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数学
第7卷
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第条

用混合压缩法求解Volterra分数阶积分方程

通过
巴德·阿尔卡塔尼
1,
哈森·阿伊迪
2,3,
埃尔达尔卡拉普讷尔
3,*和
弗拉基米尔·拉科切维奇
4,*
1
沙特阿拉伯利雅得11451沙特国王大学数学系
2
突尼斯苏塞大学信息技术研究所，H.Sousse 4000
三
台湾台中40402中国医科大学医院
4
塞尔维亚尼什维什格拉德斯卡尼什大学科学和数学学院33，18000尼什
*
应向其发送信件的作者。
数学 2019,7(8), 694;https://doi.org/10.3390/math7080694
收到的提交文件：2019年6月30日/修订日期：2019年7月24日/接受日期：2019年7月29日/发布日期：2019年8月1日
（本文属于特刊应用泛函分析及其应用)
版本注释

摘要

:
在这篇手稿中，我们通过使用混合型压缩，提出了Volterra型分数阶积分方程的解决方案，该压缩统一了度量空间中的非线性和线性不等式。除了这个主要目标之外，我们还打算合并几个由线性和非线性压缩公式化的现有不动点定理。
关键词：
收缩;混合收缩;volterra分数阶积分方程;固定点
JEL分类：
47H10；54H25；46J10型

