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得到许可的 未经许可 需要身份验证 发布人:德古意特出版社 2019年7月2日

Banach空间中弱对流反应问题的离散对偶最小残差方法

  • 伊格纳西奥·穆加 ORCID标志 电子邮件徽标 , 马修·J。W.泰勒 克里斯托弗·范德泽 ORCID标志 电子邮件徽标

摘要

我们提出并分析了一种离散对偶范数中的最小残差方法,用于在弱Banach空间中逼近对流-反应方程的解。弱公式允许Lebesgue中解的直接近似L(左)第页-空间,1<第页<.当处理粗糙数据和高度不规则的解时,以及当需要增强近似的定性特征时,这种弱设置的更大通用性是自然的。我们首先在对流-反应系数的自然假设下,对潜在连续弱公式的适定性进行了严格分析。主要贡献是研究了几个离散子空间对,这些子空间对保证了方法的离散稳定性和L(左)第页,并提供这些发现的数值说明,包括吉布斯现象的消除、最佳测试空间的计算以及在二维平流中的应用。

资金来源:伦敦数学学会

奖励标识/授予编号:17-18 103

奖励标识/授予编号:1160774

资金报表:Ignacio Muga的工作是在智利FONDECYT研究项目1160774的框架内完成的。伊格纳西奥·穆加(Ignacio Muga)还获得了欧盟地平线2020(Marie Sklodowska-Curie赠款协议第77777 8号)下的研究和创新项目的部分支持。马修·泰勒(Matthew Tyler)和克里斯托弗·范德泽(Kristoffer van der Zee)对伦敦数学学会(LMS)本科生研究助学金提供的支持表示感谢“多尺度偏微分方程的高级间断离散化技术”17-18 103,感谢唐纳德·布朗的贡献。Kristoffer van der Zee还感谢皇家学会国际交流计划/Kan Tong Po访问研究金计划以及上述FONDECYT项目提供的支持。

主要结果的证明

A.1引理的证明2.6

回想一下σ=ρρ-1.鉴于L(左)ρ(|𝜷𝒏|;Ω),我们定义了线性泛函F类:W公司σ(𝜷;Ω)通过

F类,v(v)(W公司σ)*,W公司σ=Ω(𝜷𝒏)v(v)为所有人v(v)W公司σ(𝜷;Ω).

事实上F类(W公司σ(𝜷;Ω))*定义明确是因为W公司σ(𝜷;Ω)定义为的子空间L(左)σ(|𝜷𝒏|;Ω)(参见备注2.5).σ(1,+),通过对偶映射的满射性

J型W公司σ:W公司σ(𝜷;Ω)(W公司σ(𝜷;Ω))*

(见定义2.4),有一个v(v)W公司σ(𝜷;Ω)这样的话

J型W公司σ(v(v))=F类,

即。,

J型σ(v(v)),v(v)ρ,σ+J型σ(div公司(𝜷v(v))),div公司(𝜷v(v))ρ,σ=Ω(𝜷𝒏)v(v)为所有人v(v)W公司σ(𝜷;Ω).

特别是,使用v(v)C类0(Ω),我们得出结论w个:-J型σ(div公司(𝜷v(v)))L(左)ρ(Ω)有一个弱导数𝜷w个=J型σ(v(v))L(左)ρ(Ω).因此w个W公司ρ(𝜷;Ω).我们现在声称w个=a.e.英寸Ω+Ω-.实际上,使用分部积分公式(2.8)以及身份(2.6),我们有

Ω(𝜷𝒏)w个v(v)=Ω(𝜷w个)v(v)+Ωw个div公司(𝜷v(v))=J型σ(v(v)),v(v)ρ,σ+J型σ(div公司(𝜷v(v))),div公司(𝜷v(v))ρ,σ=Ω(𝜷𝒏)v(v).

因此Ω(𝜷𝒏)(w个-)v(v)=0为所有人v(v)W公司σ(𝜷;Ω).我们得出的结论是由于密度C类(Ω¯)在里面W公司σ(𝜷;Ω).

