高斯柠檬酸函数不等式的Padé逼近

摘要

基于Padé逼近方法，我们提出了高斯柠檬酸函数的新不等式。我们还解决了Sun和Chen提出的关于高斯旅线函数不等式的一个猜想。

1介绍

狐猴线，也被称为伯努利狐猴线，是点的轨迹\（（x，y）\）在满足方程的平面上\（（（x^{2}+y^{2{）^{2neneneep=x^{2]+y^}\）.极坐标\（（r，θ），方程式变为\（r^{2}=\cos（2\theta）\）其弧长由函数给出

$$\开始{aligned}\operatorname{arcsl}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{4}}}\，\mathrm{d} t吨，\quad\vert x\vert\leq1，\end{对齐}$$

(1.1)

其中，arcsl被称为高斯在1797-1798年研究的反柠檬酸正弦函数。高斯研究的另一个柠檬酸函数是双曲弧柠檬酸正弦函数，定义为

$$\开始{aligned}\operatorname{圆弧}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1+t^{4}}\，\mathrm{d} t吨，\四个x\in\mathbb{R}。\结束{对齐}$$

(1.2)

功能(1.1)和(1.2)可以找到（请参见[1]，第1章[2]，第259页，以及[三——11]).

在中引入了另一对柠檬酸函数，即弧柠檬酸切线arctl和双曲弧柠檬酸正切arctlh[4], (3.1)-(3.2). 其中已经证明

$$\开始｛对齐｝\运算符名称{arctl}x=\operatorname{arcsl}\biggl（\frac{x}{\sqrt[4]{1+x^{4}}}\bigr），\quad x\in\mathbb{R}\end{aligned}$$

（1.3）

和

$$\开始{aligned}\operatorname{arctlh}x=\operatorname{arcslh}\biggl（\frac{x}{\sqrt[4]{1-x^{4}}}\bigr），\quad|x|<1\end{aligned}$$

(1.4)

（请参见[4]，建议3.1）。

最近，人们对柠檬酸函数给出了许多不等式[6,9——11]. 例如，纽曼[6]证明了以下不等式：

$$\biggl（\frac｛5｝｛3+2（1-x^｛4｝）^｛1/2｝｝\biggr）^｛1/2｝<\frac｛\operator名称{arcsl}x}{x} <\bigl（1-x^{4}\bigr）^{-1/10}$$

(1.5)

和

$$\biggl（\frac{5}{3+2（1+x^{4}）^{1/2}}\biggr）^{1/2}<\frac{\operatorname{圆弧}x}{x} <\bigl（1+x^{4}\bigr）^{-1/10}$$

(1.6)

对于\（0<|x |<1）.

剃须刀[12]指出了所选函数的几个基本二次逼近，但没有证明。随后，Shafer[13]将这些结果建立为解析不等式。例如，Shafer[13]证明了这一点\（x>0）,

$$\压裂{8x}{3+\sqrt{25+\压裂{80}{3} x个^{2} }}<\arctan x$$

(1.7)

不平等(1.7)也可以在中找到[14]. 朱[15]发达的(1.7)产生对称二重不等式

$$\压裂{8x}{3+\sqrt{25+\压裂{80}{3} x个^{2} }}<\arctan x<\frac{8x}{3+\sqrt{25+\frac{256}{\pi^{2}}x^{2{}}，\quad x>0$$

(1.8)

其中常量$80/3$和\（256/\pi^{2}\）是最好的。在[15](1.8)称为Shafer型不等式。

莫蒂奇和斯利瓦斯塔瓦[16]给出了arctan的新界x个。三角函数的一些不等式在[17].

最近，孙和陈[18]为柠檬酸函数建立了以下Shafer型不等式：

$$\开始{aligned}&\frac{10}{5+\sqrt{25-10x^{4}}}{arcsl}x}{x} ，\四元0<x<1，\结束{对齐}$$

(1.9)

$$\开始{aligned}&\frac{10}{5+\sqrt{25-15x^{4}}}{arctlh}x}{x} ，\四元0<x<1，\结束{对齐}$$

(1.10)

$$开始{aligned}&\frac{95}{80+\sqrt{225+285x^{4}}}{圆弧}x}{x} ，\四个x>0，\结束{对齐}$$

(1.11)

并提出了以下猜想。

推测1.1

对于 \（x>0）,

$$\frac{\operatorname{圆弧}x}{x} <\压裂{95+\压裂{931}｛2925｝x^{12} }{80+\sqrt{225+285x^{4}}$$

(1.12)

和

$$\frac{1210}{940+9\sqrt{900+1210x^{4}}{arctl}x}{x} <\frac{1210+\frac{2{，}078{，{417}{280{，｝800}x^{12}}{940+9\sqrt{900+1210x^{4}}}$$

(1.13)

基于Padé逼近方法，本文提出了高斯柠檬酸函数的新不等式。我们还证明了猜想1.1.

