估计

露西·克拉科娃和乔泽夫·巴伦尼克

来自日记账非线性动力学与计量经济学研究

https://doi.org/10.1515/snde-2016-0101

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摘要

本文研究了分数积分指数广义自回归条件异方差（FIEGARCH）模型的基于小波的Whittle估计，该模型通常用于建模金融资产波动的长期记忆。新提出的估计器使用小波变换来近似谱密度，这使得它对数据中的某些类型的不规则性更具鲁棒性。基于广泛的蒙特卡罗研究，评估了所提出估计量的行为及其相对于传统估计量的相对性能。此外，我们研究了存在跳跃时估计量的性质，这引起了有趣的讨论。我们发现，基于小波的估计器可能成为传统估计方法的一种有吸引力的稳健和快速的替代方法。特别是，我们的估计量的局部版本在小样本中变得很有吸引力。

关键词：FIEGARCH公司;长记忆;蒙特卡洛;波动;小波;惠特尔

致谢

我们谨向Ana Perez表示感谢，她为我们提供了FIEGARCH过程的MLE和FWE估算代码，我们感谢捷克科学基金会在项目编号13-32263S下提供的资金支持。根据第FP7-SSH-612955号赠款协议（FinMaP），导致这些结果的研究得到了欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）的资助。

附录：表格和图表

表1：

能量分解。

系数	d日	ω	α	β	θ	γ
（a）系数集
A类	0.25	0	0.5	0.5	−0.3	0.5
B类	0.45	0	0.5	0.5	−0.3	0.5
C类	−0.25	0	0.5	0.5	−0.3	0.5
D类	0.25	0	0.9	0.9	−0.3	0.5
E类	0.45	0	0.9	0.9	−0.3	0.5
F类	−0.25	0	0.9	0.9	−0.3	0.5
G公司	0.25	0	0.9	0.9	−0.9	0.9
H（H）	0.45	0	0.9	0.9	−0.9	0.9

	A类	B类	C类	D类	E类	F类	G公司	H（H）
（b）表1中系数集的频率与水平的积分
第1级	1.1117	1.1220	1.0897	1.1505	1.1622	1.1207	1.1261	1.1399
第2级	0.5473	0.5219	0.6274	0.4776	0.4691	0.5306	0.6187	0.6058
第3级	0.3956	0.3693	0.4330	0.3246	0.3056	0.3959	1.1354	1.3453
第4级	0.3029	0.3341	0.2425	0.5559	0.7712	0.3528	2.9558	4.8197
第5级	0.2035	0.2828	0.1175	1.0905	2.1758	0.3003	6.0839	13.2127
第6级	0.1279	0.2297	0.0550	1.4685	3.9342	0.1965	8.2136	23.4144
第7级	0.0793	0.1883	0.0259	1.3523	4.7975	0.0961	7.6026	28.4723
第8级	0.0495	0.1584	0.0123	1.0274	4.8302	0.0408	5.8268	28.7771
第9级	0.0313	0.1368	0.0059	0.7327	4.5720	0.0169	4.1967	27.3822
级别10	0.0201	0.1206	0.0029	0.5141	4.2610	0.0071	2.9728	25.6404
级别11	0.0130	0.1080	0.0014	0.3597	3.9600	0.0030	2.0977	23.9192
第12级	0.0086	0.0979	0.0007	0.2518	3.6811	0.0013	1.4793	22.2986
（c）表1中系数集的DWT小波系数的样本方差
第1级	4.4468	4.4880	4.3588	4.6020	4.6488	4.4828	4.5044	4.5596
第2级	4.3784	4.1752	5.0192	3.8208	3.7528	4.2448	4.9496	4.8464
第3级	6.3296	5.9088	6.9280	5.1936	4.8896	6.3344	18.1664	21.5248
第4级	9.6928	10.6912	7.7600	17.7888	24.6784	11.2896	94.5856	154.2304
第5级	13.0240	18.0992	7.5200	69.7920	139.2512	19.2192	389.3696	845.6128
第6级	16.3712	29.4016	7.0400	187.9680	503.5776	25.1520	1051.3408	2997.0432
第7级	20.3008	48.2048	6.6304	346.1888	1228.1600	24.6016	1946.2656	7288.9088
第8级	25.3440	81.1008	6.2976	526.0288	2473.0624	20.8896	2983.3216	14733.8752
第9级	32.0512	140.0832	6.0416	750.2848	4681.7280	17.3056	4297.4208	28039.3728
级别10	41.1648	246.9888	5.9392	1052.8768	8726.5280	14.5408	6088.2944	52511.5392
级别11	53.2480	442.3680	5.7344	1473.3312	16220.1600	12.2880	8592.1792	97973.0432
第12级	70.4512	801.9968	5.7344	2062.7456	30155.5712	10.6496	12118.4256	182670.1312