1.简介和序言

在过去的几十年里，非线性泛函分析中最吸引人的研究课题之一是求解分数阶微分方程和分数阶积分方程，这些方程可以分别适当地简化为标准微分方程和积分方程。本文旨在利用混合型压缩得到Volterra型分数阶积分方程的一个恰当解。为此，我们首先初始化结合线性不等式和非线性不等式的新的混合型压缩。
我们首先回顾一下我们应该有效使用的辅助功能： Ψ 是所有非递减函数的集合 Λ : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) 在某种程度上
( Λ Σ )
有 k个 0 ∈ N个 和 δ ∈ 0 , 1 和收敛级数 ∑ 我 = 1 ∞ v（v） 我 这样的话 v（v） 我 ≥ 0 和
Λ 我 + 1 t吨 ≤ δ Λ k个 t吨 + v（v） 我 ,
对于 我 ≥ 我 0 和 t吨 ≥ 0 .
每个 Λ ∈ Φ 称为 c（c） -比较功能（参见[1,2]).
以下引理证明了此类辅助功能的可用性和功能：
柠檬 1
([2]). 如果 Λ ∈ Φ ，然后
( 我 )
系列 ∑ k个 = 1 ∞ Λ k个 σ 收敛于 σ ≥ 0 .
( 我 我 )
Λ n个 σ n个 ∈ N个 收敛为0 n个 → ∞ 对于 σ ≥ 0 ;
( 我 我 我 )
∧在0处连续；
( 我 v（v） )
Λ σ < σ , 对于任何 σ ∈ ( 0 , ∞ ) .
一路穿过纸，一双 ( X（X） , d日 ) 呈现一个完全度量空间如果没有另外提及。此外，这封信T型显示上的自映射 ( X（X） , d日 ) .
在下文中，我们将阐述新混合收缩的定义：
定义 1
地图 T型 : ( X（X） , d日 ) → ( X（X） , d日 ) 称为a型混合收缩Λ在里面Φ以便
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ Λ A类 T型 第页 ( Ω , ω ) ,
哪里 第页 ≥ 0 和 σ 我 ≥ 0 , 我 = 1 , 2 , 三 , 4 , 这样的话 ∑ 我 = 1 4 σ 我 = 1 和
A类 T型 第页 ( Ω , ω ) = [ σ 1 ( d日 ( Ω , ω ) ) 第页 + σ 2 ( d日 ( Ω , T型 Ω ) ) 第页 + σ 三 ( d日 ( ω , T型 ω ) ) 第页 + σ 4 d日 ( ω , T型 Ω ) + d日 ( Ω , T型 ω ) 2 第页 ] 1 / 第页 , 对于   第页 > 0 , Ω , ω ∈ X（X） ( d日 ( Ω , ω ) ) σ 1 ( d日 ( Ω , T型 Ω ) ) σ 2 ( d日 ( ω , T型 ω ) ) σ 三 , 对于   第页 = 0 , Ω , ω ∈ X（X） ∖ ϝ T型 ( X（X） ) ,
哪里 ϝ T型 ( X（X） ) = { ϱ ∈ X（X） : T型 ϱ = ϱ } .
Leu us强调了定义1中的一些特殊情况。
  • 对于 第页 = 1 , σ 4 = 0 和 μ 我 = κ σ 我 ，用于 我 = 1 , 2 , 三 , 我们得到了Reich-Rus-ch-irić类型的缩写：
    d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ μ 1 d日 ( Ω , ω ) + μ 2 d日 ( Ω , T型 Ω ) + μ 三 d日 ( ω , T型 ω ) ,
    对于 Ω , ω ∈ X（X） ，其中 κ ∈ 0 , 1 , 参见[2,三,4].
  • 在上述声明中 μ 我 = 1 三 我们发现了Reich–Rus–Chic irić型收缩的特殊形式，
    d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ 1 三 d日 ( Ω , ω ) + d日 ( Ω , T型 Ω ) + d日 ( ω , T型 ω ) ,
    对于 Ω , ω ∈ X（X） .
  • 如果 第页 = 2 、和 σ 1 = σ 2 = σ 三 = 1 三 , σ 4 = 0 ，我们发现以下情况，
    d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ 三 [ d日 2 ( Ω , ω ) + d日 2 ( Ω , T型 Ω ) + d日 2 ( ω , T型 ω ) ] 1 / 2
    为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ，其中 κ ∈ 0 , 1 .
  • 如果 第页 = 1 和 σ 2 = σ 三 = 1 2 , σ 1 = σ 4 = 0 ，我们有一个坎南式收缩，
    d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ 2 [ d日 ( Ω , T型 Ω ) + d日 ( ω , T型 ω ) ] ,
    为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ，请参阅[5].
  • 如果 第页 = 2 和 σ 2 = σ 三 = 1 2 , σ 1 = σ 4 = 0 ，我们有
    d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ 2 [ d日 2 ( Ω , T型 Ω ) + d日 2 ( ω , T型 ω ) ] 1 / 2
    为所有人 Ω , ω ∈ X（X） .
  • 如果 第页 = 0 和 σ 1 = 0 , σ 2 = δ , σ 三 = 1 − δ , σ 4 = 0 ，我们得到了Kannan类型的插值收缩：
    d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ ( d日 ( Ω , T型 Ω ) ) δ ( d日 ( ω , T型 ω ) ) 1 − δ ,
    为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ∖ ϝ T型 ( X（X） ) ，其中 κ ∈ [ 0 , 1 ) ，请参阅[6].
  • 如果 第页 = 0 和 σ 1 = α , σ 2 = β , σ 三 = 1 − β − α , σ 4 = 0 具有 α , β ∈ ( 0 , 1 ) ，然后
    d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ ( d日 ( Ω , ω ) ) α ( d日 ( Ω , T型 Ω ) ) β ( d日 ( ω , T型 ω ) ) 1 − β − α ,
    为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ∖ ϝ T型 ( X（X） ) 它是Reich–Rus–Ch irić类型的内插收缩[7]（有关其他相关的插值收缩类型映射，请参见[8,9,10,11]).
在本文中，我们提供了一些关于混合收缩（18）的不动点结果。最后，我们给出了一个具体的例子，并求解了一个Volterra分数型积分方程。

