时滞线性随机分数阶系统的有限时间稳定性

摘要

本文主要研究具有时滞的线性随机分数阶系统的有限时间稳定性\（\α\ in（\压裂{1}{2}，1）\）在广义Gronwall不等式和随机分析技术下，研究了具有时滞的线性随机分数阶系统解的有限时间稳定性。我们给出了两个示例来说明主要结果的意义。

1介绍

分数阶系统是可以用带有非整数导数的分数阶微分方程来建模的动力学系统。最近，许多研究工作都集中在这样一个概念上，例如[1–三]. 事实上[1]提出了一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性问题\（2<α<3）此外[2]专注于通过耦合不动点求解分数阶微分方程。此外，Badr Alqahtani等人[三]提出了一种通过混合压缩求解Volterra分数积分方程的方法。

自上世纪中叶以来，控制理论在文献中经历了一场革命和大量的研究工作。迄今为止，大多数工作都集中在经典的积分阶系统上，用微分方程建模，其中使用了积分阶导数。同时，随着科学和应用数学的发展，人们发现一些物理系统实际上是用分数阶微分方程描述的，其中使用了分数阶导数。因此，使用经典的微分积分方程无法有效地对此类系统进行建模。因此，在过去的几十年里，研究人员对分数阶系统的研究越来越感兴趣，控制理论中的各种问题，如状态估计、控制、有限时间稳定性和故障诊断，都在被解决。请注意，与整数阶情况相比，分数阶框架代表了一个肥沃的研究领域，因为研究人员“最近”已经解决了这个问题，还有几个分数阶系统的具体问题有待研究。

在文献中，许多研究人员已经研究了分数阶系统解的稳定性（参见[10–12]和[17–19]). 然而，在某些情况下，动力系统具有有限时间稳定性（FTS）特性是有利的，这在系统瞬态行为分析中起着至关重要的作用。FTS可分为两种类型。研究了系统在有限时间区间上的稳定性；参见[4,5,7,9,13]和[15]和[20–23]. 另一项工作可以描述为系统的轨迹在有限的时间间隔内收敛到平衡点；参见[16].

本研究工作的主要贡献是处理一类具有时滞的线性随机分数阶系统的FTS\（\α\ in（\压裂{1}{2}，1）\）使用广义Gronwall不等式和随机分析的经典技术。

论文的结构安排如下。在Sect。2，我们介绍了一些假设和经典概念。在Sect。三应用广义Gronwall不等式，研究了具有时滞的线性随机分数阶系统的FTS。在Sect。4，我们给出了两个示例来说明我们的理论。

2序言和定义

在本节中，我们将介绍一些对我们的结果有用的基本概念和定义。有关更多详细信息，请参阅[6]和[14].

让\（\{X，\mathcal{F}，（\mathcal{F}（F）_{t} ）_{t\geq0}，\mathbb{P}\}\）是一个具有满足通常条件的过滤的完全概率空间。\（W（t）\）是定义在概率空间上的一维布朗运动。

让\（C（[-\tau，0]；\mathbb{R}^{n}）\）是连续函数的空间\（上划线{\varphi}:[-\tau，0]\rightarrow\mathbb{R}^{n}\）符合规范\（上划线{\varphi}哪里\（\|\lambda\|=\sqrt{\lambda ^{T}\lambada}\）对于任何\（\lambda\in\mathbb{R}^{n}\）.考虑形式为的线性随机分数阶时滞系统

$$ {}^{C} D类_{0，t}^{α}y（t）=Ay（t$$

(2.1)

其中初始条件为\（{x（t），-\nu\leqt\leq0\}=\overline{\varphi}（t）\in\mathbb{R}^{n}\）.

\({}^{C} D类_{0，t}^{\alpha}\）表示Caputo分数阶导数（CFD）的运算符\（压裂{1}{2}<\alpha<1\）;\（A；B；C\in\mathbb｛R｝^｛n \ times n｝\）.

