非均匀热源拉伸薄板上幂律流体MHD流动的数值模拟

1引言

拉伸表面上的边界层流动和传热有许多工业应用。人们提出了各种本构方程来预测非牛顿流体在工业和工程中的行为。在这些非牛顿流体中，一些流体，例如水中的商品羧甲基纤维素、水中的水泥石、煤油中的汽油弹、水中的石灰和水中的伊利诺伊州黄粘土，都是幂律流体。肖瓦尔特[1]在非牛顿幂律流体理论中引入了边界层的概念。Acrovos公司等. [2]研究了非牛顿流体在平板上的稳定层流。豪厄尔等. [三]和Rao等. [4]研究了幂律流体中连续运动表面上的动量和传热。库马里和内森[5]在具有平行自由流的连续运动表面上讨论。沙阿等. [6]研究了线性变化边界温度下钢丝涂层后处理分析中幂律流体模型的精确解。马哈茂德和马哈茂德[7]给出了非牛顿幂律流体流经连续运动表面的磁流体边界层流动的解析解。伊沙克等. [8]研究了运动流体中幂律流体在平板上的定常边界层流动。

考虑到边界层流动与许多工程过程的相关性，在通过安静环境流体的连续移动表面上的边界层流动这一主题目前很重要。在材料的热处理和湿气处理的几个过程中，都会遇到由于连续移动的表面而产生的流动，特别是在冶金、纺织和造纸工业、聚合物板、玻璃板和结晶材料制造等涉及连续拉动板材通过反应区的过程中。连续移动表面的一个示例是从模具中连续挤出的聚合物片材或长丝，或在进料辊和卷绕辊之间移动的长螺纹。萨基亚迪斯[9]他是第一个研究片材从狭缝以恒定速度释放到静止流体中的流动的人；他考虑了沿等温运动板的强迫对流问题。邹等. [10]研究了连续运动表面边界层的流动和传热，而Soundalgekar和Murty[11]假设板温可变，研究了传热问题。马哈帕特拉等. [12]讨论了幂律流体朝向拉伸表面的MHD驻点流。哈萨尼恩等. [13]研究了幂律流体在具有抽吸/注射的非等温拉伸板上的流动和传热。

导电流体的磁流体力学（MHD）流动研究在现代冶金和金属加工过程中具有重要意义，例如通过静态流体拉制连续纤维，以及铜线的退火和镀锡，最终产品的性能在很大程度上取决于这些过程中涉及的冷却速度。由于其在MHD发电机、核反应堆、地热能开采等各种工程问题中的应用，这种流动也吸引了许多研究人员。人们曾多次尝试分析横向磁场对边界层流动特性的影响。金刚舞和罗林斯[14]通过考虑磁场，研究了导电流体在拉伸表面上的传热。Baag等人[15]研究了粘弹性流体在具有时变吸力的无限平行板间多孔介质中的MHD流动。Reddy等人[16]研究了Oldroyd-B型非牛顿流体在含有非均匀热源/散热器的楔体内的流动。Gireesha和他的同事[17,18]通过考虑浮力、热辐射、化学反应等的影响，研究了各种流动现象的影响。此外，Mahantesh和他的同事[19,20,21]他们在流体流经拉伸表面的传热现象方面开展了研究。

Dash等人进行了分析[22]研究拉伸/收缩薄板边界层驻点流动的数值方法。陈[23]给出了粘弹性流体具有能量耗散、内部热源的MHD流动与传热的解析解。最近，亚伯等. [24]研究了幂律流体在具有可变导热系数和非均匀热源的拉伸薄板上的流动和传热。尽管在石油工程、地下水水文学和农业工程等许多实际感兴趣的领域具有重要意义，但他们没有考虑多孔介质中的流动。此外，他们还考虑了磁场和导电流体相互作用产生的电磁力。在磁流体动力学中，电流在磁场中产生焦耳加热，这取决于磁场强度。但他们没有考虑由于焦耳耗散引起的能量损失，这也是影响流动和传热过程的一个重要现象。此外，Nandeppanavar及其同事[25,26,27,28]研究了在不同几何形状下，流动经过拉伸板时的传热效应。

本研究的目的不仅是研究介质渗透性的影响，还考虑了焦耳耗散引起的能量损失。多孔介质流动的达西模型是一个线性模型，它假设雷诺数较小，惯性效应不重要。关于多孔介质的流动，本模型的另一个方面是考虑具有大梯度的流动以及导致惯性加速度的曲率效应，而达西模型没有考虑到这一点。因此，这里的非Darcy模型是由Forchheimer提出的[33]和埃尔根[30]已被考虑。