2.主要成果

我们的基本结果是
定理 1
假设一个自映射T ( X（X） , d日 ) 是类型a的混合收缩。然后，T具有不动点ρ，对于任何 ς 0 ∈ X（X） ，序列 { T型 n个 ς 0 } 收敛到ρ，如果
( C类 1 )
T在ρ处连续；
( C类 2 )
或者， [ σ 2 1 / 第页 + σ 4 2 1 / 第页 ] < 1 ;
( C类 2 )
或者， [ σ 三 1 / 第页 + σ 4 2 1 / 第页 ] < 1 .
证明。 
我们将使用标准的Picard算法来证明定理中的主张。让 { ς n个 } 由递归关系定义 ς n个 + 1 = T型 ς n个 , n个 ≥ 0 ，取任意一点 x个 ∈ X（X） 并将其重命名为 x个 = ς 0 此后，我们假设
ς n个 ≠ ς n个 + 1 ́ d日 ( ς n个 , ς n个 + 1 ) > 0   对于   全部的   n个 ∈ N个 0 .
事实上，很容易相反的情况是微不足道的，并终止证明。更准确地说，如果有 n个 0 以便 ς n个 0 = ς n个 0 + 1 = T型 ς n个 0 ，然后 ς n个 0 变成一个固定点T型.
现在，我们将审查案件 第页 = 0 和 第页 > 0 , 分别进行。我们首先考虑这个案子 第页 > 0 .
根据给定的条件（18），我们发现
d日 ( ς n个 + 1 , ς n个 ) ≤ Λ A类 T型 第页 ( ς n个 , ς n个 − 1 ) ,
哪里
A类 T型 第页 ( ς n个 , ς n个 − 1 ) = σ 1 ( d日 ( ς n个 , ς n个 − 1 ) ) 第页 + σ 2 ( d日 ( ς n个 , ς n个 + 1 ) ) 第页 + σ 三 ( d日 ( ς n个 − 1 , ς n个 ) ) 第页 + σ 4 d日 ( ς n个 − 1 , ς n个 + 1 ) + d日 ( ς n个 , ς n个 ) 2 第页 1 / 第页 = σ 1 ( d日 ( ς n个 , ς n个 − 1 ) ) 第页 + σ 2 ( d日 ( ς n个 , ς n个 + 1 ) ) 第页 + σ 三 ( d日 ( ς n个 − 1 , ς n个 ) ) 第页 + σ 4 2 [ d日 ( ς n个 − 1 , ς n个 ) + d日 ( ς n个 , ς n个 + 1 ) ] 第页 1 / 第页 .
假设 d日 ( ς n个 , ς n个 + 1 ) ≥ d日 ( ς n个 − 1 , ς n个 ) .在标签中进行初步估计(4)从右手边 ∑ 我 = 1 4 σ 我 = 1 记住，我们发现
d日 ( ς n个 + 1 , ς n个 ) ≤ Λ d日 ( ς n个 + 1 , ς n个 ) ∑ 我 = 1 4 σ 我 第页 = Λ d日 ( ς n个 + 1 , ς n个 ) < d日 ( ς n个 + 1 , ς n个 ) ,
矛盾。我们发现 d日 ( ς n个 , ς n个 + 1 ) < d日 ( ς n个 − 1 , ς n个 ) 此外
d日 ( ς n个 + 1 , ς n个 ) ≤ Λ d日 ( ς n个 − 1 , ς n个 ) < d日 ( ς n个 − 1 , ς n个 ) .
归纳起来，从上面的不等式中，我们推导出
d日 ( ς n个 + 1 , ς n个 ) ≤ Λ n个 ( d日 ( ς 1 , ς 0 ) ) ,   对于   全部的   n个 ∈ N个 .
来自标签(7)并使用三角形不等式 k个 ≥ 1 ，我们有