A.2定理证明A类

在这一节中,我们给出了定理的证明A类通过Banach–Nečas–Babuška基础条件(参见,例如[22,定理2.6]):

(BNB1)w个𝕌啜饮0v(v)𝕍|b条(w个,v(v))|v(v)𝕍为所有人w个𝕌,
(BNB2){v(v)𝕍:b条(w个,v(v))=0为所有人w个𝕌}={0}.

事实上,我们证明(BNB1型), (BNB2型)关于伴随双线性形式。回想一下,原算子是连续双射当且仅当伴随算子是连续的双射,在这种情况下,两个inf-sup常数都相同。

我们首先给出Banach-space设置所需的一些属性。从定义中调用2.4那个J型q个(v(v))=v(v)q个2-q个|v(v)|q个-1签名(v(v))L(左)第页(Ω)=𝕌表示的二元映射L(左)q个(Ω)即。,

(A.1)J型q个(v(v)),v(v)第页,q个=v(v)q个2J型q个(v(v))第页=v(v)q个为所有人v(v)L(左)q个(Ω).

此外,对于任何v(v)𝕍=W公司0,+q个(𝜷;Ω)L(左)q个(Ω),注意身份

(A.2)𝜷v(v)|v(v)|q个-1签名(v(v))=1q个div公司(𝜷|v(v)|q个)-1q个div公司(𝜷)|v(v)|q个为所有人v(v)𝕍.

我们也将使用这些定义和属性作为其类似内容”第页“版本,即通过替换q个通过第页.

备注A.1(证明差异[9]).

我们的定理证明技巧A类与Cantin使用的类似[9],这也类似于Di Pietro和Ern在Hilbert空间中给出的证明[21,第2.1节]。与Cantin的细微区别在于我们与操作员合作-div公司(𝜷v(v))+μv(v)(而不是𝜷v(v)+μv(v))我们使用图形空间范数(2.5)使用平方定义(而不是指数ρ)。

然而,与Cantin证明的主要区别在于证明(BNB2型)特别是,在得出函数w个W公司第页(𝜷;Ω)满足w个|Ω±=0无论何时

Ω(𝜷𝒏)w个v(v)=0为所有人v(v)W公司0,q个(𝜷;Ω).

Cantin的方法使用密度参数和子空间的迹的显式特征W公司0,q个(𝜷;Ω)由Lipschitz连续函数组成(参见[9,建议2.4])。在我们的证明中,我们要么使用正则性结果w个W公司第页(𝜷;Ω)(知道这一点𝜷w个+μw个=0)让我们可以选择v(v)=直径|w个|第页-1签名(w个)(假设中定义了2.2),或者我们使用满射引理2.6,构造特定函数v(v)W公司0,q个(𝜷;Ω)这样的话v(v)|Ω±=|w个|第页-1签名(w个)|Ω±(参见第节A.2.2款(见下文)。

A.2.1输入条件证明(BNB1型)关于伴随词

b条:𝕌×𝕍是与中的弱形式相对应的双线性形式(3.1)即。,

(A.3)b条(w个,v(v))=Ωw个(μv(v)-div公司(𝜷v(v))).

对于任何0v(v)𝕍,我们有

啜饮0w个𝕌|b条(w个,v(v))|w个第页|b条(J型q个(v(v)),v(v))|J型q个(v(v))第页
=v(v)q个1-q个|Ω|v(v)|q个-1签名(v(v))(μv(v)-div公司(𝜷v(v)))|(通过(A.1)和(A.3))
=v(v)q个1-q个|Ω|v(v)|q个-1签名(v(v))(μv(v)-div公司(𝜷)v(v)-𝜷v(v))|(通过(2.6))
=v(v)q个1-q个|¦ΒΩ|v(v)|q个(μ-1第页div公司(𝜷))-1q个div公司(𝜷|v(v)|q个)|(由(A.2))
μ0v(v)q个+v(v)q个1-q个1q个Ω-|𝜷𝒏||v(v)|q个(通过(2.2))
μ0v(v)q个.

