摘要

我们构造了()-用Exp-function方法对KdV-Zakharov-Kuznetsev方程进行了量纲修正。该方法有效地获得了大量任意参数的精确行波解。结果表明，对于求解具有任意参数的高维非线性偏微分方程的解析解，Exp-function方法是一种有效而直观的数学工具。

1.简介

非线性偏微分方程（NLPDEs）在应用科学的不同分支中发挥着重要作用。近年来，许多研究人员研究了非线性偏微分方程的精确行波解，这些行波解对揭示复杂物理现象至关重要。在过去的几十年中，各种有效且强大的方法，如变分迭代法[1——三]，tanh-coth方法[4]，同伦摄动法[5——7]，Fan子方程法[8]，射影Riccati方程法[9]，微分变换法[10]，直接代数法[11]，第一积分法[12]，Hirota双线性方法[13]，改进的扩展直接代数方法[14]，扩展tanh方法[15]，Backlund变换[16]，分叉法[17]，Cole-Hopf变换方法[18]，sech-tanh方法[19],-膨胀法[20——22]，已修改-膨胀法[23]，多波法[24]，已扩展-膨胀法[25,26]、和其他[27——33]用于寻求非线性发展方程（NLEE）的精确行波解。

最近，他和吴[34]提出了一种新的方法，称为Exp-function方法，用于搜索数学物理中出现的非线性发展方程的行波解。Exp-function方法被广泛应用于多种非线性偏微分方程，例如好的Boussinesq方程[35]，非线性微分方程[36]，高阶边值问题[37]，非线性问题[38]，Calogero-Degasperis-Fokas方程[39]，非线性反应扩散方程[40]，2D Bratu型方程[41]，非线性晶格微分方程[42]，广义Zakharov方程[43]，（3+1）维Jimbo-Miwa方程[44]，修正的Zakharov-Kuznetsov方程[45]，布鲁塞尔反应扩散模型[46]，非线性热方程[47]以及其他重要的NLPDE[48——51].

在本文中，我们应用Exp-function方法[34]获得非线性偏微分方程的解析解，即（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程。

2.Exp函数方法的描述

考虑一般非线性偏微分方程Exp-function方法的主要步骤[34]如下所示。

步骤1。将复杂变量视为现在使用(2.2), (2.1)转换为非线性常微分方程其中素数表示关于.

第2步。我们假设(2.3)可以表示为[34]哪里、和是稍后确定的正整数，以及和是未知常数。方程式(2.4)可以用以下等效形式重写：

步骤3。为了确定和，我们将最高阶线性项与最高阶非线性项进行平衡，并确定和，我们在中平衡最低阶线性项和最低阶非线性项(2.3). 因此，我们得到了、和.

步骤4。替换的值、和到(2.5)，然后替换(2.5)进入(2.3)简化后，我们得到然后每个系数是设置，生成一个代数方程组和.

步骤5。我们假设未知和可以通过求解步骤中获得的代数方程组来确定4.将这些值放入(2.5)，我们得到了精确的行波解(2.1).

3.方法的应用

在本节中，我们应用该方法构造了（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程的行波解。获得的解决方案将显示在图中1,2,三,4,5、和6使用Maple 13软件。

图1 

的周期性解决方案,和.

图2 

的周期性解决方案,和.

图3 

孤子解决方案和.

图4 

孤子解决方案和.

图5 

孤子解决方案和.

图6 

孤子解决方案和.

我们考虑（3+1）维修正KdV-Zakharov-Kuznetsev方程哪里是一个非零常数。

扎耶德[52]已解决(3.1)使用-扩展方法。稍后，在文章中[53]，他用广义的-膨胀法。

在这里，我们将用Exp-function方法求解这个方程。

现在，我们使用转换(2.2)进入(3.1)，它产生其中素数表示关于.

根据步骤2，解决方案(3.2)可以写为(2.5). 要确定和，根据步骤三，我们平衡具有最高阶非线性项英寸(3.2)也就是说，和因此，我们有以下几点：哪里仅为简单起见的系数；来自(3.3)，我们得到要确定和，我们平衡的最低阶线性项具有最低阶非线性项英寸(3.2). 我们有哪里仅为了简单而确定系数；来自(3.5)，我们获得可以考虑任何实际值和，因为它们是自由参数。但最终的解决方案(3.1)不依赖于选择和.

案例1。我们设置了和.
对于这种情况，试验解决方案(2.5)减少到自，, (3.7)可以简化通过替换(3.8)进入(3.2)并将借助Maple 13，我们得到了一组代数方程、和并且，设置，到零，我们得到为了确定未知数，我们求解得到的代数系统(3.10)借助Maple 13，我们得到了四组不同的解。设置1。我们得到了哪里是自由参数。设置2。我们得到了哪里和是自由参数。设置3。我们得到了哪里和是自由参数。设置4。我们得到了哪里是自由参数。
现在，替换(3.11)进入(3.8)，我们得到了行波解方程式(3.15)可以简化为哪里.
如果来自(3.16)，我们获得替换(3.12)进入(3.8)简化后，我们得到了行波解哪里.
如果是负的，也就是说，,,和，然后从(3.18)，我们获得替换(3.13)进入(3.8)简化后，我们得到哪里.
如果、和, (3.20)成为替换(3.14)进入(3.8)简化后，我们得到哪里.
如果和, (3.22)成为

案例2。我们设置了和.
对于这种情况，试验解决方案(2.5)减少到因为，在(3.24)为了简单起见，我们可以考虑和。然后是解决方案(3.24)简化为执行案例中描述的相同程序1，我们得到了四组解。

设置1。我们得到了哪里是自由参数。

设置2。我们得到了哪里和是自由参数。

设置3。我们得到了哪里和是自由参数。

设置4。我们得到了哪里是一个自由参数。
使用(3.26)进入(3.25)简化后，我们得到如果，来自(3.30)，我们得到哪里.
替换(3.27)进入(3.25)简化后，我们得到如果是负的，也就是说，,,和, (3.32)可以简化为哪里.
替换(3.28)进入(3.25)简化后，我们得到如果、和, (3.34)成为哪里.
使用(3.29)进入(3.25)简化后，我们得到如果、和, (3.36)成为哪里.

案例3。我们设置了和.
对于这种情况，试验解决方案(2.5)减少到因为，在(3.38)，我们可以考虑、和因此(3.38)减少到(3.25). 这表明案件三等同于案例2.方程式(3.38)可以重写为
如果我们把和到(3.39)，我们得到的解形式为(3.8). 这意味着本案三等同于案例1.
此外，如果我们考虑和可以看出，本案例也与案例等效1和2.
因此，我们认为没有必要再次寻找解决方案。