本文中的一些计算是使用Maple软件进行的。

2Padé近似值

为了便于以后使用，我们引入了Padé近似（参见[19——21])。让（f）是一个形式的幂级数，

$$\开始{aligned}f（t）=c_{0}+c_{1} t吨+c（c）_{2} t吨^{2} +\cd点。\结束{对齐}$$

(2.1)

阶的Padé逼近\（（p，q）\）函数的（f）是有理函数，表示为

$$\开始{aligned}{}[p/q]{f}（t）=\frac{\sum_{j=0}^{p} 一个_{j} t吨^{j} {1+\sum{j=1}^{q} b条_{j} t吨^{j} }，\结束{对齐}$$

(2.2)

哪里\（p\geq0）和\（问题1）是任何给定的整数，系数\（{j}\）和\（b{j}\）由给出（参见[19,21])

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}a{0}=c{0}，\\a{1}=c_{0}b_{1} +c_{1}，\\a_{2}=c_{0}b_{2} +c_{1} b条_{1} +c_{2}，\\vdots\\a_{p}=c_{0}b_{p} +\cdots+c_｛p-1｝b_{1} +c_{p，}\\0=c_{p+1}+c_{p} b_{1} +\cdots+c{p-q+1}b{q}，\\vdots&\\0=c{p+q}+c{p+q-1}b{1}+\cdot+c_{p} b条_{q} ，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

（2.3）

我们有

$$\开始{aligned}{}[p/q]_{f}（t）-f（t）=O\bigl（t^{p+q+1}\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.4)

因此，第一个\（p+q+1）级数展开式的系数\（[p/q]{f}\）与以下各项相同（f）此外，我们有（参见[20])

$$\begin{aligned}&[p/q]{f}（t）=\frac{left\vert\begin{matrix}t^{q} （f）_{p-q}（t）&t^{q-1}f_{p-q+1}（t）&\cdots&f{p}\c_{p-q+1}&c_{pq+2}&\cdots&c{p+1}\\vdots&\vdots＆\ddots&\ vdots\\c_{p}&c{p+1}&\cdots&c{p+q}\end{matrix}\right\vert}，\end{对齐}$$

(2.5)

具有\（f{n}（x）=c{0}+c_{1} x个+\cdots+c_{n} x个^{n} \），的n个级数的第个部分和（f）(\（f{n}\）为零\（n<0）).

陈[9]介绍了以下电源系列扩展（针对\（垂直x垂直<1）):

$$\开始{aligned}&\frac{\operatorname{arcsl}x}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma（n+\frac{1}{2}）}{\sqrt{\pi}（4n+1）\cdot n！}x^｛4n｝，\结束｛对齐｝$$

(2.6)

$$\begin｛aligned｝&&frac｛\operator名称{圆弧}x}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}（-1）^{n}\frac{\Gamma（n+\frac{1}{2}）}{\sqrt{\pi}（4n+1）\cdot n！}x^{4n}，\结束{对齐}$$

(2.7)

$$\开始{aligned}&\frac{\operatorname{arctl}x}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}（-1）^{n}\frac{\Gammax^{4n}\结束{对齐}$$

(2.8)

和

$$\开始{aligned}\frac{\operatorname{arctlh}x}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gammax^{4n}。\结束{对齐}$$

(2.9)

我们现在考虑函数的Padé近似\（\frac{\operatorname{arcsl}x}{x} \）在这一点上\（x=0）.让

$$\开始{对齐}f（t）=\sum_{j=0}^{\infty}c_{j} t吨^{j} =1+\压裂{1}{10}t+\压裂}{1}[24}t^{2}+\压裂{208}吨^{3} +\压裂{35}{2176}吨^{4} +\cdot，\end{对齐}$$

(2.10)

用系数\（c{j}\）由提供

$$\begin{aligned}c_{j}=\frac{\Gamma（j+\frac{1}{2}）}{\sqrt{\pi}（4j+1）\cdot j！}。\结束{对齐}$$

(2.11)

让我们找到$(2, 2)$函数的Padé近似值(2.10)在这一点上\（t=0）,

$$\开始{aligned}{}[2/2]{f}（t）=\frac{\sum_{j=0}^{2} 一个_{j} t吨^{j} {1+\sum{j=1}^{2} b条_{j} 吨^{j} }。\结束{对齐}$$

注意到

$$\begin{aligned}c_{0}=1，\quad c_{1}=\frac{1}{10}，\qquad c_2}=\frac{1{24}，\ quad c_3}=\ frac{5}{208}，\squad c_{4}=\frac{35}{2176}，\fend{alinged}$$

（2.12）

我们已经坚持了(2.3),

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}a{0}=1，\\a{1}=b{1}+\frac{1}{10}，\\a{2}=b_{2}+\frac{1}{10} b条_{1} +\压裂{1}{24}，\\0=\压裂{5}{208}+\压裂}{24}乙_{1} +\压裂{1}{10} b条_{2} ，\\0=\压裂{35}{2176}+\压裂{5}{508}乙_{1} +\压裂{1}{24}乙_{2} ，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

也就是说，

$$\begin{aligned}a{0}=1，\quad a{1}=-\frac{55}{68}，\qquad a}2}=\fracc{23{，}623}{265{，{200}，\ qquad b{1}=\frac{309}{340}，\squad b_2}=\frac{489}{3536}。\结束{对齐}$$

因此，我们获得

$$[2/2]_{f}（t）=\压裂{1-\压裂{55}{68}吨+\裂缝{23{，}623}{265{，{200}t^{2}}{1-\裂缝{309}{340}吨+\裂缝{489}{3536}吨^{2}}, $$

(2.13)

我们已经做到了(2.4),

$$f（t）=[2/2]_｛f｝（t）+O\bigl（t^｛5｝\bigr）$$

(2.14)

