1引言
拉伸薄板层流边界层流动中的热量、质量和动量传递与冶金和化学工程过程领域的几个工业和工程过程有关。这些应用包括通过将连续带材或长丝拉过静止流体来冷却它们。以不同的拉伸速度流过拉伸表面的流体，即线性[1]，指数[2]，非线性[三]，二次[4]，双曲线[5]，径向[6]甚至振荡[7]之前也进行了讨论。然而，对非线性拉伸薄板层流边界层流动的传热传质研究却很少。众所周知，在许多工业应用中，拉伸不一定是线性的。不同的研究人员也对不同流体流动情况下的非线性拉伸薄板问题进行了分析。拉纳和巴加瓦[8]数值研究了纳米流体中平面的非线性拉伸导致的稳态层流边界流体流动。Mondal等人[9]对纳米流体在非线性拉伸片上的混合对流传热传质进行了分析，研究了在抽吸/注入参数、磁性参数和热泳参数的影响下纳米流体在非线性拉伸片上的混合对流传热传质。穆斯塔法等人[10]得到了纳米流体因非线性拉伸片轴对称流动的解析解和数值解。Malvandi和Ganji从理论上提出了均匀磁场下纳米颗粒迁移和不对称加热对氧化铝/水纳米流体在微通道中强制对流传热的影响[11]。Khan等人[12]研究了纳米流体在双向非线性拉伸弹性薄板上的三维流动，其研究结果表明，温度和纳米颗粒体积分数的穿透深度是幂律指数的递减函数。Dhanai等人[13]利用打靶法，考虑粘性耗散效应，数值研究了幂律拉伸/收缩可渗透片诱导的纳米流体磁流体边界层流动问题。Mabood等人[14]获得了具有粘性耗散效应的非线性拉伸薄板上导电水基纳米流体的MHD层流边界层流动的数值结果。最近，Malvandi等人[15]通过考虑纳米颗粒的不同迁移模式，数值研究了垂直微环管内磁流体氧化铝/水纳米流体的热性能。马尔瓦迪[16]研究了导热系数的各向异性行为及其对均匀可变方向磁场作用下竖直圆柱体上MNF膜沸腾时流场和传热特性的影响。
应用无滑移边界条件，许多作者获得了拉伸表面层流边界层流动中热量、质量和动量传递的数值和解析解。无滑移条件不适用于大多数非牛顿液体，因为一些聚合物熔体通常会出现微观壁滑移，并且滑移速度和牵引力之间的非线性单调关系会对其产生控制影响。当流体为乳状液、悬浮液、泡沫和聚合物溶液等颗粒时，拉伸边界可能发生部分速度滑移。在各种工业过程中，滑移效应可能发生在管道、壁、曲面等的边界处。研究滑移现象的常用方法是纳维速度滑移条件。人工心脏瓣膜和内腔抛光时会出现边界层滑移流动问题。最近，许多作者获得了具有滑移边界条件的拉伸薄板边界层流动和传热的解析和数值解。易卜拉欣和香克尔[17]评述了纳米流体通过具有速度、热和溶质滑移边界条件的可渗透拉伸片时的MHD边界层流动和传热。马尔瓦迪和甘吉[18]从理论上研究了均匀磁场下氧化铝/水纳米流体在圆形微通道内的层流流动和对流换热。Nadeem等人[19]分析了磁场和局部滑移对拉伸对流表面上斜向流变流体的联合作用。达斯[20]进行了数值研究，研究了在部分滑移的情况下，在规定的表面温度下，纳米流体在非线性可渗透拉伸片上的边界层流动问题。Mukhopadhyay和Mondal提出了速度滑移、热滑移和磁场对MHD边界层混合对流流动和不可压缩粘性流体在吸力/吹气作用下在很小厚度和更大宽度的垂直板上的传热的影响[21]. Malvandi等人研究了纳米流体下落冷凝膜的传输现象，并考虑了纳米颗粒迁移的影响[22].