从数学模型的角度来看，本研究包含了动量方程中的非线性项−cb条k个第页∗u个2和能量方程σB类02ρC类第页u个2这大大促进了流动和传热现象。然而，由于线性温度分布，粘性耗散引起的能量损失没有考虑到，假设粘性加热可以忽略不计，但在磁流体动力学（MFD）中，电流在流体中产生焦耳加热，这取决于磁场强度、克拉默和派伊[31]. 就应用领域而言，熔融聚合物表现出幂律流体的行为，该流体用作电线涂层材料。由于聚合物的高粘度，本研究中的流动不可压缩性是合理的。

鉴于上述讨论，本研究研究了焦耳耗散和非均匀热源/热阱存在时，变导热系数对拉伸薄板上幂律流体的影响。流体受到垂直于平板的横向磁场的作用。Forchheimer扩展用于描述多孔介质中的流体流动。采用四阶龙格-库塔法结合打靶技术对高度非线性的动量和传热方程进行了数值求解。各种参数对速度和温度剖面的影响以图形形式呈现。希望从本次调查中获得的结果将为应用提供有用的信息，并作为对以往研究的补充。

2数学分析

考虑不可压缩、导电、幂律流体在嵌入非达西多孔介质中的平面拉伸薄板上的二维稳定流动年=坐标系的0(图1). 板材以与原点距离成比例的速度拉伸。均匀横向磁场B类₀沿y轴施加。在通常的边界层近似下，描述存在辐射磁场、非均匀热源/热阱和耗散时质量、动量和能量守恒的控制方程可以写成（Ahmed[32]):

图1

物理模型和坐标系

在这里τx个年=K（K）∂u个∂年n个−1∂u个∂年是幂律流体应力张量的剪切应力分量τ=K（K）Δ.Δ2n个−1Δ.什么时候？n个=1，上述幂律模型表示具有动态粘度系数的牛顿流体K（K）.如果n个<1，则流体称为假塑性（剪切稀化流体）n个>1它被称为扩容（剪切增稠流体）。因此n个从统一性表示偏离牛顿行为的程度。

非均匀热源/散热器问“”被建模为

这里是为了写这个案例A类^*>0中，B类^*>0表示内部发热A类^*＜0，B类^*<0对应内部吸热。考虑了两种边界加热，例如：

（a） 采用规定的幂律表面温度（PST）和（b）规定的幂率热流密度（PHF）（Abel et al[24]).

对于PST，边界条件为

在PHF情况下，边界条件为

哪里T型_w个是拉伸板材的温度和T型_∞是远离拉伸片的温度。假设导热系数随温度线性变化，其形式为，κ=κ∞1+εT型−T型∞T型w个−T型∞.

为了便于分析，引入了以下无量纲变量和参数。

参考速度的形式U型₀=氯和

鉴于(7)，方程式(1),(2)和(3)转换为

受边界条件约束

为了将偏微分方程转换为常微分方程，采用了以下相似变换[24]:

ψ(x个,年)是满足连续性方程的流函数(9)这样的话

利用上述关系，得到了具有适当边界条件的非线性常微分方程组。

3问题的解决

耦合非线性控制边界层方程组(16)和(17)连同边界条件，方程(18)采用Runge-Kutta方法和打靶技术进行数值求解。首先，高阶非线性微分方程(16)-(17)将其转化为一阶非线性联立微分方程，并应用打靶技术将其进一步转化为初值问题。采用龙格-库塔四阶方法解决了由此产生的初值问题。步长Δη=0.001用于获得以五位小数精度为收敛准则的数值解。从数值计算过程来看，蒙皮摩擦系数、努塞尔数分别与–（f）″(0), –θ′（0）和ϕ（0）也进行了排序，其数值显示在表1-4分别是。数值程序如下：

让，（f）=年₁,（f）′ =年₂,（f）″ =年_三,θ=年₄,θ′ =年₅

因此，

边界条件为幂律表面温度

此外幂律热通量

哪里一和b条分别用于初始条件和边界条件。

4结果和讨论

为了对幂律流体（粘弹性流体）的流动物理有一个清晰的认识，进行了参数研究。幂律流体模型能够根据幂指数将流体模型细分为三类流体n个<1、=1和>1。此外n个从统一性表明了偏离牛顿行为的程度Andersson和Irgen[23]. 因此，幂律流体的非牛顿性质与n个来自团结。讨论的主要焦点在于多孔介质存在导致的渗透率参数和热形式的耗散电磁能的朱利安耗散参数的贡献。