表2：

蒙特卡洛无跳跃：d日=0.25/0.45; MLE、FWE、MODWT（D4）、2：使用Donoho和Johnstone阈值进行校正。

标准	真的	方法	没有跳跃；N=2048			没有跳跃；N=16384			标准	没有跳跃；N=2048
标准	真的	方法	平均值	偏见	RMSE公司	平均值	偏见	RMSE公司	标准	平均值	偏见	RMSE公司
d日^	0.250	WWE模块	0.165	−0.085	0.225	0.253	0.003	0.042	0.450	0.362	−0.088	0.170
		WWE模块2	0.168	−0.082	0.227	–	–	–		–	–	–
		FWE公司	0.212	−0.038	0.147	0.251	0.001	0.036		0.415	−0.035	0.087
		FWE 2号机组	0.213	−0.037	0.146	–	–	–		–	–	–
		MLE公司	0.220	−0.030	0.085	–	–	–		0.433	−0.017	0.043
		MLE 2级	0.228	−0.022	0.086	–	–	–		–	–	–
ω^	−7.000	MLE公司	−7.076	−0.076	0.174	–	–	–		−7.458	−0.458	0.739
		MLE 2级	−7.083	−0.083	0.182	–	–	–		–	–	–
		其他	−2002年7月	−0.002	0.197	−7.003	−0.003	0.074		−6.999	0.001	0.696
		其他2	−7.015	−0.015	0.198	–	–	–		–	–	–
α^2	0.500	WWE模块	0.434	−0.066	0.349	0.328	−0.172	0.229		0.324	−0.176	0.395
		WWE模块2	0.426	−0.074	0.358	–	–	–		–	–	–
		FWE公司	0.527	0.027	0.343	0.512	0.012	0.168		0.475	−0.025	0.348
		FWE 2号机组	0.521	0.021	0.333	–	–	–		–	–	–
		最大似然比	0.503	0.003	0.121	–	–	–		0.487	−0.013	0.128
		MLE 2级	0.464	−0.036	0.136	–	–	–		–	–	–
β^1	0.500	WWE模块	0.559	0.059	0.249	0.523	0.023	0.078		0.610	0.110	0.178
		WWE模块2	0.561	0.061	0.253	–	–	–		–	–	–
		FWE公司	0.520	0.020	0.199	0.499	−0.001	0.065		0.554	0.054	0.135
		转发2	0.517	0.017	0.214	–	–	–		–	–	–
		MLE公司	0.529	0.029	0.101	–	–	–		0.527	0.027	0.063
		MLE 2级	0.537	0.037	0.109	–	–	–		–	–	–
θ^	−0.300	WWE模块	−0.283	0.017	0.180	−0.337	−0.037	0.078		−0.314	−0.014	0.146
		WWE模块2	−0.261	0.039	0.182	–	–	–		–	–	–
		FWE公司	−0.244	0.056	0.182	−0.279	0.021	0.077		−0.242	0.058	0.158
		FWE 2号机组	−0.222	0.078	0.189	–	–	–		–	–	–
		MLE公司	−0.301	−0.001	0.026	–	–	–		−0.301	−0.001	0.024
		MLE 2级	−0.282	0.018	0.031	–	–	–		–	–	–
γ^	0.500	WWE模块	0.481	−0.019	0.196	0.489	−0.011	0.085		0.504	0.004	0.218
		WWE模块2	0.472	−0.028	0.193	–	–	–		–	–	–
		FWE公司	0.509	0.009	0.175	0.504	0.004	0.083		0.526	0.026	0.202
		FWE 2号机组	0.497	−0.003	0.174	–	–	–		–	–	–
		MLE公司	0.499	−0.001	0.045	–	–	–		0.507	0.007	0.044
		MLE 2级	0.491	−0.009	0.048	–	–	–		–	–	–

