奇摄动Burger–Huxley方程的拟合数值方法

摘要

本文研究了奇摄动非定常Burger–Huxley方程的数值处理。我们使用牛顿-拉夫森-坎托洛维奇近似方法将问题线性化。我们分别使用隐式欧拉方法和时间和空间变量的特殊拟合有限差分方法离散所得线性问题。我们给出了该方法的稳定性和收敛性分析，该方法是一阶参数一致收敛的。我们给出了几个模型示例来说明该方法的有效性。数值结果表明，该方法比文献中的一些方法更具收敛性。

1介绍

我们考虑以下非定常非线性奇摄动Burger–Huxley方程：

$$\textstyle\begin{cases}\text{pounds}_{\varepsilon}y（s，t）=\frac{\partialy}{\partic-t}-\varepsilon\frac}\partial^{2} 年}｛\partial s^｛2｝｝+\alpha y\frac｛\partial y｝｛\partial s｝-\lambda（1-y）（y-\theta）=0，\\（s，t）\in\Im=\Im｛s｝\times\Im｛t｝=（0,1）\times（0，t]，\\ y（s，0）=y_｛0｝（s），\ quad s\in\overline｛Im｝_｛s｝，\\ y（0，t）=\wp｛0｝（t），\ quad y（1，t）=\wp _｛1｝（t），\quad t\in（0，t]，\end｛cases｝$$

(1)

带左边界\（\Im_{l}=\lbrace（s，t）：s=0，t\in\Im__{t}\rbrace\），初始边界\（\Im_{i}=\lbrace（s，t）：t=0，s\in\Im__{s}\rbrace\）、和右边界\（\Im_{r}=\lbrace（s，t）：s=1，t\in\Im__{t}\rbrace\），其中ε是一个小的奇异摄动参数，使得\（0<\varepsilon\ll 1）,\（α1）,\（\lambda\ge 0\）,\（θ在（0,1）中）、和\（\partial\Im=\Im_{l}\cup\Im_{i}\cup \Im__{r}\）、功能\（\wp_{0}（t）\）,\（\wp_{1}（t）\）、和\（y_{0}\）被假设为足够光滑、有界且独立于ε.方程式(1)显示了描述非线性对流效应、反应机制和扩散传输之间相互作用的原型模型。这个方程有许多有趣的现象，如突发振荡[1]，群体遗传学[2]，间歇[三]分岔和混沌[4]. 基于钾和钠离子通量动力学的几种膜模型可以在[5].

在[6–16]作者构造了Burger方程的各种分析和数值方法。Burger–Huxley方程，其中最高阶导数项受小参数影响ε \（（0<\varepsilon\ll 1）\）被归类为奇摄动Burger–Huxley方程（SPBHE）。以下人员的在场ε而问题中的非线性导致了逼近问题解的严重困难。例如，由于ε，解揭示了边界层/尖锐内层，很难找到稳定的数值近似。在求解SPBHE时，除非使用特殊设计的网格[6–16]和其他标准数值方法无法给出可接受的结果。传统数值方法的这种局限性鼓励研究人员开发出可靠的数值技术，这些技术能够独立于ε考希克和夏尔玛[17]已调查的问题(1)在分段均匀Shishkin网格上使用有限差分法（FDM）。在[18]利用分段均匀Shishkin网格上的单调混合有限差分算子求问题的近似解(1). 自适应非均匀网格上的迎风FDM求解问题的近似解(1)由Liu等人提出[19]. 在[20–23]作者提出了一种基于拟合算子技术的参数均匀数值方法(1).

然而，问题解决方法的发展(1)处于婴儿期。这种局限性促使我们构造一个参数一致的数值格式来解决问题(1)基于拟合算子方法。建议的方法是ε-一致收敛的数值算法，不需要边界层位置和宽度的先验知识，这反过来又增加了求解所考虑问题的自由振荡解的难度。此外，所提出的方法需要较少的计算工作量来解决所考虑的问题族。

2连续问题解的先验估计

引理2.1

（最大值原理）

如果 \（y\箭头_{\部分\Im}\ge 0\） 和 \（（（\textit{\pounds}{\varepsilon}）y\arrowvert_{\Im}\ge0\）,然后 \（y\arrowvert_｛\overline｛\Im｝｝\ge 0\）.

证明

请参见[18]. □

引理2.2

（稳定性估计）

解决方案 \（y（s，t）\） 等式的. (1)是有界的,那就是,

$$\垂直y\垂直{\上划线{\Im}}\le T\垂直y_{0}\Vert_{\Im_{i}}+\Verty\垂直{\partial{\Im{}}$$

证明

请参见[18]. □

三数值格式的制定

3.1准线性化技术

方程式(1)可以重写为

$$\textstyle\begin｛cases｝\text{\bounds｝_｛\varepsilon｝y（s，t）=（\frac｛\partial y｝｛\partial t｝-\varepsilon \frac｛\partial^{2} 年}{部分s^{2}}）（s，t）=g（s，t，y（s，c），frac{部分y}{部分s2}（s，p \ in（0，t]，\结束{cases}$$

(2)

哪里\（g（s，t，y（s，t），\分数{\部分y}{\部分s}（s，c））=-\alpha y\分数{\partial y}{\parial s}+\lambda（1-y）（y-\θ）\）是的非线性函数秒,t吨,\（y（s，t）\）,\（\分数{\部分y}{\部分s}（s，t）\）.