因此,我们可以控制v(v)在中q个-规范。[6]控制整个图形范数||||||q个,𝜷,我们还需要控制发散部分,

div公司(𝜷v(v))q个=啜饮0w个𝕌w个,div公司(𝜷v(v))第页,q个w个第页(通过二元性)
=啜饮0w个𝕌|b条(w个,v(v))-Ωμw个v(v)|w个第页(由(A.3))
啜饮0w个𝕌|b条(w个,v(v))|w个第页+啜饮0w个𝕌|¦ΒΩμw个v(v)|w个第页
啜饮0w个𝕌|b条(w个,v(v))|w个第页+μv(v)q个(根据柯西-施瓦兹不等式)
(1+μμ0)啜饮0w个𝕌|b条(w个,v(v))|w个第页(使用上一个绑定).

结合这两个边界,我们得到

|||v(v)|||q个,𝜷1+(μ0+μ)2μ02啜饮0w个𝕌|b条(w个,v(v))|w个第页.

μ0div公司𝜷0(根据假设2.8)更简单,因为通过引理2.10,我们立即

v(v)q个C类PF公司𝜷v(v)q个=C类PF公司div公司(𝜷v(v))q个=C类PF公司啜饮0w个𝕌|b条(w个,v(v))|w个第页.

因此

|||v(v)|||q个,𝜷(1+C类PF公司)啜饮0w个𝕌|b条(w个,v(v))|w个第页.

A.2.2输入条件证明(BNB2型)关于伴随词

接下来,我们证明(BNB2型)对于伴随,它对应于原算子的内射性。换句话说,我们需要证明w个=0如果w个L(左)第页(Ω)是这样的

(A.4)b条(w个,v(v))=0为所有人v(v)𝕍=W公司0,+q个(𝜷;Ω).

我们先拿v(v)C类0(Ω)以获得𝜷w个+μw个=0在分布的意义上,因此

𝜷w个=-μw个L(左)第页(Ω),

这意味着w个W公司第页(𝜷;Ω).

这意味着w个具有足够的规则性,以便痕迹有意义(参见备注2.5).因此,回到(A.4款)并按部分进行整合,我们有

(A.5)Ω-𝜷𝒏w个v(v)=0为所有人v(v)W公司0,+q个(𝜷;Ω).

我们现在给出两个不同(但相似)的证明来证明w个W公司0,-第页(𝜷;Ω).第一个证明考虑了函数J型~第页(w个):-|w个|第页-1签名(w个)L(左)q个(Ω).事实上J型~第页(w个)实际上在W公司q个(𝜷;Ω)已在引理中证明A.2款如下所示。对于函数直径C类(Ω¯)定义于(2.3),我们就有了直径J型~第页(w个)属于W公司0,+q个(𝜷;Ω)(因为消失在Ω+).使用v(v)=直径J型~第页(w个)英寸(答5),我们立即获得

(A.6)Ω-𝜷𝒏|w个|第页=0,

因此w个W公司0,-第页(𝜷;Ω).或者,第二个证明(感谢引理2.6)考虑一个函数v(v)w个W公司q个(𝜷;Ω)这样的话v(v)w个|Ω-=|w个|第页-1签名(w个)L(左)q个(|𝜷𝒏|;Ω).使用v(v)=直径v(v)w个英寸(答5),我们还获得(答6).

最后,我们使用能量论证得出结论

0=Ω(𝜷w个+μw个)J型第页(w个)
=w个第页2-第页[Ω|w个|第页(μ-1第页div公司(𝜷))+1第页Ω+𝜷𝒏|w个|第页](通过(A.2)和(A.6))
μ0w个第页2+1第页w个第页2-第页Ω+𝜷𝒏|w个|第页(通过(2.2))
μ0w个第页2.

因此w个=0.

另一方面,当μ0div公司𝜷0简单明了(假设2.8)自𝜷w个=0暗示

0=𝜷w个第页1C类PF公司w个第页(引理2.10).

我们只剩下一份声明的证据J型~第页(w个)W公司q个(𝜷;Ω).

引理A.2(正则性|w个|第页-1签名(w个)).

μ,𝛃L(左)(Ω)w个L(左)第页(Ω)满足齐次对流反应方程

𝜷w个+μw个=0𝑖𝑛L(左)第页(Ω).

然后是函数J型~第页(w个):-|w个|第页-1签名(w个)L(左)q个(Ω)满足

𝜷J型~第页(w个)L(左)q个(Ω).