d日 ( ς n个 , ς n个 + k个 ) ≤ d日 ( ς n个 , ς n个 + 1 ) + … + d日 ( ς n个 + k个 − 1 , ς n个 + k个 ) ≤ ∑ 第页 = n个 n个 + k个 − 1 Λ 第页 ( d日 ( ς 1 , ς 0 ) ) ≤ ∑ 第页 = n个 + ∞ Λ 第页 ( d日 ( ς 1 , ς 0 ) ) → 0 一 秒 n个 → ∞ .
因此，构造序列 { ς n个 } 柯西在吗 ( X（X） , d日 ) .度量空间的完备性 ( X（X） , d日 ) 考虑到这一点，我们认为 ρ ∈ X（X） 使得
林 n个 → ∞ d日 ( ς n个 , ρ ) = 0 .
现在，我们将指出 ρ 是请求的固定点T型在给定的假设下。
假设 ( C类 1 ) 持有，也就是说，T型是连续的。然后，
ρ = 林 n个 → ∞ ς n个 + 1 = 林 n个 → ∞ T型 ς n个 = T型 ( 林 n个 → ∞ ς n个 ) = T型 ρ .
现在，我们假设 ( C类 2 ) 持有，也就是说， [ σ 2 1 / 第页 + σ 4 2 1 / 第页 ] < 1 .
0 < d日 ( T型 ρ , ρ ) ≤ d日 ( T型 ρ , ς n个 + 1 ) + d日 ( ς n个 + 1 , ρ ) = d日 ( T型 ρ , T型 ς n个 + 1 ) + d日 ( ς n个 + 1 , ρ ) ≤ Λ A类 T型 第页 ( ρ , ς n个 ) + d日 ( ς n个 + 1 , ρ ) , < A类 T型 第页 ( ρ , ς n个 ) + d日 ( ς n个 + 1 , ρ ) ,
哪里
A类 T型 第页 ( ρ , ς n个 ) = σ 1 ( d日 ( ρ , ς n个 ) ) 第页 + σ 2 ( d日 ( ρ , T型 ρ ) ) 第页 + σ 三 ( d日 ( ς n个 , ς n个 + 1 ) ) 第页 + σ 4 d日 ( ς n个 , T型 ρ ) + d日 ( ρ , ς n个 + 1 ) 2 第页 1 / 第页 .
作为 n个 → ∞ ，我们有
0 < d日 ( T型 ρ , ρ ) ≤ Δ d日 ( T型 ρ , ρ ) ,
哪里 Δ : = [ σ 2 1 / 第页 + σ 4 2 1 / 第页 ] .自 Δ : = [ σ 2 1 / 第页 + σ 4 2 1 / 第页 ] < 1 这是一个矛盾，也就是说， T型 ρ = ρ .
我们跳过了案件的细节 ( C类 三 ) 因为这是案件的逐字证据 ( C类 2 ) 事实上，唯一的区别在于 A类 T型 第页 ( ρ , ς n个 ) ≠ A类 T型 第页 ( ς n个 , ρ ) 自从 σ 2 不需要等于 σ 三 .
作为最后一步，我们将考虑这个案件 第页 = 0 . 此处，标签（18）和标签(三)成为
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ Λ ( d日 ( Ω , ω ) ) σ 1 ( d日 ( Ω , T型 Ω ) ) σ 2 ( d日 ( ω , T型 ω ) ) σ 三 [ d日 ( T型 Ω , ω ) + d日 ( Ω , T型 ω ) 2 ] 1 − σ 1 − σ 2 − σ 三
为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ∖ ϝ T型 ( X（X） ) ，其中 κ ∈ 0 , 1 和 σ 1 , σ 2 , σ 三 ∈ ( 0 , 1 ) .设置 Ω = θ n个 和 ω = θ n个 − 1 在不等式中(10)，我们发现