为了线性化方程(1)，我们选择了一个合理的初始近似值\（y^{0}（s，t）\）对于函数\（y（s，t）\）在任期内\（g（s，t，y（s，t），\分数{\部分y}{\部分s}（s，c））\）它同时满足初始条件和边界条件，并且是通过所考虑问题的齐次部分的变量分离方法得到的；它是由

$$y^{0}（s，t）=y_{0}\exp\bigl（-\pi^{2} t吨\bigr）$$

现在我们将牛顿-拉夫森-坎托洛维奇近似技术应用于非线性项\（g（s，t，y（s，t），\分数{\部分y}{\部分s}（s，c））\）等式的(2)，可以线性化为

$$开始{对齐}&g\biggl（s，t，y^{（m+1）}（s，t），\frac{\partial y^{（m+1 y，t）-y^{（m）})}\\&\qquad{}+\biggl（\frac{\partial y^{（m+1）}}{\parial s}（m）}}{\部分s}（s，t）}+\cdot，\end{aligned}$$

(3)

哪里\（种族y^{（m）}\rbrace^{infty}_{m=0}\）是的近似解序列\（g（s，t，y^{（m.

为了简单起见，我们表示\（{y^{（m+1）}}=\hat{y}\）并替换等式(三)到等式(2)，它产生

$$\textstyle\begin{cases}\text{\pounds}_{\varepsilon}\hat{y}（s，t）=（\frac{\partial\hat}{\partitionalt}-\varepsilon\frac}\partial ^{2}\hat{y}}{\protial s^{2{+\gamma\frac[\partial/hat{y}{\platial s}+\delta\hat}）（s，0）=y_{0}（s），\quad s \ in \ overline{\Im}_{s}，\\hat{y}（0，t）=\phi_{0{（t），\ quad t \ in \ Overrine{\Im}_{t} ，（1，t）=φ{1}（t），上划线{Im}{t}，结束{cases}$$

(4)

哪里

$$\begin{aligned}&\gamma（s，t）=-\frac{\partial g}{\parial |_{（s，t，y^{（m）}&=g\biggl（s，t，y^{（m）}（s，t），\frac{\partialy^{（m）{}{\particals}}-\frac{\partialy^{，\分数{\部分y^{（m）}}{\部分s}（s，t））}。\end{aligned}\end{alinged}$$

3.2时间半离散化

现在我们将隐式Euler方法应用于均匀网格\（\Im^{米}_{\tau}=\T种族j\tau，0<j种族M，\tau=T/M种族至等式(4)在时间变量中：

$$\textstyle\begin{cases}（1+\tau\text{\pounds}_{\varepsilon}^{M}）\hat{Y}（s，t_{j+1}）=（-\varepsilon\frac{\partial^{2}\hat{Y}}{\parial s^{2{}+\gamma\frac}\partial/hat{Y}}{\spartials}+\delta\hat}Y}）（s，t_{j+1{）-v（s，t-{j+1}）=\hat{Y}（s，t_{j}），\\hat{Y}，\quad 0\le j\le M-1，\\\\hat｛Y｝（1，t_｛j+1｝）=\wp_｛1｝（t_｛j+1｝），\ quad 0\le j\le M-1。\结束{cases}$$

(5)

显然，操作员\（（I+\tau\text{\pounds}）^{米}_{\varepsilon}）\）满足最大值原理，这证实了半离散方程的稳定性(5).

引理3.1

（局部误差估计）

局部截断误差估计 \（e_{j+1}=\hat{y} 等式解的(5)以为界

$$\垂直e_{j+1}\Vert_{infty}\le C\tau^{2}$$

时间方向上的全局误差估计如下所示

$$\垂直E_{j}\Vert_{infty}\le C\tau，\quad j\le T/\tau$$

哪里 C类 是独立于 ε 和 τ.

证明

请参见[23]. □

引理3.2

溶液的导数 \（Y^{j+1}\） 等式的. (5)以为界

$$\biggl\Vert\frac{\部分^{i} Y（Y）^{j+1}（s）}{\部分s^{i}}\biggr\Vert_{\上划线{\Im}_{s}}\le C\biggl（1+\varepsilon^{-i}\exp\biggl（\frac{-（\gamma^{*}（1-s））}{\varepsilon}\bigr）\biggr），\quare 0\le i\le 4$$

证明

请参见[18].□

重写公式(5)作为

$$\textstyle\begin{cases}-\varepsilon\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}}{ds^{2}}+\gamma（s）\frac{dY^{j+1{s}{ds}+Q，\四0<j<M-1，\结束{案例}$$

(6)

哪里

$$Y^{j+1}=\hat{Y}^{j+1}（s），\qquad Q（s）=\biggl（\delta（s）+\frac{1}{\tau}\biggr），\quad\vartheta^{j+1}$$

3.3空间半离散化

在本节中，我们使用有限差分方法对问题进行空间离散化(6)步长均匀。对于右边界层问题，用奇异摄动理论[24]问题的零阶逼近的渐近解(6)表示为

$$Y^{j+1}\近似Y^{j+1}_{0}（s）+\frac{\gamma（1）}{\gama（s）}\bigl$$

(7)