证明。

首先观察到J型~第页(w个)方向上有一个G¨teaux导数𝜷w个.的确,

J型~第页(w个)[𝜷w个]=极限t吨0J型~第页(w个+t吨𝜷w个)-J型~第页(w个)t吨=极限t吨0J型~第页(w个-t吨μw个)-J型~第页(w个)t吨=(极限t吨0|1-t吨μ|第页-2(1-t吨μ)-1t吨)|w个|第页-1签名(w个)=-(第页-1)μ|w个|第页-1签名(w个).

因此J型~第页(w个)[𝜷w个]L(左)q个(Ω).引理的结论来自恒等式

𝜷J型~第页(w个)=J型~第页(w个)[𝜷w个]a.e.英寸Ω,

这很容易验证。

A.3命题证明5.1

我们显式构造了Fortin算子Π:𝕍𝕍满足假设4.2.我们注意到,这个一维证明类似于一维版本的[22,引理4.20,p。190].

-1=x个0<x个1<<x个n个=1是定义分区的节点集𝒯n个.在每个元素上

T型j个=(x个j个-1,x个j个)𝒯n个,

我们定义∏为线性插值Π1加上二次泡沫,即。,

Π(v(v))|T型j个=Π1(v(v))|T型j个+αj个j个(x个)2(T型j个)为所有人v(v)𝕍,

哪里

Π1(v(v))|T型j个=|T型j个-1|-1(v(v)(x个j个-1)(x个j个-x个)+v(v)(x个j个)(x个-x个j个-1))j个(x个)=(x个-x个j个-1)(x个-x个j个).

系数αj个使气泡倍增j个(x个)选择是为了满足等式

(A.7)T型j个π(v(v))=T型j个v(v).

注意Π(v(v)),0,{1}2(𝒯n个),0,{1}k个(𝒯n个)自从k个2,以及所有人w个n个𝕌n个,我们有

b条(w个n个,Π(v(v)))=j个=1n个T型j个w个n个π(v(v))-w个n个Π(v(v))|x个j个-1x个j个(通过部件集成)
=j个=1n个w个n个T型j个Π(v(v))-w个n个Π(v(v))|x个j个-1x个j个(自w个n个1(T型j个))
=j个=1n个w个n个T型j个v(v)-w个n个v(v)|x个j个-1x个j个(通过插值和(A.7))
=b条(w个n个,v(v))(通过部件集成).

因此,要求(44亿)感到满意。现在我们回顾一下()𝕍:-()q个.因此,为了获得需求(4.4a条)(即算子∏的有界性),我们注意到,在每个元素上,

|αj个|6|T型j个|T型j个|v(v)-Π1(v(v))|6|T型j个|-1第页v(v)-Π1(v(v))q个6|T型j个|2-1第页v(v)-π1(v(v))q个,
Π1(v(v))q个=|v(v)(x个j个)-v(v)(x个j个-1)||T型j个|1-1q个=1|T型j个|1-1q个|T型j个v(v)|v(v)q个,
j个q个=|T型j个|1+1q个(q个+1)1q个.

因此,对于每个元素(因此是全局的),我们都有

Π(v(v))q个Π1(v(v))q个+|αj个|j个q个v(v)q个+C类q个v(v)-Π1(v(v))q个(1+2C类q个)v(v)q个,

其中常量C类q个=6/(q个+1)1q个与网格无关。

致谢

伊格纳西奥·穆加(Ignacio Muga)和克里斯托弗·范德泽(Kristoffer van der Zee)感谢莱泽克·德姆科维奇(Leszek Demkowicz)、杰伊·戈帕拉克里希南(Jay Gopalakrishnan)、保罗·休斯顿(Paul Houston)、魏凤奎(。他们还感谢那些不知名的评论员提出的富有洞察力的建议,特别是他们鼓励人们证明满意感柠檬2.6.