定义2.1

鉴于\（0<eta<1）CFD定义为

$$ {}^{C} D类_{0，s}^{\eta}x（s）=\frac{1}{\Gamma（1-\eta）}\frac}{d}{ds}\int_{0}^{s}（s-\zeta）^{-\eta{\bigl（x（\ zeta）-x（0）\bigr）\，d\zeta$$

(2.2)

定义2.2

两个参数中的Mittag-Lefler函数（MLF）定义如下

$$E_{\beta，\mu}（z）=\sum_{m\geq0}\frac{z^{m}}{\Gamma（m\beta+\mu）}$$

(2.3)

哪里\（测试版>0）,\（\mu>0\） \（z\in\mathbb{C}\）.

备注2.1

对于\（\mu=1\）,\（E_｛\beta，1｝=E_｛\beta｝\）和\（E_{1,1}（z）=\经验（z）\）.

定义2.3

系统(2.1)是有限时间随机稳定（FTSS）w.r.t。\（\{\delta，\varepsilon，T\}）,\（δ<varepsilon），如果

$${\mathbb{E}\Vert\overline{\varphi}\Vert^{2}<\delta}$$

暗示

$$\mathbb｛E｝\bigl\Vert y（t）\bigr\Vert ^｛2｝<\varepsilon，\fquad\ for all t\in[0，t]$$

三主要成果

让\（T>\菜单\）和\（m\in\mathbb{N}\）具有\（（m+1）.

定理3.1

系统(2.1)是关于以下方面的FTSS \（（delta，varepsilon，T））,如果满足以下条件:

$$l_{T}（\nu）\leq\frac{\varepsilon}{\delta}$$

(3.1)

具有

$$开始{对齐}和l_{T}（\nu）=\biggl[4+\frac{M_{1}}{2}\bigl（1-e^{-2T}\bigr）l_{M+1}（\nu）+M_{2}\ frac{T^{2\alpha-1}}{2\ alpha-1-1}（nu）\biggr]e^{（M_{3}+2）T}，\&l_{k+1}（\nu）=\biggl[4+\frac{M_{1}}{2}\bigl（1-e^{-2（k+1）\nu}\bigr）l_{k}（\nu）+M_{2}\frac{（k+1，\结束{对齐}$$

对于 \（k\英寸[0，m]\）,\（{l_{0}（\nu）=1}\）,\（{M_{1}=\frac{8\Gamma（2\alpha-1）}{4^{\alpha}\Gamma^{2}（\alpha）}\|B\|^{2{}\）,\（{M_{2}=\frac{4}{\Gamma^{2}（\alpha）}\|C\|^{2{}） 和 \（M_{3}={\frac{8\Gamma（2\alpha-1）}{4^{\alpha}\Gamma^{2}（\alpha）}\|A\|^{2{}\）.

证明

系统的解决方案(2.1)满足以下方程：

$$开始{对齐}y（t）=&y（0）+\frac{1}{\Gamma（\alpha}^{t}（t-s）^{\alpha-1}Cy（s-\nu）\，dW（s）。\结束{对齐}$$

(3.2)

使用Cauchy–Schwartz不等式，我们得到

$$开始{aligned}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\Vert\overline{\varphi}\Vert_{2}+\frac{4}{\Gamma^{2{（\alpha）}\biggl[\biggl（\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\Vert A\Vert\bigl\Vert y（s）\biger\Vert\，ds\biggr）^2}\\&{}+\biggl（\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}\Vert B\Vert\bigl\Vert y（s-\nu）\bigr\Vert\，ds\biggr）^{2}\biggr]\\&{}+\frac{4}{\Gamma^{2}（\alpha）}\biggl\Vert\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}Cy（s-\nu）\，dW _{0}^{t} e（电子）^{2s}（t-s）^{2\alpha-2}\，ds\biggr）\biggl[\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\垂直A\垂直^{2}\bigl\垂直^{t} e（电子）^{-2s}\Vert B\Vert^{2}\bigl\Vert y（s-\nu）\bigr\Vertqu{2}\，ds\biggr]\\&{}+\frac{4}{\Gamma^2}（\alpha）}\biggl\Vert\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}Cy（s-\nu）\，dW（s）\biggr\Vert^2}。\结束{对齐}$$