那就是

$$\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\Gamma（j+\frac{1}{2}）}{\sqrt{\pi}（4j+1）\cdot j！}t^{j}=\压裂{1-\压裂{55}{68}吨+\裂缝{23{，}623}{265{，{200}t^{2}}{1-\裂缝{309}{340}吨+\裂缝{489}{3536}吨^{2} }+O\bigl（t^{5}\bigr）$$

(2.15)

更换t吨通过\（x^{4}\）英寸(2.15)收益率

$$\开始{aligned}\frac{\operatorname{arcsl}x}{x} &=\frac｛1-\frac｛55｝｛68｝x^{4} +\压裂{23{，}623}{265{，{200}x^{8}}{1-\压裂{309}{340}x^{4} +\压裂{489}{3536}x^{8} }+O\bigl（x^{20}\bigr）\\&=\frac{265{，}200-214{，{500x^{4}+23{，｝623x^{8}}{15（17{，｛680-16{，◄068x^{4]+2445x^{8}）}+O\ bigl。\结束{对齐}$$

(2.16)

备注2.1

使用(2.5),我们还可以推导(2.13).的确,我们有

$$\开始{对齐}{}[2/2]_{f}（t）&=\frac{\left\vert\begin{matrix}t^{2} （f）_{0}（t）&tf{1}结束{矩阵}\right\vert}=\frac{\left\vert\begin{矩阵{t^{2}&t（1+\frac{1}{10}t&\frac{5}{208}\\frac{1}{24}&\frac{5}{208}&\frac{35}{2176}\end{matrix}\right\vert}{left\vert\begin{matrix}t^{2}&t&1\\frac}{1}{10}&\frac{1}[24}&\brac{5{208}{35}{2176}\end{matrix}\right\vert}\\&=\frac{1-\frac{55}{68}吨+\裂缝{23{，}623}{265{，{200}t^{2}}{1-\裂缝{309}{340}吨+\裂缝{489}{3536}吨^{2}}. \结束{对齐}$$

遵循推导公式时使用的相同方法(2.16)，我们发现

$$\开始{aligned}&\frac{\operatorname{圆弧}x}{x} =\压裂{1+\压裂{55}{68}x^{4} +\压裂{23{，}623}{265{，{200}x^{8}}{1+\压裂}309}｛340｝x^{4} +\压裂{489}{3536}x^{8} }+O\bigl（x^{20}\bigr）\\&\phantom{\frac{\operatorname{圆弧}x}{x} }=\frac{265{，}200+214{，{500x^{4}+23{，｝623x^{8}{15（17{，◄680+16{，►068x^{4}+2445x^{8}）}+O\bigl（x^{20}\bigr），\end{aligned}$$

(2.17)

$$\开始{aligned}&\frac{\operatorname{arctl}x}{x} =\压裂{1+\压裂{63}{130}x^{4}-\压裂{139}{6240}x^{8} ｛1+\压裂｛33｝｛52｝x^{4} }+O\bigl（x^{16}\bigr），\end{对齐}$$

(2.18)

$$\开始{aligned}&\frac{\operatorname{arctl}x}{x} =\frac{1+\frac}79{，}047}{94{，{520}x^{4}+\frac{565{，｝795}{5{、}898{、{048}x^{8}{1+\ frac{18{、｝645}{18{，}904}x^}4}+\ frac{336{，｛105}{1{，◄966{、◄016}x^8}+O\big l（x^{20}\bigr）\\&\幻影{\frac{\operatorname{arctl}x}{x} }=\frac{29{，}490{，{240+24{，｝662{，｛664x^{4}+2{，◄828{，｜975x^{8}}{15（1{，］966{，＊016+1{，►939{，▄080x^{4]+336{，［105x^{9}）}+O\bigl（x^{20}\bigr）\end{aligned}$$

（2.19）

和

$$\开始{aligned}\frac{\operatorname{arctlh}x}{x} &=\压裂{1-\压裂{79{，}047}{94{，{520}x^{4}+\压裂{565}，}795}{5{，｝898{，◄048}x^}8}{1-\裂缝{18{，►645}{18{，}904}x^{4]+\压裂bigl（x^{20}\biger）\\&=\frac{29{，}490{，{240-24{，｝662{，◄664x^{4}+2{，｛828{，］975x^{8}}{15（1{，｜966{，＊016-1{，▄939{，►080x^{4{+336{，［105x^{8}）}+O\bigl。\结束{对齐}$$

(2.20)

鉴于(2.16)和(2.17)，我们提出以下观点。

推测2.1

让

$$\开始{aligned}\frac{\operatorname{arcsl}x}{x} &=\压裂{1+\总和{j=1}^{n} 一个_{j} x个^{4j}}{1+\sum{j=1}^{n} b条_{j} x个^{4j}}+O\bigl（x^{8n+4}\bigr）\end{对齐}$$

(2.21)

和

$$\开始{aligned}\frac{\operatorname｛弧形｝x}{x} &=\frac{1+\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j} x个^{4j}}{1+\sum{j=1}^{n}\beta_{j} x个^{4j}}+O\bigl（x^{8n+4}\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.22)

然后是系数 \（{j}\） 和 \（\字母{j}\） 满足以下关系:

$$a{j}=（-1）^{j}\alpha{j}，\quad j=1,2，\ldot，n$$

(2.23)

和系数 \（b_｛j｝\） 和 \（β_｛j｝\） 满足以下关系:

$$b_{j}=（-1）^{j}\beta{j}，\quad j=1,2，\ldots，n$$

(2.24)