d日 θ n个 + 1 , θ n个 = d日 T型 θ n个 , T型 θ n个 − 1 ≤ Λ d日 θ n个 , θ n个 − 1 σ 1 d日 θ n个 , T型 θ n个 σ 2 · d日 θ n个 − 1 , T型 θ n个 − 1 σ 三 · 1 2 ( d日 θ n个 , θ n个 + d日 θ n个 − 1 , θ n个 + 1 ) 1 − σ 1 − σ 2 − σ 三 ≤ Λ d日 θ n个 , θ n个 − 1 σ 1 · d日 θ n个 , θ n个 + 1 σ 2 · d日 θ n个 − 1 , θ n个 σ 三 · 1 2 ( d日 θ n个 − 1 , θ n个 + d日 θ n个 , θ n个 + 1 ) 1 − σ 1 − σ 2 − σ 三 .
假设 d日 θ n个 − 1 , θ n个 < d日 θ n个 , θ n个 + 1 对一些人来说 n个 ≥ 1 因此，
1 2 ( d日 θ n个 − 1 , θ n个 + d日 θ n个 , θ n个 + 1 ) ≤ d日 θ n个 , θ n个 + 1 .
因此，不平等(11)产生这样的结果
d日 θ n个 , θ n个 + 1 σ 1 + σ 三 ≤ Λ d日 θ n个 − 1 , θ n个 σ 1 + σ 三 < d日 θ n个 − 1 , θ n个 σ 1 + σ 三 .
因此，我们得出结论： d日 θ n个 − 1 , θ n个 ≥ d日 θ n个 , θ n个 + 1 ，这是一个矛盾。因此，我们有
d日 θ n个 , θ n个 + 1 ≤ d日 θ n个 − 1 , θ n个 对于   全部的 n个 ≥ 1 .
因此， { d日 θ n个 − 1 , θ n个 } 是一个具有正项的非递增序列。基于以下简单观察，
1 2 ( d日 θ n个 − 1 , θ n个 + d日 θ n个 , θ n个 + 1 ) ≤ d日 θ n个 − 1 , θ n个 , 对于   全部的 n个 ≥ 1
再加上一个基本消元，不等式(11)意味着
d日 θ n个 , θ n个 + 1 ≤ Λ ( d日 θ n个 − 1 , θ n个 ) < d日 θ n个 − 1 , θ n个
为所有人 n个 ∈ N个 由于不等式（13）等价于标签(6)，通过遵循相应的行，我们得出迭代序列 { θ n个 } 是柯西并收敛到 θ * ∈ X（X） 也就是说， 林 n个 → ∞ d日 θ n个 , θ * = 0 . 假设 θ * ≠ T型 θ * .自 θ n个 ≠ T型 θ n个 对于每个 n个 ≥ 0 ，通过出租 x个 = θ n个 和 年 = θ * 在（18）中，我们有
d日 θ n个 + 1 , T型 θ * = d日 T型 θ n个 , T型 θ * ≤ Λ d日 θ n个 , θ * σ 1 · d日 θ n个 , T型 θ n个 σ 2 · d日 θ * , T型 θ * σ 三 · 1 2 ( d日 θ n个 + 1 , T型 θ * + d日 θ * , T型 θ n个 + 1 ) 1 − σ 2 − σ 1 − σ 三 .
出租 n个 → ∞ 在不等式中(14)，我们得到 d日 ( θ * , T型 θ * ) = 0 ，这是一个矛盾。那就是， T型 θ * = θ * . □
推论 1
让T成为上的自映射 ( X（X） , d日 ) 。假设有 κ ∈ [ 0 , 1 ) 这样的话
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ A类 T型 第页 ( Ω , ω ) ,
哪里 第页 ≥ 0 那么，如果满足以下任一条件，则存在T的不动点ρ
( C类 1 )
T在该点ρ处是连续的；
( C类 2 )
或者， [ σ 2 1 / 第页 + σ 4 2 1 / 第页 ] < 1 ;
( C类 2 )
或者， [ σ 三 1 / 第页 + σ 4 2 1 / 第页 ] < 1 ;