考虑到双方的期望

$$开始{aligned}\mathbb{E}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\mathbb{E}\ Vert\overline{\varphi}\Vert_{2}\\&{}+\frac{8\Gamma（2\alpha-1）}{\Gamma^{2{（\alpha）4^{\alpha}E^{2t}\biggl[\int_{0}^{t} 电子^{-2s}\Vert A\Vert^{2}\mathbb{E}\bigl\Vert y（s）\bigr\Vert_{2}\，ds+\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\Vert B\Vert^{2}\mathbb{E}\bigl\Vert y（s-\nu）\bigr\Vert${2}\，ds\biggr]\\&{}+\frac{4}{\Gamma^{2{（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}\VertC\Vert_{2}\mathbb{E}\ bigl\Vert y（s-\nu垂直^{2}\，ds.\end{aligned}$$

然后

$$\开始{aligned}\mathbb{E}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\mathbb{E}\ Vert\overline{\varphi}\ Vert^}+M_{1} 电子^{2t}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s-\nu）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&{}+M_{2}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}\mat血红蛋白{E}\bigl\ Verty（s-\nu_{3} 电子^{2t}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds，\end{aligned}$$

(3.3)

哪里\（{M_{1}=\frac{8\Gamma（2\alpha-1）}{4^{\alpha}\Gamma^{2}（\alpha）}\|B\|^{2{}\）,\（{M_{2}=\frac{4}{\Gamma^{2}（\alpha）}\|C\|^{2{}）和\（M_{3}={\frac{8\Gamma（2\alpha-1）}{4^{\alpha}\Gamma^{2}（\alpha）}\|A\|^{2{}\）.

因此，

$$\开始{对齐}e^{-2t}\mathbb{e}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\mathbb{e}\ Vert\overline{\varphi}\Vert_{2}+M_{1}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s-\nu）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&{}+M_{2}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}\mat血红蛋白{E}\bigl\ Verty（s-\nu^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds，\end{aligned}$$

(3.4)

对于\（在[0，\nu]\中），我们获得

$$\开始{对齐}e^{-2t}\mathbb{e}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\mathbb{e}\Vert\上划线{\varphi}\Vert_{2}+M_{1}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s-\nu）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&{}+M_{2}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}\mat血红蛋白{E}\bigl\ Verty（s-\nu^{t} 电子^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds\\leq&4\mathbb{E}\ Vert\overline{\varphi}\ Vert^}2}+\frac{M_1}}{2}\bigr_{2} t吨^{2\alpha-1}}{2\alpha-1}\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}\\&{}+M_{3}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds\\leq&\biggl \\&{}+M_{3}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds.\end{aligned}$$

根据格朗沃尔不等式，我们有

$$e^{-2t}\mathbb{e}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq\biggl（4+\frac{M_{1}}{2}\ bigl（1-e^{-2-nu}\bigr）+\frac{M_2}\nu^{2\alpha-1}}}{2\biggr）e^{M_{3} t吨}\mathbb{E}\Vert\overline{\varphi}\Vert^{2}$$

(3.5)

因此，我们获得

$$\begon｛aligned｝\mathbb｛E｝\bigl\Vert y（t）\bigr\Vert ^｛2｝\leq&\biggl（4+\frac｛M_｛1｝｝｛2｝\bigl（1-E^｛-2\nu｝\bigr）+\frac｛M_｛2｝\nu ^｛2\alpha-1｝｝｛2\alpha-1｝\biggr）E^｛（M_｛3｝+2）\nu｝\mathbb｛E｝\Vert\overline｛\varphi｝\Vert ^｛2｝\\le q和l_｛1｝（\nu）\mathbb｛E｝\Vert\overline｛\varphi｝\Vert^｛2｝，\quad\forall t\in[0，\nu]，\end｛aligned｝$$

哪里\（{l{1}（\nu）=（4+\压裂{M_{1}}{2}（1-e^{-2\nu}）+\压裂}M_{2}\nu^{2\alpha-1}}{2\alpha-1}）e^{（M_{3}+2）\nu}}）.