在空间技术和涉及高温的过程中，辐射效应起着至关重要的作用。Yazdi等人[22]给出了存在化学反应和部分滑移的非线性可渗透拉伸表面上MHD液体流动和传热的数值解。Pal和Talukdar[24]分析了混合对流、热辐射和化学反应对粘性和导电流体通过嵌入多孔介质的垂直可渗透表面的MHD流动的联合影响。Hady等人[25]研究了在能量方程中包含的热辐射和可变壁温条件下，粘性纳米流体在非线性拉伸薄板上的流动和传热特性。Pal和Mandal[26]采用五阶Runge-Kutta-Fehlberg方法，结合打靶技术，获得了由具有粘性耗散、热辐射和欧姆加热的非线性垂直拉伸/收缩薄板诱导的导电对流纳米流体磁流体动力学边界层流动的数值解。
在过去几年中，人们进行了大量的实验和理论研究，以确定自然对流在伴随熔化或凝固效应的传热动力学中的作用。非牛顿流体中的熔融传热过程在石油开采、岩浆凝固、永久冻土融化、地热能回收、保温等热工领域有着广阔的应用前景[27]是第一个描述冰在热流中以稳定状态融化现象的人。爱泼斯坦和乔[28]研究了平板上稳定层流的熔化传热。Krishnamurthy等人[29]给出了数值结果，以研究化学反应对多孔介质中威廉姆森纳米流体MHD边界层流动和熔化传热的影响。
基于上述文献综述，我们打算对热辐射和化学反应影响下由非线性拉伸片引起的MHD速度滑移边界层流动和纳米流体熔化传热进行理论研究。在本流动分析中考虑了布朗运动和热泳效应。采用Runge-Kutta-Fehlberg-45阶方法对简化的控制非线性常微分方程进行了数值求解。通过图表阐明了不同流动参数对流场的影响。
2数学公式
考虑由非线性拉伸表面诱导的水基纳米流体的稳定二维流动。薄板以一定速度伸展u个w个x个=一x个n个具有固定原点位置，其中n个是一个非线性拉伸参数，一是一个常量，并且x个是沿拉伸表面测量的坐标。流动是沿着x个-轴和年与之垂直，如图所示。1.强磁场B类(x个)垂直应用于拉伸板材。
壁温T型w个和纳米颗粒分数C类w个假定在拉伸表面为常数。什么时候？年趋于无穷大时，温度和纳米粒子分数的环境值表示为T型∞和C类∞分别为。此外，让熔化表面的温度为T型米自由流条件下的温度为T型∞，其中T型∞>T型米所考虑的物理系统在现代纳米技术制造和热材料加工中具有重要意义。需要注意的是，拉伸表面的恒定温度和纳米粒子分数T型米和C类w个假设大于环境温度和纳米粒子分数T型∞，C类∞分别是。
动量、热能和浓度的控制方程可以写成，Khan和Pop[30],
(1)∂u个∂x个+∂v（v）∂年=0，
（2）u个∂u个∂x个+v（v）∂u个∂年=ν∂2u个∂年2−σB类2(x个)ρ（f）u个，
(3)u个∂T型∂x个+v（v）∂T型∂年=α∂2T型∂年2+τD类B类∂C类∂年∂T型∂年+D类T型T型∞∂T型∂年2+ν（f）c（c）（f）∂u个∂年2−1ρc（c）（f）∂q个对∂年，
(4)u个∂C类∂x个+v（v）∂C类∂年=D类B类∂2C类∂年2+D类T型T型∞∂2T型∂年2−k个0(C类−C类∞).
我们假设可变磁场B类(x个)和的形式B类x个=B类0x个n个−12[30—33].
速度、温度和纳米粒子分数的边界条件考虑为[8]:
年=0:u个=u个w个+K（K）1∂u个∂年v（v）=0，T型=T型米，C类=C类w个，
(5)年→∞:u个→0，T型→T型∞，C类→C类∞.
(6)k个∂T型∂年年=0=ρ（f）β+c（c）秒T型米−T型0v（v）(x个，0).