哪里\（Y^{j+1}_{0}\）是简化问题的解决方案

$$\gamma（s）\frac｛dY ^｛j+1｝_｛0｝（s）｝｛ds｝+Q（s）Y ^｛j+1｝_｛0｝（s）=\vartheta^｛j+1｝（s）\ quad\text｛with｝Y ^｛j+1｝_｛0｝（1）=\wp _｛1｝^｛j+1｝$$

泰勒级数展开式中的第一项\（伽玛射线）关于点1，等式(7)成为

$$Y^{j+1}\近似于Y^{j+1}_{0}+\bigl（\wp_{1}^{j+1}-Y^{j+1}_{0}\bigr）\exp\biggl（-\gamma（1）\frac{1-s}{varepsilon}\biggr）+O（\varepsilen）$$

（8）

现在我们划分间隔$[0, 1]$进入之内N个与等分\（\ell=1/N\）生成空间网格\（\Im^{无}_{s} =\lbrace 0=s_{0}，s_{1}，s_{2}，\点，s_}N}=1\rbrace）.那么我们有\（s_{i}=i\ell\）,\（i=0,1,2，点，N）.通过考虑方程式(8)在\（s_{i}=i\ell\）作为\（\ell\rightarrow 0\）我们获得

$$\lim_{\ell\rightarrow 0}Y^{j+1}（i\ell）\approxix Y^{j+1}_{0}（0）+\bigl（\wp_{1}^{j+1}-Y^{j+1}_{0}（1）\bigr）\exp\biggl（-\gamma（1）$$

(9)

哪里\（\rho=\frac{\ell}{\varepsilon^{2}}\）.

让\（Y ^｛j+1｝（s）\）是区间的平滑函数$[0, 1]$然后通过应用泰勒级数，我们得到

$$开始{对齐}Y^{j+1}（s_{i+1}）&\近似Y^{i+1{i+1}\\&\近似Y ^{j+1}_{i}+\ell\frac{dY^{j+1}_}{i}}{ds}+\frac}{\ell^{2}{2！}\frac｛d^{2} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{2}}+\frac{ell^{3}}{3！}\frac{d^{3} 年^{j+1}{i}{ds^{3}}+\压裂{ell^{4}}{4！}\压裂{d^{4} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{4}}\\&\四{}+\压裂{ell^{5}}{5！}\压裂{d^{5} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{5}}+\frac{ell^{6}}{2！}\frac{d^{6} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{6}+\frac{ell^{7}}{7！}\frac{d^{7} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{7}}+\frac{ell^{8}}{8！}\frac{d^{8} 年^{j+1}_{i}}{ds^{8}}+O\bigl（\ell^{9}\bigr）\end{aligned}$$

(10)

和

$$\开始{对齐}Y^{j+1}（s_{i-1}）&\近似Y^{i+1}_{i-1}\\&\近似Y ^{j+1}_{我}-\ell\frac{dY^{j+1}_{i}}{ds}+\frac{ell^{2}}{2！}\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{2}}-\frac{ell^{3}{3！}\frac{d^{3} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{3}}+\压裂{ell^{4}}{4！}\压裂{d^{4} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{4}}\\&\四{}-\压裂{ell^{5}}{5！}\压裂{d^{5} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{5}}+\frac{ell^{6}}{2！}\frac{d^{6} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{6}}-\压裂{ell^{7}}{7！}\压裂{d^{7} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{7}}+\frac{ell^{8}}{8！}\frac{d^{8} Y（Y）^{j+1}_{i}}{ds^{8}}-O\bigl（\ell^{9}\bigr）。\结束{对齐}$$

(11)

添加等式(10)以及等式(11)，我们得到

$$Y^{j+1}_{i-1}-2Y^{j+1}_{i}+Y^{j+1{i+1}=\压裂{2\ell^{2}}{2！}\压裂{d^{2} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{2}}+\frac{2\ell^{4}}{4！}\frac{d^{4} 年^{j+1}{i}{ds^{4}}+\frac{2\ell^{6}}{2！}\frac{d^{6} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{6}+\压裂{2\ell^{8}}{8！}\压裂{d^{8} Y（Y）^{j+1}_{i}}{ds^{8}}+O\bigl（\ell^{10}\bigr）$$

(12)

和

$$\开始{aligned}&\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}{i-1}{ds^{2}}-\frac{d^{2} Y（Y）^｛j+1｝_｛i｝｝｛ds^｛2｝｝+\frac｛d^{2} Y（Y）^{j+1}{i+1}}{ds^{2}}\\&\quad=\frac{2\ell^{2{}{2！}\frac{d^{4} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{4}}+\frac{2\ell^{4{}{4！}\frac{d^{6} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{6}}+\frac{2\ell^{6{}{6！}\frac{d^{8} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{8}}+\压裂{2\ell^{8{{8！}\压裂{d^{10} Y（Y）^{j+1}_{i}}{ds^{10}}+O\bigl（\ell^{12}\bigr）。\结束{对齐}$$

(13)

替换\（\压裂{\ell^{4}}{12}\压裂{d^{6} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{6}}\）根据方程式(13)到等式(12)，我们获得

$$Y^{j+1}_{i-1}-2Y^{j+1}_{i}+Y^{j+1{i+1}=\压裂{\ell^{2}}{30}\biggl（\压裂{d^{2} Y（Y）^｛j+1｝_｛i-1｝｝｛ds^｛2｝｝+28\frac｛d^{2} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{2}}+\压裂{d^{2} Y（Y）^{j+1}_{i+1}}{ds^{2}}\biggr）+R$$

(14)

哪里\（R=\压裂{\ell^{4}}{20}\压裂{d^{4} Y（Y）^｛j+1｝_｛i｝｝｛ds^｛4｝｝-\frac｛13\ell^｛6｝｝｛302400｝\frac｛d^{8} Y（Y）^{j+1}_{i}}{ds^{8}}+O（ell^{（10）}）.