工具书类

[1]P.Azérad,分析纳维方程-斯托克斯-恩巴辛-普洛芬方程和传输方程,1996年,诺伊查泰尔大学博士论文。在谷歌学者中搜索

[2]P.Azérad和J.Pousin,在庞加莱古尔布的运输方程中,C.R.学院。科学。巴黎。I数学。322(1996),第8期,721-727。在谷歌学者中搜索

[3]C.Bardos、A.Y.le Roux和J.-C.Nédélec,带边界条件的一阶拟线性方程,Comm.偏微分方程4(1979),第9期,1017–1034。10.1080/03605307908820117在谷歌学者中搜索

[4]贝朗·达维加,稳态输运方程在Sobolev空间中的存在性结果,里奇。材料36(1987),增补,173–184。在谷歌学者中搜索

[5]贝朗·达维加,Sobolev空间中一类一阶偏微分方程的边值问题及其在Euler流中的应用,伦德。塞明。帕多瓦马特大学79(1988),247-273。在谷歌学者中搜索

[6]S.C.Brenner和L.R.Scott,有限元方法的数学理论,第3版。,文本应用程序。数学。15,施普林格,纽约,2008年。10.1007/978-0-387-75934-0在谷歌学者中搜索

[7]D.Broersen、W.Dahmen和R.P.Stevenson,关于输运方程DPG公式的稳定性,数学。压缩机。87(2018),第311、1051–1082号。10.1090/com/3242在谷歌学者中搜索

[8]T.Bui-Thanh、L.Demkowicz和O.Ghattas,偏微分方程具有单位inf-sup和连续常数的构造性适定逼近方法,数学。压缩机。82(2013),第284号,1923-1952年。10.1090/S0025-5718-2013-02697-X号在谷歌学者中搜索

[9]P.坎廷,Banach图空间中标量和向量平流-反应问题的适定性,C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎355(2017),第8期,892–902。2016年10月10日/j.crma.2017.07.009在谷歌学者中搜索

[10]P.Cantin和N.Heuer,强单调算子的DPG框架,SIAM J.数字。分析。56(2018),第5期,2731–2750。10.1137/18M1166663在谷歌学者中搜索

[11]C.Carstensen、P.Bringmann、F.Hellwig和P.Wriggers,非线性间断Petrov–Galerkin方法,数字。数学。139(2018),第3529-561号。2007年10月10日/00211-018-0947-5在谷歌学者中搜索

[12]J.Chan、L.Demkowicz和R.Moser,粘性可压缩定常流动的DPG方法,计算。《流体》98(2014),69-90。2016年10月10日/j.compfluid.2014.024在谷歌学者中搜索

[13]J.Chan、J.A.Evans和W.Qiu,对流扩散方程的对偶Petrov–Galerkin有限元方法,计算。数学。申请。68(2014),第11期,1513-1529。2016年10月10日/j.camwa.2014.07.008在谷歌学者中搜索

[14]A.Cohen、W.Dahmen和G.Welper,对流扩散方程的自适应性和变分稳定性,ESAIM数学。模型。数字。分析。46(2012),第5期,1247–1273。2012年10月105日/平方米在谷歌学者中搜索

[15]W.Dahmen、C.Huang、C.Schwab和G.Welper,一阶输运方程的自适应Petrov–Galerkin方法,SIAM J.数字。分析。50(2012),第5期,2420–2445。10.1137/110823158在谷歌学者中搜索

[16]R.Dautray和J.-L.狮子,科学技术的数学分析和数值方法。第5卷:进化问题。我,施普林格,柏林,1992年。在谷歌学者中搜索

[17]R.Dautray和J.-L.狮子,科学技术的数学分析和数值方法。第6卷:进化问题。二、,柏林施普林格,1993年。在谷歌学者中搜索

[18]L.Demkowicz和J.Gopalakrishnan,一类非连续Petrov–Galerkin方法。第一部分:输运方程,计算。方法应用。机械。《工程》199(2010),第23–24、1558–1572号。2016年10月10日/j.cma.2010.01.003在谷歌学者中搜索

[19]L.Demkowicz和J.Gopalakrishnan,一类非连续Petrov–Galerkin方法。第二部分:最佳测试功能,数字。方法偏微分方程27(2011),编号1,70–105。10.1002/编号20640在谷歌学者中搜索

[20]L.Demkowicz和J.Gopalakrishnan,非连续Petrov-Galerkin方法概述,偏微分方程间断Galerkin有限元方法的最新发展:2012年John H Barrett纪念讲座,IMA卷数学。申请。157,查姆斯普林格(2014),149-180。10.1007/978-3-319-01818-8_6在谷歌学者中搜索