鉴于(2.19)和(2.20)，我们提出以下观点。

猜想2.2

让

$$\开始{aligned}\frac{\operatorname{arctl}x}{x} &=\压裂{1+\总和{j=1}^{n} 第页_{j} x个^{4j}}{1+\sum{j=1}^{n} q个_{j} x个^{4j}}+O\bigl（x^{8n+4}\bigr）\end{对齐}$$

(2.25)

和

$$\开始{aligned}\frac{\operatorname{arctlh}x}{x} &=\压裂{1+\总和{j=1}^{n} 第页_{j} x个^{4j}}{1+\sum{j=1}^{n} 秒_{j} x^{4j}}+O\bigl（x^{8n+4}\bigr）。\结束{对齐}$$

(2.26)

然后是系数 \（p{j}\） 和 \（r_｛j｝\） 满足以下关系:

$$p_{j}=（-1）^{j} 第页_{j} ，\quad j=1,2，\ldot，n$$

(2.27)

和系数 \（q{j}\） 和 \（s_｛j｝\） 满足以下关系:

$$q_{j}=（-1）^{j} 秒_{j} ，四个j=1,2，个，n$$

(2.28)

三不平等

方程式(2.16)-(2.20)激励我们建立以下定理。

定理3.1

对于 \（0<x<1\）,

$$\压裂{265{，}200-214{，{500x^{4}+23{，｝623x^{8}{15（17{，◄680-16{，►068x^{4]+2445x^{8}）}{arcsl}x}{x} ●●●●$$

（3.1）

证明

考虑功能

$$f（x）=\操作员姓名{arcsl}x-\裂缝{x（265{，}200-214{，{500x^{4}+23{，｝623x^{8}）}{15（17{，｛680-16{，◄068x^{4]+2445x^{8}）{，\四元0<x<1$$

分化收益率

$$\开始{对齐}f'（x）={}&\frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}}\\&{}-\frac}312{，}582{^{8}-21{，}634{，{288x^{12}+3{，｝850{，◄549x^{16}{（17{，►680-16{，｛068x^}4}+2445x^{8}）^{2}}。\结束{对齐}$$

初步计算表明

$$开始{对齐}和\biggl（\frac{1}{\sqrt{1-t}}\biggr）^{2}\\&\qquad{}-\biggl（\frac{312{，}582{^{2}-21{，}634{，{288t^{3}+3{，｝850{，◄549t^{4}{（17{，►680-16{，｛068t+2445t^{2}）^{2{}\ biggr）^{2\&\ quad=\ frac{t^{5} 克（t） ｛（1-t）（17｛，｝680-16｛，｝068t+2445t ^｛2｝）^｛4｝｝，\ quad 0＜t＜1，\ end｛aligned｝$$

哪里

$$\开始{对齐}g（t）={}&1{，}744{，{280{，｝123{，◄040{，►000-2{，｛406{，］774{、}938{、｝256{、◄000t\\&{}+1{、{064{和}272{、｛682{，＊007{，▄^{3}+14{，}826{，{727{，◄601{，｝401t^{4}。\结束{对齐}$$

我们现在证明\（f’（x）>0）对于\（0<x<1\）。这足以表明\（g（t）>0）对于\（0<t<1）.分化产量

$$\开始{对齐}g'（t）={}&-2{，}406{，{774{，｝938{，◄256{，►000+2{，｛128{，｜545{，］364{{3}\结束{对齐}$$

和

$$\开始{对齐}g“”（t）={}&2{，}128{，{545{，｝364{，◄015{、}200-874{、{186{、｝300{、◄494{、►000t\\&{}+177{、｛920{、］731{、｜216{、＊812t^{2}>0、\四元0<t<1。\结束{对齐}$$

然后我们得到\（0<t<1）,

$$\begin{aligned}&g'（t）<g'（1）=-656{，}015{，{814{，｝082{，◄196<0\quad\Longrightarrow\\&g。\结束{对齐}$$

因此，\（f'（x）>0\）对于\（0<x<1\），我们已经

$$\begin{aligned}f（x）>f（0）=0，\quad 0<x<1。\结束{对齐}$$

证据是完整的。 □

备注3.1

中的两个下限之间没有严格的比较(1.5)和(3.1).

定理3.2

对于 \（x>0）,

$$\frac{\operatorname{圆弧}x}{x} <\frac｛265｛，｝200+214｛，｝500 x ^｛4｝+23｛，｝623x ^｛8｝｝｛15（17｛，｝680+16｛，｝068x ^｛4｝+2445x ^｛8｝）｝$$

(3.2)

证明

考虑功能

$$F（x）=\操作员姓名{圆弧}x-\裂缝{x（265{，}200+214{，{500x^{4}+23{，｝623x^{8}）}{15（17{，◄680+16{，►068x^{4]+2445x^{8}）{，\四元x>0$$

分化收益率

$$\开始{对齐}F'（x）={}&\frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}}\\&{}-\frac}312{，}582{、}400+411{、{873{，{280x^{4]+177{，◄771{，｝984x^{8}+21{、｝634{、◄288x^{12}+3{，｛850{，］549x^{16}{（17{，}680+16{，}068x^{4}+2445x^{8}）^{2}。\结束{对齐}$$

