过去，比例和加性风险率模型已经在研究中。Nanda和Das（2011）介绍并研究了动态比例（反向）危险率模型。本文研究了动态加性风险率模型，并研究了其在不同老化等级下的老化特性。还研究了模型在某些随机阶下的闭包。还举例说明了模型的不同老化特性和随机比较。
1.简介
统计分析中的常见做法是引入协变量来解释增加群体异质性的因素。当所研究因素的影响对基线风险函数具有乘法（或加性）影响时，我们就有了一个比例（或加法）风险模型。在任何情况下，后一类模型都是首选的。例如，在致瘤性病例中，剂量对肿瘤风险的影响很重要，过量风险成为一个重要因素。寻求治疗有效性的临床试验通常会经历治疗有效性滞后时间，在此之后，治疗程序将完全有效。
在可靠性和生存性分析中，设备或系统总是在不断变化的环境中运行。在对设备或系统的寿命进行建模时，系统运行的条件可能更苛刻，也可能更温和。最著名的考克斯[1]模型是假设变化的条件对基线危险率起乘数作用。该模型在许多实验中得到了广泛应用，其中系统失效的时间取决于一组协变量，这些协变量可以被视为不同的处理、操作条件、异构环境等。P.L.Gupta和R.C.Gupta[2]研究了当混合物中的分布服从比例危险率时，混合物的条件失效率和无条件失效率之间的关系。对于进一步的研究，可以看到Cox和Oakes[三]、Kumar和Westberg[4]、杜佩[5]，刘[6]、赵和周[7]、X.Li和Z.Li[8]、和Yu[9].
R.C.Gupta和R.D.Gupta[10]提出并研究了用于分析故障时间数据的比例反向风险模型。有关此模型的更多详细信息，请参阅Gupta和Wu[11]、X.Li和Z.Li[12]等等。
最近，南达和达斯[13]介绍了动态比例危险率（DPHR）模型和动态比例反向危险率（PDRHR）模型，并研究了它们在不同老化等级下的性能。研究了模型在不同随机阶下的闭合性。
阿兰达·奥尔达斯[14]首先处理了一个加性风险模型哪里是基线风险率和时间相关协变量向量表示操作条件的变化，以及是参数向量。有关更多详细信息，请参阅考克斯和奥克斯[三]、托马斯[15]、布雷斯洛和戴[16]芬克尔斯坦和埃索洛娃[17]、Lim和Zhang[18]，等等。
假设和是具有相应危险率函数的两个系统的寿命和对于.让; 模型（具有与时间相关的协变量）(1)将简化为形式称为动态加性风险率（DAHR）模型。
有时，危险率函数和不能在整个间隔内累加，但它们的相加性可能不同于不同的间隔。具体而言，它们可能与对于、和，其中是一些常量。当间隔时间 变得越来越小，模型如(2)将自然获得。
为了保证是非负随机变量的风险率函数，给出了以下引理。
引理1。假设和之前定义的。那么，对于,是危险率函数，当且仅当以下条件成立时：（i），对于所有人;（ii）;（iii）如果，然后对一些人来说.
在节中2在本文中，我们讨论了DAHR模型的一些老化特性。在节中三研究了DAHR模型在不同随机序下的闭包。给出了一些示例来说明第节中的相关结果2和三.
在本文中，假设所有考虑中的随机变量作为它们支持的公共左端点，增减项分别表示单调不减和单调不增。
2.DAHR模型的老化特性
首先，我们介绍一些老化概念的概念，这些概念在本节中将很有用。回想一下，一个随机变量称为（a）故障率（IFR）增加[故障率（DFR）降低]，如果在中增加[减少]; （b） 平均故障率增加（IFRA）[平均故障率降低（DFRA）]，如果在中增加[减少]; （c） 新的优于旧的（NBU）[新的不如旧的（NWU）]，如果，对于所有人; （d） 新的故障率优于使用的故障率（NBUFR）[新的比使用的故障速率差（NWUFR）]，如果，对于所有人; （e） 新的比失效率平均值（NBAFR）中使用的好[新的比故障率平均值中使用的差]，如果，对于所有人有关老化概念属性的更多讨论，读者可以参考巴洛和普罗尚[19]、米勒和斯提安[20]等等。
在下面，我们给出了随机变量之间的一些老化闭包性质和在某些条件下.一些结果是明显的，因此省略了它们的证明。
提议2。如果随机变量是IFR（DFR），对于,增加（减少），然后是随机变量是IFR（DFR）。
在下文中，我们给出了与此命题相关的两个示例。例子三是这个命题的一个应用。例子4表示是足够的，但不是必要的。
示例3。让是具有威布尔分布和风险率函数的随机变量,.接受对于很明显满足引理的所有条件1显然，如果是IFR和在中增加，因此是IFR。
示例4。让是具有威布尔分布和风险率函数的随机变量,.让对于。可以验证在中增加，因此是IFR。然而，正在减少但增加了.