对于极限情况，方程式(16)和(17)简化为以下形式。

案例一：n个→ 0（剪切变薄）

对于大型n个（剪切增厚）动量方程(16)导致不一致。这意味着目前的非牛顿模型不适用于与牛顿行为有较大偏差的流体。论替代n个=方程式中的1(16)，（牛顿流体的情况），方程的阶数不会降低。换言之，与粘弹性模型（Walters）不同，当前的非牛顿粘弹性模型不会产生高阶方程B类′），由于边界条件不足，这给求解控制方程带来了困难。为了确定表面标准，计算了表面摩擦和努塞尔数。本结果与哈萨尼恩结果的比较[13]，亚伯等. [18]，安德森[24]和Chaim[35]是在…的帮助下制作的表1–4作为特殊情况。

图2(一,b条)和三展示的效果n个,k个_第页和M（M）具有两层轮廓。图2（a）结果表明，在没有磁场的情况下，功率指数增加，表现出假塑性、牛顿性和膨胀性，降低了所有点的速度。这一结果与Abel的结果吻合得很好等. [18]. 仔细观察发现，在磁场存在的情况下(图2（b）)，在图中未显示的板块附近标记出相反的行为[18]. 这表明，由于电磁力和剪切阻力的相互作用，速度随着n个在靠近板块前缘的几层中，速度随后降低。另一个重要的观察结果是n个通过分析控制方程的极限情况，发现了上述流动不稳定性。此外，由于多孔介质的存在，另一个贡献是显著的(图3). 多孔介质的作用分为两部分：

图2

（a） 水平速度剖面（b）水平速度剖面

图3

水平速度剖面

（i）k个_第页，线性达西模型（ii）F类非线性Forchheimer的贡献。

这表明k个_第页明显降低三类流体的速度(n个< 1,n个= 1,n个>1）但是F类不是很重要。然而，仔细观察发现F类对速度场也有减小的影响。综上所述，幂律流体在前缘附近和远离前缘的磁场存在下表现出双重性质。该模型无法表示高度非线性（n个)即剪切增稠流体。介质的磁导率和磁性参数等阻力单独降低了速度，而它们的组合效应并不显著。图3显示了膨胀类流体的速度变化n个>1。观察到，在多孔介质存在的情况下，在远离平板的地方流动不稳定。

图4显示了在存在/不存在多孔介质的情况下，磁性参数对剪切变薄和牛顿流体的影响。磁场与导电流体相互作用产生的洛伦兹力效应在无多孔介质和有多孔介质的情况下都与流体运动相反，在牛顿流体的情况下，洛伦兹作用力进一步减小。洛伦兹力提供的阻力与流体运动相反，或对速度分布有阻滞作用，导致速度边界层厚度减小。

图4

水平速度剖面

专业图5是为了表明M（M）覆盖其他参数的效果k个_第页当M（M）=3.0。从上述讨论中可以推断，由渗透参数和非达西项表征的多孔介质引起的附加体力F类对速度有减速作用，渗透率参数对速度有显著影响k个_第页事实非常直接，就像磁场一样。如前所述，额外的体力、孔隙度也是一种阻力k个_第页随着磁参数的增大，速度剖面明显变缓。

图5

水平速度剖面

图6和7展示不同埃克特数值的温度变化E类_c什么时候P（P）_第页= 3,M（M）= 1,ε= 0.1,α^*= –0.05 =β^*,λ= 1. 很明显E类_c有助于提高热边界层厚度。这与包括焦耳加热引起的能量损失的当前模型非常一致。能量损失导致温度升高，从而增加热边界层厚度。这一观察结果与陈很一致[36]. 此外，当流体行为从假塑性变为膨胀性时，温度会升高。另一个引人注目的特点是，当E类_c= 0,k个_第页=0和F类=0，曲线IX和X图6代表亚伯等. [18]在没有多孔介质和欧姆耗散的情况下。同样的观点也适用于膨胀流体，图7.

图6

温度曲线（PST案例）

图7

温度曲线（PST案例）

现在，在PHF案例中显示图8和9上述观察结果适用于以下情况k个_第页,F类和E类_c总之，介质的渗透率和焦耳加热的影响在两种情况下都会增加温度，即PST和PHF。需要注意的是，与达西项相比，非达西项F的贡献并不显著k个_第页.与Chen的结果进行了定性和定量验证，结果的一致性和有效性[36]和亚伯等. [18].