初步计算表明

$$开始{对齐}和\biggl（\frac{1}{\sqrt{1+t}}\biggr）^{2}\\&\qquad{}-\biggl（\frac{312{，}582{、}400+411{，{873{、{280t+177{、｝771{，｝984t^{2{+21{、｛634{、◄288t^{3}+3{，｛850{，◄549t^{4}}{（17{，}680+16{，{068t+2445t^{2}）^{2{}}\biggr）^{2]\\&\quad=-\frac{t^{5} G公司（t） }{（1+t）（17{，}680+16{，{068t+2445t^{2}）^{4}}，\结束{对齐}$$

哪里

$$\开始{对齐}G（t）={}&1{，}744{，{280{，｝123{，｛040{，］000+2{，◄406{，►774{、}938{、｝256{、◄000t+1{、{064{和}272{、｛682{，▄007{，｜600t^{2}\\&{}+145{、►697{、｜716{、］749{、▄000t^{3}+14{，}826{，{727{，◄601{，｝401t^{4}。\结束{对齐}$$

因此，\（F'（x）<0）对于\（x>0），我们有

$$\开始{对齐}F（x）<F（0）=0，\四元x>0。\结束{对齐}$$

证据是完整的。 □

备注3.2

对于 \（0<t<1）,我们发现

$$\begon｛aligned｝I（t）：=｛｝&&\frac｛1｝｛1+t｝-\biggl（\frac｛265｝，｝200+214｝，｝500t+23｝，｝623t^｛2｝｝｝｛15（17｝，｝680+16｝，｝068t+2445t ^｛2｝）｝\biggr）^｛10｝\\=｛｝&&\frac｛t^{2} P（P）_{19} （t）}{576{，}650{，{390{，｝625（1+t）（17{，◄680+16{、}068t+2445t^{2}）^{10}}\结束{对齐}$$

具有

$$\开始{对齐}P_{19}（t）=P_{16}（t）+t^{17} P（P）_{2} （t），\结束{对齐}$$

哪里

$$\开始{对齐}P_{16}（t）={}&3{，}309{，{224{，｝024{$$

是多项式16th度,所有系数均为正,和

$$\开始{对齐}P_{2}（t）={}&77{，}541{，{624{，◄086{，｝159{，｛498{，］428{，►020{，▄328{、}992{，｜837{，＊339{，★887{、｝447{（}064{），｝000\\&{}-565{，}655{，}870{，{693{，◄904{，｝642{，｛976{，｜763{、｝301{、}024t\\&{}-54{、｛119{、◄091{、{759{、］561{，］776{、｜058{，▄592{、▄767{、►712{和◄571{\结束{对齐}$$

对于 \（0<t<1）.所以,\（I（t）>0） 对于 \（0＜t＜1\）.然后我们看到不平等(3.2)比右侧更尖锐(1.6).

定理3.3

对于 \（x>0）,

$$\开始{aligned}&\frac{1+\frac{63}{130}x^{4}-\压裂{139}{6240}x^{8} {1+\压裂{33}{52}x^{4} }<\frac{\operatorname{arctl}x}{x} <\frac{29{，}490{，{240+24}，}662{，｝664x^{4}+2{，◄828{，►975x^{8}}{15（1{，｛966{，｜016+1{，］939{，▄080x^{4}+336{，＊105x^{8}）}。\结束{对齐}$$

(3.3)

证明

考虑功能

$$\开始{aligned}\lambda（x）=\operatorname{arctl}x-\压裂{x（1+\压裂{63}{130}x^{4}-\压裂{139}{6240}x^{8} ）}{1+\压裂{33}{52}x^{4}}. \结束{对齐}$$

分化收益率

$$\beart｛aligned｝\lambda'（x）&=\frac｛1｝｛（1+x^｛4｝）^｛3/4｝｝+\frac｛x^｛3｝（48｛，｝672+14｛，｝456x^｛4｝+4587x^｛8｝）｝｛30（52+33x^｛4｝）^｛2｝｝｝>0。\结束{对齐}$$

然后我们获得

$$\开始{aligned}\lambda（x）>\lambda（0）=0，\quad x>0。\结束{对齐}$$

因此，第一个不等式(3.3)等待\（x>0）.

考虑功能

$$T（x）=\操作员姓名{arctl}x-\裂缝{x（29{，}490{，{240+24{，，}662{，｝664x^{4}+2{，◄828{，►975x^{8}）}{15（1{，｛966{，｜016+1{，］939{，▄080x^{4]+336{，［105x^{9}）{，\四元x>0$$

分化收益率

$$开始{对齐}T'（x）&=\frac{1}{（1+x^{4}）^{3/4}}-\frac}P_{16}（x）}{$$

哪里

$$\开始{对齐}P_{16}（x）={}&3{，}865{，{218{，｝912{，◄256+4{，｛725{、}610{、｝426{、{368x^{4}+1{、◄899{、｛763{、►315{和}008x^{8}\\&{}+170{，►687{，］344{、］256x^{12}+63{和◄，}388{，}842{，{825x^{16}。\结束{对齐}$$

初步计算表明

$$\begin｛aligned｝&&frac｛1｝｛（1+x^｛4｝）^｛3｝｝-\biggl（\frac｛P_｛16｝（x）｝｛（1｛，｝966｛，｝016+1｛，｝939｛，｝080x^｛4｝+336｛，｝105x^｛8｝）^｛2｝｝\biggr）^｛4｝\\\quad=-\frac｛x^{20} 对_{56}（x）}{（1+x^{4}）^{3}（1}，}966{，}016+1{，{939{，｝080x^{4]+336{，◄105x^{8}），\结束{对齐}$$