现在从等式(6)我们有

$$\textstyle\begin{cases}\varepsilon\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}_{i-1}}{ds^{2}=\gamma_{i-1}\frac{dY^{j+1}_{i-1}}{ds}+Q_{i-1}Y^{j+1}_｛i-1｝-\变θ^{j+1}{i-1}，\\varepsilon\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}{i}}{ds^{2}=\gamma_{i}\frac{dY^{j+1{i}{ds}+Q_{i} Y（Y）^{j+1}_{我}-\变θ^{j+1}{i}，\\varepsilon\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}_{i+1}}{ds^{2}=\gamma_{i+1}\frac{dY^{j+1}_{i+1}{ds}+Q{i+1{Y^{j+1}{i+1$$

(15)

我们估计的位置\（\压裂{dY^{j+1}_{i-1}}{ds}\）,\（\压裂{dY^{j+1}_{i}}{ds}\）、和\（\压裂{dY^{j+1}_{i+1}}{ds}\）使用非对称有限差分[25]:

$$\textstyle\begin{cases}\frac{dY^{j+1}_{i-1}}{ds}\approx\frac{-Y^{j+1}_}_{i+1}+4Y^{j+1}_{i} -3年^{j+1}{i-1}{2\ell}+\ell\frac{d^{2} 年^{j+1}_{i}}{ds^{2}}+O（ell^{2{），\\frac{dY^{j+1}{i}{ds}\approx\frac{Y^{j+1}_{i+1}-Y^{j+1}{i-1}}{2\ell}+O裂缝{3Y^{j+1}_{i+1}-4Y^{j+1}_{i}+Y^{i+1{i-1}}{2\ell}-\ell\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}_{i}}{ds^{2}}+O（ell^{2{）。\结束{cases}$$

(16)

替换公式(16)到等式(15)，我们获得

$$\textstyle\boot｛cases｝\varepsilon\frac｛d^{2} Y（Y）^{j+1}_{i-1}}{ds^{2}}=\gamma_{i-1}（\frac{-Y^{j+1}_{i+1}+4Y^{j+1}_{i} -3年^{j+1}_{i-1}}{2\ell}）+Q_{i-1}Y^{j+1}_{i-1}-\vartheta^{j+1}_{i-1}，\\varepsilon\frac{d^{2} Y（Y）^｛j+1｝_｛i｝｝｛ds^｛2｝｝=γ_｛i｝（\frac｛Y^｛j+1｝_｛i+1｝-Y^｛j+1｝_｛i-1｝｝｛2\ell｝）+Q_{i} Y（Y）^{j+1}_{我}-\vartheta^{j+1}_{i}，\\varepsilon\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}_{i+1}}{ds^{2}}=\gamma_{i+1}（\frac{3Y^{j+1}_{i+1}-4Y^{j+1}_{i}+Y^{j+1}_{i-1}}{2\ell}）+Q_{i+1}Y^{i+1{i+1}_i+1}-\vartheta^{j+1{i+1。\结束{cases}$$

(17)

插入公式(17)转化为等式(14)重新安排，我们得到

$$\开始{aligned}&\biggl（\varepsilon+\frac{\gamma_{i+1}\ell}{30}-\压裂{\gamma_{i-1}\ell}{30}\biggr）\biggl（\压裂{Y^{j+1}_{i-1}-2Y^{j+1}{i}+Y^{j+1}{i+1}}{ell^{2}\biggr）\\&\quad=\biggl（\frac{-\gamma_{i-1}}{20\ell}+\frac}{30}-压裂{7\gamma_{i}}{15\ell}+\frac{\gamma_{i+1}}{60\ell}\biggr）Y^{j+1}{i-1}+\biggl（压裂{\gama_{i-1{{15\ill}+\frac{14Q_{i{}{15\ ell}-\frac}\gamma_2i+1}{15\sell}）Y^j+1}{i}\\&\qquad{}+\biggl（\frac{-\gamma{i-1}}{60\ell}+\frac}7\gamma_{i}}{15\ell}+\frac{\gamma i+1}}{20\ell}+\ frac{i+1}}{30}\biggr）Y^{j+1}{i+1}-\frac{1}{30}\bigl（\vartheta^{j+1}{i-1}+28\vartheta ^{j+1}{i}+\varthetab^{j+1}{i+1}\bigr）。\结束{对齐}$$

(18)