定义 2
调用自映射T ( X（X） , d日 ) B型混合收缩，如果存在 Λ ∈ Φ 这样的话
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ Λ W公司 T型 第页 ( Ω , ω ) ,
哪里 第页 ≥ 0 , 一 = ( σ 1 , σ 2 , σ 三 ) , σ 我 ≥ 0 , 我 = 1 , 2 , 三 这样的话 σ 1 + σ 2 + σ 三 = 1 和
W公司 T型 第页 ( Ω , ω ) = [ σ 1 ( d日 ( Ω , ω ) ) 第页 + σ 2 ( d日 ( Ω , T型 Ω ) ) 第页 + σ 三 ( d日 ( ω , T型 ω ) ) 第页 ] 1 / 第页 , 第页 > 0 , Ω , ω ∈ X（X） , ( d日 ( Ω , ω ) ) σ 1 ( d日 ( Ω , T型 Ω ) ) σ 2 ( d日 ( ω , T型 ω ) ) σ 三 , 第页 = 0 , Ω , ω ∈ X（X） ∖ ϝ T型 ( X（X） ) .
注意类型的混合收缩A类和类型的混合收缩B类也称为类型的加权收缩A类和类型B类分别是。
作为定理1的推论，我们也有以下几点。
推论 2
让T成为上的自映射 ( X（X） , d日 ) 假设T是B型的混合收缩，或者 κ ∈ [ 0 , 1 ) 以便
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ W公司 T型 第页 ( Ω , ω ) ,
哪里 第页 ≥ 0 那么，如果满足以下任一条件，则存在T的不动点ρ
（i） 
T在该点ρ处是连续的；
（ii） 
或者， σ 2 < 1 ;
（iii） 
或者， σ 三 < 1 .
推论 三。
让T成为上的自映射 ( X（X） , d日 ) 。假设：
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ d日 σ 1 ( Ω , ω ) · d日 σ 2 ( Ω , T型 Ω ) · d日 σ 三 ( ω , T型 ω ) ,
为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ∖ ϝ T型 ( X（X） ) ，其中 κ ∈ 0 , 1 , σ 1 , σ 2 , σ 三 ≥ 0 和 σ 1 + σ 2 + σ 三 = 1 然后，T有一个不动点ρ。
证明。 
放入推论2， 第页 = 0 和 一 = ( σ 1 , σ 2 , σ 三 ) .  □
备注 1
使用推论3，我们得到了[7]（用于公制空间）。
推论 4
让T成为上的自映射 ( X（X） , d日 ) 这样的话
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ d日 ( Ω , ω ) · d日 ( Ω , T型 Ω ) · d日 ( ω , T型 ω ) 三 ,
为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ∖ ϝ T型 ( X（X） ) ，其中 κ ∈ 0 , 1 . 那么，T有一个不动点ρ。
证明。 
放入推论2， 第页 = 0 和 一 = ( 1 三 , 1 三 , 1 三 ) .  □
推论 5
让T成为上的自映射 ( X（X） , d日 ) 这样的话
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ 三 [ d日 ( Ω , ω ) + d日 ( Ω , T型 Ω ) + d日 ( ω , T型 ω ) ] ,