[21]D.A.Di Pietro和A.Ern,间断Galerkin方法的数学方面,数学。申请。(柏林)69,施普林格,海德堡,2012年。10.1007/978-3-642-22980-0在谷歌学者中搜索

[22]A.Ern和J.-L.Guermond,有限元理论与实践,申请。数学。科学。159,施普林格,纽约,2004年。10.1007/978-1-4757-4355-5在谷歌学者中搜索

[23]A.Ern和J.-L.Guermond,Friedrichs系统的间断Galerkin方法。一、一般理论,SIAM J.数字。分析。44(2006),第2期,753–778。10.1137/050624133在谷歌学者中搜索

[24]A.Ern和J.-L.Guermond,与Banach空间中Fortin引理的逆,C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎354(2016),第11期,1092–1095。2016年10月10日/j.crma.2016.09.013在谷歌学者中搜索

[25]A.Ern和J.-L.Guermond,有限元准内插和最佳逼近,ESAIM数学。模型。数字。分析。51(2017),第4期,1367–1385。10.1051平方米/2016066在谷歌学者中搜索

[26]V.Girault和L.Tartar,L(左)第页W公司1,第页稳态输运方程解的正则性,C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎348(2010),第15-16、885-890号。2016年10月10日/j.crma.2010.06.025在谷歌学者中搜索

[27]J.Gopalakrishnan、P.Monk和P.Sepülveda,一个由Friedrichs理论驱动的帐篷投球方案,计算。数学。申请。70(2015),第5期,1114–1135。2016年10月10日/j.camwa.2015.07.001在谷歌学者中搜索

[28]J.Gopalakrishnan和W.Qiu,对实际DPG方法的分析,数学。压缩机。83(2014),第286、537–552号。10.1090/S0025-5718-2013-02721-4在谷歌学者中搜索

[29]J.-L.Guermond,通过子网格建模稳定传输方程的Galerkin近似,M2AN数学。模型。数字。分析。33(1999),第6期,1293-1316。10.1051/m2年:1999年145在谷歌学者中搜索

[30]J.L.Guermond,求解一阶偏微分方程的有限元方法L(左)P(P),SIAM J.数字。分析。42(2004),第2期,714–737。10.1137/S0036142902417054在谷歌学者中搜索

[31]H.Holden和N.H.Risebro,双曲守恒律的前跟踪,第二版。,申请。数学。科学。152,斯普林格,海德堡,2015年。10.1007/978-3-662-47507-2在谷歌学者中搜索

[32]J.E.Lavery,用数学规划求解稳态一维守恒定律,SIAM J.数字。分析。26(1989),第5期,1081–1089。10.1137/0726060在谷歌学者中搜索

[33]I.Muga和K.G.van der Zee,Banach空间线性问题的离散化:剩余极小化、非线性Petrov–Galerkin和单调混合方法,预印本(2018),http://arxiv.org/abs/1511.04400.10.1137/20M1324338号在谷歌学者中搜索

[34]T.Piasecki,Sobolev-Slobodetskii空间中的稳态输运方程,集体数学。154(2018),第1期,65–76页。10.4064/cm6900-12-2017在谷歌学者中搜索

[35]E.B.Saff和S.Tashev,吉布斯现象最好L(左)第页多边形线近似,East J.约5(1999年),编号:2235-251。在谷歌学者中搜索

[36]A.斯特恩,巴纳赫空间预测和Petrov–Galerkin估计,数字。数学。130(2015),第1期,125–133。2007年10月10日/00211-014-0658-5在谷歌学者中搜索

[37]R.Verfürth,有限元方法的后验误差估计技术,数字。数学。科学。计算。,牛津大学出版社,牛津,2013年。10.1093/acprof:oso/9780199679423.000.001在谷歌学者中搜索

收到:2018-08-06
修订过的:2019-06-08
认可的:2019-06-13
在线发布:2019-07-02
印刷出版:2019-07-01

©2019 Walter de Gruyter GmbH,柏林/波士顿

2024年5月5日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/cmam-2018-0199/html
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