引入恒定拟合因子\（\西格玛（\ rho）\）在等式中(18)，我们获得

$$\开始{aligned}&\biggl（\sigma（\rho）\varepsilon+\frac{\gamma_{i+1}\ell}{30}-\压裂{\gamma_{i-1}\ell}{30}\biggr）\biggl（\压裂{Y^{j+1}_{i-1}-2U^{j+1}{i}+Y^{j+1}{i+1}}{ell^{2}\biggr）\\&\quad=\biggl（\frac{-\gamma_{i-1}}{20\ell}+\frac}｛30｝-压裂{7\gamma_{i}}{15h}+\压裂{\gamma_{i+1}}{60\ell}\biggr）Y^{j+1}{i-1}+\biggl（压裂{\gamma_{i-1{}{15\ell}+\裂缝{14Q_{i{}}{15}-压裂{\gamma_{i+1}}{15h}\biggr{i+1}-\frac{1}{30}\bigl（\vartheta^{j+1}{i-1}+28\vartheta ^{j+1}{i}+\varthetab^{j+1}{i+1}\bigr）。\结束{对齐}$$

(19)

乘法(19)由ℓ并将限制视为\（\ell\rightarrow 0\），我们得到

$$\lim_{\ell\rightarrow0}\sigma（\rho）\biggl（\frac{Y^{j+1}_{i-1}-2Y^｛j+1｝_｛i｝+Y^｛j+1｝_｛i+1｝｝｛\rho｝\biggr）=\frac｛\gamma（0）｝｛2｝\bigl（Y^｛j+1｝_｛i+1｝-Y^｛j+1｝_｛i-1｝\bigr）$$

(20)

使用公式(9)，我们有

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\sigma（\rho）}{\rho}\lim_{\ell\rightarrow0}（Y^{j+1}（i\ell-\ell）-2Y^{j+1}1}{\varepsilon}-i\rho））（\exp（\gamma（1）\rho\lim_{\ell\rightarrow 0}（Y^{j+1}（i\ell+\ell）-Y^{j+1}）。\结束{cases}$$

在等式中使用上述表达式(20)，我们得到

$$\frac{\sigma（\rho）}{\rho}\bigl（e^{\gamma（1）\rho{-2+e^{-\gamma-（1）\ rho}\bigr）=\frac}\gamma（0）}{2}\bigle（equ{\gama（1）\sho}-e^{-\ gamma$$

关于简化，我们得到

$$\sigma（\rho）=压裂{\gamma（0）\rho}{2}\coth\biggl（压裂{\gamma（1）\rho2}\biggr）$$

(21)

它是常数拟合因子的要求值\（\sigma（\rho）\）最后，使用公式(19)以及\（\sigma（\rho）\）由等式给出(21)，我们得到

$$\开始{aligned}&\text{\pounds}^{N，M}Y^{j+1}{i}=\chi^{-}_{i} 年^{j+1}{i-1}+\chi^{c}_{i} Y（Y）^{j+1}{i}+chi^{+}_{i} Y（Y）^{j+1}_{i+1}=\mu^{j+1}_{i}，\\&\quad i=1,2，\dots，N-1，j=0,1，\dotes，M-1，\end{aligned}$$

(22)

哪里

$$\textstyle\boot｛cases｝\chi^{-}_{i} =-\frac{\sigma（\rho）\varepsilon}{\ell^{2}}-\frac{\gamma_{i-1}}{60\ell}-\frac{28\gamma_{i}}{60/ell}-\ frac{γ_{i+1}}{60 \ell}+\frac}Q{i-1{}}{30}，\\chi^{c}_{i} =frac{2\sigma（\rho）\varepsilon}{\ell^{2}}+\frac{28Q{i}}{30}，\\chi^{+}{i}=-\frac}\sigma}{60h}+\frac{Q{i+1}}{30}，\\mu{i}^{j+1}=\frac}1}{30{（\vartheta^{j+1}{i-1}+28\vartheta ^{j+1}{i}+\varthetata^{j+1}{i}）。\结束{cases}$$

对于足够小的网格尺寸，上述矩阵是非奇异的，并且\（\vert\chi）^{c}_{i} \ vert\ge\ vert\chi^｛c｝_{i} \vert+\vert\chi^{+}_{i}\vert\）。因此[26]矩阵χ是一个M矩阵，有一个逆矩阵。因此，等式(22)可以通过给定边界条件的矩阵求逆来求解。

4收敛性分析

引理4.1

如果 \（Y_{i}^{j+1}\ge 0\） 在 \（i=0，N） 和 \（英镑）^{N，M}Y_{i} ^{j+1}\ge 0\） 在 \（上划线{\Im}^{N，M}\）,然后 \（Y_{i}^{j+1}\ge 0\） 在每个点 \（\overline｛\Im｝^｛N，M｝\）.

引理4.2

解决方案 \（Y^{j+1}_{i}\） 中离散格式的(22)在 \（上划线{\Im}^{N，M}\） 满足以下界限:

$$\bigl\Vert Y^{j+1}_{i}\bigr\Vert\le\max\bigl\ lbrace\bigl\Vert Y^}_{0}\biger\Vert，\bigl\fert Y^{j+1}_{N}\bigr\Vert\bigr\rbrace+\frac{\Vert\textit{\pounds}^{N，M}\Vert}{Q^{*}}$$

哪里 \（Q（s_｛i｝）\ge Q^｛*｝>0\）.