对于\（位于[\nu，2\nu]\中），我们有

$$\开始{对齐}e^{-2t}\mathbb{e}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\mathbb{e}\ Vert\overline{\varphi}\ Vert^{2}+\frac{M_{1}}{2}\ bigl（1-e^{-2-t}\bigr）l_{1{（\nu）\mathbb2{e}\Vert\overrine{\valphi}\ Vert^{2}+\压裂{M_{2} t吨^{2\alpha-1}}{2\alpha-1}l_{1}（\nu）\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}\\&{}+M_{3}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds\\leq&\biggl（4+\frac{M_{1}}{2}\bigle（1-E^{-2（2\nu）}\bigr）l_{1{（\nu）+\frac{M_2}mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}\\&{}+M_{3}\int_{0}^{t} 电子^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds.\end{aligned}$$

使用Gronwall不等式，我们得到

$$\mathbb{E}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}E^{-2t}\leq\biggl（\frac{M_1}{2}\bigle（1-E^{-2（2\nu）}\bigr）l_{1}（\nu）+4+\frac{M_2}b{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2} e（电子）^{米_{3} t吨}. $$

(3.6)

因此，我们获得

$$开始{对齐}\mathbb{E}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&\biggl（4+\frac{M_{1}}{2}\ bigl（1-E^{-2（2\nu）}\bigr）l_{1{（\nu）+\frac{M_}2}（2\nu）^{2\alpha-1}{2\alpha-1{1}（\nu）\biggr）E^{（M_{3}+2）（2\nu）}\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}\\leq&l_{2}，\[0，\nu]，\end{aligned}中的所有t的四边形$$

哪里\（{l{2}（\nu）=（4+\frac{M_{1}}{2}（1-e^{-2（2\nu）}）l{1}（\nu）+\frac{M_2}.

对于\（在[0，（k+1）\nu]\中）,\（k\英寸[0，m]\），我们有

$$\开始{对齐}e^{-2t}\mathbb{e}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\mathbb{e}\ Vert\overline{\varphi}\Vert_{2}+\frac{M_{1}}{2}\ bigl（1-e^{-2-t}\bigr）l_{k}+\压裂{M_{2} t吨^{2\alpha-1}}{2\alpha-1}l_{k}（\nu）\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}\\&{}+M_{3}\int_{0}^{t} e（电子）^｛-2s｝\mathbb｛E｝\bigl\Vert y（s）\bigr\Vert ^｛2｝\，ds\\leq&&\biggl（4+\frac｛M_｛1｝｝｛2｝\bigl（1-E^｛-2（k+1）\nu｝\bigr）l_｛k｝（\nu）+\frac｛M_｛2｝（（k+1）\nu）^｛2\α-1｝｝｛2\α-1｝l_｛k｝（\nu）\biggr）\mathbb｛E｝\Vert\overline｛\varphi｝\Vert^｛2｝\\&｛｝+M_｛3｝\int _｛0｝^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds.\end{aligned}$$

使用Gronwall不等式，我们得到

$$开始{对齐}&e^{-2t}\mathbb{e}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\\&\quad\leq\biggl（4+\frac{M_1}}{2}\bigle（1-e^{-2（k+1）\nu}\bigr）l_{k}l_{k}（\nu）\biggr）\mathbb{e}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2} e（电子）^{米_{3} t吨}. \结束{对齐}$$

(3.7)

因此，我们获得

$$开始{对齐}\mathbb{E}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&\biggl（4+\frac{M_1}}{2}\ bigl（1-E^{-2（1+k）\nu}\bigr）l_{k}E ^{（M_{3}+2）（1+k）\nu}\mathbb{E}\Vert\overline{\varphi}\Vert^{2}\\leq&l_{k+1}（\nu）\mathbb{E}\ Vert\overrine{\varphi}\Vert_{2}，\quad\对于\bigl[0，（1+k）\nu\bigr]，\end{aligned}中的所有t$$

哪里\（{l{k+1}（\nu）=（4+\frac{M_{1}}{2}（1-e^{-2（1+k）\nu}）l{k}（\nu）+\frac{M_2}（1+k）\nu.