哪里

$$开始{对齐}P_{56}（x）={}&13{，}193{，{567{，｝461{，◄486{，｛862{，｜074{，］082{、}196{，＊527{、｝146{、◄063{、►235{、{598{、｛765{、］785{，►088\\和{}+75{，［，｝，｝159{，▄817{902{，}462{、}936{、{186{，{880x^{8}\\&{}+283{，}233{，{781{，｝637{，◄227{、}052{、｝608{、◄425{，►496{、►608}、}925{、］420{，］321{、｛925}，}549{，｛260{，▄800x^12}\\&}}+274{，｜381{}496{，}947{，{276{、}941{、{731{，◄670{、◄794{、｝946{和}132{，｝888{、►780{，►800x^{16}\\&{}+182{，｛271{和｝787{557{，}235{，{390{，◄578{，｝688x^{20}\\&+85{，}570{，{287{，｝614{，◄566{，►775{、}085{和}144{，］063{，｛641{，｜805{；｝696{、｝286{和｝360{，［924{、］323{、{840x^{24}\\&{}+29{、◄163{、｛131{、►、}006{、｜055{{，}374{，{987{，｝447{、}946{、{919{、｝333{、｛657{和}968{，｛640x^{28}\\&{}+7{；｝481{，◄144{，►367{{，}534{，{400x^{32}\\&{}+1{502{，}545{，{339{，｝351{，｛309{、}468{、{552{、｝186{、｛115{、◄563{，◄901{、►082{和}330{，►882{；}201{，］600x^ 36}\\和{}+238{，网495{、网639{和网577{，{，}822{，{862{、}592{和}696{，｝929{、｝928{、｛896x^40}\\&{}+29{，◄999{、◄531{、►147{，｛567{，►967{、］753{、▄948{，］099{；｝263{，▄441{，｜234{、{315{、｜939{和｝560{、［800x^44}\&{}+3{，}208{，{050{，｝013{，◄558{968{，}652{，{633{，｝219{，｛730{，◄412{{，}875x^{52}\\&{}+16{，{145{，◄492{，｝412{、}888{、｝980{、◄411{、►169{、{048{，、}998{和}579{、｛532{和｝875{、▄390{和◄625x^}56}。\结束{对齐}$$

因此，\（T’（x）<0）对于\（x>0），我们有

$$\开始{对齐}T（x）<T（0）=0，\四元x>0。\结束{对齐}$$

因此，第二个不等式(3.3)等待\（x>0）。证据完整。 □

定理3.4

对于 \（0<x<1\）,

$$开始{对齐}和\frac{29{，}490{，{240-24{，◄662{，►664x^{4}+2{，｝828{，｛975x^{8}}{15{arctlh}x}{x} ●●●●。\结束{对齐}$$

(3.4)

证明

考虑功能

$$H（x）=\操作员姓名{arctlh}x-\裂缝{x（29{，}490{，{240-24{，，}662{，｝664x^{4}+2{，◄828{，►975x^{8}）}{15（1{，｛966{，｜016-1{，］939{，▄080x^{4]+336{，［105x^{9}）{，\四元0<x<1$$

分化收益率

$$开始{对齐}H'（x）&=\frac{1}{（1-x^{4}）^{3/4}}-\frac}Q（x^{4]）}{$$

哪里

$$\开始{对齐}Q（t）={}&3{，}865{，{218{，｝912{，｛256-4{，◄725{825t^{4}，\quad 0<t<1。\结束{对齐}$$

初步计算表明

$$开始{对齐}和\frac{1}{（1-t）^{3}}-\biggl（\frac{Q（t）}{^{5} R（右）（t） }{（1-t）^{3}（1{，}966{，{016-1{，◄939{，｝080t+336{，｛105t^{2}）^{8}，\结束{对齐}$$

哪里

$$\开始{对齐}R（t）={}&301{，}748{，{693{，｝573{、}399{、{407{、｝094{，◄173{，►717{，｛482{，］883{；}533{076{，}061{，{553{，｝884{，｛665{，◄646{、}471{、{005{、｝365（1-t）\\&{}+151{、◄766{和}449{、｛766}、}787{、►034{、］704{和｝161{、｜483{、＊173{、▄419{，｜604{t）^{2}\\&{}+680{，}433{，{563{，}535{，{649{，｝162{，｛659{、}902{、{808{、｝405{、｛182{、◄093{、►255{、］793{和}778{，◄810（1-t）^{3}\\&{}+1856{，►390{，▄570{、▄444{，］186{，｜005{、｜047{、＊799{729{，}435{，{155{，｝242{，］856{，◄245（1-t）^{4}\\&{}+3{，｛124{，｜371{，►679{、}128{，＊783{，▄209{&{}+3{，}542{，{098{，｝875{374{，}455{，{780{，｝446{，｛672{，◄503{，］755{、}643{、｝630{、◄859{，►189{，▄032{、{595（1-t）^{6}\\&{}+2{、］471{、►319{、｛403{和｝553{{，}269{，{039{、}662{、{418{、｝255{，｝020（1-t t）^{8}\\&{}+188{，}439{，{516{，◄872{，｝719{220{，}883{，{777{，｝738{，◄283{}022{，}003{，{221（1-t）^{10}\\&{}+2{，｝968{，｛223{，◄270{，｜581{，］948{、｝926{、}689{，＊804{，▄107{，►877{、◄843{、{092{、｛991{、］437{，［050（1-t 914{，}569{，{129{，◄666{，｝891{048{，}623{，{948{、}471{、{984{、◄527{、｝027{，｝924{，◄375\\&{}-3{，►700{，｛335{、｛780{、►276{、▄573{、］525{，］522{，▄128{，｜994{；｝658{和｝629{、｜077{和}296{，＊875（1-t）\biger）（1-吨）^{12}\\&{}+16{，}145{，{492{，｝412{、}888{、{980{、｝411{、｛169{、◄048{，◄998{和｝579{，｛532{和}875{，］390{，｜625（1-t）^{14}。\结束{对齐}$$