因此引理4.2确认离散方案(22)在上确范数下一致稳定。

引理4.3

如果 \（C^{3}（I）中的Y\）,那么空间离散化中的局部截断误差为

$$\vert\top_{i}\vert\le\max_{s_{i-1}\le-s\les_{i+1}}\biggl\lbrace\frac{28\gamma\ell^{2}}{180}\bigl\vert\frac{d^{3} Y（Y）^{j+1}（s）}{ds^{3}}\biggr\vert\biggr\rbrace+O\bigl（\ell^{3{bigr），\quad i=1,2，\dots，N-1$$

证明

根据定义

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}\top_{i}&=-\sigma\varepsilon\biggl\lbrace\frac{Y^{j+1}_{i-1}-2Y^{j+1}_{i}+Y^{j+1{i+1}}{\ell^{2}}-\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}_{i}}{ds^{2}}\biggr\rbrace\&\quad{}+\frac{\gamma_{i-1}}{30}\bigl\lbrace\biggl（\fracc{-3Y^{j+1}_{i-1}+4Y^{j+1}_{i} -是^{j+1}{i-1}{2\ell}+\ell\frac{d^{2} Y（Y）^{j+1}_{i}}{ds^{2}}\biggr）-\frac{dY^{j+1}_{i-1}{ds}\bigr\rbrace\&\quad{}+\fracc{28\gamma_{i{}{30}\bigl\lbrace\frac{Y^{j+1}__{i+1}-Y^{i+1{i}}{ds}\biggr\rbrace\&\quad{}+\frac{\gamma{i+1}}{30}\bigbl\lbrace\biggl（\frac}Y^{j+1}_{i+1}-4Y^{j+1}_{i}+3Y^{i+1{{i+1^{2} Y（Y）^{j+1}_{i}}{ds^{2}}\biggr）-\frac{dY^{j+1{i+1}}{ds}\bigr\rbrace，\\&\quad i=1（1）N-1。\结束{aligned}\\&\开始{aligned}\quad\Rightarrow\quad\\top_{i}&=-\sigma\varepsilon\biggl\lbrace\frac{\ell^{2}}{12}\frac{d^{4} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{4}}+\frac{ell^{4{}{360}\frac{d^{6} Y（Y）^{j+1}{i}}{ds^{6}}+\cdots\biggr\rbrace+\frac{gamma{i-1}}{30}\biggl\lbrace\ell\fracc{d^{2} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{2}}-\压裂{2\ell^{2{}{3}\压裂{d^{3} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{3}+\biggr\rbrace\&\quad{}+\frac{28\gamma_{i}}{30}\biggl\lbrace\frac{\ell^{2}{6}\frac}d^{3} 年^{j+1}{i}{ds^{3}+\frac{ell^{4}}{120}\frac{d^{5} Y（Y）^{j+1}{i}}{ds^{5}}+\cdots\biggr\rbrace\&\quad{}+\frac{\gamma{i+1}}{30}\biggl\lbrace-\ell\frac}d^{2} Y（Y）^{j+1}{i}{ds^{2}}-\压裂{2\ell^{2{}{3}\压裂{d^{3} Y（Y）^｛j+1｝_｛i｝｝｛ds^｛3｝｝+\cdots\biggr\rbrace\end｛aligned｝\\&&quad\Rightarrow\quad\vert\top _｛i｝\vert\le\max _｛s_｛i-1｝\le s\le s_｛i+1｝｝\biggl\lbrrace\frac｛\sigma\ell ^｛2｝\varepsilon｝｛12｝\biggl\vert\frac｛d^{4} Y（Y）^{j+1}（s）}{ds^{4}}\biggr\vert\biggr\rbrace+\max_{s{i-1}\le-s\le-s_{i+1}}\biggl\lbrace\frac{28}{180}\gamma\ell^{2}\bigl\vert\frac{d^{3} Y（Y）^{j+1}（s）}{ds^{3}}\biggr\vert\biggr\rbrace。\结束{对齐}$$

使用关系(22)带有\（W=压裂{\gamma（0）}{2}\coth（压裂{\gamma（1）\rho}{2{）），我们得到

$$\开始{aligned}&\右箭头\quad\vert\top_{i}\vert\le\max_{s_{i-1}\le-s\le-s_{i+1}}\biggl\lbrace\frac{W\ell^{3}}{12}\bigl\vert\frac{d^{4} Y（Y）^｛j+1｝（s）｝｛ds^｛4｝｝\biggr\vert\biggr\rbrace+\max_｛s_｛i-1｝\le s\le s_｛i+1｝｝\biggl\lbrace\frac｛28｝｛180｝\gamma\ell^｛2｝\biggl\vert\frac｛d^{3} Y（Y）^{j+1}{ds^{3}}\biggr\vert\biggr\rbrace\&\Rightarrow\quad\vert\top_{i}\vert\le\max_{s{i-1}\le-s\les_{i+1}}\biggl\lbrace\frac{28}{180}\gamma\ell^{2}\bigl\vert\frac{d^{3} Y（Y）^{j+1}}{ds^{3}}\biggr\vert\biggr\rbrace+O\bigl（\ell^{3{bigr）\\&\Rightarrow\quad\vert\top_{i}\vert\leO\bigr（\ll^{2}\biger），\quad i=1,2，\dots，N-1。\结束{对齐}$$

这样我们就得到了预期的结果。 □

引理4.4

让 \（Y（s_{i}，t_{j+1}）\） 是问题的解决方案(6),然后让 \（Y^{j+1}_{i}\） 是离散问题的解(22).那么我们有以下估计:

$$\bigl\vert Y（s_{i}，t_{j+1}）-Y^{j+1{i}\bigr\vert\leO\bigl（\ell^{2}\biger）$$

证明

重写公式(22)以矩阵向量形式表示为

$$ZY=H$$

(23)