为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ，其中 κ ∈ 0 , 1 .
那么，T有一个不动点ρ。
（i） 
T在该点是连续的 ρ ∈ X（X） ;
（ii） 
或者， b条 < 三 .
证明。 
放入推论2， 第页 = 1 和 一 = ( 1 三 , 1 三 , 1 三 ) .
 □
推论 6
让T成为上的自映射 ( X（X） , d日 ) 这样的话
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ 三 [ d日 2 ( Ω , ω ) + d日 2 ( Ω , T型 Ω ) + d日 2 ( ω , T型 ω ) ] 1 / 2 ,
为所有人 Ω , ω ∈ X（X） ，其中 κ ∈ 0 , 1 , 那么T在X中有一个不动点。序列 { T型 n个 ς 0 } 收敛到ρ。
（i） 
T在这一点上是连续的 ρ ∈ X（X） ;
（ii） 
或者， b条 2 < 三 .
证明。 
放入推论2， 第页 = 2 和 一 = ( 1 三 , 1 三 , 1 三 ) .  □
推论2如下所示。
例子 1
选择 X（X） = { τ 1 , τ 2 , τ 三 , τ 4 } ∪ [ 0 , ∞ ) （其中 τ 1 , τ 2 , τ 三 和 τ 4 为负实数）。采取
1 
d日 ( Ω , ω ) = | Ω − ω | 对于 ( Ω , ω ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , ∞ ) ;
2 
d日 ( Ω , ω ) = 0 对于 ( Ω , ω ) ∈ { 一 , b条 , c（c） , d日 } × [ 0 , ∞ ) 或 ( Ω , ω ) ∈ [ 0 , ∞ ) × { τ 1 , τ 2 , τ 三 , τ 4 } ;
三。 
对于 ( Ω , ω ) ∈ { τ 1 , τ 2 , τ 三 , τ 4 } × { τ 1 , τ 2 , τ 三 , τ 4 } ,
d日 ( Ω , ω ) τ 1 τ 2 τ 三 τ 4 τ 1 0 1 2 4 τ 2 1 0 1 三 τ 三 2 1 0 2 τ 4 4 三 2 0
考虑 T型 : τ 1 τ 2 τ 三 τ 4 τ 三 τ 4 τ 三 τ 4 和 T型 Ω = Ω 8 对于 Ω ∈ [ 0 , ∞ ) .
对于 Ω ∈ [ 0 , ∞ ) ，直接满足主要定理。因此，我们检查了这个案例 Ω ∈ { 一 , b条 , c（c） , d日 } 请注意，没有 κ ∈ [ 0 , 1 ) 这样的话
d日 ( T型 τ 1 , T型 τ 2 ) ≤ κ 三 d日 ( τ 1 , τ 2 ) + d日 ( τ 1 , T型 τ 1 ) + d日 ( τ 2 , T型 τ 2 ) ,
也就是说，我们有，
2 ≤ κ 三 1 + 2 + 三 .
因此，推论5不适用。
使用(20)，我们有
d日 ( T型 τ 1 , T型 τ 2 ) ≤ κ d日 ( τ 1 , τ 2 ) · d日 ( τ 1 , T型 τ 1 ) · d日 ( τ 2 , T型 τ 2 ) 三 ,
即。， 2 ≤ κ 1 · 2 · 三 三 , 所以 κ ≥ 2 6 三 > 1 因此，结论4不适用。
结论6适用。事实上，对于 Ω , ω ∈ X（X） ，我们有 κ = 6 7 ,
d日 ( T型 Ω , T型 ω ) ≤ κ 三 [ d日 2 ( Ω , ω ) + d日 2 ( Ω , T型 Ω ) + d日 2 ( ω , T型 ω ) ] 1 / 2 .
在这里， { 0 , τ 三 , τ 4 } 是T的不动点集。