图8

温度曲线（PHF情况）

图9

温度曲线（PHF情况）

图10和11展示磁性参数、多孔基质和功率指数的不同值的温度变化，n个在PST情况下。很明显，磁性和多孔基质都会加速温度分布，而功率指数的增加会产生相反的影响。在PST和PHF情况下，所有剖面都显示温度沿主流方向的渐近下降。

图10

温度曲线（PST案例）

图11

温度曲线（PST案例）

图12到14显示板表面受幂律变化（PST）影响时的温度变化。可以观察到，磁导率参数和磁参数的增加会增加温度，但在功率指数的情况下会出现相反的效果n个因此，可以推断，由于多孔基质提供的电阻和电磁力，所有三类流体的温度都会升高，但指数会增加n个导致剪切阻力增加，导致所有层的温度下降。图12显示了普朗特尔数对温度分布的影响。观察到，随着功率指数的增加，较高的普朗特数流体n个导致温度下降。这是由于低的热扩散率与从假塑性到剪胀性的转变有关。发件人图13和14值得注意的是，温度随着空间相关热源的增加而增加k个_第页=0和k个_第页= 5. 此外，渗透率参数k个_第页无论源/汇是什么，温度都会升高。同时指出，与空间热源/汇相比，温度依赖热源/汇对温度的影响更大，并且在剪切变稀非弹性流体的情况下，温度依赖源/汇的影响会进一步增大(n个< 1).

图12

温度曲线（PST案例）

图13

温度曲线（PST案例）

图14

温度曲线（PST案例）

图15和16研究表明，无论多孔介质的存在与否，剪切变稀都对温度升高有显著贡献，而剪切增稠流体（膨胀流体）的贡献相对较小。此外，需要注意的是，由于磁场的存在，温度的增加加快了。综上所述，剪切稀化流体对磁场和多孔介质的响应远高于其对应的牛顿流体和膨胀流体。粘弹流体的特点是，在消除应力后，应变能没有明显恢复，但在粘弹性流体的情况下，释放了一定量的应变能，从而发生了变形恢复。在剪切变稀液体的情况下，热边界层增加，其温度明显高于牛顿流体和膨胀流体的温度。

图15

温度曲线（PHF情况）

图16

温度曲线（PHF情况）

一个引人注目的特点是图17,18和19是指较高的普朗特数流体，即热扩散率较低的流体，有助于热边界层的温度升高，而与介质的渗透性、流体的假塑性和膨胀性无关。

图17

温度曲线（PHF情况）

图18

温度曲线（PHF情况）

图19

温度曲线（PHF情况）

除了动量和热边界层中的流动形态外，固体表面上发生流动和传热的条件也起着重要作用，因此，表面摩擦和努塞尔数的计算和讨论如下。表1和2对表面摩擦和努塞尔数作为本分析的特例进行了比较研究。

表。三根据表面摩擦力的变化，显示了以下观察结果：

1. 皮肤摩擦随着功率指数值的增加而减小n个即有效期(n个< 1,n个＝1时，n个> 1).

2. 表面摩擦随着所有磁性参数的增加而增加n个对于k个_第页= 0,k个_第页= 10.

3. 非达西项的作用是增加各类流体的表面摩擦力。

仔细观察表3表明表面摩擦系数随功率指数的增加而减小n个代表所有三类流体，但随着磁性参数和渗透率参数（达西项和非达西项）值的增加，其增加。这清楚地支持了我们早期对速度分布的观察，即参数M（M）,k个_第页和F类阻力会降低速度，从而增加边界表面的表面摩擦力。为了减少表面摩擦力，理想情况下，膨胀流体更适合减少表面摩擦力。

表-4显示了PST和PHF情况下的传热速率。一个显著的特征是努塞尔数具有一个共同的特征，以响应指数的变化n个表示剪切阻力并表征研究中的三类流体。伪塑性、牛顿性和膨胀性流体的本构特性不受固体表面传热物理参数的定性影响，而受其定量影响。现在，关于单个参数的影响，记录了以下观测结果，以支持Nusselt数。努塞尔数随着M（M）,α^*,β^*,ε,F类和E类_c而它会因以下原因而增加P（P）_第页和λ如果是PST。另一方面，在PHF的情况下，除ε其效果保持不变。磁参数增加M（M）和焦耳加热E类_c导致Nusselt数减少。努塞尔数的减少意味着边界表面的传热速率降低。因此，热边界层中的温度随着M（M）和E类_c这与我们之前关于图10和7另一方面P（P）_第页增加Nusselt数会导致更高的表面加热，从而降低边界层温度分布。这得到了以下方面的大力支持图12.

5结论

1. 研究中的幂律流体在前缘附近和远离前缘的磁场存在下表现出双重性质。

2. 以渗透率参数为特征的多孔介质k个_第页和非达西术语F类对速度有减速作用。

3. 耗散项E类_c有助于提高热边界层厚度。

4. 焦耳加热的作用是增加所有点的温度。

5. 无论介质的渗透性、流体的假塑性和膨胀性如何，较高的普朗特流体都有助于热边界层的温度升高。

6. 膨胀流体有利于表面摩擦的显著降低，而磁场和渗透率参数的存在则会产生不利影响。

7. 增加P（P）_第页增加努塞尔数，导致表面加热更大，从而导致热边界层变薄。