提案5。如果随机变量是IFRA（DFRA）和在中增加（减少），然后是随机变量是IFRA（DFRA）。
证明。对于，让请注意是IFRA（DFRA）和增加（减少）意味着因此，所期望的结果会直接出现。
例子三可以看作是上述命题的应用。例子6以下内容表明对于的单调性是充分的，但不是必要的.
例6。让是具有威布尔分布和危险率函数的随机变量,.接受对于很明显满足引理的所有条件1显然，是IFRA和是IFRA。然而，正在减少.
提案7。如果随机变量为NBU（NWU）和在中增加（减少），然后是随机变量为NBU（NWU）。
证明。我们只为NBU的情况提供证据。为了证明是NBU，这足以证明和,它相当于那就是，
请注意是NBU，这意味着那就是，
事实上正在增加并且(11), (9)保持不变，因此会得到期望的结果。
例子三是上述命题的应用。以下示例表明对于.
示例8。假设是一个平均值为1/2的指数分布随机变量。很明显为NBU。让对于通过一些计算，我们得出可以证实为非负（另请参见图1). 发件人(9)，我们得出结论为NBU。然而，很容易得出以下结论在中增加但逐渐减少.
提案9。如果随机变量为NBUFR（NWUFR）和对于，然后是随机变量为NBUFR（NWUFR）。
提案10。如果随机变量为NBAFR（NWAFR）和对于，然后是随机变量为NBAFR（NWAFR）。
证明。我们只为NBAFR案件提供证据。值得注意的是NBAFR等于,。请注意是NBAFR当且仅当。因此，所需结果符合条件.
备注11。例子三是命题的应用9和10.示例6可以看作是一个反例，它表明了在命题中是充分的，但不是必要的9和10.
3.DAHR模型的随机比较
首先，让我们回顾一下与本节主要结果密切相关的一些随机序的概念。随机变量据说比另一个随机变量大在（a）时效强度排序中（表示为)，如果为所有人; （b） 通常的随机顺序（表示为)如果，对于所有人; （c） 危险率顺序（表示为)如果，对于所有人; （d） 危险率上升顺序（表示为)如果，对于所有人; （e） 降低风险率顺序（表示为)如果，对于所有人有关随机订单的更多详细信息，请参阅Shaked和Shanthikumar[21].
在下文中，我们给出了随机变量之间随机排序的一些充分（和必要）条件和.一些结果是明显的，因此省略了它们的证明。
提案12。假设和两个非负随机变量满足吗(2). 然后，如果在中增加（减少）.
证明。请注意当且仅当,相当于 。如果在中增加。插入语的证明类似。
下面的示例表明对于时效强度排序而言，是足够的，但不是必要的和.
例13。假设是一个平均值为1/2的指数分布随机变量。让对于通过一些计算，我们得出可以证实对于，因此在中增加（另请参见图2). 请注意.因此，对于所有人，因此然而，很容易得出正在减少但在.
提案14。假设和两个非负随机变量满足吗(2). 然后，当且仅当，对于所有人.
下面的推论直接来自于上述命题。
推论15。如果，对于所有人，然后.
第16号提案。假设和两个非负随机变量满足吗(2). 然后，当且仅当，对于所有人.
第17号提案。假设和两个非负随机变量满足吗(2). 然后，当且仅当，对于所有人和.
证明。请注意当且仅当在中增加，对于所有人。这相当于在中增加，这相当于它的导数是非负的；也就是说，，对于所有人和。它是由条件决定的。附加说明的证明类似。
第18号提案。假设和两个非负连续随机变量是否满足(2). 然后，当且仅当，对于所有人和.
它的证明与命题的证明相似17因此省略。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
确认
本研究得到了国家自然科学基金（71361020）的资助。