表3：

蒙特卡洛跳跃：d日=0.25/0.45; 泊松λ=0.028；N（0；0.2）；FWE，MODWT（D4），2：使用Donoho和Johnstone阈值进行校正。

标准	真的	方法	跳跃[0.028，N（0，0.2）]；N=2048			跳跃[0.028，N（0，0.2）]；N=16384			标准	跳跃[0.028，N（0,0.2）]N=2048
标准	真的	方法	平均值	偏见	RMSE公司	平均值	偏见	RMSE公司	标准	平均值	偏差	RMSE公司
d日^	0.250	WWE模块	0.145	−0.105	0.214	–	–	–	0.450	–	–	–
		WWE模块2	0.154	−0.096	0.225	0.235	−0.015	0.042		0.347	−0.103	0.179
		FWE公司	0.195	−0.055	0.142	–	–	–		–	–	–
		FWE 2号机组	0.206	−0.044	0.143	0.231	−0.019	0.038		0.403	−0.047	0.091
		MLE公司	0.018	−0.232	0.353	–	–	–		–	–	–
		MLE 2级	0.099	−0.151	0.251	–	–	–		0.187	−0.263	0.314
ω^	−7万	MLE公司	−5.662	1.338	1.450	–	–	–		–	–	–
		MLE 2级	−6.282	0.718	0.801	–	–	–		−5.529	1.471	1.662
		其他	−6.887	0.113	0.221	–	–	–		–	–	–
		其他2	−6.942	0.058	0.203	−6.941	0.059	0.096		−6.946	0.054	0.677
α^2	0.500	WWE模块	0.475	−0.025	0.437	–	–	–		–	–	–
		WWE模块2	0.492	−0.008	0.402	0.557	0.057	0.243		0.390	−0.110	0.447
		FWE公司	0.561	0.061	0.454	–	–	–		–	–	–
		FWE 2号机组	0.582	0.082	0.400	0.731	0.231	0.297		0.535	0.035	0.428
		MLE公司	0.667	0.167	0.385	–	–	–		–	–	–
		MLE 2级	0.652	0.152	0.287	–	–	–		0.605	0.105	0.308
β^1	0.500	WWE模块	0.592	0.092	0.290	–	–	–		–	–	–
		WWE模块2	0.578	0.078	0.264	0.535	0.035	0.087		0.636	0.136	0.203
		FWE公司	0.546	0.046	0.266	–	–	–		–	–	–
		FWE 2号机组	0.529	0.029	0.231	0.519	0.019	0.068		0.579	0.079	0.164
		MLE公司	0.406	−0.094	0.452	–	–	–		–	–	–
		MLE 2级	0.503	0.003	0.250	–	–	–		0.619	0.119	0.240
θ^	−0.300	WWE模块	−0.491	−0.191	0.272	–	–	–		–	–	–
		WWE模块2	−0.385	−0.085	0.189	−0.398	−0.098	0.108		−0.384	−0.084	0.174
		FWE公司	−0.455	−0.155	0.246	–	–	–		–	–	–
		FWE 2号机组	−0.348	−0.048	0.175	−0.356	−0.056	0.065		−0.324	−0.024	0.153
		MLE公司	−0.214	0.086	0.130	–	–	–		–	–	–
		MLE 2级	−0.211	0.089	0.104	–	–	–		−0.176	0.124	0.137
γ^	0.500	WWE模块	0.203	−0.297	0.365	–	–	–		–	–	–
		WWE模块2	0.322	−0.178	0.271	0.287	−0.213	0.231		0.276	−0.224	0.322
		FWE公司	0.257	−0.243	0.315	–	–	–		–	–	–
		FWE 2号机组	0.365	−0.135	0.231	0.313	−0.187	0.202		0.317	−0.183	0.291
		MLE公司	0.287	−0.213	0.256	–	–	–		–	–	–
		MLE 2级	0.340	−0.160	0.180	–	–	–		0.347	−0.153	0.179