对于所有人\（在[0，t]\中），我们得到

$$\mathbb{E}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq\biggl（4+\frac{M_{1}}{2}\ bigl（1-E^{-2T}\biger）l_{M+1}\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}$$

(3.8)

这就完成了证明。 □

备注3.2

很明显\（l_{0}（\nu）\leq l_{1}（\nu）\leq\cdots\leq l_{T}（\ nu）\）.

备注3.3

在这种情况下\（0<T\leq\nu\），我们获得系统的FTS(2.1)如果我们有以下条件：

$$l_{T}（\nu）=\biggl[4+\frac{M_{1}}{2}\bigl（1-e^{-2T}\biger）+M_{2}\ frac{T^{2\alpha-1}}{2\alpha-1}\biggr]e^{（M_{3}+2）T}\leq\frac}\varepsilon}{\delta}$$

定理3.4

系统(2.1)是关于的FTSS \（（delta，varepsilon，I））,如果出现以下情况 \（\mathcal{A}\） 已实现:

$$\max\bigl（e^{2\nu}，4\bigr）\exp\biggl[\biggl（\frac{{米}_{1}+{米}_{3} }{2\alpha-1}+2\biggr）T\biggr]E_{2\alpha-1}\bigl({米}_{2} \Gamma（2\α-1）T^{2\γ-1}\biger）\leq\frac{\varepsilon}{\delta}$$

(3.9)

哪里 \（{M_{1}=\frac{8\Gamma（2\alpha-1）}{4^{\alpha}\Gamma^{2}（\alpha）}\|B\|^{2{}\）,\（{M_{2}=\frac{4}{\Gamma^{2}（\alpha）}\|C\|^{2{}） 和 \（M_{3}={\frac{8\Gamma（2\alpha-1）}{4^{\alpha}\Gamma^{2}（\alpha）}\|A\|^{2{}\）.

证明

通过不平等(3.3)，我们得到以下估计：

$$\开始{aligned}\mathbb{E}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\mathbb{E}\ Vert\overline{\varphi}\ Vert^}+M_{1} 电子^{2t}\int_{0}^{t} e（电子）^｛-2s｝\mathbb｛E｝\bigl\Vert y（s-\nu）\bigr\Vert ^｛2｝\，ds\\&｛｝+M_｛2｝\int _｛0｝^｛t｝（t-s）^｛2 \alpha-2｝\mathbb｛E｝\bigl\Vert y（s-\nu）\bigr\Vert ^｛2｝\，ds\\&｛｝+M_{3} e（电子）^{2t}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds.\end{aligned}$$

(3.10)

因此，

$$\开始{对齐}e^{-2t}\mathbb{e}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&4\mathbb{e}\ Vert\overline{\varphi}\Vert_{2}+M_{1}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s-\nu）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&{}+M_{2} e（电子）^{-2t}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}\mathbb{E}\bigl\Verty（s-\nu）\bigr\Vert^{2}\，ds\\&{}+M_{3}\int_{0}^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds\\leq&4\mathbb{E}\ Vert\overline{\varphi}\ Vert^}2}+M_{1}\int_{0}^{t} e（电子）^｛-2s｝\mathbb｛E｝\bigl\Vert y（s-\nu）\bigr\Vert ^｛2｝\，ds\\&｛｝+M_｛2｝\int _｛0｝^｛t｝（t-s）^｛2\alpha-2｝E ^｛-2s｝\mathbb｛E｝\bigl\Vert y（s-\nu）\bigr\Vert ^｛2｝\，ds\\&｛｝+M_｛3｝\int _｛0｝^{t} e（电子）^{-2s}\mathbb{E}\bigl\Verty（s）\bigr\Vert^{2}\，ds.\end{aligned}$$