K（K）1=一个2¦Α（f）x个u个w个x个(n个+1)是速度滑移系数一个是无量纲速度滑移参数。使用辐射的Rosseland近似，辐射热通量简化为，
（7）q个对=−4σ∗三k个∗∂T型4∂年，
其中σ*是Stefan-Boltzmann常数k个*平均吸收系数。假设流量内的温差足够小，以便T型4可以表示为温度的线性函数T型使用关于自由流温度的截断泰勒级数T型∞忽略高阶项，我们得到，
(8)T型4≈4T型T型∞三−三T型∞三
将（3）中的（7）和（8）替换为
(9)u个∂T型∂x个+v（v）∂T型∂年=α∂2T型∂年2+τD类B类∂C类∂年∂T型∂年+D类T型T型∞∂T型∂年2+16σ∗T型∞三三k个∗(ρc（c）)（f）∂2T型∂年2+ν（f）c（c）（f）∂u个∂年2.
拉纳和巴加瓦[8]引入以下变换，使方程（1）得到一致满足。
(10)η=年一(n个+1)2ν（f）x个n个−12，u个=一x个n个（f）′η，v（v）=−一ν（f）n个+12x个n个−12（f）η+n个−1n个+1η（f）′η，θη=T型−T型米T型∞−T型米，ϕη=C类−C类w个C类∞−C类w个
借助方程（10），将控制方程（2）、（4）和（9）简化为以下方程组：
(11)（f）‴+（f）（f）″−2n个n个+1（f）′2−H（H）（f）′=0，
(12)1+4三N个对1P（P）对θ″+（f）θ′+N个b条θ′ϕ′+N个t吨θ′2+E类c（c）（f）″2=0，
(13)ϕ″+L（左）e（电子）（f）ϕ′+N个t吨N个b条θ″−γϕ=0
转换后的边界条件为
(14)P（P）对（f）(0)+M（M）θ′(0)=0，（f）′(0)=1+一个（f）″(0)，θ(0)=0，ϕ(0)=0一t吨η=0，（f）′(η)→0，θ(η)→1，ϕ(η)→1一秒η→∞，
其中素数表示相对于η的微分，一个是速度滑移参数，相关物理参数定义为：
(15)P（P）对=ν（f）αL（左）e（电子）=ν（f）D类B类，N个b条=ρc（c）第页D类B类C类∞−C类w个ρc（c）（f）ν（f），N个t吨=ρc（c）第页D类T型T型∞−T型米ρc（c）（f）T型∞ν（f），H（H）=2σB类02一ρ（f）(n个+1)E类c（c）=u个w个2c（c）（f）T型∞−T型米，N个对=4σ∗T型∞三k个k个∗，γ=k个0L（左）e（电子）一一n个d日M（M）=c（c）（f）T型∞−T型米β+c（c）秒T型米−T型0，
这是Stefan数的组合c（c）（f）T型∞−T型米λ和c（c）（f）T型∞−T型0λ分别用于液相和固相。在这里，Pr、Le、Nb、Nt、H、Ec、Nr、y和M（M）分别表示普朗特尔数、路易斯数、布朗运动参数、热泳参数、磁参数、埃克特数、辐射参数、化学反应参数和熔化参数。由于粘性流体中存在拉伸表面，当n=1和Nb=Nt=0在方程式（12）和（13）中。
在本研究中，实际感兴趣的量是局部皮肤摩擦系数C类外汇，努塞尔数努x个和Sherwood号码Sh公司x个并且被定义为，
(16)C类（f）x个=μ（f）ρ（f）u个w个2∂u个∂年年=0，N个u个x个=x个q个w个k个T型∞−T型米，S公司小时x个=x个q个米D类B类C类∞−C类w个，
哪里k个是纳米流体的导热系数，以及q个w个，q个米分别是表面的热通量和质量通量，由下式给出
(17)q个w个=−k个∂T型∂年年=0，q个米=−D类B类∂C类∂年年=0.