表4：

预测：N=2048；禁止跳跃；MLE、FWE、MODWT（D4）、DWT（D4。

猫	方法	主要统计数据			MAD分位数
猫	方法	平均误差	摩洛哥迪拉姆	RMSE公司	0.50	0.90	0.95	0.99
在	WWE模块	6.1308e−05号	0.00039032	0.0052969	–	–	–	–
	WWE模块2	2.2383e至05	0.00040778	0.0034541	–	–	–	–
	WWE载重吨	8.3135e−05号	0.00044932	0.011577	–	–	–	–
	WWE DWT 2	2.363e−05号	0.00043981	0.0050438	–	–	–	–
	FWE公司	5.9078e−05	0.00037064	0.00087854	–	–	–	–
	FWE 2号机组	1.4242e−05	0.00038604	0.0011961	–	–	–	–
	MLE公司	6.0381e−06年	9.3694e−05	0.00019804	–	–	–	–
	MLE 2级	−3.3242e−05	0.00011734	0.00028776	–	–	–	–
输出	WWE模块	105.3851	105.3856	3277.1207	0.00015361	0.0010525	0.0019431	0.0060853
	WWE模块2	−7.6112e−05	0.00058276	0.0020436	0.00016482	0.0010512	0.0020531	0.0072711
	载重吨位	0.00013817	0.00066928	0.0031579	0.00017219	0.0012156	0.0020541	0.0065611
	WWE DWT 2	0.00087082	0.0015663	0.027558	0.00017181	0.0012497	0.0022271	0.0072191
	FWE公司	2.9498e−05	0.00050763	0.0015745	0.00014566	0.0010839	0.0018926	0.005531
	FWE 2号机组	0.00038499	0.0010395	0.014191	0.00015425	0.0011351	0.001989	0.0081017
	MLE公司	−1.5041e−06	0.00012211	0.00035147	4.0442e−05	0.00024483	0.00043587	0.001595
	MLE 2级	−0.00010455	0.00024125	0.0015605	4.3599e−05	0.00030553	0.00063378	0.0038043
		误差分位数A				误差分位数B
		0.01	0.05	0.10		0.90	0.95	0.99
输出	WWE模块	−0.0033827	−0.0010722	−0.0004865		0.00063385	0.0010345	0.0048495
	WWE模块2	−0.0045312	−0.0013419	−0.00062698		0.00053531	0.00089684	0.0051791
	WWE载重吨	−0.0040691	−0.001223	−0.00059588		0.00065501	0.0012118	0.004838
	WWE DWT 2	−0.003994	−0.0013952	−0.00071166		0.00059679	0.0010616	0.0050457
	FWE公司	−0.0035752	−0.0010712	−0.00053169		0.00061822	0.001086	0.004636
	FWE 2号机组	−0.0042148	−0.00129	−0.00063194		0.0005657	0.0010577	0.0048622
	MLE公司	−0.00079412	−0.00024382	−0.00013312		0.00010297	0.00026481	0.0013195
	MLE 2级	−0.0019587	−0.00046351	−0.00021734		7.5622e−05号	0.00018216	0.00077541