3.Volterra分数阶积分方程的应用

分数阶薛定谔方程（FSE）被称为分数阶量子力学的基本方程。与标准薛定谔方程相比，它包含分数拉普拉斯算子，而不是通常的拉普拉斯算符。这种变化给波函数的行为带来了深刻的差异。Zhang等人[12]对具有谐波势的FSE中光束的传输进行了分析和数值研究。此外，Zhang等人[13]通过使用Dirac–Weyl方程，提出了一个真实的物理系统（蜂窝晶格）作为FSE系统的可能实现，而Zhang等人[14]使用 P（P） T型 -对称势。在分数阶微积分中，在本节中，我们研究一个非线性Volterra分数阶积分方程。
设置 0 < τ < 1 和 J型 = [ σ 0 , σ 0 + 一 ] 在里面 R（右） ( 一 > 0 ). 表示方式 X（X） = C类 ( J型 , R（右） ) 上的连续实值函数集J型.
现在，我们特别合并以下非线性Volterra分数阶积分方程（简称VFIE）
ξ ( t吨 ) = F类 ( t吨 ) + 1 Γ ( τ ) ¦Β σ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) τ − 1 小时 ( 秒 , ξ ( 秒 ) ) d日 秒 ,
为所有人 t吨 ∈ J型 ，其中Γ是伽马函数， F类 : J型 → R（右） 和 小时 : J型 × R（右） → R（右） 是连续函数。VFIE(23)已经在分数微积分及其应用的文献中进行了研究，参见[15,16,17].
在以下结果中，在一些假设下，我们确保了VFIE的解决方案的存在(23).
定理 2
假设
（H1） 
存在常量 M（M） > 0 和 N个 > 0 使得
| 小时 ( t吨 , u个 ) − 小时 ( t吨 , v（v） ) | ≤ M（M） | u个 − v（v） | N个 + | u个 − v（v） |
为所有人 u个 , v（v） ∈ R（右） ;
（H2） 
该M和N证明
M（M） 一 Γ ( τ + 1 ) ≤ N个 .
然后，VFIE(23)在X中有一个解。
证明。 
对于 ξ , η ∈ X（X） ，考虑度量
d日 ( ξ , η ) = 啜饮 t吨 ∈ J型 | ξ ( t吨 ) − η ( t吨 ) | .
带上操作员
T型 ξ ( t吨 ) = F类 ( t吨 ) + 1 Γ ( τ ) ¦Β σ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) τ − 1 小时 ( 秒 , ξ ( 秒 ) ) d日 秒 , t吨 ∈ J型 .
 □
显然，T型定义明确。让 ξ , η ∈ X（X） ，然后针对每个 t吨 ∈ J型 ,
| T型 ξ ( t吨 ) − T型 η ( t吨 ) | = 1 Γ ( τ ) ¦Β σ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) τ − 1 ( 小时 ( 秒 , ξ ( 秒 ) ) − 小时 ( 秒 , η ( 秒 ) ) ) d日 秒 ≤ 1 Γ ( τ ) ¦Β σ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) τ − 1 | 小时 ( 秒 , ξ ( 秒 ) ) − 小时 ( 秒 , η ( 秒 ) ) | d日 秒 ≤ M（M） 一 Γ ( τ + 1 ) M（M） | ξ ( 秒 ) − η ( 秒 ) | N个 + | ξ ( 秒 ) − η ( 秒 ) ) ∥ ≤ M（M） 一 Γ ( τ + 1 ) M（M） ∥ ξ − η ∥ N个 + ∥ ξ − η ) ∥ .
我们推断
∥ T型 ξ − T型 η ∥ ≤ M（M） 一 Γ ( τ + 1 ) M（M） ∥ ξ − η ∥ N个 + ∥ ξ − η ) ∥ = Λ ( ∥ ξ − η ) ∥ ) ,
哪里 Λ ( t吨 ) = L（左） 一 Γ ( τ + 1 ) M（M） t吨 N个 + t吨 对于 t吨 ≥ 0 .通过假设 ( H（H） 2 ) , Λ ∈ Φ .然后，
d日 ( T型 ξ , T型 η ) ≤ Λ F类 T型 第页 ( ξ , η ) ,
对于 第页 > 0 ，使用 σ 2 = σ 2 = σ 4 = 0 和 σ 1 = 1 .应用定理1，T型在中有一个固定点X（X），所以VFIE(23)在中有解决方案X（X）.

4.结论

所得结果统一了一个定理中的几个现有结果。我们列出了一些后果，但很明显，我们的主要结果会带来更多后果。关于论文的长度，我们跳过了。

作者贡献

B.A.分析和编写手稿，H.A.分析和编制/编辑手稿，E.K.分析和编写/编辑手稿件，V.R.分析和编制手稿。所有作者阅读并批准了最终手稿。

基金

我们声明资金不适用于我们的论文。

致谢

作者感谢经手的编辑和审稿人的仔细审查和有用的评论。作者衷心感谢沙特国王大学科学研究系主任为这个编号为RG-1437-017的小组提供资金。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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