哪里\（Z=（chi_{i，j}）,\（0\le j\le M-1）,\（1），是具有的三对角矩阵

$$开始{aligned}&\chi_{i-1，j+1}=-\frac{\sigma（\rho）\varepsilon}{\ell^{2}}-\frac{\gamma_{i-1}}{60\ell}-\frac{28\gamma_{i}}{60/ell}-\ frac{γ_{i+1}}{60 \ell}+\frac}Q_{i-1\}{30}，\&\chi_{i，j+1}=frac{2\sigma（\rho）\varepsilon}{\ell^{2}}+\frac{28Q{i}}{30}，\\&\chi{i+1，j+1}=-\frac}\sigma}+压裂{\gamma_{i-1}}{60\ell}-\压裂{\gamma_{i+1}}{60/ell}+\压裂{28\gamma_1}{60\ ell}+\frac{Q{i+1{30}，\结束{aligned}$$

和\（H=（\mu^{j+1}_{i}）是带有的列向量\（（（mu^{j+1}{i}）=frac{1}{30},\（i=1,2，\点，N-1），具有局部截断错误

$$\vert\top_{i}\vert\le C\bigl（\ell^{2}\bigr）$$

我们也有

$$Z\上一行{Y}（Y）-\顶部（\ell）=H$$

(24)

哪里\（上划线{Y}=（上划线{Y}（Y）_{0}，\上划线{Y}（Y）_{1} ，\点，\上划线｛Y｝_{N} ）^{t}\）和\（\top（\ell）=（\top_{1}（\ell），\top_}2}（\ ell），\dots，\top_{N}（\fell））^{t}\）分别是实际解和局部截断误差。

来自等式(23)和(24)我们得到

$$Z（上一行{Y} -是)=\top（\ell）$$

(25)

然后等式(25)可以写为

$$ZE=\top（\ell）$$

(26)

哪里\（E=上一行{Y} -是=（顶部{0}，顶部{1}，顶端{2}，点，顶端{N}）^{t}.让S公司是元素的总和我第行，共行Z轴.那么我们有

$$\开始{aligned}&\Gamma_{1}=\sum^{N-1}_{j=1}\chi{1，j}=\frac{\sigma\varepsilon}{\ell^{2}}+\frac}\gamma_{i+1}}{60\ell}+\frac{\gamma_1}{60\ ell}+\ frac{28Q_{i}}{30}+\frac{Q_i+1}{30{+\frac{28\gamma_2i}}}{60/ell}，\\&\gamma_{N-1}=\总和^{N-1}_｛j=1｝\chi｛N-1，j｝=\frac｛\sigma\varepsilon｝｛\ell^｛2｝｝-\frac｛\gamma｛i+1｝｝｛60\ell｝-\frac｛\gamma｛i-1｝｝｛60\ell｝+\ frac｛28Q_｛i｝｝｛30｝+\ frac｛Q_｛i-1｝｝{30}-压裂{28\gamma_{i}}{60\ell}，开始{aligned}\gamma_{i}&=\sum^{N-1}_{j=1}\chi_{i，j}=\frac{1}{30}\bigl（\vartheta^{j+1}_{i-1}+28\vartheta ^{j+1}_{i}+\varthetab^{j+1}_{i+1}\bigr）；\四元i=2（1）N-2，\结束{aligned}\结束{aligned}$$

哪里\（B_{i0}=\伽马{i}=\压裂{1}{30}.

自\（0<\varepsilon\ll 1\），足够小ℓ，矩阵Y（Y）是不可约且单调的。接下来就是\（Z^{-1}\）存在且其元素为非负[27]. 因此，从方程式(26)我们获得

$$E=Z^{-1}\top（\ell）$$

和

$$\Vert E\Vert\le\bigl\Vert Z^{-1}\bigr\Vert\bigl\Vert\top（\ell）\bigr\ Vert$$

(27)

让\（上划线{chi}_{ki}\）成为\（（ki）\）的第个元素\（Z^{-1}\）.自\（上划线{\chi}_{ki}\ge 0\）根据矩阵与其逆矩阵乘法的定义，我们得到了

$$\sum_{i=1}^{N-1}\上划线{chi}_{ki}\Gamma_{i}=1，\quad k=1,2，\dots，N-1$$

因此，可以得出以下结论

$$\sum_{i=1}^{N-1}\上划线{\chi}_{ki}\le\frac{1}{\min_{0\lei\leN-1}\Gamma_{i}}=\frac}{B_{i，0}}\le\frac{1}}{\vertB_{i0}\vert}$$