未修正：N个待预测真实值的平均值：0.0016845；总有效值=967，即96.7%的M故障-MLE=0%，故障-FWE=0.8%，故障-MODWT=2.1%，故障-DWT=1.5%，修正后：N个下一个预测真值的平均值：0.0016852；总有效值=959，即95.9%的M故障-MLE=0%，故障-FWE=1.3%，故障-MODWT=1.7%，故障-DWT=2.7%。

表5：

预测：N=16384，无跳跃；MLE、FWE、MODWT（D4）、DWT（D4。

猫	方法	主要统计数据			MAD分位数
猫	方法	平均误差	摩洛哥迪拉姆	RMSE公司	0.50	0.90	0.95	0.99
在	WWE模块	7.522e−06	0.00015889	0.00032423	–	–	–	–
	WWE载重吨	8.5378e−06	0.00017736	0.00038026	–	–	–	–
	FWE公司	2006年6月6日	0.00014367	0.00032474	–	–	–	–
	MLE公司	–	–	–	–	–	–	–
输出	WWE模块	9.3951e−06年	0.00018394	0.00054618	7.1556e−05	0.00040438	0.0007369	0.0015565
	WWE载重吨	2.1579e−05	0.0002107	0.00084705	7.1483e−05号	0.00041876	0.00074376	0.0018066
	FWE公司	−3.3569e−06	0.00017794	0.00067805	5.6684e−05	0.00035132	0.0005922	0.001811
	MLE公司	–	–	–	–	–	–	–
		误差分位数A				误差分位数B
		0.01	0.05	0.10		0.90	0.95	0.99
输出	WWE模块	−0.0011566	−0.00040454	−0.00021569		0.00021003	0.0004025	0.0013515
	WWE载重吨	−0.0011033	−0.00038209	−0.00018247		0.00023587	0.00049025	0.0016387
	FWE公司	−0.00087002	−0.00034408	−0.00018571		0.00018593	0.00035741	0.0010787
	MLE公司	–	–	–		–	–	–

未修正：N个待预测真实值的平均值：0.0015516；总有效值=1000，即100%的M故障-MLE=0%，故障-FWE=0%，失败-MODWT=0%，错误-DWT=0%。

表6：

预测：N=2048；d日=0.45; 没有跳跃；MLE、FWE、MODWT（D4）、DWT（D4），2：使用Donoho和Johnstone阈值进行校正。

猫	方法	主要统计数据			MAD分位数
猫	方法	平均误差	摩洛哥迪拉姆	RMSE公司	0.50	0.90	0.95	0.99
在	WWE模块	0.00026281	0.0010841	0.02023	–	–	–	–
	WWE载重吨	0.00022639	0.0011206	0.013151	–	–	–	–
	转发	0.00027127	0.0010458	0.005243	–	–	–	–
	MLE公司	5.7279e−05	0.00026995	0.0012167	–	–	–	–
输出	WWE模块	Inf公司	Inf公司	Inf公司	0.00016653	0.0024597	0.005308	0.040031
	WWE载重吨	924.8354	924.8375	28648.7373	0.00017788	0.0024428	0.0049679	0.040403
	FWE公司	−0.00010684	0.0015807	0.0078118	0.00016022	0.0025471	0.0057388	0.031548
	MLE公司	0.0002289	0.0004843	0.0039972	4.2589e−05	0.00052307	0.0010187	0.0078509
		误差分位数A				错误分位数B
		0.01	0.05	0.10		0.90	0.95	0.99
输出	WWE模块	−0.013427	−0.0024269	−0.00087296		0.0010521	0.0026019	0.013128
	WWE载重吨	−0.013075	−0.0025811	−0.0010018		0.00089545	0.0023095	0.0165
	FWE公司	−0.012356	−0.002209	−0.00081063		0.0010042	0.002777	0.014773
	MLE公司	−0.0016025	−0.00044789	−0.0002568		0.00017179	0.00056713	0.0051968