使用（14）中的（10）和（15），我们得到
(18)R（右）e（电子）x个−12C类（f）x个=n个+12（f）″0，R（右）e（电子）x个−12N个u个x个=−n个+12θ′0，R（右）e（电子）x个−12S公司小时x个=−n个+12ϕ′0，
哪里R（右）e（电子）x个=u个w个x个ν（f）是局部雷诺数。
3解决和验证方法
采用Runge-Kutta-Fehlberg四阶方法和Shooting技术求解了具有边界条件（14）的非线性常微分方程组（11）-（13）。在这个微分方程组中（f）为三阶θ和ϕ属于二级。在第一步中，（f），∞和ϕ简化为七个一阶联立微分方程组，如下所示：
（f）1′=（f）2，（f）2′=（f）三，（f）三′=2n个n个+1（f）22+H（H）（f）2−（f）（f）三，（f）4′=（f）5，（f）5′=−P（P）对1+4/三N个对（f）（f）5+N个b条（f）5（f）7+N个t吨（f）52+E类c（c）（f）三2，（f）6′=（f）7，（f）7′=γ（f）6−L（左）e（电子）（f）（f）7−N个t吨N个b条（f）5′，
哪里（f）1=（f），（f）2=（f）′，（f）三=（f）″，（f）4=θ，（f）5=θ′，（f）6=ϕ，（f）7=ϕ′素数表示函数对η的导数。
相应的边界条件将变为
P（P）对（f）1+M（M）（f）5=0，（f）2=1+一个（f）三（f）4=0，（f）6=0η=0（f）2=0，（f）4=1，（f）6=1一秒η→∞.
使用拍摄技术来确定（f）三(0),（f）5（0）和（f）7（0），因为它们未知。我们从一些特定参数集的初始猜测开始，以获得（f）三(0),（f）5（0）和（f）7(0). 用另一个值η重复该程序∞直到两个连续值（f）三(0),（f）5（0）和（f）7（0）的差异仅在于所需的精度。我们比较了（f）'，θ&ϕ当η=10时，在给定的边界条件下，调整（f）“”(0),θ'(0)&ϕ'（0）以提供更好的近似值。我们必须在很大但有限的η值下考虑无穷大条件，在这里速度、温度等发生的变化可以忽略不计。我们的体积计算考虑了η的值∞8或10，对于所考虑的所有参数值，这足以渐近实现远场边界条件。
确定η的有限值后∞，借助Runge-Kutta-Fehlberg-45（RKF-45）方法进行积分。此方法有一个程序，用于确定步长是否合适的解决方案小时正在使用。在每一步中，对解进行两种不同的近似并进行比较。如果两个答案非常一致，则接受近似值，否则，减小步长，直到获得所需的精度。对于当前问题，我们采用步长Δη= 0.001, η∞=8或10，精确到小数点后五位。为了检查所用数值程序的准确性，首先对θ'（0）是对粘性流体的各种值进行的公共关系并与Nadeem和Hussain的现有公开结果进行比较[34]Gorla和Sidawi[35]戈亚尔和巴加瓦[36]在表1他们被发现非常一致。
表1
的比较表-θ'（0）（粘性情况）n个= 1,H（H）=编号=Ec公司=M（M）= 0,铌=编号= 10-6,勒= 10.