自\（R（t）>0）对于\（0<t<1），我们有\（H’（x）>0）对于\（0<x<1\）。然后我们获得

$$\begin｛aligned｝H（x）>H（0）=0，\ quad 0<x<1。\结束{对齐}$$

证据是完整的。 □

4猜想的证明1.1

的证明(1.12)

通过以下方式显示就足够了(3.2)那个

$$开始{对齐}\frac{265{，}200+214{，{500x^{4}+23{，◄623x^{8}}{15（17{，►680+16{，｝068x^{4}+2445x^{8}）}{2925}x^{12} }{80+\sqrt{225+285x^{4}}}，\四元x>0，\结束{对齐}$$

即,

$$\开始{aligned}\frac{95+\frac{931}{2925}x^{12} }{压裂{265{，}200+214{，{500x^{4}+23{，｝623x^{8}}{15（17{，◄680+16{，►068x^{4]+2445x^{8}）}}-80>平方{225+285x^{4}}，四元x>0。\结束{对齐}$$

(4.1)

初步计算表明

$$\开始{aligned}&\biggl（\frac{95+\frac{931}{2925}x^{12} }{\frac{265{，}200+214{，{500x^{4}+23{，｝623x^{8}}{15（17{，◄680+16{，►068x^{4]+2445x^{8}）}}-80\biggr）^{2}-\bigl（\sqrt{225+285x^{4}}\bigr）^{2}\\&\quad=\frac{x^{16} P（P）_{24}（x）}{（265}，}200+214{，}500x^{4}+23{，{623x^{8}）^{2}，\结束{对齐}$$

哪里

$$\开始{对齐}P_{24}（x）={}&2{，}214{，{994{、}396{、{680{，｝000+2{，◄167{，►794{和}625{，｛751{，］625x^{4}\\&{}+771{{，}870x^{12}+15{，{721{，｝941{、}655{、{056x^{16}+3{、｝584{、◄399{、►789{，◄880x^{20}\\&{}+272{，►711{和}522{，｛475x^{24}。\结束{对齐}$$

我们从中看到\（P_{24}（x）>0\）那个(4.1)持有。证据是完整的。 □

的证明(1.13)

首先，我们证明了(1.13). 只需在右侧显示(3.3)那个

$$\frac｛29｛，｝490｛，｝240+24｛，｝662｛，｝664x ^｛4｝+2｛，｝828｛，｝975x ^｛8｝｝｛15（1｛，｝966｛，｝016+1｛，｝939｛，｝080x ^｛4｝+336｛，｝105x ^｛8｝）｝x＞0时$$

即,

$$\压裂{1210+\压裂{2{，}078{，{417}{280{，｝800}x^{12}{\压裂{29{，◄490{，►240+24{，｛662{{8}）}-940>9\sqrt{900+1210x^{4}}，\quad x>0$$

(4.2)

初步计算表明

$$开始{对齐}和\biggl（\frac{1210+\frac{2{，}078{，{417}{280{，｝800}x^{12}{\frac}29{，◄490{，｛240+24{，►662{}+336{，}105x^{8}）}}-940\biggr）^{2}-\bigl（9\sqrt{900+1210x^{4}}\biger）^{2}\\&\quad=\frac{P_{40}（x）}{350{，}438{，{400（29{，｝490{，，}240+24{，◄662{$$

哪里

$$开始{对齐}P_{40}（x）={}&423{，}992{，{204{，｝507{，，}234{，◄653{、}175{、{808{、｝000{、◄000\\&{}+813{、►161{、｛362{、、}018{，►201{，］812{和}231{、］782{309{，}950{，{882{，｝139{627{，}520{，{000x^{16}\\&{}+6{，｝902{，｛175{，◄873{，］182{，►801{，▄970{，｜021{、}120{，M1000x^{20}\\&}}+1{\\&{}+192{，}485{，{925{、}752{、{231{、｝924{，｝989{、｛587{、◄840x^{28}\\&{{}+21{，◄951{194{，}377{，{041{，◄485{，｝200x^{36}\\&{}+487{，}994{，{939{，｝463{，｛408{，◄187{，］266{，►225x^{40}。\结束{对齐}$$

我们从中看到\（P_{40}（x）>0\）那个(4.2)持有。因此，第二个不等式(1.13)持有。

其次，我们证明了(1.13). 我们考虑两个案例。

案例1\（0<x<1\）.