未修正：N个待预测真实值的平均值：0.0064152；总有效值=962，即96.2%的M故障-MLE=0%，故障-FWE=1%，故障-MODWT=1.9%，故障-DWT=2.1%。

表7：

预测：N=2048；跳跃λ=0.028，N（0，0.2）；MLE、FWE、MODWT（D4）、DWT（D4。

猫	方法	主要统计数据			MAD分位数
猫	方法	平均误差	摩洛哥迪拉姆	RMSE公司	0.50	0.90	0.95	0.99
在	WWE模块	0.0024292	0.0027027	0.031109	–	–	–	–
	WWE模块2	0.00049847	0.00088238	0.010266
	WWE载重吨	0.0022873	0.0025833	0.029094	–	–	–	–
	WWE DWT 2	0.00051788	0.00092081	0.013946
	FWE公司	0.0024241	0.0026398	0.030474	–	–	–	–
	FWE 2号机组	0.00046896	0.00080786	0.01562
	MLE公司	0.00099962	0.0013136	0.0022127	–	–	–	–
	MLE 2级	0.00021708	0.0005767	0.0011708
输出	WWE模块	Inf公司	Inf公司	Inf公司	0.00027911	0.0019584	0.0043937	0.074726
	WWE模块2	12837.4644	12837.4647	361761.8976	0.00020755	0.0012984	0.0021954	0.064956
	WWE载重吨	0.010776	0.010967	0.14233	0.00032328	0.0020108	0.0048951	0.086811
	WWE DWT 2	Inf公司	Inf公司	Inf公司	0.00019516	0.0013594	0.002609	0.08235
	FWE公司	0.0098899	0.010026	0.15737	0.00025416	0.0019525	0.0047286	0.073048
	FWE 2号机组	1.4046	1.4048	36.7106	0.00017622	0.0012063	0.0024169	0.057823
	MLE公司	0.0014788	0.0017573	0.0066777	0.00099906	0.001951	0.0027302	0.019721
	MLE 2级	0.0022114	0.0025386	0.053463	0.00034636	0.00094187	0.0016393	0.0082677
		误差分位数A				误差分位数B
		0.01	0.05	0.10		0.90	0.95	0.99
输出	WWE模块	−0.0014262	−0.00061569	−0.00023517		0.0018119	0.0043937	0.074726
	WWE模块2	−0.002004	−0.0007648	−0.00033609		0.0010397	0.0018978	0.064956
	载重吨位	−0.0014902	−0.00065937	−0.00028371		0.0018904	0.0048951	0.086811
	WWE DWT 2	−0.002635	−0.00076962	−0.00031466		0.00099973	0.0020434	0.08235
	FWE公司	−0.00097176	−0.00039409	−0.00021056		0.0019269	0.0047286	0.073048
	FWE 2号机组	−0.0019851	−0.00057545	−0.00025878		0.00087435	0.0020268	0.057823
	MLE公司	−0.0033888	−0.0004285	0.00016064		0.0018323	0.0023536	0.019688
	MLE 2级	−0.0030739	−0.00075814	−0.00029836		0.00066214	0.00099507	0.0059062

修正：N个待预测真实值的平均值：0.001324；总有效值=801，即80.1%的M未通过MLE=0%，未通过FWE=7%，未通过MODWT=113.4%，未通过DWT=12.5%未校正：待预测的N个下一个真实值的平均值：0.001324；总有效值=45.1，即M故障的百分比-MLE=0%，故障-FWE=35.2%，故障-MODWT=43.4%，故障-DWT=41.6%。