让\（{h（t）=e^{-2t}\mathbb{e}\|y（t）\|^{2}}\），然后我们得到，\（对于[0，t]\中的所有t\）,

$$\开始{对齐}h（t）\leq&4\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}+M_{1} 电子^{-2\nu}\int_{0}^{t} 小时（s-\nu）\，ds+M_{2} e（电子）^{-2\nu}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}h（s-\nu）\，ds\\&{}+M_{3}\int_{0}^{t} 小时（s） \，ds\\leq&4\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}+M_{1}\int_{0}^{t} 小时（s-\nu）\，ds+M_{2}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}h（s-\nu）\^{t} 小时（s） \，ds.\结束{对齐}$$

让\（{g（t）=\sup_{theta\ in[-\nu，t]}h（\theta）}\），对于所有人\（在[0，t]\中）.

我们有，\（对于[0，T]\中的所有s）,\（{h（s）\leq g（s）}\）和\（{h（s-\nu）\leq g（s）}\）.

因此，对于所有人来说\（在[0，t]\中），我们获得

$$h（t）\leq 4\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}+（M_{1}+M_{3}）\int_{0}^{t} 克（s） \，ds+M_{2}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}g \，ds$$

因此，使用变量更改\（v=t-s），我们有\（对于[0，t]\中的所有θ）

$$h（θ）\leq 4\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}+$$

(3.11)

\（{\theta\mapsto\int_{0}^{\theta}s^{2\alpha-2}g（\theta-s）\，ds}\）和\（{\theta\mapsto\int_{0}^{\theta}g（s）\，ds}\）是两个递增函数，因为克是非负的并且在增加。因此，我们有\（对于[0，t]\中的所有θ）

$$h（θ）\leq 4\mathbb{E}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}+（M_{1}+M_{3}）\int_{0}^{t} 克（s） \，ds+M_{2}\int_{0}^{t} 秒^{2\α-2}g（t-s）\，ds$$

(3.12)

因此，我们得到\（对于[0，t]\中的所有t\）

$$\begin{aligned}g（t）\leq&\max\Bigl\{\sup_{theta\in[-\nu，0]}h（\theta），\sup_{theta \in[0，t]}h（\ttheta）\Bigr\}\\leq&\ max\Bigl\{e^{2\nu}，4\Bigr\}\mathbb{e}\Vert\overline{\varphi}\Vert^{2}+（M_{1}+M_{3}）\int_{0}^{t} 克（s） \，ds+M_｛2｝\ int _｛0｝^{t} 秒^{2\alpha-2}g（t-s）\，ds\\leq&\max\bigl\{e^{2\nu}，4\bigr\}\mathbb{e}\Vert\overline{\varphi}\Vert^{2}+（M_{1}+M_{3}）\int_{0}^{t} 克（s） \，ds+M_{2}\int_{0}^{t}（t-s）^{2\alpha-2}g \，ds.\end{aligned}$$

使用广义Gronwall不等式（推论2.3 in[8])，用于\（在[0，t]\中），我们得到

$$g（t）\leq\max\bigl（e^{2\nu}，4\biger）\mathbb{e}\Vert\overline{\varphi}\Vert^{2}\exp\biggl[({米}_{1}+{米}_{3} ）\压裂{t}{2\alpha-1}\biggr]E_{2\alpha-1}\ bigl({米}_{2} \Gamma（2\alpha-1）t^{2\alfa-1}\bigr）$$

(3.13)

那么，对于所有人来说\（在[0，t]\中），我们获得

$$h（t）\leq\max\bigl（e^{2\nu}，4\biger）\mathbb{e}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}\exp\biggl[({米}_{1}+{米}_{3} ）\frac｛t｝｛2\alpha-1｝\biggr]E_｛2\alpha-1｝\bigl({米}_{2} \Gamma（2\alpha-1）t^{2\alfa-1}\bigr）$$

(3.14)