只需在左侧显示即可(3.3)那个

$$\开始{aligned}&\frac{1210}{940+9\sqrt{900+1210x^{4}}{130}x^{4}-\压裂{139}｛6240｝x^{8} {1+\压裂{33}{52}x^{4} }，\四元0<x<1，\结束{对齐}$$

即,

$$开始{aligned}9\sqrt{900+1210x^{4}}>\frac{1210}{\frac{1+\frac{63}{130}x^{4}-\压裂{139}{6240}x^{8} {1+\压裂{33}{52}x^{4} }}-940，\quad 0<x<1。\结束{对齐}$$

(4.3)

初步计算表明

$$\开始{aligned}&\bigl（9\sqrt{900+1210x^{4}}\bigr）^{2}-\biggl（\frac{1210}{\frac{1+\frac{63}{130}x^{4}-\压裂{139}{6240}x^{8} ｛1+\压裂｛33｝{52}x^{4} }}-940\biggr）^{2}\\&\quad=压裂{1210x^{12}^{4} -139倍^{8} ）^{2}}>0，\四元0<x<1，\结束{aligned}$$

这表明(4.3)持有。

案例2\（x\geq1\）.

考虑功能\（U（x）\）由定义

$$U（x）=\操作员姓名{arctl}x-\裂缝{1210x}{940+9\sqrt{900+1210x^{4}}$$

分化收益率

$$\begin｛aligned｝U'（x）&=\frac｛1｝｛（1+x^｛4｝）^｛3/4｝｝+\frac｛12｝，｝100（1089x^{4} -94\sqrt{900+1210x^{4}}-810）}{（940+9\sqrt{900+1210x^{4{}）^{2}\sqrt}900+12100x^{4]}。\结束{对齐}$$

(4.4)

注意到

$$\开始{对齐}1089x^{4}-94\sqrt{900+1210x^{4}}-810>0，\quad x\geq2，\end{aligned}$$

持有，我们获得

$$\开始{aligned}U'（x）>0，\quad x\geq2。\结束{对齐}$$

我们现在展示一下\（U’（x）>0）也适用于\（1 x<2）这足以证明

$$\开始{aligned}y（x）>0，\quad 1\leq x<2，\end{aligned}$$

哪里

$$\开始{对齐}y（x）=y_{1}（x）+y_{2}（x），\结束{对齐{$$

具有

$$开始{对齐}y_{1}（x）=\frac{（940+9\sqrt{900+1210x^{4}}）^{2}\sqrt}900+12100x^{4{}}{12{，}100（1+x^{4]）^}3/4}}+1089x^{4}-810\结束{对齐}$$

和

$$\开始{aligned}y_{2}（x）=-94\sqrt{900+1210x^{4}}。\结束{对齐}$$

分化收益率

$$开始{对齐}y'_{1}（x）=\frac{x^{3}（940+9\sqrt{900+1210x^{4}}）y{3}（x）}{1210（1+x^{4]）^{7/4}\sqrt}900+12100x^{4{}}}+32{，}596x^{3G}，\end{对齐{$$

哪里

$$\开始{对齐}y_{3}（x）={}&4104\sqrt{900+1210x^{4}}+3267x^{4]\sqrt}900+12100x^{4{}}-113{，}740x^{4}-26{，}320\\>{}&4104\sqrt{1210x^{4}}+3267x^{4{，{1210x，}740x^{4}-26｛，｝320 \\=｛｝&81｛，｝081\平方英尺{10}-140{，}060+（305{，{910\sqrt{10}-454{，}960）（x-1）\\&{}+（584{，{199\sqrt{10}-682{，}440）（x-1）^{2}+（718{，{740\sqrt{10}-454{，}960）（x-1）^{3}\\&{}+（539{，{055\sqrt{10}-113{，}740）（x-1）^{4}+215{，{622\sqrt{10}（x-1。\结束{对齐}$$

因此，我们有\（y'_{1}（x）>0\）对于\（1\leq x<2\）.

让\（1\leq r \ leq x \ leq s \ leq2 \）.自\（y{1}（x）\）正在增加并且\（y{2}（x）\）正在减少\（1 x 2），我们获得

$$\开始{aligned}y（x）\geqy_{1}（r）+y_{2}（s）=：\sigma_{1{（r，s）。\结束{对齐}$$

我们划分间隔$[1, 2]$分为100个子区间：

$$\begin{aligned}{}[1，2]=\bigcup_{k=0}^{99}\biggl[1+\frac{k}{100}，1+\frac{k+1}{100{biggr]>0\quad\text{表示}k=0，1，2，\ldots，99。\结束{对齐}$$

通过直接计算，我们得到

$$\begin{aligned}\sigma{1}\biggl（1+\frac{k}{100}，1+\frac{k+1}{100{biggr）>0\quad\text{for}k=0，1，2，\ldots，99。\结束{对齐}$$

因此，

$$\begin{aligned}y（x）>0\quad\text{表示}x\in\biggl[1+\frac{k}{100}，1+\frac{k+1}{100{biggr]\text{和}k=0，1，2，\ldots，99。\结束{对齐}$$

这证明了\（U’（x）>0）对于\（1 x<2）.

然后我们获得\（U’（x）>0）为所有人\（x\geq1\），我们有

$$\begin{aligned}U（x）>U（1）=0.00154438\ldots>0\quad\text{for}x\geq1，\end{aligned}$$

其中显示了中的第一个不等式(1.13)等待\（x\geq1\）因此(1.13)为所有人保留\（x>0）。证据完整。 □