表8：

预测：N=16384，跳跃λ=0.028，N（0,0.2）；MLE、FWE、MODWT（D4）、DWT（D4。

猫	方法	主要统计数据			MAD分位数
猫	方法	平均误差	摩洛哥迪拉姆	RMSE公司	0.50	0.90	0.95	0.99
在	WWE模块	0.00079621	0.0010536	0.019562	–	–	–	–
	WWE载重吨	0.00074677	0.0010165	0.018346	–	–	–
	转发	0.00052705	0.00074759	0.0094745	–	–	–	–
	MLE公司	–	–	–	–	–	–	–
输出	WWE模块	Inf公司	Inf公司	Inf公司	0.0002394	0.0015	0.0037696	0.088609
	WWE载重吨	Inf公司	Inf公司	Inf公司	0.00022172	0.0016482	0.0039952	0.043464
	转发	0.010034	0.010249	0.23919	0.00017951	0.0014685	0.0037604	0.04528
	MLE公司	–	–	–	–	–	–	–
		误差分位数A				误差分位数B
		0.01	0.05	0.10		0.90	0.95	0.99
输出	WWE模块	−0.0025009	−0.0006746	−0.00028513		0.0011776	0.0033089	0.088609
	WWE载重吨	−0.0025573	−0.00057909	−0.00028814		0.0012299	0.0033547	0.043464
	FWE公司	−0.0018013	−0.00048645	−0.00022585		0.0011465	0.0030639	0.04528
	MLE公司	–	–	–		–	–	–

修正：N个待预测真实值的平均值：0.0016747；总有效值=948，即94.8%的M故障-MLE=−%，故障-FWE=0.4%，故障-MODWT=3.1%，故障-DWT=2.5%。

图1：

谱密度估计(d日=0.25/0.45/-0.25），T=2048（2¹¹)，level=10，缩放。（A）d日=0.25. （B）d日=0.45. （C）d日=−0.25.

图2：

能量分解：（A）FIEGARCH谱密度在频率间隔上的积分，以及（B）各个分解层级的小波系数的真方差，假设不同层级的长记忆(d日=0.25,d日=0.45,d日=−0.25）和表1中设定的系数。

图3：

小样本中的谱密度估计：小波（5级）与傅里叶。（A） T=512（2⁹)，级别=5（D4）。（B） T=2048（2¹¹)，级别=5（D4）。

图4：

三维打印指南。

$图5:3D图：部分分解：d^：$\hat d:$Bias和RMSE。（A） d^$\hat d$的偏差（LA8，d=0.25）。（B） d^$\hat d$（LA8，d=0.45）的偏差。（C） d^$\hat d$的RMSE（LA8，d=0.25）。（D） D^$\hat D$的RMSE（LA8，D=0.45）。$

图5：

3D绘图：部分分解：d日^:偏差和RMSE。（A）的偏差d日^（LA8，d日=0.25). （B）的偏差d日^（LA8，d日=0.45. （C）的RMSEd日^（LA8，d日=0.25. （D） RMSE的d日^（LA8，d日=0.45）。

$图6：3D图：部分分解：α^:$\hat\alpha:$Bias和RMSE。（A） α^$\hat\alpha$（LA8，d=0.25）的偏差。（B） α^$\hat\alpha$的偏差（LA8，d=0.45）。（C） α^$\hat\alpha$（LA8，d=0.25）的RMSE。（D） α^$\hat\alpha$的RMSE（LA8，D=0.45）。$

图6：

3D绘图：部分分解：α^:偏差和RMSE。（A）的偏差α^（LA8，d日=0.25. （B）的偏差α^（LA8，d日=0.45). （C） RMSE的α^（LA8，d日=0.25). （D） RMSE的α^（LA8，d日=0.45).

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本文的在线版本（DOI：https://doi.org/10.1515/snde-2016-0101)提供授权用户可用的补充材料。

在线发布：2017-4-6

基于小波的波动长记忆估计

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