| 公共关系 | 纳迪姆和侯赛因（HAM方法）[34] | 戈拉和西达维[35] | Goyal和Bhargava（有限元法）[36] | 存在（RKF45方法） |
|---|
| 0.2 | 0.169 | 0.1691 | 0.1691 | 0.1702 |
| 0.7 | 0.454 | 0.5349 | 0.4539 | 0.4544 |
| 2 | 0.911 | 0.9114 | 0.9113 | 0.9113 |
| 7 | | 1.8905 | 1.8954 | 1.8954 |
| 20 | | 3.3539 | 3.3539 | 3.3539 |
4结果和讨论
对热辐射和化学反应影响下非线性拉伸板上磁流体速度滑移边界层流动和纳米流体熔化传热进行了理论研究。采用Runge-Kutta-Fehlberg-45阶方法对本公式的控制微分方程进行了数值求解。为了研究滑移参数的速度、温度分布和纳米粒子体积分数分布的行为（A），Eckert编号（出口），磁性参数（H），化学反应参数年，非线性拉伸参数（n），熔化参数（百万），辐射参数（个），布朗运动（编号）和热泳参数(编号)绘制了图表，并讨论了图表趋势背后的物理原因。
不同滑移参数值下速度场和温度分布的变化（A）如图所示。2（a） 和2（b） ●●●●。这些数字表明一个是为了减小动量边界层的厚度。因此，滑移参数的作用是降低边界层速度，而温度随滑移参数的增加而升高。
图。三显示了无量纲温度分布对埃克特数的影响（Ec）此图显示温度曲线随着Ec公司.图。4（a） 和4（b） 描述了磁性参数的影响（H）分别讨论了无量纲速度和温度分布。从这些图中可以清楚地看出，速度降低，而温度随着磁性参数的增加而升高。这是因为在导电流体中应用横向磁场会产生一种称为洛伦兹力的阻力，这种阻力会减缓流体在边界层中的运动，从而降低速度。拖动导电纳米流体对抗磁场作用所做的额外工作，B类o个表现为热能。因此，磁场的存在降低了动量边界层厚度，增加了热边界层厚度。因此，边界层的升温也有助于纳米颗粒扩散，从而导致纳米颗粒体积分数上升。
化学反应参数的影响年纳米颗粒体积分数分布如图所示。5（a） 和5（b） 物种消耗和世代案例。观察到，纳米颗粒体积分数随着结构化学反应参数的减小而减小，而随着熔化表面破坏性化学反应参数增加而增大。
图。6（a） 和6（b） 揭示了不同熔化参数值下的速度和温度分布（百万）观察到，随着$M$值的增加，速度和边界层厚度增加，温度分布减小。这是因为M（M）将增加熔化强度，这将在拉伸表面起到吹气边界条件的作用，因此会使边界层变厚。
图。7（a） 和7（b） 显示非线性拉伸参数的影响（n）关于无量纲速度和温度分布。观察到，纳米流体的速度分布没有显著降低，温度分布随着以下值的增加而增加n个.路易斯数的影响(勒)温度和浓度曲线如图所示。8（a） 和8（b） ●●●●。可以清楚地观察到，当勒增加。身体上，勒表示在边界层区域中热扩散速率对物种扩散速率的相对贡献。增加勒数值将降低热边界层厚度，并伴随着温度的降低和质量传递速率的增加勒增加。它还揭示了板表面的浓度梯度增加。
图。9解释辐射参数的影响（个）温度曲线。可以观察到，随着编号这是因为辐射参数增加编号在结构化学反应参数存在的情况下，导致边界层厚度减小，并提高熔化表面的传热速率。辐射参数$Nr$是斯塔克数（也称为斯蒂芬数）的倒数，是热辐射传递对传导热传递相对重要性的度量。因此编号显示出热辐射超过传导的优势。因此编号表明大量的辐射热能被注入系统，导致θ(η). 图。10描述了普朗特尔数的影响（优先）温度曲线。在存在熔化参数的情况下公共关系，增加温度曲线。物理上，较大的普朗特数具有较弱的热扩散率，较小的普朗特数具有较强的热扩散性。热扩散率的变化导致温度和热边界层厚度降低。
布朗运动的影响（编号）和热泳参数(编号)温度和浓度曲线如图所示。11（a） 和11（b） ，12（a） 和12（b） 分别。从这些图中可以看出，增加铌增加温度曲线并降低浓度曲线，而增加Nt公司增加两个配置文件。
图。13显示了磁性参数的影响（H）带速度滑移参数（A）在有无熔化效应和非线性拉伸参数对表面摩擦系数的影响下。从该图中可以观察到，表面摩擦系数随着磁性参数值的增加而增加，而随着速度滑移参数的增加而减小。在有无熔化参数和非线性拉伸参数的情况下，可以观察到这种趋势。
布朗运动的影响（编号）带热泳参数（牛顿）图中分别说明了存在和不存在努塞尔数熔化参数时的情况。14（a） 和14（b） ●●●●。从这些图中，我们观察到努塞尔数随着编号和铌在熔化和非熔化表面上。此外，我们可以观察到，与没有熔融参数相比，存在熔融参数时努塞尔数的变化更大。
图。15和16显示了影响埃克特数（出口）和辐射参数（个）带有Prandtl编号（优先）关于传热速率。从这些图中，我们观察到努塞尔数随着Ec公司并且随着编号具有公共关系什么时候M（M）= 0.5,n个=2和M（M）=n个= 0.