（28）

对一些人来说我0介于1和之间\（N-1）、和\（B_{i0}=\Gamma_{i}\）.根据方程式(23), (27)、和(28)我们获得

$$E_{i}=\sum^{N-1}_{i=1}\上划线{\chi}_{ki}\top（\ell），\quad i=1（1）N-1$$

这意味着

$$E_{i}\le\frac{C（\ell^{2}）}{\vert\Gamma_{i}\ vert}，\quad i=1（1）N-1$$

因此

$$\Vert E\Vert\le C\bigl（\ell^｛2｝\bigr）$$

这意味着空间半离散化过程是二阶收敛的。 □

定理4.5

让 \（y（s，t）\） 是问题的解决方案(1),然后让 \（是^｛j｝_{i} \） 是通过所提出的方案获得的数值解(22).然后我们对全离散格式进行以下误差估计:

$$\sup_{0<\varepsilon\ll 1}\max_{s_{i}，t_{j}}\bigl\vert y（s_{i}，t_{j}）-y^｛j｝_{i} \bigr\vert\le C\bigl（\tau+（\ell）^{2}\bigr）$$

证明

通过组合引理的结果3.1和4.4我们得到了所需的界。 □

5数值示例、结果和讨论

在本节中，我们考虑三个模型问题来验证所提方法的理论结果。由于所考虑示例的精确解未知，我们计算了每个示例的最大绝对误差ε在中给出[28]由

$$E^{N，\tau}_{\varepsilon}=\max_{（s_{i}，t_{j+1}）\in\Im^{N、M}}\bigl|Y^{N和\tau}（{s_{i}}，t_{j+1}）-Y^{2N，\tao/2}（s_2i}、t_{j+1）\bigr|$$

以及每个函数的相应收敛阶ε通过

$$r^{N，\tau}_{\varepsilon}=\log_{2}\bigl（E^{N、\tau}_{\varesilon}/E^{2N，\tao/2}_{\ varepsilen}\bigr）$$

对于所有人N个和τ，的ε-一致最大误差及其对应ε-使用以下公式计算均匀收敛阶

$$E^{N，\tau}=\max_{\varepsilon}E^{N，\tao}{{\varesilon}\quad\text{和}\quad r^{N、\tau}=\log_{2}\bigl（E^{N，\tau}/E^{2N，\taw/2}\bigr），\quad_text{分别}$$

例5.1

考虑以下SPBHE：

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\partialy}{\particalt}-\varepsilon\frac}\partial^{2} 年}{部分s^{2}}+y\frac{部分y}{\partial s}-（1-y）（y-0.5）=0，\quad（s，t）\in \Im，\y（s，0）=s（1-s^{2}），\quad0\les\le1，\\y（0，t）=0=y（1，t）=0.，\quadt\in（0，t]。\end{cases}$$

例5.2

考虑以下SPBHE：

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\partialy}{\particalt}-\varepsilon\frac}\partial^{2} 年}{部分s^{2}}+y\frac{部分y}{部分s}=0，在\Im中的（s，t），在\y（s，0）=s（1-s^{2}），在\ quad 0\le s\le 1，在\ y（0，t）=0=y（1，t）=0，在\ quad t\ in（0，t].\ end{cases}$$

示例5.3

考虑以下SPBHE：

$$\textstyle\begin{cases}\frac{\partialy}{\particalt}-\varepsilon\frac}\partial^{2} 年}{部分s^{2}}+y\frac{部分y}{\partial s}=（1-y）（y-0.5），\quad$$

这个\（E^{N，\tau}_{varepsilon}\） \（E^{N，\tau}\）、和\（r^{N，\tau}\）例如5.1,5.2、和5.3列出了各种值ε,M（M）、和N个在表中1–4这些结果表明，该方案显示了一阶参数一致收敛性。此外，数值结果表明，该方法的计算结果优于[17–19,23]. 示例数值解的三维视图5.1和5.2在\（N=64）,\（M=40）、和\（\varepsilon=2^{-18}\）如图所示1.的影响ε图中显示了所考虑问题的解决方案配置文件上的时间步长2和三分别是。示例最大绝对误差的对数图5.1–5.3如图所示4该图表明，所获得的该方法的理论收敛速度与数值实验一致。

图1

数值解的三维视图\（N=64）,\（M=40）,\（varepsilon=2^｛-18｝）: (一)示例5.1, (b)示例5.2

图2

的影响ε关于具有层形成的溶液的行为：(一)示例5.1, (b)示例5.2

图3

的数值解\（N=64）,\（M=40）,\（\varepsilon=2^{-16}\）在不同的时间级别：(一)示例5.1, (b)示例5.2

图4

示例5.1(一)，示例5.2(b)、和示例5.3(c（c）)：不同值的最大绝对误差的对数标度图ε

表1\（E^{N，\tau}_{varepsilon}\）,\（E^{N，\tau}\）、和\（r^{N，\tau}\）例如5.1具有\（M=N）

表2\（E^{N，\tau}_{varepsilon}\）,\（E^{N，\tau}\）、和\（r^{N，\tau}\）例如5.1

表3\（E^{N，\tau}_{varepsilon}\）,\（E^{N，\tau}\）、和\（r^{N，\tau}\）例如5.2

表4\（E^{N，\tau}_{varepsilon}\）,\（E^{N，\tau}\）、和\（r^{N，\tau}\）例如5.3具有\（τ=0.0001）

6结论

我们给出了奇摄动非定常Burger–Huxley方程的参数一致数值格式。该格式由时间方向的隐式欧拉法和空间方向的特殊拟合有限差分法组成。给出了该格式的理论和数值稳定性以及参数一致收敛性分析。给出的方法如下所示ε-收敛阶一致收敛\（O（\tau+\ell^｛2｝）\）给出了几个模型实例，以说明该方法的有效性。与[17–19,23].