因此，对于所有人来说\（在[0，t]\中），我们有

$$\开始{aligned}\mathbb{E}\bigl\Verty（t）\bigr\Vert^{2}\leq&\max\bigl（E^{2\nu}，4\bigr）\mathbb{E}\ Vert\overline{\varphi}\Vert_2}\exp\biggl[\biggl（\frac{{米}_{1}+{米}_{3} }{2\alpha-1}+2\biggr）t\biggr]E_{2\alpha-1}\bigl({米}_{2} \Gamma（2\α-1）t^{2\阿尔法-1}\bigr）\\leq&\max\bigl（e^{2_nu}，4\biger）\mathbb{e}\Vert\上划线{\varphi}\Vert^{2}\exp\biggl[\biggl（\frac{{米}_{1}+{米}_{3} }{2\alpha-1}+2\biggr）T\biggr]E_{2\alpha-1}\bigl({米}_{2} \Gamma（2\alpha-1）T^{2\alfa-1}\biger）。\结束{对齐}$$

那么，如果\（{\mathbb{E}\|\上划线{\varphi}\|^{2}<\delta}\）和条件\（\mathcal{A}\）等等，我们有\（{\mathbb{E}\|y（t）\|^{2}<\varepsilon，对于[0，t]}中的所有t）.

因此，证明是完整的。 □

4举例说明

本节中的两个示例表明了主要结果的有用性和趣味性。

示例4.1

考虑以下系统：

$$\begin{array}{rcl}{}^{\mathrm{<trans\; data-src="C">C</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="D">D类</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="\alpha ">\alpha </trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>& <trans\; data-src="=">=</trans>& <trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="0.2">0.2</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0.1">0.1</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="0.5">0.5</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0.4">0.4</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}\\ & & <trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="0.5">0.5</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\end{array}$$

（4.1）

其中初始条件为

$$x（t）=\varphi（t），\quad-\nu\leq t\leq 0$$

很容易验证\（A=0.2）,\（B=0.5）、和\（C=1）.

让\（增量=0.1）,\（\varepsilon=10\）和\（努=0.1）.

基于不等式(3.1)在定理中3.1具有\（α=0.9），计算的估计时间T型系统的(4.2)等于\（T=0.3\）然而，使用定理3.4，计算的估计时间T型在不等式中(3.9)等于\（T=0.23\）.

示例4.2

考虑以下系统：

$$\begin{array}{rcl}{}^{\mathrm{<trans\; data-src="C">C</trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="D">D类</trans>}_{\mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}<trans\; data-src=",">,</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="\alpha ">\alpha </trans>}}\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>& <trans\; data-src="=">=</trans>& <trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0.8">0.8</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="0.1">0.1</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0.05">0.05</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}\\ & & <trans\; data-src="+">+</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="0.08">0.08</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="0">0</trans>}& \mathrm{<trans\; data-src="0.1">0.1</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}{\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="1">1</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\\ {\mathrm{<trans\; data-src="x">x个</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="2">2</trans>}}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="\nu ">\nu </trans>}<trans\; data-src=")">)</trans>\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>\mathrm{<trans\; data-src="d">d日</trans>}\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans>\mathrm{<trans\; data-src="t">吨</trans>}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=",">,</trans>\end{array}$$

(4.2)

其中初始条件为

$$x（t）=\varphi（t），\quad-\nu\leq t\leq 0$$

很容易验证\（A=1）,\（B=0.1）、和\（C=0.1）.

让\（增量=0.1）,\（\varepsilon=10\）和\（努=0.1）.

基于不等式(3.9)在定理中3.4具有\（α=0.6），计算的估计时间T型系统的(4.1)等于\（T=1.27）然而，使用定理3.1，计算的估计时间T型在不等式中(3.1)等于\（T=0.295）.

5结论

本文研究了具有时滞的线性随机分数阶系统的有限时间稳定性。Gronwall引理和随机演算技术都被用来研究有限时间稳定性。我们分析了两个示例来说明我们的结果的意义。请注意，文献中最古老的两个分数导数是Caputo导数和Riemann–Liouville分数导数。我们的工作中讨论了卡普托导数的选择，因为它比Riemann–Liouville定义的导数更适合稳定性分析。从这项工作的角度来看，扩展到其他类型的分数导数可能是一个有趣的未来研究。