化学反应参数的影响年带有Lewis数(勒)在有无熔化和非线性拉伸参数的情况下，Sherwood数如图所示。17从这些图中可以看出，当M（M）= 0.5,n个=2和M（M）=n个=0，用于增加值年.
5结论
对具有热辐射、化学反应和粘性耗散的非线性拉伸片诱导的水基纳米流体的MHD边界层滑移流动和熔化传热进行了数值研究。通过图表给出了控制参数对流动、浓度和熔化传热特性的影响。本研究的主要观察结果如下：
布朗运动参数和热泳参数的增加是为了提高热边界层的温度，从而降低表面的热传递速率M（M）=0和M（M）= 0.5.
无论是否存在非线性拉伸参数和熔化参数，表面摩擦系数都会增加，其中随着磁参数和速度滑移参数值的增加，努塞尔数减少。
当M（M）= 0.5,n个=2和M（M）=n个= 0.
6术语
| 一 | 板材拉伸速率(秒-1 |
| 一个 | 无量纲速度滑移参数 |
| B类(x个) | 强磁场 |
| B类0 | 感应磁场 |
| C类 | 重标纳米颗粒体积分数 |
| c（c）（f） | 流体比热系数(焦耳/千克，K) |
| C类外汇 | 表面摩擦系数 |
| c（c）第页 | 纳米颗粒的比热系数(焦耳/千克，K) |
| c（c）秒 | 固体表面的热容 |
| C类w个 | 墙壁处的浓度(公斤/米三) |
| C类∞ | 环境纳米流体体积分数(公斤/米三) |
| D类B类 | 布朗扩散系数 |
| D类T型 | 热泳扩散系数 |
| Ec公司 | 埃克特数 |
| H（H） | 磁性参数 |
| k个 | 导热系数(W/mK（瓦/米）) |
| k个0 | 化学反应系数 |
| k个1 | 速度滑移系数 |
| k个* | 平均吸收系数(W/mK（瓦/米）) |
| 勒 | 路易斯数 |
| M（M） | 熔化参数 |
| n个 | 非线性拉伸参数 |
| 铌 | 布朗运动参数 |
| 编号 | 热泳参数 |
| 编号 | 辐射参数 |
| 努x个 | 努塞尔数 |
| 公共关系 | 普朗特尔编号 |
| q个对 | 辐射热通量(Wm（重量）-2) |
| q个w个 | 表面热通量 |
| 重新x个 | 局部雷诺数 |
| Sh公司x个 | 舍伍德数 |
| T型 | 流体温度（K） |
| T型0 | 固体表面温度（K） |
| T型w个 | 均匀壁温 |
| T型米 | 熔化面温度 |
| T型∞ | 环境表面温度（K） |
| （u，v） | 沿x个和年轴(毫秒-1) |
| u个w个(x个) | 拉伸速度 |
| xy公司 | 坐标（米）希腊符号 |
| α=k个ρc（c）（f） | 热扩散率(米2秒-1) |
| β | 流体潜热 |
| η | 无量纲相似变量 |
| 年 | 化学反应参数 |
| ν（f） | 运动粘度(米2秒-1) |
| ϕ | 无量纲纳米粒子体积分数 |
| ρ（f） | 基础流体密度(千克三)$ |
| ρ第页 | 纳米粒子的密度(千克三)$ |
| σ | 电导率 |
| σ* | Stefan-Boltzmann常数(Wm（重量）-2，K（K）-4) |
| θ | 无量纲温度变量 |
| τ=ρc（c）第页ρc（c）（f） | 纳米材料的有效热容与流体的热容之比 |
| τw个 | 表面剪应力 |
| 下标 |
| ∞ | 无穷 |
| w个 | 板材表面 |
